江蘇省對口單招高中數(shù)學復習知識點

三

數(shù)

學

總

復

習

知

識

點

主編：楊林森

1

目錄

一、高一上

1、數(shù)與式的計算.......................................................3

2、集合................................................................6

3、函數(shù)及其性質.......................................................8

4、幾個基本初等函數(shù)..................................................10

5、三角函數(shù)...........................................................13

二、高—~下

1、解析幾何（I）........................................................................................................14

2、三角函數(shù)（II）........................................................................................................18

3、圓.............................................................21

4、平面向量...........................................................23

5、數(shù)列...............................................................26

6、不等式.............................................................29

三、高二上

1、命題與邏輯推理....................................................31

2、解析幾何（II）........................................................................................................33

3、立體幾何..........................................................41

4、復數(shù)...............................................................46

四、高二下

1、計數(shù)法.............................................................49

2、概率（II）.................................................................................................................54

3、統(tǒng)計（II）.................................................................................................................56

五、附錄

附錄（I）..........................................................59

附錄（II）.....................................................................................................................61

附錄（III）.....................................................................................................................62

六、附錄答案（另附）

2

高三數(shù)學總復習知識點

高一數(shù)學

（一）高一上學期：

1.數(shù)與式的計算

（實數(shù)的概念）

（1）常用的數(shù)集符號：自然數(shù)集：N

整數(shù)：Z

有理數(shù)集：Q

實數(shù)集：R

（2）絕對值：

&當a＞麗；

①同=＜0,當4=麗；

一a,當。＜麗；

②同一網(wǎng)《卜±4《時+設.

③數(shù)軸上兩點A,B的坐標分別為則A,B之間的距離

I蝴=瓦-乙I

例:化簡,一31Tx—2|(1<x<3)

（實數(shù)的運算）

（1）實數(shù)運算的順序：先乘方、開方，然后乘除，再加減，有括號先進行

括號內的運算.

（2）指數(shù)幕的推廣：

①正整數(shù)指數(shù)幕：?:……正=。"（a為正整數(shù)）

n

②分數(shù)指數(shù)幕：

院"==（。*0,n為正整數(shù)）

a

a°=1（ah0）

3

③負整數(shù)指數(shù)幕、零指數(shù)毒:

上("0)

Vm

（3）實數(shù)指數(shù)毒的運算法則:

例：1.—(-5)+(—2)x(—I)"1-(V2-1)°

2.-12_(%_3.14)限仕]+—―

[2)cos60P

（式的計算）

乘法公式:

平方差公式：（。+勿（。-6）=。2

完全平方公式：（4±勿2=。2±2"+02

立方和、差公式：a3±b3=（a±b）（a2+ab+b2）

例：計算（-3a之產(chǎn)

（分式運算與根式化簡）

一、分式.

4

L定義：式轉叫做分式，其中48表示兩個整式，且B中含有字母,

B豐0.

2.分式的基本性質：(1)4=4次之4=生生(其中加工0).

BBxmBB+m

(2)分式的符號法則：分式的分子、分母與分式本身的符號，改變

其中任何兩個，分式的值不變.

個八#/出、一番/1、%八5ga,ba±ba,cad±he

3.分式的運算：(l)加減：①一±-=---;②一±—=------.

ccchdhd

(2)乘除：①@?9=竺；②巴—=處.

bdbdbdbe

⑶乘方:3'=奈

二、二次根式.

I.二次根式的性質：(I)(、/寸=。(?>0)；

(2)4ab-~Ja.&(a>0,￡?>0)

⑶J14(6?>0,/?>0)

(4)77=H=?(a-0)

1―a(a<0)

2.二次根式的運算.

(I)加減運算的實質是合并同類二次根式，其步驟是先化簡，后找“同

類“合并

(2)做乘法時，要靈活運用乘法公式；做除法時，有時要寫為分數(shù)的形

式，然后進行分母有理化.

(3)化簡77時要注意a的正負性，尤其是隱含的正負性.

例：⑴當式子忐三的值為零時，，的值是——

aci~-2aa+1

(2)化簡:

a+la~~4a~+3a+2

5

2.集合

（集合及其表示）

（1）集合的中元素的三個特性：

①元素的確定性

②元素的互異性

③元素的無序性

（2）集合的表示法：列舉法；描述法；維恩圖法.

（3）集合的分類：有限集含有有限個元素的集合

無限集含有無限個元素的集合

空集不含任何元素的集合

例：1.下列四組對象，能構成集合的是（）

A.某班所有高個子的學生B.著名的藝術家C.一切很大的書D.倒數(shù)等于它

自身的實數(shù)

（數(shù)集）

（1）基本數(shù)集：非負整數(shù)集（即自然數(shù)集）記作：N

正整數(shù)集N*或N+整數(shù)集Z有理數(shù)集Q實數(shù)集R

（2）一般數(shù)集：除了基本數(shù)集以外的其他數(shù)集.

例：用e或位填空

1N-9ZV5Q

7

71+42R

（集合之間的關系）

（1）“包含”關系一子集

注意：有兩種可能（1）A是B的一部分，；（2）

A與B是同一集合。

（2）“相等”關系：A=B（525,且5W5,則5=5）

實例：設A={x|x2-l=O}“元素相同貝U

兩集合相等”

即：①任何一個集合是它本身的子集。AoA

②真子集:如果A=B,且AHB那就說藁合A是集合B

的真子集，記作A：B（或B」A）

③如果AcB,BcC,那么AcC

④如果A±B同時BqA那么A=B

（3）不含存何元素的窠合叫做空集，記為0

規(guī)定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真

子集。

?有n個元素的集合，含有2"個子集，2"T個真子集

6

例：1.集合{a,b,c}的真子集共有個

2.若集合M={y|y=x2-2x+l,xeR},N={x|x20},則M與N的關系是.

3.設集合A=kR<x<2/^={x\x<a}，若AqB,則a的取值范圍是

（集合的運算）

運算交集并集補集

類型

定由所有屬于A且屬由所有屬于集合A或設S是一個集合，A是

義S的一個子集，由S中

于B的元素所組成屬于集合B的元素所

所有不屬于A的元素組

的集合，叫做A,B的組成的集合，叫做A,B

成的集合，叫做S中子

交集.記作ACB（讀的并集.記作：AUB集A的補集（或余集）

作'A交B'),即(讀作"并B'),即記作CsA，即

AQB={X|XGA,且AUB={XXGA,或

XGB).XGB}).CsA={x|x€S,KrgA}

韋

恩

圖C?)

示圖1圖2

性A|jA=A

AOA=A(C?A)n(CUB)

AQ①二①AU<t>=A

=Cu(AUB)

ApB=BnAAIJB=BUA

(CA)U(CuB)

Af|B屋AAljBoAU

質AABcBAUB^B=Cu(AflB)

A|J(QA)=U

AQ(C?A)=①.

例：1.已知集合人=收|x2+2x-8=0},B={x|X2-5X+6=0},C={x|x2-mx+m2-19=0},

若BCCWO),ADC=①，求m的值.

7

3.函數(shù)及其性質

(函數(shù)的概念及表示方法)

1.函數(shù)的概念：設A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確

定的對應關系f,使對于集合A中的任意一個數(shù)x,在集合

B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應，那么就稱f：A-B

為從集合A到集合B的一個函數(shù).記作：y=f(x),xWA.其

中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與

x的值相對應的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合

(f(x)|x￡A｝叫做函數(shù)的值域.

(函數(shù)的定義域與值域)

1.定義域：能使函數(shù)式有意義的實數(shù)x的集合稱為函數(shù)的定義域。

求函數(shù)的定義域時列不等式組的主要依據(jù)是：

(1)分式的分母不等于零；

(2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零；

(3)對數(shù)式的真數(shù)必須大于零；

(4)指數(shù)、對數(shù)式的底必須大于零且不等于1.

⑸如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運算結合而成的.

那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集

合

(6)指數(shù)為零底不可以等于零，

(7)實際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實際問題有意義.

?相同函數(shù)的判斷方法:①表達式相同(與表示自變量和

函藪殖白勺字母無關)；②定義域一致(兩點必須同時具

備)

2.值域：先考慮其定義域

(1)觀察法

(2)配方法

(3)代換法

例：求下列函數(shù)的定義域：

(1)尸”上空二!2⑵尸1(士|I

|x+3|-3Vx+1

8

(函數(shù)的基本性質)

1.函數(shù)的單調性(局部性質)

(1)增函數(shù)

設函數(shù)y=f(x)的定義域為I,如果對于定義域I內的某

個區(qū)間D內的任意兩個自變量x?X2,當xKx?時,都有

f(x.)<f(x2),那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù).區(qū)間D

稱為y=f(x)的單調增區(qū)間.

如果對于區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x?xz,當xXx2

時，都有f(x)>f(xz),那么就說/169在這個區(qū)間上是減

函數(shù).區(qū)間2稱為y=f(x)的單調減區(qū)間.

注意：函藪的單調性是函數(shù)的局部性質；

(2)圖象的特點

如果函數(shù)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么說

函數(shù)產(chǎn)在這一區(qū)間上具有(嚴格的)單調性，在單調區(qū)

間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的，減函數(shù)的圖象從左

到右是下降的.

(3).函數(shù)單調區(qū)間與單調性的判定方法

(A)定義法：

①任取X”X2^D,且X〈X2；

②作差f(x)—f(xj；

(3)變形(通常是因式分解和配方)；

④定號(即判斷差f(x)—f(xj的正負)；

⑤下結論(指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調性).

(B)圖象法(從圖象上看升降)

(C)復合函數(shù)的單調性

復合函數(shù)/IgG刀的單調性與構成它的函數(shù)u=g(x),

y=f包的單調性密切相關，其規(guī)律：“同增異減”

注意：函數(shù)的單調區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間，不能

把單調性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集.

8.函數(shù)的奇偶性(整體性質)

(1)偶函數(shù)

一般地,對于函數(shù)f(x)的定義域內的任意一個X,都有f(-

x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函數(shù).

(2).奇函數(shù)

一般地,對于函數(shù)f(x)的定義域內的任意一個X,都有f(-

x)=-f(x),那么f(x)就叫做奇函數(shù).

(3)具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征

偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱；奇函數(shù)的圖象關于原點對稱.

利用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟：

①首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其是否關于原點對

稱;

9

②確定f(一X)與f(x)的關系;

③作出相應結論：若f(—x)=f(x)或f(―X)—f(X)

=0,則f(x)是偶函數(shù)；若f(―x)=-f(x)或f(―x)+

f(X)=0,則f(x)是奇函數(shù).

例：判斷函數(shù)丫=-丁+1的單調性并證明你的結論.

另附：函數(shù)最大(小)值(定義見課本p36頁)

①利用二次函數(shù)的性質(配方法)求函數(shù)的最大(小)值

②利用圖象求函數(shù)的最大(小)值

③利用函數(shù)單調性的判斷函數(shù)的最大(小)值：

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a,b］上單調遞增，在區(qū)間［b,c］上單調遞

減則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最大值f(b)；

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a,b］上單調遞減，在區(qū)間［b,c］上單調遞

增則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最小值f(b)；

4.幾個基本初等函數(shù)

(鬲函數(shù))

1、累函數(shù)定義：一般地，形如丁=/他6/?)的函數(shù)稱

為累函數(shù)，其中a為常數(shù).

2、基函數(shù)性質歸納.

(1)所有的幕函數(shù)在(0,+8)都有定義并且圖象都過點

(1,1)；

(2)a>0時，基函數(shù)的圖象通過原點，并且在區(qū)間［0,+8)

上是增函數(shù).特別地，當a>l時，基函數(shù)的圖象下凸；當

0<a<l時，毒函數(shù)的圖象上凸；

(3)a<0時，基函數(shù)的圖象在區(qū)間(0,+8)上是減函數(shù).在

第一象限內，當x從右邊趨向原點時，圖象在y軸右方無限

地逼近y軸正半軸，當尤趨于+8時，圖象在x軸上方無限

地逼近x軸正半軸.

例：求下列函數(shù)的定義域和值域.

2_3

(1)y=x^(2)y=x^

10

(指數(shù)函數(shù)及其圖象)

1、指數(shù)函數(shù)的概念:一般地，函數(shù)y=優(yōu)(a>0,且"1)

叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域為

R.

注意：指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍，底數(shù)不能是負

數(shù)、零和1.

2、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質

a>l0<a<l

1

11(1

定義域R定義域R

值域y>0值域y>0

在R上單調在R上單調

遞增遞減

非奇非偶函非奇非偶函

數(shù)數(shù)

函數(shù)圖象都函數(shù)圖象都

過定點(0,1)過定點(0,1)

注意：利用函數(shù)的單調性，結合圖象還可以看出：

(1)在［a,b］上，f(x)=a*(a>0且awl)值域是

［f(a),f(b)］或［f(b),f(a)］；

(2)若XHO,則f(x)71；f(x)取遍所有正數(shù)當且

僅當xeR;

(3)對于指數(shù)函數(shù)f(x)=a，(a>0且a/1),總有

f(D=a；

(對數(shù)函數(shù))

1.對數(shù)的概念：一般地，如果優(yōu)=N(a>0,ahl),那么

數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作：x=log“N(a—底數(shù),

N—真數(shù)，log“N一對數(shù)式)

說明：①注意底數(shù)的限制。>0,且

②a'=N0log“N=x；........""

log.N

11

（3）注意對數(shù)的書寫格式.

兩個重要對數(shù)：

①常用對數(shù)：以10為底的對數(shù)IgN；

②自然對數(shù)：以無理數(shù)e=2.71828…為底的對數(shù)的對數(shù)

InN.

?指數(shù)式與對數(shù)式的互化

基值真數(shù)

t=NolofgN=b

底數(shù)

指數(shù)對數(shù)

（-）對數(shù)的運算性質

如果a>0,且awl,M>0,N>0,那么：

①log（;（A/?N）=log“M+log?N；

②log?=logaM-log?N；

③logoM"=nlog,,M（/?￡/?）.

注意：換底公式

log“b=log?！梗╝>0,且axl；c>0,且cxl；b>0）.

log,a

利用換底公式推導下面的結論

?1

（1）log嚴夕=一log/；（2）log?b=-------.

mlog,,a

（二）對數(shù)函數(shù)

1、對數(shù)函數(shù)的概念：函數(shù)y=log?x（a>0,且awl）叫做對

數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是（0,+8）.

注意:①對數(shù)函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)類似，都是形式定

義，注意辨別。如：y=21og2x,y=iOg5—都不是對數(shù)函

數(shù)，而只能稱其為對數(shù)型函數(shù).

②對數(shù)函數(shù)對底數(shù)的限制：（?>0,且awl）.

2、對數(shù)函數(shù)的性質:

12

a>l0<a<l

J1

?

J

;...0],T01

|/

1

]/書

定義域x>0定義域x>0

值域為R值域為R

在R上遞增在R上遞減

函數(shù)圖象都過函數(shù)圖象都過定點

定點(1,0)(1,0)

例：1.函數(shù)y=logi(2x?-3x+l)的遞減區(qū)間為

2

2.若函數(shù)/(x)=log.x(0<a<l)在區(qū)間2a］上的最大值是最小值的3倍，則a=

3.已知/“)=］阻蟲(”>0且。川(1)求/⑴的定義域⑵求使/⑺>。的x的取值

“］一1

范圍

5,三角函數(shù)

(注：本章以公式為主?。。?！)

sin(a+2%))=sina

cos(a+22乃)=coscir

tan^z+2k兀)=tana(其中ZeZ)

sin(18(P+cr)=-sinasinQr+a)=-sina

cos(l8(P+a)=-cos<zcos(乃+a)=-coscr

sin(-a)=-sina

cos(-a)=cos。

sin(l8(P-a)=sinasin(7一a)=sine

cos(l8(P—a)=-cosacos(?—a)=-cosa

sin(36(F-a)=-sinasin(2"-a)=-sina

cos(36(P一a)=cosacos(21一a)=cosa

sin(90°-a)=cosa,cos(90°-a)=sina.

sin(90°+a)=cosa,cos(90°+a)=-sina.

sin(270°-a)=-cosa,cos(270°-a)=-sina.

sin(270°+a)=-cosa,cos(270°+a)=sina.

13

(二)高一下學期：

1.解析幾何(I)

(平面直線)

(1).數(shù)軸上兩點間的距離公式：|AB|=|X1-X2|.

(2).x軸上兩點間的距離公式：|AB|=|X2-X1|,其中

A(X1,O),B(X2,0).

(3).與x軸平行的直線上兩點的距離：|AB|=|X1-X2|,其中

A(Xl,y),B(X2,y).

(4).y軸上兩點間的距離公式：|AB1=ly2-yl|,其中

A(0,yl),B(0,y2).

(5).與y軸平行的直線上兩點的距離：|AB|=|yl-y2|,其中

A(x,yl),B(x,y2).

22

(6).任意兩點間的距離公式：|AB|=7(x,-x2)+G,-y2),其中

A(Xl,yl),B(X2,y2).

例：1.求下列各組兩點之間的距離

(1)A(-3,9),B(-3,4)

(2)A(4,7),B(1O,7)

(3)A(3,-2),B(4,5)

2.已知A(3,x),B(3,9),|AB|=8,求x的值.

(7).直線與x軸平行時，傾斜角規(guī)定為0.

(8).直線的傾斜角的范圍時0WaV開.

(9).直線的斜率：直線的傾斜角aa的正切tan是直線的斜率,

通常用k表

示即k=tana(aW工).

2

(10).任何一條直線都有傾斜角，但不是所有的直線都有斜率.

14

(11).除了a=2(l_Lx軸)外，角與其正切tan是一一對應的，也可用tan表

2

示/的傾斜程度.

(12).傾斜角與斜率之間的關系為：

①當a=0,即直線1平行于x軸時，k=0.

②當0<u<2，即直線1的傾斜角為銳角時，k>0.

2

③當衛(wèi)VaV乃，即直線1的傾斜角為鈍角時，k<0.

2

④當a=工，即直線1平行于y軸時，k不存在，反之亦然.

2

(13).斜率公式：平面上的過兩點A(率,yl),B(x2,y2)(xlWx2)的直線

/的斜率

為k=v2-vl(xl^x2)

x2-xl

當xl=x2時，直線/垂直于x軸，/的斜率不存在.

例：1.若三點人(皿)，13(-2,3),(：(3,-2)在同一條直線上，求m的值.

2.求經(jīng)過A(-2,0),B(-5,3)兩點的直線斜率、傾斜角.

(平面直線的方程)

(D.點斜式方程

直線1的斜率為k,過已知點A(X0,y0)

設p(x,y)為直線/上任意異于A的一點，已知k得

K=Z

x-K)

即y-yO=k(x-xO)

(2).斜截式方程

在點斜式方程中，如果點A在y軸上，坐標A(0,6),此時直線的點斜式方

程可

化為y=kx+b(b是直線在y軸上的截距)

15

(3).直線方程的一般式

形如Ax+By+C=O(A,B不同時為0)的方程叫做直線的一般式方程.

由Ax+By+C=0(BW0),可求得直線的斜率k=--,截距b=--

BB

注：二元一次方程都是直線的方程，直線方程都是二元一次方程.

例：1.求過M(4,-2),且滿足下列條件的直線方程

①斜率k為-3

②且過N(3,T)

③平行于x軸

④平行于y軸

2.求直線3x-y-9=O在x軸、y軸上的截距以及與坐標軸圍成的三

角形的面積.

3.直線/過點A(-2,3)且與兩坐標軸圍成的三角形的面積為4,求直線/

的方程.

(直線間的位置關系)

(1).兩條直線平行

/l『2okl=k2,(kl,k2都存在)

(2).兩條直線垂直

Z11/2<?kl=-—,即kl-k2=-l

k2

(3).求相交直線的交點

ll:Alx+B\y+Cl=Q,l2:A2x+B2y+C2=0

16

'41x+Bly+Cl=0

,(方程組的解就是兩直線的交點)

'A2x+B2y+C2=0^

(4).點到直線的距離

設點M(xO,yO)為直線/:4彳+為+。=0外一點，過M向AB引垂線，垂足為

D,把線段MD的長d叫點M到直線AB的距離.

改寫/的方程為y=-&-C,以x=xO代入，得：

BB

,A八C

yl=--xO-----

BB

即隆陽」丁Q+。

(5).兩條平行直線間的距離

/l:Alx+81y+Cl=0,/2:A2x+82y+C2=0

即八拼磊(/1|/2)

例：1.已知直線/l:ax+3y+l>0與直線/2:2x+(a+l)y+l=0平行，求”的值.

2.已知AABC中,A(2,-1),B(4,3),C(3,-2)

求①BC邊上的高所在的直線.

②過C與AB平行的直線方程.

3.求/l:2x+3y+6=0和22:過點(7,-2),(5,2)的交點坐標.

17

4.求點p(4,0)關于直線5x+4y+21=0的對稱點p'的坐標.

2.三角函數(shù)(II)

（兩角和與差的三角公式）

正弦：sin（a±/?）=sinacos尸土cosasin/?

余弦：cos（6z±/?）=cosacos^+sinasinf3

正切：tan@+0=tano+tag

l-tan6z?tany?

/八、tana-tan/?

tan@-/?）=----------------

l+tana?tany9

例：1.求證：cos（30'+a）+cos（30'一a）=gcoscr

2.已矢口，sina=—,a￡（一,4），求cos（一+a）?

18

3.已知(“<T，O”<jcos4+a)=—|,simt+0=5

求sin(2+尸)的值.

23

3.已知sina=§,cosa=-：，且a,夕都是第二項限角

求tan@-/?);tan@+/?)

(倍角公式)

.,sin2aJ

正弦：sin2<z=2sinacosacosa=--------sinez?cosa=-sin2a

2sina2

余弦：cos2<z=cos2cr-sin2a=2co^a-l=l-2sin2a

2tana

丁1tana=-------z-冗冗

正切：l-tan2a(2aw——hbz且aw——I■攵萬，kez)

22

注把asia-fiftcaz化為一個角的一種三角函數(shù)為

asina+Z?cosa=J/+/sin(a+。),其中cos(p=—P,sin(p=,

yla2+b2yja2+b2

TTS

例：1.已知s已(x——)=-----，求sin2x的值.

413

19

2cosl￡-sin2￡

2.求的值.

cos200

3.已知sin(?-x)=K，0<x<7，求cos2x的值.

（正弦定理）

定義：三角形內角的正弦與對邊的對應比相等.

公式：三=3=—J=2R（R表示三角形外接圓的圓心）

sinAsinBsinC

公式的適用范圍：①已知兩夾角一邊②已知兩邊一對角（可能有兩個

解）③已知兩角一對邊

（余弦定理）

定義：三角形任一內角的對邊的平方，等于鄰邊平方和減去鄰邊同這個

內角余弦乘

積的二倍.

序22

公式：標COSA=--------------—

2bc

,7??八c-b~

b=a-\-c-cosB<=>cosB=--------------

2ac

20

a1+h2-c2

,2=a2+b2-2oZ??cosCcosC=

lab

公式的適用范圍：①已知三邊②已知兩邊夾一角

(三角形的面積公式)

S三角形=^ab?sinC=ac?sinB=^bc?sinA

例：1.已知在"BC中，ZA=45\AB=y[6,BC=2,

解此三角形.

2.在AABC中，已知a=J5,"=四,3=45°,

求A,C和c.

3.圓

(圓的標準方程)

以c(a,b)為圓心，半徑為r,|pc|=r時，點p(x,y)在圓上，則

(x-a)2+(y-b)2=r2.

注：當圓心為原點。(0,0)時，x2+/=^2

(xO,yO)在圓上是切點，則切點已知的且現(xiàn)方程為

xOx+yOy=r2

例：1.求過點A(2,-3),B(-2,-5),且圓心在直線

x-2y-3=0上的直線方程.

21

(直線與圓的位置關系)

(1).直線與圓的位置關系的判定：

位置關系示意圖像代數(shù)方法幾何方法

方程組方程組

(1)(2)

d<r

相交二解A>0

相切一解d-r

A=0

相離無解A<0d>r

^_\Ax+By+C\

點(x,y)為圓心

^A2+B2

弦長問題：(用了=戶一解

補充：特殊位置的圓的方程

與x軸相切(X—a)2+(b—a)2=b2(b^0)

與y軸相切(x-a)?+(y-b)2二/s二。)

圓上的點到直線的最短距離：d-r

圓上的點到直線的最長距離：d+r

(d為點到直線的距離)

例：1.已知直線/:人一丁+6=0被f+y?=25

截得的弦長為8,求人的值.

(圓與圓的位置關系)

①外離：d>rl+r2(力、「2為兩圓的半徑)

②外切：d=r\+r2

(3)/日交：r2-r\<d<r2+rl

22

④內切：d=r2-ri

⑤內含：d<r2-r\

判斷兩個圓的位置關系

求出圓心距：d=^xl-x2)2+(y\-y2)2,再根據(jù)概念，判斷.

例：1.已知圓C1：%2+y2+2x+8y-8=0,圓

2

C2-+y—4x—4_y—2=0>判斷兩圓的位置關系.

(圓的一般方程)

(1).公式：x2+y2+Dx+Ey+F^O,圓心為(―§,—g)

半徑為,=包三士空

2

例：1.圓/+,2-2%+4丁+2=0的圓心坐標和半徑

分別為__________________

4.平面向量

1.向量的概念

(1)向量的基本要素：大小和方向.

(2)向量的表示：幾何表示法AB,a；坐標表示法M=xi+W=(x,y).

(3)向量的長度：即向量的大小，記作|。|=々77.

(4)特殊的向量：零向量2=0oIaI=0.單位向量瓦為單位向量oI

?0I=1.

注意區(qū)別零向量和零

(5)相等的向量：大小相等，方向相

23

r=i__$=/

同.“=。o(M，y)=。2，%)

[y=為

（6）平行向量（共線向量）：方向相同或相反的向量,稱為平行向量.記作M〃B.

由于向量可以進行任意的平移（即自由向量），平行向量總可以平移到同一直線

上，故平行向量也稱為共線向量.

cos&=-二叱丁

（7）向量的夾角

⑷?網(wǎng)收+靖春+只

夾角的范圍是：0°<5<180°

（8）GZ的幾何意義：<1>云石等于a的長度與b在。方向上的投影的乘積

<2>在°上的投影為Z,cose=W=單里以

⑼平移：點P（x,y）按a=（4,k）平移得到P（x+h,y+k）；

函數(shù)y=/(x)按a=(〃,k)平移得到y(tǒng)-k-f(x-h)。

4.向量的運算：向量的加減法，數(shù)與向量的乘積，向量的數(shù)量積（內積）及其

各運算的坐標表示和性質見下表：

運算類

幾何方法坐標方法運算性質

型

1.平行四邊形法則

（共起點構造平行四邊a+h=a+b=b+a

向量

形）（用+元2，%+為）(a+〃)+c=a+(b+c)

加法

2.三角（多邊）形法則AB+BC=AC

（向量首尾相連）

a-h=ci-b=a+(—b)

向量三角形法則

(Xj-X2,yt-y2)AB=-BA

減法（共起點向被減）

OB—OA=AB

24

1.法是一個向量,滿足：

數(shù)乘2.4>0時,法與之同向；(2+〃)Q=Mi+

Xa-{Ax.Ay)

向量幾〈0時，擊與2異向；4(。+8)=2。+助

a//ha=Ab(b0)

4=0時，蒼=0.

ab=b-a

5名是一個實數(shù)

(法)3=5?(戒=4(2歷

I.M=0或B=0或五，B

(a+h)c=a-c+b-c

向量的a-b=

時，ab=O

222

數(shù)量積a=\a\,|a|=Jx+/

2.170且37。時，

\a-b\^a\\b\

a-b=\a\\b\cos<5,5>

|為一|=?五一切尸+01-h)2

5.重要定理、公式：

(1)平面向量基本定理

①耳，瓦是同一平面內兩個不共線的向量，那么，對于這個平面內任一向量，有

且僅有一對實數(shù)4,%，使G=%?+%&?

②對于基底不,當，有+4