專(zhuān)題6.1成比例線段（舉一反三）（蘇科版）

專(zhuān)題6.1成比例線段【七大題型】【蘇科版】TOC\o"13"\h\u【題型1成比例線段的概念】 1【題型2成比例線段的應(yīng)用】 3【題型3比例的證明】 5【題型4利用比例的性質(zhì)求比值】 7【題型5利用比例的性質(zhì)求參】 8【題型6比例的性質(zhì)在閱讀理解中的運(yùn)用】 10【題型7黃金分割】 13【知識(shí)點(diǎn)1成比例線段的概念】1．比例的項(xiàng)：在比例式（即）中，a，d稱(chēng)為比例外項(xiàng)，b，c稱(chēng)為比例內(nèi)項(xiàng)．特別地，在比例式（即）中，b稱(chēng)為a，c的比例中項(xiàng)，滿(mǎn)足．2．成比例線段：四條線段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么這四條線段a，b，c，d叫做成比例線段，簡(jiǎn)稱(chēng)比例線段．【題型1成比例線段的概念】【例1】（2022秋?南崗區(qū)校級(jí)月考）不能與2，4，6組成比例式的數(shù)是（）A．43 B．3 C．8 D．【分析】利用表示兩個(gè)比相等的式子，叫做比例式，然后分別求出A、B、C、D選項(xiàng)的比值，即可判斷．【解答】解：A、43：2＝4：6，故AB、2：3＝4：6，故B不符合題意；C、2：4≠6：8，故C符合題意；D、2：4＝6：12，故D不符合題意；故選：C．【變式11】（2022秋?義烏市月考）已知線段a＝2，b＝6，則它們的比例中項(xiàng)線段為23．【分析】由題意線段c是a、b的比例中項(xiàng)，可知c2＝ab，由此即可解決問(wèn)題．【解答】解：∵線段c是a、b的比例中項(xiàng)，∴c2＝ab，∵a＝2，b＝6，∴c2＝12，∵c＞0，∴c＝23，故答案為：23．【變式12】（2022秋?道里區(qū)期末）如圖，用圖中的數(shù)據(jù)不能組成的比例是（）A．2：4＝1.5：3 B．3：1.5＝4：2 C．2：3＝1.5：4 D．1.5：2＝3：4【分析】根據(jù)對(duì)于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比（即它們的長(zhǎng)度比）與另兩條線段的比相等，如ab＝cd（即ad＝bc），我們就說(shuō)這四條線段是成比例線段，簡(jiǎn)稱(chēng)比例線段，進(jìn)而分別判斷即可．【解答】解：A、2：4＝1：2＝1.5：3，能組成比例，錯(cuò)誤；B、3：1.5＝2：1＝4：2，能組成比例，錯(cuò)誤；C、2：3≠1.5：4；不能組成比例，正確；D、1.5：2＝3：4，能組成比例，錯(cuò)誤；故選：C．【變式13】（2022秋?八步區(qū)期中）如圖所示，有矩形ABCD和矩形A'B'C'D'，AB＝8cm，BC＝12cm，A'B'＝4cm，B'C'＝6cm．則線段A'B'，AB，B'C'，BC是成比例線段嗎？【分析】求出A'B'【解答】解：∵AB＝8cm，BC＝12cm，A'B'＝4cm，B'C'＝6cm，∴A'B'∴A'∴A'B'，AB，B'C'，BC是成比例線段．【題型2成比例線段的應(yīng)用】【例2】（2022秋?渭濱區(qū)期末）已知△ABC的三邊分別為a，b，c，且（a﹣c）：（a+b）：（c﹣b）＝﹣2：7：1，試判斷△ABC的形狀．【分析】設(shè)a﹣c＝﹣2k，a+b＝7，c﹣b＝1，再利用k分別表示出a、b、c，然后利用勾股定理的逆定理進(jìn)行判斷．【解答】解：∵（a﹣c）：（a+b）：（c﹣b）＝﹣2：7：1，∴設(shè)a-c=-2∵a2+b2＝（3k）2+（4k）2＝25k2＝（5k）2＝c2，∴△ABC為直角三角形，∠C＝90°．【變式21】（2022秋?青羊區(qū)校級(jí)月考）甲、乙兩地的實(shí)際距離是400千米，在比例尺為1：500000的地圖上，甲乙兩地的距離是（）A．0.8cm B．8cm C．80cm D．800cm．【分析】設(shè)地圖上，甲乙兩地的距離是xcm，根據(jù)比例尺的定理列出方程，解之可得．【解答】解：設(shè)地圖上，甲乙兩地的距離是xcm，根據(jù)題意，得：x40000000解得：x＝80，即地圖上，甲乙兩地的距離是80cm，故選：C．【變式22】（2022秋?杜爾伯特縣期末）一個(gè)班有30名學(xué)生，男、女生人數(shù)的比可能是（）A．3：2 B．1：3 C．4：5 D．3：1【分析】根據(jù)人數(shù)必須是整數(shù)，所以男、女生人數(shù)占的總分?jǐn)?shù)必須能被30整除，然后進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：A、30÷（3+2）＝6，能得出整數(shù)的結(jié)果，故A符合題意；B、30÷（1+3）＝7.5，不能得出整數(shù)的結(jié)果，故B不符合題意；C、30÷（4+5）=103，不能得出整數(shù)的結(jié)果，故D、30÷（3+1）＝7.5，不能得出整數(shù)的結(jié)果，故D不符合題意；故選：A．【變式23】（2022?臺(tái)灣）某校每位學(xué)生上、下學(xué)期各選擇一個(gè)社團(tuán)，下表為該校學(xué)生上、下學(xué)期各社團(tuán)的人數(shù)比例．若該校上、下學(xué)期的學(xué)生人數(shù)不變，相較于上學(xué)期，下學(xué)期各社團(tuán)的學(xué)生人數(shù)變化，下列敘述何者正確？（）舞蹈社溜冰社魔術(shù)社上學(xué)期345下學(xué)期432A．舞蹈社不變，溜冰社減少 B．舞蹈社不變，溜冰社不變 C．舞蹈社增加，溜冰社減少 D．舞蹈社增加，溜冰社不變【分析】若甲：乙：丙＝a：b：c，則甲占全部的aa+b+c【解答】解：由表得知上、下學(xué)期各社團(tuán)人數(shù)占全部人數(shù)的比例如下：舞蹈社溜冰社魔術(shù)社上學(xué)期312412512下學(xué)期493929∴舞蹈社增加，溜冰社不變．故選：D．【知識(shí)點(diǎn)2比例的性質(zhì)】比例的性質(zhì)示例剖析（1）基本性質(zhì)：（2）反比性質(zhì)：（3）更比性質(zhì)：或或（4）合比性質(zhì)：（5）分比性質(zhì)：（6）合分比性質(zhì)：（7）等比性質(zhì)：已知，則當(dāng)時(shí)，.【題型3比例的證明】【例3】（2022秋?汝州市校級(jí)月考）已知線段a，b，c，d（b≠d≠0），如果ab=c【分析】根據(jù)比例線段的性質(zhì)證明即可．【解答】證明：由ab可得：a＝bk，c＝dk，把a(bǔ)＝bk，c＝dk代入a-把a(bǔ)＝bk，c＝dk代入a+可得：a-【變式31】（2022春?江陰市期中）如圖，點(diǎn)B，C在線段AD上，且AB：BC＝AD：CD，求證：1AB【分析】由已知條件得到BCAB=CDAD，即【解答】證明：∵ABBC∴BCAB=CD∴ACAB-1＝1∴1AB【變式32】（2022秋?秦都區(qū)校級(jí)期中）已知：如圖，點(diǎn)O為三角形ABC內(nèi)部的任意一點(diǎn)，連接AO并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D．證明：（1）S△ABOS△BOD【分析】（1）由等高模型可知：S△ABOS（2）利用等高模型以及比例的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．【解答】證明：（1）∵S△ABOS∴S△（2）∵S△∴S△∴S△【變式33】（2022秋?岳陽(yáng)縣期中）若a，b，c，d是非零實(shí)數(shù)且ab=c【分析】由于（a2+c2）（b2+d2）＝a2b2+c2b2+a2d2+c2d2，（ab+cd）（ab+cd）＝a2b2+2abcd+c2d2，根據(jù)比例的基本性質(zhì)得到ad＝bc，可得（a2+c2）（b2+d2）＝（ab+cd）（ab+cd），從而得證．【解答】證明：∵ab∴ad＝bc，∵（a2+c2）（b2+d2）＝a2b2+c2b2+a2d2+c2d2，（ab+cd）（ab+cd）＝a2b2+2abcd+c2d2，∵2abcd＝c2b2+a2d2∴（a2+c2）（b2+d2）＝（ab+cd）（ab+cd），∴a2【題型4利用比例的性質(zhì)求比值】【例4】（2022秋?炎陵縣期末）已知2b3a-b=【分析】根據(jù)2b3a【解答】解：∵2b∴3a∴3a∴ab故答案為：119【變式41】（2022春?霍邱縣期末）若a-baA．25 B．14 C．-25【分析】把a(bǔ)-ba=34【解答】解：∵a-∴1-b∴ba故選：B．【變式42】（2022春?沙坪壩區(qū)校級(jí)期末）若ab=cd=ef=13且bA．16 B．13 C．12 【分析】先利用分式的基本性質(zhì)得到ab【解答】解：∵ab∴ab而b﹣2d+3f≠0∴a-故選：B．【變式43】（2022春?棲霞市期末）下列結(jié)論中，錯(cuò)誤的是（）A．若a4=cB．若a-bbC．若ab=cd=23（bD．若ab=34，則a＝3【分析】分別利用比例的基本性質(zhì)分析得出答案．【解答】解：A、若a4=cB、若a-bb=16，則6（a﹣b）＝b，故6aC、若ab=cd=23（bD、若ab=34，無(wú)法得出故選：D．【題型5利用比例的性質(zhì)求參】【例5】（2022秋?蜀山區(qū)校級(jí)期中）已知：y+zx=x+zy=x【分析】能夠根據(jù)比例的基本性質(zhì)熟練進(jìn)行比例式和等積式的互相轉(zhuǎn)換．【解答】解：此題要分情況考慮：當(dāng)x+y+z≠0時(shí)，則根據(jù)比例的等比性質(zhì)，得k=2x當(dāng)x+y+z＝0時(shí)，即x+y＝﹣z，則k＝﹣1，故填2或﹣1．【變式51】（2022秋?灌云縣期末）已知x3=y5，且x+y＝A．15 B．9 C．5 D．3【分析】設(shè)x3=y5=k，根據(jù)比例的性質(zhì)求出x＝3k，y＝5k，根據(jù)x+y＝24得出3k+5k＝24【解答】解：設(shè)x3=y5=k，則x＝3k，∵x+y＝24．∴3k+5k＝24，解得：k＝3，∴x＝3×3＝9，故選：B．【變式52】（2022秋?高州市期中）已知x3=y5=z6，且3y＝2【分析】由若x3=y5=z6，可設(shè)x3=y5=z6=k，這樣用k分別表示x、y、z，即x＝3k，y＝5k，z＝6【解答】解：設(shè)x3=則x＝3k，y＝5k，z＝6k，∵3y＝2z+6，∴3×5k＝2×6k+6，解得：k＝2，∴x＝3k＝6，y＝5k＝10．【變式53】（2022?雨城區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）我們知道：若ab=cd，且b+d≠（1）若b+d＝0，那么a、c滿(mǎn)足什么關(guān)系？（2）若b+ca=a+cb【分析】（1）根據(jù)比例的性質(zhì)即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)比例的性質(zhì)求得t的值，把t的值代入代數(shù)式即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）∵ab=cd，b+∴a+c＝0；（2）①當(dāng)a+b+c≠0時(shí)，b+c∴t2﹣t﹣2＝22﹣2﹣2＝0，②當(dāng)a+b+c＝0時(shí)，b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，a+b＝﹣c，∴b+c∴t2﹣t﹣2＝0．【題型6比例的性質(zhì)在閱讀理解中的運(yùn)用】【例6】（2022秋?渝中區(qū)期末）閱讀理解：已知：a，b，c，d都是不為0的數(shù)，且ab=c證明：∵ab∴ab+1=∴a+根據(jù)以上方法，解答下列問(wèn)題：（1）若ab=3（2）若ab=cd，且a≠b，c≠【分析】（1）把要求的式子化成a+b（2）根據(jù)比例的性質(zhì)得出a-bb【解答】解：（1）∵ab∴a+bb=a（2）∵ab∴ab-1=∴a-∵a+∴a-∴a-【變式61】閱讀材料：已知x3=y4解：設(shè)x3=y4=z6=k（k≠0），則x＝3k，y＝∴x+（1）回答下列問(wèn)題：①第一步運(yùn)用了等式的基本性質(zhì)，②第二步的解題過(guò)程運(yùn)用了代入消元的方法，由k5k得15利用了（2）模仿材料解題：已知x：y：z＝2：3：4，求x+【分析】（1）利用等式的基本性質(zhì)，代入消元法，分式的基本性質(zhì)，即可解答；（2）仿照例題的思路，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：（1）①第一步運(yùn)用了等式的基本性質(zhì)，②第二步的解題過(guò)程運(yùn)用了代入消元的方法，由k5k得故答案為：等式，代入消元，分式；（2）∵x：y：z＝2：3：4，∴設(shè)x＝2k，y＝3k，z＝4k，∴x=9=9【變式62】（2022秋?椒江區(qū)校級(jí)月考）閱讀下列解題過(guò)程，然后解題：題目：已知xa-b=yb-c=zc-a解：設(shè)xa-b=yb-c=zc-a=k，則x＝k（a﹣b），y＝∴x+y+z＝k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）＝k?0＝0，∴x+y+z＝0．依照上述方法解答下列問(wèn)題：a，b，c為非零實(shí)數(shù)，且a+b+c≠0，當(dāng)a+b-【分析】設(shè)a+b-cc=a-b+cb=-a+b+ca=k，利用比例的性質(zhì)得到a+b﹣c＝kc【解答】解：設(shè)a+b所以a+b﹣c＝kc①，a﹣b+c＝kb②，﹣a+b+c＝ka③，由①+②+③，得a+b+c＝k（a+b+c）．∵a+b+c≠0，∴k＝1．∴a+b＝2c，b+c＝2a，c+a＝2b．∴(a+【變式63】（2022春?鼓樓區(qū)校級(jí)期中）閱讀下面的解題過(guò)程，然后解題：題目：已知xa-b=yb-c=zc-a解：設(shè)xa-b=yb-c=zc-a=k，則x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），z＝k（c﹣a）于是，x+y+z＝k（a﹣b依照上述方法解答下列問(wèn)題：已知：y+zx=z+xy=x+【分析】設(shè)y+zx=z+xy【解答】解：設(shè)y+z則y+z＝xk，z+x＝y(tǒng)k，x+y＝zk，∴2（x+y+z）＝k（x+y+z），解得，k＝2，∴y+z＝2x，z+x＝2y，x+y＝2z，解得，x＝y(tǒng)＝z，則x-【知識(shí)點(diǎn)3黃金分割】如圖，若線段AB上一點(diǎn)C，把線段AB分成兩條線段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)（即），則稱(chēng)線段AB被點(diǎn)C黃金分割，點(diǎn)C叫線段AB的黃金分割點(diǎn)，其中，，AC與AB的比叫做黃金比．（注意：對(duì)于線段AB而言，黃金分割點(diǎn)有兩個(gè)．）【題型7黃金分割】【例7】（2022?青羊區(qū)校級(jí)模擬）如圖，點(diǎn)R是正方形ABCD的AB邊上線段AB的黃金分割點(diǎn)，且AR＞RB，S1表示以AR為邊長(zhǎng)的正方形面積；S2表示以BC為長(zhǎng)，BR為寬的矩形的面積，S3表示正方形除去S1，S2剩余的面積，則S1：S2的值為1．【分析】設(shè)AB＝a，根據(jù)黃金比值用a表示出AR、BR，根據(jù)矩形的面積公式計(jì)算，得到答案．【解答】解：設(shè)AB＝a，∵點(diǎn)R是邊AB邊上的黃金分割點(diǎn)，AR＞RB，∴AR=5-12則BR＝AB﹣AR＝a-5-12∴S1：S2＝（5-12a）2：a×3-故答案為：1．【變式71】（2022秋?楊浦區(qū)期末）已知點(diǎn)P是線段AB上的一點(diǎn)，線段AP是PB和AB的比例中項(xiàng)，下列結(jié)論中，正確的是（）A．PBAP=5+12 B．PBAB=5【分析】根據(jù)黃金分割的定義判斷即可．【解答】解：∵點(diǎn)P是線段AB上的一點(diǎn)，線段AP是PB和AB的比例中項(xiàng)，∴AP2＝PB?AB，∴點(diǎn)P是AB的黃金分割點(diǎn)，∴APAB故選：C．【變式72】（2022秋?江都區(qū)校級(jí)月考）已知，點(diǎn)D是線段AB的黃金分割點(diǎn)，若AD＞BD．（1）若AB＝10cm，則AD＝（55-5）cm（2）如圖，請(qǐng)用尺規(guī)作出以AB為腰的黃金三角形ABC；（3）證明你畫(huà)出的三角形是黃金三角形．【分析】（1）根據(jù)黃金分割的概念計(jì)算即可；（2）根據(jù)黃金三角形的概念和尺規(guī)作圖的一般步驟作圖；（3）根據(jù)黃金分割的概念和黃金三角形的概念證明即可．【解答】解：（1）∵點(diǎn)D是線段AB的黃金分割點(diǎn)，若AD＞BD，∴AD=5-12AB＝（55故答案為：（55-5（2）以A圓心，以AB的長(zhǎng)為半徑作弧，再以點(diǎn)B為圓心，AD的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)C，連接BC，則△ABC即為所求；（3）證明：由（1）得，點(diǎn)D是線段AB的黃金分割點(diǎn)，∴底邊AD=5-1∴三角形ABC是黃金三角形．郵箱：；學(xué)號(hào)：20699374【變式73】（2022春?兗州區(qū)期末）再讀教材：寬與長(zhǎng)的比是5-12（約為0.618）的矩形叫做黃金矩形，黃金矩形給我們以協(xié)調(diào)、勻稱(chēng)的美感，世界各國(guó)許多著名的建筑，為取得最佳的視覺(jué)效果，都采