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第七章平行線的證明7.1為什么要證明1.我們常說眼見為實(shí),這是真的嗎?問題思考這是螺旋嗎?圖中四邊形是正方形嗎?眼見不一定為實(shí)這不是螺旋,而是一些同心圓.圖中四邊形為正方形.問題思考2.平行線:不敢相信圖中的橫線是平行的,不過它們就是平行線.想一想:僅靠觀察得到的結(jié)論一定正確嗎?問題思考不一定正確.圖中的橫線是平行的嗎?例1:當(dāng)n=1,2,3,4,5時,代數(shù)式n2-3n+7的值是質(zhì)數(shù)嗎?你能肯定:對于所有的自然數(shù),式子n2-3n+7的值都是質(zhì)數(shù)嗎?探索一:數(shù)學(xué)的結(jié)論必須經(jīng)過嚴(yán)格的論證解:當(dāng)n=1,2,3,4,5時,n2-3n+7的值分別是5,5,7,11,17,全是質(zhì)數(shù).而當(dāng)n=6時,n2-3n+7=62-18+7=25=52.所以對于所有自然數(shù),式子n2-3n+7的值不都是質(zhì)數(shù).新知探索【解后思考】判斷一個數(shù)學(xué)結(jié)論是否正確,僅僅依靠經(jīng)驗(yàn)、觀察是不夠的,必須給出嚴(yán)格的證明或?qū)嶒?yàn)驗(yàn)證.如此題,我們可以把1,2,3,4,5,6等自然數(shù)代入n2-3n+7中進(jìn)行驗(yàn)證.【類型一】實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證例2:線段a與線段b比較誰更長?探索二:檢驗(yàn)數(shù)學(xué)結(jié)論的常用方法ab解:視覺上看,我們感覺線段a比線段b長一點(diǎn),但用直尺來測量兩條線段的長度,我們發(fā)現(xiàn)線段a與線段b一樣長.a【解后思考】有時視覺受周圍環(huán)境的影響,往往誤導(dǎo)我們,讓我們得出錯誤的結(jié)論,所以僅靠經(jīng)驗(yàn)、觀察是不夠的,只有通過科學(xué)的實(shí)驗(yàn)進(jìn)行嚴(yán)格的推理,才能得出最準(zhǔn)確的結(jié)論.【類型二】舉出反例例3:當(dāng)n為正整數(shù)時,代數(shù)式(n2-5n+5)2的值都等于1嗎?【分析】對于代數(shù)式(n2-5n+5)2,n的取值為正整數(shù),要判斷(n2-5n+5)2的值是否為1,可以先取值分別求出代數(shù)式的值.解:當(dāng)n=1時,(n2-5n+5)2=12=1;當(dāng)n=2時,(n2-5n+5)2=(-1)2=1;當(dāng)n=3時,(n2-5n+5)2=(-1)2=1;當(dāng)n=4時,(n2-5n+5)2=12=1;當(dāng)n=5時,(n2-5n+5)2=52=25≠1.所以當(dāng)n為正整數(shù)時,(n2-5n+5)2不一定等于1.【解后思考】舉出反例是判斷一個結(jié)論錯誤的最好方法.【類型三】推理論證例4:如圖,從點(diǎn)O出發(fā)作出四條射線OA、OB、OC、OD,已知OA⊥OC,OB⊥OD.若∠BOC=30°,∠AOB和∠COD有什么關(guān)系呢?【分析】∠AOB、∠COD均與∠BOC互余,根據(jù)角的和、差關(guān)系,可求∠AOB與∠COD的度數(shù).通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)∠AOB=∠COD.解:因?yàn)镺A⊥OC,OB⊥OD,
所以∠AOC=∠BOD=90°.
因?yàn)椤螧OC=30°,
所以∠AOB=∠AOC-∠BOC=90°-30°=60°,
∠COD=∠BOD-∠BOC=90°-30°=60°,
所以∠AOB=∠COD.解:因?yàn)椤螦OB+∠BOC=∠AOC=90°,
∠BOC+∠COD=∠BOD=90°,
所以∠AOB+∠BOC=∠BOC+∠COD.
所以∠AOB=∠COD.想一想:如果不知道∠BOC的度數(shù),那么∠AOB和∠COD有什么關(guān)系呢?隨堂練習(xí)1.圖中兩條線段a與b的長度相等嗎?解:視覺上看,可能感覺線段b比線段a長一點(diǎn),但實(shí)際上,線段a與線段b一樣長.ab2.當(dāng)n為正整數(shù)時,n2+3n+1的值一定是質(zhì)數(shù)嗎?解:當(dāng)n=1,2,3,4,5時,n2+3n+1的值分別是5,11,19,29,41,全是質(zhì)數(shù).而當(dāng)n=6時,
n2+3n+1=55=5×11,是一個合數(shù)
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