貴州省貴陽市2023屆高三下學(xué)期適應(yīng)性考試（一）數(shù)學(xué)（理）試題（解析版）

高考模擬試題PAGEPAGE1貴陽市2023年高三適應(yīng)性考試（一）理科數(shù)學(xué)第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.集合，集合，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗解不等式可求得集合，由交集定義可得結(jié)果.〖詳析〗由得：或，即，.故選：C.2.已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B. C.4 D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗利用復(fù)數(shù)乘方運算得到，從而得到的共軛復(fù)數(shù)及其虛部.〖詳析〗，故復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，故共軛復(fù)數(shù)的虛部為4.故選：C3.在一場跳水比賽中，7位裁判給某選手打分從低到高依次為，8.1，8.4，8.5，9.0，9.5，，若去掉一個最高分和一個最低分后的平均分與不去掉的平均分相同，那么最低分的值不可能是（）A.7.7 B.7.8 C.7.9 D.8.0〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗根據(jù)所給條件可得出，再由的范圍驗證選項即可得解.〖詳析〗因為去掉最高分與最低分后平均分為，所以，解得，由于得分按照從低到高的順序排列的，故，，當(dāng)時，，滿足上述條件，故A錯誤；當(dāng)時，，滿足上述條件，故B錯誤；當(dāng)時，，滿足上述條件，故C錯誤；當(dāng)時，，不滿足上述條件，故D正確.故選：D4.等差數(shù)列中，，則數(shù)列的前9項之和為（）A.24 B.27 C.48 D.54〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗根據(jù)等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)求出，再根據(jù)等差數(shù)列求和公式計算可得.〖詳析〗解：在等差數(shù)列中，，則所以，又，所以，所以.故選：B5.香農(nóng)-威納指數(shù)（）是生態(tài)學(xué)中衡量群落中生物多樣性的一個指數(shù)，其計算公式是，其中是該群落中生物的種數(shù)，為第個物種在群落中的比例，下表為某個只有甲?乙?丙三個種群的群落中各種群個體數(shù)量統(tǒng)計表，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，該群落的香農(nóng)-威納指數(shù)值為（）物種甲乙丙合計個體數(shù)量A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗根據(jù)已知公式和對數(shù)運算直接計算求解即可.〖詳析〗由題意知：.

故選：A.6.如圖，在中，，則（）A.9 B.18 C.6 D.12〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗由可得，則，代入化簡即可得出〖答案〗.〖詳析〗由可得：，所以，所以，，因為，所以.故選：D.7.棱錐的內(nèi)切球半徑，其中，分別為該棱錐的體積和表面積，如圖為某三棱錐的三視圖，若每個視圖都是直角邊長為的等腰直角形，則該三棱錐內(nèi)切球半徑為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗由三視圖還原三棱錐，求得棱錐表面積和體積后，代入公式即可求得內(nèi)切球半徑.〖詳析〗由三視圖可還原三棱錐如下圖所示，其中平面，，，，棱錐表面積，該棱錐的內(nèi)切球半徑.故選：C.8.“一筆畫”游戲是指要求經(jīng)過所有路線且節(jié)點可以多次經(jīng)過，但連接節(jié)點間的路線不能重復(fù)畫的游戲，下圖是某一局“一筆畫”游戲的圖形，其中為節(jié)點，若研究發(fā)現(xiàn)本局游戲只能以為起點為終點或者以為起點為終點完成，那么完成該圖“一筆畫”的方法數(shù)為（）A.種 B.種 C.種 D.種〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗采用分步乘法可計算得到以為起點，為終點的方法數(shù)，再利用分類加法計數(shù)原理求得結(jié)果.〖詳析〗以為起點時，三條路線依次連接即可到達點，共有種選擇；自連接到時，在右側(cè)可順時針連接或逆時針連接，共有種選擇，以為起點，為終點時，共有種方法；同理可知：以為起點，為終點時，共有種方法；完成該圖“一筆畫”的方法數(shù)為種.故選：C.9.以雙曲線的實軸為直徑的圓與該雙曲線的漸近線分別交于A，B，C，D四點，若四邊形的面積為，則該雙曲線的離心率為（）A.或2 B.2或 C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗先由雙曲線與圓的對稱性得到，再將代入，從而得到，，進而結(jié)合得到關(guān)于的齊次方程，由此轉(zhuǎn)化為關(guān)于雙曲線離心率的方程即可得解.〖詳析〗依題意，根據(jù)雙曲線與圓的對稱性，可得四邊形為矩形，如圖，不放設(shè)點位于第一象限，則，因為雙曲線的漸近線方程為，則，以雙曲線的實軸為直徑的圓的方程為，則，將代入，得，則，即，所以，則，故，又，所以，則，則，所以，則，即，所以，即，解得或，因，所以或.故選：B10.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列關(guān)于函數(shù)的說法正確的是（）①的圖象關(guān)于直線對稱②的圖象關(guān)于點對稱③將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象④若方程在上有兩個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是A.①④ B.②④ C.③④ D.②③〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗根據(jù)圖象求出函數(shù)的〖解析〗式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，逐次判斷各選項即可得到結(jié)論．〖詳析〗解：由函數(shù)的圖象可得，由，解得，又函數(shù)過點，所以，，又，得，所以函數(shù)，當(dāng)時，，即的圖象關(guān)于點對稱，故②正確；當(dāng)時，，故①錯誤；將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到，故③錯誤；當(dāng)，則，令，解得，此時，即，令，解得，此時，即，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因為方程在上有兩個不相等的實數(shù)根，即與在上有兩個交點，所以，故④正確；故選：B11.如圖，在三棱錐中，平面平面，是邊長為的等邊三角形，，則該幾何體外接球表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗設(shè)外心為，外心為，DB中點為E，過外心分別作平面，平面垂線，則垂線交點O為外接球球心.后利用正弦定理可得，外接圓半徑，又注意到四邊形為矩形，則外接球半徑.〖詳析〗設(shè)外心為，外心為，DB中點為E.因，平面，平面平面，平面平面，則平面，又平面，則.過，分別作平面，平面垂線，則垂線交點O為外接球球心，則四邊形為矩形.外接圓半徑.又因，，則.故外接圓半徑.又.又平面，平面，則.故外接球半徑，故外接球表面積.故選：A〖『點石成金』〗結(jié)論『點石成金』：本題涉及底面與側(cè)面垂直的三棱錐的外接球.設(shè)底面與側(cè)面外接圓半徑為，底面與側(cè)面公共棱長度為，則外接球半徑.12.已知正實數(shù)，若，，則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗根據(jù)已知關(guān)系式的特征可構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可求得單調(diào)性，并確定的圖象，根據(jù)，結(jié)合圖象可確定的大小關(guān)系.〖詳析〗令，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，又，當(dāng)時，恒成立，可得圖象如下圖所示，，，；，，；綜上所述：.故選：D.〖『點石成金』〗關(guān)鍵點『點石成金』；本題考查構(gòu)造函數(shù)比較函數(shù)值大小的問題，解題關(guān)鍵是能夠根據(jù)已知關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特征，準(zhǔn)確構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)值大小關(guān)系的比較問題，從而利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性和圖象來進行求解.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.13.函數(shù)在點處的切線方程為___________.〖答案〗〖解析〗〖祥解〗求出導(dǎo)函數(shù)，再求得，從而可求得其切線方程．〖詳析〗由得，所以，又，即為切點，所以切線方程為，即.故〖答案〗為：．14.正實數(shù)滿足，則的最小值為___________.〖答案〗##6.25〖解析〗〖祥解〗根據(jù)，利用基本不等式即可求得結(jié)果.〖詳析〗，，，，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），即的最小值為.故〖答案〗為：.15.趙爽是我國漢代數(shù)學(xué)家，他在注解《周髀算經(jīng)》時給出的“趙爽弦圖”被選為第24屆國際數(shù)學(xué)家大會的會徽.如圖所示，“趙爽弦”圖中的大正方形是由4個全等的直角三角形和小正方形拼成，現(xiàn)連接，當(dāng)正方形的邊長為1且其面積與正方形的面積之比為1∶5時，___________.〖答案〗.〖解析〗〖祥解〗根據(jù)圖形，由面積可得出直角三角的三邊長，求出角的三角函數(shù)，利用求解.〖詳析〗由題意得，，故直角三角形斜邊為，設(shè)直角三角形中較短直角邊長為，如圖中，則較長直角邊長為，如圖中,則由勾股定理可得，解得，，，,.故〖答案〗為：.16.拋物線，圓，直線l過圓心M且與拋物線E交于A，B與圓M交于C，D.若，則___________.〖答案〗##〖解析〗〖祥解〗設(shè)直線的方程為，由題意可知圓的圓心為弦的中點，據(jù)此聯(lián)立直線與拋物線方程，由根與系數(shù)的關(guān)系即可求出，再由弦長公式即可得解.〖詳析〗由可得，故圓心，半徑，因為直線l過圓心M且，所以，，即為的中點，顯然，直線斜率為0時，不符合題意，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消元得，設(shè)，由，所以，由為的中點可知，，即，所以,所以.故〖答案〗為：三、解答題：第17至21題每題12分，第22、23題為選考題，各10分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.已知等比數(shù)列的前項和為，，且成等差數(shù)列.（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）若，求數(shù)列前項和.〖答案〗（1）證明見〖解析〗（2）〖解析〗〖祥解〗（1）依題意得到關(guān)于、的方程組，求出、，再根據(jù)求和公式得到，再證明即可；（2）由（1）可得，利用錯位相減法求和即可.〖小問1詳析〗∵是等比數(shù)列，且①，又、、成等差數(shù)列，∴，∴②，聯(lián)立①②解得，∴，∴，∴，∴數(shù)列是公比為的等比數(shù)列．〖小問2詳析〗由（1）知，所以，∴①，②，①②得，，整理得.18.2022年9月3日至2022年10月8日，因為疫情，貴陽市部分高中學(xué)生只能居家學(xué)習(xí)，為了監(jiān)測居家學(xué)習(xí)效果，某校在恢復(fù)正常教學(xué)后舉行了一次考試，在考試中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生總體成績相較疫情前成績有明顯下降，為了解學(xué)生成績下降的原因，學(xué)校進行了問卷調(diào)查，從問卷中隨機抽取了200份學(xué)生問卷，發(fā)現(xiàn)其中有96名學(xué)生成績下降，在這些成績下降的學(xué)生中有54名學(xué)生屬于“長時間使用手機娛樂”（每天使用手機娛樂2個小時以上）的學(xué)生.（1）根據(jù)以上信息，完成下面的列聯(lián)表，并判斷能否有99.5%把握認為“成績下降”與“長時間使用手機娛樂”有關(guān)？長時間使用手機娛樂非長時間使用手機娛樂合計成績下降成績未下降合計90200（2）在被抽取的200名學(xué)生中“長時間使用手機娛樂”且“成績未下降”的女生有12人，現(xiàn)從“長時間使用手機娛樂”且“成績未下降”的學(xué)生中按性別分層抽樣抽取6人，再從這6人中隨機抽取3人訪該，記被抽取到的3名學(xué)生中女生人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考公式：，其中.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828〖答案〗（1）列聯(lián)表見〖解析〗，有99.5%把握認為“學(xué)習(xí)成績下降”與“長時間使用手機娛樂”有關(guān)（2）分布列見〖解析〗，1.〖解析〗〖祥解〗（1）由題意列出列聯(lián)表，計算，即可得出結(jié)論；（2）女生被抽到得的人數(shù)X可取0，1，2，根據(jù)古典概型分別計算概率，列出分布列，求出期望.小問1詳析〗列聯(lián)表如下：長時間使用手機娛樂非長時間使用手機娛樂合計成績下降544296成績未下降3668104合計90110200，有99.5%把握認為“學(xué)習(xí)成績下降”與“長時間使用手機娛樂”有關(guān).〖小問2詳析〗(2)在抽取的6人中，女生有人，男生有人，則這6人中隨機抽取3人進一步訪談，女生被抽到得的人數(shù)X可取0，1，2，，，的分布列為：012.19.如圖（1），在梯形中，，，，為中點，現(xiàn)沿將折起，如圖（2），其中分別是的中點.（1）求證：平面；（2）若，求二面角的余弦值.〖答案〗（1）證明見〖解析〗（2）〖解析〗〖祥解〗（1）取中點，易證得四邊形為平行四邊形，從而得到，利用等腰三角形三線合一性質(zhì)可分別得到，結(jié)合平行關(guān)系和線面垂直的判定可證得結(jié)論；（2）根據(jù)長度關(guān)系可證得兩兩互相垂直，則以為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，利用二面角的向量求法可求得結(jié)果.〖小問1詳析〗取中點，連接，為中點，，，又，四邊形為平行四邊形，，，分別為中點，，，又為中點，，，，，四邊形為平行四邊形，；，為中點，，；，，，四邊形為正方形，，，又，平面，平面.〖小問2詳析〗由（1）知：，，又，；，為中點，，，，，，又，平面，平面，以為坐標(biāo)原點，正方向為軸，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，設(shè)平面的法向量，，令，解得：，；平面，平面的一個法向量為，，由圖形知：二面角為鈍二面角，二面角的余弦值為.20.已知，，三點中有兩點在橢圓上，橢圓的右頂點為，過右焦點的直線與交于點，，當(dāng)垂直于軸時.（1）求橢圓的方程；（2）若直線與軸交于點，直線與軸交于點，在軸是否存在定點，使得，若存在，求出點，若不存在，說明理由.〖答案〗（1）（2）在軸上存在定點或，使得〖解析〗〖祥解〗（1）根據(jù)對稱性可得點，在橢圓上，再由得到方程組，解得、，即可得解；（2）設(shè)存在定點，過右焦點的直線的方程為，且與曲線的交點分別為，，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元、列出韋達定理，設(shè)直線，求出點坐標(biāo)，同理可得點坐標(biāo)，根據(jù)求出的值，即可得解.〖小問1詳析〗根據(jù)橢圓的對稱性可知，點，在橢圓上，對于，令得，解得，所以，則，∴橢圓的方程為.〖小問2詳析〗解：設(shè)存在定點，設(shè)過右焦點的直線的方程為，且與曲線的交點分別為，，聯(lián)立，則由韋達定理有：，，由的標(biāo)準(zhǔn)方程得，設(shè)直線，當(dāng)時，，同理，設(shè)直線，當(dāng)時，，∴，，∴，解得，故在軸上存在定點或，使得.21.已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時，求函數(shù)的極值；（2）若任意且，都有成立，求實數(shù)的取值范圍.〖答案〗（1）極小值為，無極大值（2）〖解析〗〖祥解〗（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值；（2）不妨令，則問題等價于，令，只需證明在單調(diào)遞增，問題等價于在時恒成立，參變分離得到，，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出的最大值，即可得解.〖小問1詳析〗解：當(dāng)時，，．則，令，解得或，又因為，所以．列表如下：x2單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以有極小值，無極大值．〖小問2詳析〗解：因為，，所以，，若對任意且恒成立不妨令，則，令，只需證明在單調(diào)遞增，因為，則，所以在時恒成立，即，，令，，則，因為，所以令，解得，令，解得，從而在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時取到最大值，所以實數(shù)的取值范圍是．〖『點石成