第01講 勾股定理（知識(shí)解讀+達(dá)標(biāo)檢測(cè)）（解析版）-A4

第頁(yè)第01講勾股定理【題型1：已知直角三角形的兩邊，求第三邊長(zhǎng)】【題型2：求直接三角形周長(zhǎng)，面積、斜邊上的高等問(wèn)題】【題型3：等面積法求直接斜邊上的高問(wèn)題】【題型4：作無(wú)理數(shù)的線段】【題型5：勾股定理的證明】考點(diǎn)1：勾股定理直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方如圖：直角三角形ABC的兩直角邊長(zhǎng)分別為，斜邊長(zhǎng)為，那么.注意：（1）勾股定理揭示了一個(gè)直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系.利用勾股定理，當(dāng)設(shè)定一條直角邊長(zhǎng)為未知數(shù)后，根據(jù)題目已知的線段長(zhǎng)可以建立方程求解，這樣就將數(shù)與形有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，達(dá)到了解決問(wèn)題的目的.理解勾股定理的一些變式：，，.運(yùn)用：1.已知直角三角形的任意兩條邊長(zhǎng)，求第三邊；2.用于解決帶有平方關(guān)系的證明問(wèn)題；3.利用勾股定理，作出長(zhǎng)為的線段【題型1：一直直角三角形的兩邊，求第三邊長(zhǎng)】【典例1】直角三角形兩條直角邊分別為4和6，則斜邊長(zhǎng)為（）A．6 B． C．10 D．6或【答案】B【解答】解：∵兩條直角邊的長(zhǎng)分別為4和6，∴斜邊＝＝2．故選：B．【變式1-1】直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c，若a＝5，c＝13，則b的值為（）A．4 B．8 C．12 D．144【答案】C【解答】解：由勾股定理得：b＝＝＝12故選：C．【變式1-2】如圖Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝2，則AB的長(zhǎng)是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝2，則由勾股定理知：AB＝＝＝．故選：A．【變式1-3】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝5，則AC的長(zhǎng)為（）A．8 B．或12 C． D．12【答案】D【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，∴AC＝＝＝12．故選：D．【題型2：求直接三角形周長(zhǎng)，面積、斜邊上的高等問(wèn)題】【典例2】已知在△ABC中，AB＝7，AC＝8，BC＝5，則△ABC的面積為（）A．17.5 B．20 C． D．28【答案】C【解答】解；如圖，過(guò)A作AD⊥BC，垂足為D．設(shè)BD＝x，則CD＝5﹣x，∵在Rt△ABD和Rt△ACD中，AD2＝AB2+BD2＝AC2+CD2，∴82﹣x2＝72﹣（5﹣x）2，∴x＝4，∴AD＝＝＝4．∴S△ABC＝BC?AD＝×5×4＝10．故選：C．【變式2-1】如圖，∠B＝∠ACD＝90°，AD＝13，CD＝12，BC＝3，則AB的長(zhǎng)為（）A．4 B．5 C．8 D．10【答案】A【解答】解：∵∠ACD＝90°，AD＝13，CD＝12，∴AC＝＝＝5，∵∠B＝90°，BC＝3，∴AB＝＝＝4，故選：A．【變式2-2】如圖，直角三角形的三邊上分別有一個(gè)正方形，其中兩個(gè)正方形的面積分別是25和169，則字母B所代表的正方形的面積是（）A．144 B．194 C．12 D．13【答案】A【解答】解：由勾股定理得：字母B所代表的正方形的面積＝169﹣25＝144．故選：A．【變式2-3】已知直角三角形的周長(zhǎng)為24，斜邊長(zhǎng)為10，則三角形的面積為（）A．12 B．24 C．36 D．48【答案】B【解答】解：設(shè)直角三角形兩直角邊長(zhǎng)為a，b，∵該直角三角形的周長(zhǎng)為24，其斜邊長(zhǎng)為10，∴24﹣（a+b）＝10，即a+b＝14，由勾股定理得：a2+b2＝102＝100，∵（a+b）2＝142，∴a2+b2+2ab＝196，即100+2ab＝196，∴ab＝48，∴直角三角形的面積＝ab＝24，故選：B．【題型3：等面積法求直接斜邊上的高問(wèn)題】【典例3】如圖所示，在Rt△ABC中，AB＝8，AC＝6，∠CAB＝90°，AD⊥BC，那么AD的長(zhǎng)為（）A．1 B．2 C．3 D．4.8【答案】D【解答】解：如右圖所示，在Rt△ABC中，AB＝8，AC＝6，∠CAB＝90°，∴BC＝＝＝10，又∵S△ABC＝AC?AB＝BC?AD，∴6×8＝10AD，∴AD＝4.8．故選：D．【變式3-1】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，則點(diǎn)C到AB的距離是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：設(shè)點(diǎn)C到AB的距離為h，在Rt△ABC中，∠C＝90°，則有AC2+BC2＝AB2，∵AC＝9，BC＝12，∴AB＝＝15，∵S△ABC＝AC?BC＝AB?h，∴h＝＝．故選：A．【變式3-2】如圖，在網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1．點(diǎn)A、B，C都在格點(diǎn)上，若BD是△ABC的高，則BD的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：由勾股定理得：AC＝＝2，∵S△ABC＝3×4﹣×1×2﹣×3×2﹣×2×4＝4，∴AC?BD＝4，∴2BD＝4，∴BD＝，故選：C．【變式3-3】如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，則AC邊上的高BD的長(zhǎng)為（）A．4 B．4.4 C．4.8 D．5【答案】C【解答】解：過(guò)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形，∵AE⊥BC，∴EB＝EC＝CB＝3，在Rt△ABE中，AE＝＝＝4，∴△ABC的面積為?BC?AE＝×6×4＝12，∴?AC?BD＝12，5×BD＝12，解得BD＝．故選：C．【題型4：作無(wú)理數(shù)的線段】【典例4】邊長(zhǎng)為1的正方形OABC在數(shù)軸上的位置如圖所示，點(diǎn)B表示的數(shù)是（）A．1 B． C． D．【答案】B【解答】解：∵正方形OABC的邊長(zhǎng)為1，∴在等腰直角三角形AOB中，OB＝＝．故選：B．【變式4-1】如圖，數(shù)軸上的點(diǎn)A所表示的數(shù)為x，則點(diǎn)A坐標(biāo)為﹣+1．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：如圖，∵OB＝OC＝1，∴BC＝＝，∴AC＝BC＝，OA＝﹣1，∴點(diǎn)A表示的數(shù)為﹣+1，故答案為﹣+1．【變式4-2】（1）如圖4×4的方格，每個(gè)小格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，若每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)為1單位，請(qǐng)?jiān)诜礁裰凶饕粋€(gè)正方形，同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件：①所作的正方形的頂點(diǎn)，必須在方格上；②所作正方形的面積為8個(gè)平方單位（2）在數(shù)軸上表示實(shí)數(shù)（保留作圖痕跡）【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）如圖，四邊形ABCD即為所求的正方形；（2）以A為圓心、AB為半徑做弧交數(shù)軸于點(diǎn)E，點(diǎn)E即為所求．考點(diǎn)2：勾股定理的證明方法一：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形.圖（1）中，所以.方法二：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形.圖（2）中，所以.方法三：如圖（3）所示，將兩個(gè)直角三角形拼成直角梯形.，所以.【題型5：勾股定理的證明】【典例5】如圖，直角三角形ACB，直角頂點(diǎn)C在直線l上，分別過(guò)點(diǎn)A、B作直線l的垂線，垂足分別為點(diǎn)D和點(diǎn)E．（1）求證：∠DAC＝∠BCE；（2）如果AC＝BC．①求證：CD＝BE；②若設(shè)△ADC的三邊分別為a、b、c，試用此圖證明勾股定理．【答案】（1）證明過(guò)程見(jiàn)解答；（2）①證明過(guò)程見(jiàn)解答；②證明過(guò)程見(jiàn)解答．【解答】證明：（1）∵∠ACB＝90°，AD⊥DE于點(diǎn)D，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∠ADC+∠BCE＝90°，∴∠DAC＝∠BCE；（2）①∵AD⊥DE于點(diǎn)D，BE⊥DE于點(diǎn)E，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，由（1）知：∠DAC＝∠BCE，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴CD＝BE；②由圖可知：S梯形ADEB＝S△ADC+S△ACB+S△CEB，∴＝，化簡(jiǎn)，得：a2+b2＝c2．【變式5-1】（1）為了證明勾股定理，李明將兩個(gè)全等的直角三角形按如圖1所示擺放，使點(diǎn)A、E、D在同一條直線上，如圖1，請(qǐng)利用此圖證明勾股定理；（2）如圖2，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒4cm的速度沿折線A﹣C﹣B運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0），若點(diǎn)P在∠BAC的平分線上，求此時(shí)t的值．【答案】（1）a2+b2＝c2；（2）t＝．【解答】解：（1）S梯形ADCB＝S△AEB+S△BEC+S△EDC，＝++，a2+2ab+b2＝c2+2ab，a2+b2＝c2；（2）過(guò)A作∠BAC的角平分線交BC于點(diǎn)P，過(guò)P作PD⊥AB交AB于點(diǎn)D，∵∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，∴AC2＝AB2﹣BC2，∴AC＝8cm，∵AP平分∠BAC，PC⊥AC，PD⊥AB，∴PC＝PD，∵S△ACP+S△ABP＝S△ABC，AC?CP+AB?PD＝AC?BC，×8×CP+×10×CP＝×8×6，∴CP＝，∴P點(diǎn)走過(guò)的路徑為AC+CP＝8+＝，∴t＝÷4＝．【變式5-2】我國(guó)三國(guó)時(shí)期數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)造了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”，如圖是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形．若大正方形的面積為25，每個(gè)直角三角形兩直角邊的和為7，求中間小正方形的邊長(zhǎng)．【答案】1．【解答】解：設(shè)直角三角形的兩直角邊中較長(zhǎng)邊為a，較短邊為b，∴大正方形的邊長(zhǎng)為，面積為a2+b2，由題意得：，∴2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）＝49﹣25＝24，∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝25﹣24＝1，∴a﹣b＝1，∴小正方形的邊長(zhǎng)為：4﹣3＝1．【變式5-3】如圖1，將長(zhǎng)為2a+3，寬為3a﹣2的長(zhǎng)方形ABCD分割成四個(gè)全等的直角三角形，拼成“趙爽弦圖”（如圖2），得到大小兩個(gè)正方形．（1）求圖2中小正方形MNPQ的邊長(zhǎng)（用含a的代數(shù)式表示）；（2）當(dāng)a＝3時(shí)，請(qǐng)直接寫出小正方形MNPQ的面積．【答案】（1）+4；（2）．【解答】解：（1）∵直角三角形的較長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)2a+3，較短直角邊長(zhǎng)（3a﹣2），∴小正方形MNPQ的邊長(zhǎng)＝2a+3﹣（3a﹣2）＝+4；（2）∵當(dāng)a＝3時(shí)，+4＝，∴小正方形MNPQ的面積是×＝．一．選擇題（共10小題）1．（2023秋?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)期末）圖中的四邊形均為正方形，三角形為直角三角形，最大的正方形的邊長(zhǎng)為7cm，則圖中A、B兩個(gè)正方形的面積之和為（）A．28cm2 B．42cm2 C．49cm2 D．63cm2【答案】C【解答】解：由圖形可知2個(gè)小正方形的面積和等于最大正方形的面積，故正方形A，B的面積之和＝49cm2．故選：C．2．（2023秋?綏化期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝12，b＝16，則c的長(zhǎng)為（）A．26 B．18 C．20 D．21【答案】C【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝12，b＝16，∴c＝＝＝20．故選：C．3．（2023秋?榆樹(shù)市期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D在邊BC上，AD＝BD，DE平分∠ADB交AB于點(diǎn)E．若AC＝12，BC＝16，則AE的長(zhǎng)為（）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】C【解答】解：如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝16，由勾股定理知：AB＝＝＝20．∵AD＝BD，DE平分∠ADB交AB于點(diǎn)E．∴AE＝BE＝AB＝10．故選：C．4．（2023秋?泉山區(qū)校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，AD平分∠BAC，則AD的長(zhǎng)為（）A．5 B．10 C．12 D．13【答案】C【解答】解：∵AB＝AC＝13，BC＝10，AD⊥BC于點(diǎn)D，∴BD＝BC＝5，∴AD＝，故選：C．5．（2022秋?盧龍縣期末）如圖，長(zhǎng)方形OABC的OA長(zhǎng)為2，AB長(zhǎng)為1，OA在數(shù)軸上，點(diǎn)O與原點(diǎn)重合，以原點(diǎn)為圓心，對(duì)角線OB的長(zhǎng)為半徑畫弧，交負(fù)半軸于一點(diǎn)，則這個(gè)點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)是（）A．2.5 B．﹣2 C． D．﹣【答案】D【解答】解：在Rt△OAB中，OB＝＝＝，則這個(gè)點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)為﹣，故選：D．6．（2023秋?廣饒縣期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，則Rt△ABC的斜邊AB上的高CD的長(zhǎng)是（）A． B． C．9 D．6【答案】B【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，由勾股定理得，AB＝＝＝10，△ABC的面積＝×BC×AC＝×AB×CD，即＝×6×8＝×10×CD，解得，CD＝，故選：B．7．（2022秋?雙流區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝16cm，以點(diǎn)A為圓心，AC長(zhǎng)為半徑畫弧，交線段AB于點(diǎn)D；以點(diǎn)B為圓心，BD長(zhǎng)為半徑畫弧，交線段BC于點(diǎn)E．若BD＝CE，則AC的長(zhǎng)為（）A．12cm B．13cm C．14cm D．15cm【答案】A【解答】解：設(shè)AC＝AD＝xcm，∵BD＝CE，BD＝BE，∴，在△ABC中，∠ACB＝90°，∴△ABC為直角三角形，在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+162＝（x+8）2，解得：x＝12，即AC＝12cm，故選：A．8．（2022秋?高青縣期末）如圖，已知網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑畫弧交網(wǎng)格線于點(diǎn)D，則ED的長(zhǎng)為（）A． B．3 C．2 D．【答案】A【解答】解：如圖，連接AD，則AD＝AB＝3，AE＝2，在Rt△AED中，AE2+DE2＝AD2，∴DE＝，故選A．9．（2023秋?蕉城區(qū)期中）如圖：4×1網(wǎng)格中每個(gè)正方形邊長(zhǎng)為1，表示長(zhǎng)的線段是（）A．OA B．OB C．OC D．OD【答案】C【解答】解：由網(wǎng)格的特點(diǎn)可知，，，，∴表示長(zhǎng)的線段是OC，故選：C．10．（2023?阜寧縣二模）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形．設(shè)直角三角形較長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)為a，較短直角邊長(zhǎng)為b．若ab＝6，大正方形的面積為16，則小正方形的面積為（）A．8 B．6 C．4 D．3【答案】C【解答】解：由題意可得，，∴小正方形的面積＝（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝16﹣12＝4，故選：C．二．填空題（共5小題）11．（2023秋?市北區(qū)期末）若實(shí)數(shù)a，b滿足|a﹣3|+＝0，且a，b恰是直角三角形的兩條邊長(zhǎng)，則該直角三角形的斜邊長(zhǎng)為4或5．【答案】4或5．【解答】解：∵實(shí)數(shù)a，b滿足|a﹣3|+＝0，∴|a﹣3|＝0，，∴a＝3，b＝4，∵a，b恰是直角三角形的兩條邊長(zhǎng)，當(dāng)b＝4為直角邊時(shí)，斜邊長(zhǎng)＝，當(dāng)b＝4為斜邊時(shí)，斜邊長(zhǎng)＝4，∴該直角三角形的斜邊長(zhǎng)為4或5，故答案為：4或5．12．（2023秋?北碚區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，CB＝12，BD平分∠ABC，則AD的長(zhǎng)是5．【答案】5．【解答】解：由勾股定理得，AC＝，∵BD平分∠ABC，BC⊥CD，DE⊥AB，∴CD＝DE，∵，∴，∴CD＝4，∴AD＝AC﹣CD＝9﹣4＝5，故答案為：5．13．（2023秋?二道區(qū)期末）如圖①，四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形，恰好拼成一個(gè)大正方形，這個(gè)圖形是由我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注時(shí)給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”．如果圖①中的直角三角形的長(zhǎng)直角邊為7cm，短直角邊為3cm，連結(jié)圖②中四條線段得到如圖③的新圖案，則圖③中陰影部分的周長(zhǎng)為32cm．【答案】32．【解答】解：由題意得：BD＝7cm，AB＝CD＝3cm，∴BC＝7﹣3＝4（cm），由勾股定理得：AC＝＝5（cm），∴陰影的周長(zhǎng)＝4（AB+AC）＝4×（3+5）＝32（cm）．故答案為：32．14．（2022秋?鯉城區(qū)校級(jí)期末）如圖，D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若BD＝1，BC＝3，則AC的長(zhǎng)為5．【答案】5．【解答】解：延長(zhǎng)BD與AC交于點(diǎn)E，∵∠A＝∠ABD，∴BE＝AE，∵BD⊥CD，∴BE⊥CD，∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠ECD，∴∠EBC＝∠BEC，∴BC＝CE，∵BE⊥CD，∴2BD＝BE，∵BD＝1，BC＝3，∴CE＝3，∴AE＝BE＝2，∴AC＝AE+EC＝2+3＝5．故答案為：5．15．（2023秋?泉山區(qū)校級(jí)期中）如圖，△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝6，AB＝8，DE是邊AB的垂直平分線，則△ADC的周長(zhǎng)為16．【答案】16．【解答】解：∵∠BAC＝90°，AC＝6，AB＝8，∴BC＝＝10，∵DE是邊AB的垂直平分線，∴BD＝AD，∴△ADC的周長(zhǎng)＝AC+CD+AD＝AC+CD+BD＝AC+BC＝6+10＝16．故答案為：16．三．解答題（共3小題）16．（2022秋?綠園區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，AC＝20，BC＝15．求：（1）CD的長(zhǎng)；（2）AD的長(zhǎng)．【答案】（1）12；（2）16．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB＝＝＝25，∵CD⊥AB，∴S，∴CD＝＝12；（2）在Rt△BDC中，由勾股定理得，BD＝＝＝9，AD＝25﹣9＝16．17．（2023秋?金鳳區(qū)校級(jí)期末）如圖，圖1為4×4的方格，每個(gè)小格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)為1．（1）圖1中正方形ABCD的面積為10，邊長(zhǎng)為；（2）①依照?qǐng)D1中的作法，在下面圖2的方格中作一個(gè)正方形，同時(shí)滿足下列兩個(gè)要求：