新教材同步備課2024春高中數(shù)學第8章立體幾何初步8.3簡單幾何體的表面積與體積8.3.2第2課時球的表面積和體積課件新人教A版必修第二冊

第八章立體幾何初步8.3簡單幾何體的表面積與體積8.3.2圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積第2課時球的表面積和體積學習任務(wù)1．了解并掌握球的體積和表面積公式．(數(shù)學抽象)2．會用球的體積與表面積公式解決實際問題．(數(shù)學運算)3．會解決球的切、接問題．(直觀想象、數(shù)學運算)必備知識·情境導學探新知012022年2月6日，在2022年印度女足亞洲杯決賽中，中國女足在0比2落后的情況下逆轉(zhuǎn)，以3比2力克韓國隊奪冠，時隔16年重登亞洲之巔．問題：你知道2022女足亞洲杯決賽中所使用的足球的表面積和體積嗎？知識點球的表面積和體積1．球的表面積設(shè)球的半徑為R，則球的表面積S＝______，即球的表面積等于它的大圓面積的_倍．2．球的體積設(shè)球的半徑為R，則球的體積V＝_____．4πR24

1．表面積為4π的球的半徑是______．1

[設(shè)球的半徑為R，則S＝4πR2＝4π，得R＝1．]2．若一個球的體積為36π，則它的表面積為______．136π

關(guān)鍵能力·合作探究釋疑難02類型1球的表面積與體積類型2球的截面問題類型3與球有關(guān)的切、接問題

√

√(2)已知半徑為5的球的兩個平行截面圓的周長分別為6π和8π，則這兩個截面間的距離為______．

1或7反思領(lǐng)悟

球的截面問題的解題技巧(1)有關(guān)球的截面問題，常畫出過球心的截面圓，將問題轉(zhuǎn)化為平面中圓的問題．(2)解題時要注意借助球半徑R、截面圓半徑r、球心到截面的距離d構(gòu)成的直角三角形，即R2＝d

2＋r2．[跟進訓練]2．已知OA為球O的半徑，過OA的中點M且垂直于OA的平面截球面得到圓M．

若圓M的面積為3π，則球O的表面積等于______．

]16π類型3與球有關(guān)的切、接問題【例3】有三個球，第一個球內(nèi)切于正方體的六個面，第二個球與這個正方體的各條棱相切，第三個球過這個正方體的各個頂點，求這三個球的表面積之比．

[解]

設(shè)正方體的棱長為a，設(shè)三個球的半徑分別為r1，r2，r3．(1)正方體的內(nèi)切球球心是正方體的中心，切點是六個面(正方形)的中心，經(jīng)過在一個平面上的四個切點及球心作截面，如圖①所示．

反思領(lǐng)悟

處理與球有關(guān)的相接、相切問題時，關(guān)鍵是根據(jù)“接點”和“切點”作一適當?shù)慕孛?，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題．(1)球內(nèi)切于正方體，切點為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑．(2)球外接于正方體，正方體的頂點均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑．

√

學習效果·課堂評估夯基礎(chǔ)031234

√

1234√

1234√1234

4．將兩個半徑為1的小鐵球熔化后鑄成一個大球，則這個大球的半徑R為______．1234

回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：1．球的表面積和體積公式是什么？

2．解決球的截面問題的關(guān)鍵是什么？[提示]

解決球的截面問題的關(guān)鍵是建立球半徑R、截面圓半徑r、球心到截面的距離d

三者之間的方程．3．若長方體的長、寬、高分別為a，b，c，則其外接球半徑R與三條棱長有何關(guān)系？

4．棱長為a的正方體的外接球，其半徑R與棱長a有何數(shù)量關(guān)系？其內(nèi)切球半徑R′與棱長a呢？

5．若一球與正方體的12條棱相切，則球半徑R與棱長a有何數(shù)量關(guān)系？

閱讀材料·拓展數(shù)學大視野04

不過，我國魏晉時期的數(shù)學家劉徽在給《九章算術(shù)》作注時就發(fā)現(xiàn)，上述公式的近似效果并不好，于是想到了推算球體積的方法，他創(chuàng)造了一個稱為“牟合方蓋”的立體圖形．如圖①所示，在一個立方體內(nèi)作兩個互相垂直的內(nèi)切圓柱，其相交的部分，就是牟合方蓋，如圖②所示．

劉徽所盼的“能言者”過了兩百多年才出現(xiàn)，那就是祖沖之和他的兒子祖暅．祖氏父子繼承了劉徽的思路，即從計算牟合方蓋體積來突破．他們考慮了立方體切除牟合方蓋之后的那部分的體積，取牟合方蓋的八分之一，考慮它與其外切正方體所圍成的立體，如圖③甲所示．將它分成四個小立體，如圖③乙、③丙、③丁、③