2025屆安徽省銅陵市銅都雙語(yǔ)學(xué)校數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題含解析

2025屆安徽省銅陵市銅都雙語(yǔ)學(xué)校數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知數(shù)列滿足，且，那么（）A. B.C. D.2．函數(shù)是偶函數(shù)且在上單調(diào)遞減，，則的解集為（）A. B.C. D.3．在一次拋硬幣的試驗(yàn)中，某同學(xué)用一枚質(zhì)地均勻的硬幣做了100次試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)正面朝上出現(xiàn)了48次，那么出現(xiàn)正面朝上的頻率和概率分別為（）A.0.48，0.48 B.0.5，0.5C.0.48，0.5 D.0.5，0.484．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)是橢圓上的一點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則（）A.3 B.4C.6 D.115．已知直線l1：ax+2y＝0與直線l2：2x+（2a+2）y+1＝0垂直，則實(shí)數(shù)a的值為（）A.﹣2 B.C.1 D.1或﹣26．已知、分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，且，點(diǎn)P為雙曲線右支一點(diǎn)，為的內(nèi)心，若成立，給出下列結(jié)論：①點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值a；②離心率；③；④當(dāng)軸時(shí)，上述結(jié)論正確的是（）A.①② B.②③C.①②③ D.②③④7．命題“?x0∈（0，+∞），”的否定是（）A.?x∈（﹣∞，0），2x+sinx≥0B.?x∈（0，+∞），2x+sinx≥0C.?x0∈（0，+∞），D.?x0∈（﹣∞，0），8．已知函數(shù)在處取得極值，則（）A. B.C. D.9．已知直線、的方向向量分別為、，若，則等于（）A.1 B.2C.0 D.310．直線過雙曲線：的右焦點(diǎn)，在第一、第四象限交雙曲線兩條漸近線分別于P，Q兩點(diǎn)，若∠OPQ＝90°（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則OPQ內(nèi)切圓的半徑為（）A. B.C.1 D.11．若拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，則的值為A. B.C. D.12．已知橢圓的短軸長(zhǎng)和焦距相等，則a的值為（）A.1 B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．不透明袋中裝有完全相同，標(biāo)號(hào)分別為1，2，3，…，8的八張卡片．從中隨機(jī)取出3張．設(shè)X為這3張卡片的標(biāo)號(hào)相鄰的組數(shù)（例如：若取出卡片的標(biāo)號(hào)為3，4，5，則有兩組相鄰的標(biāo)號(hào)3、4和4、5，此時(shí)X的值是2）．則隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望______14．已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，，右焦點(diǎn)到一條漸近線的距離是，則其離心率的值是______；若點(diǎn)P是雙曲線C上一點(diǎn)，滿足，，則雙曲線C的方程為______15．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8，取正方形ABCD各邊的中點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，作第2個(gè)正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各邊的中點(diǎn)I，J，K，L，作第3個(gè)正方形IJKL.依此方法一直繼續(xù)下去.①?gòu)恼叫蜛BCD開始，第7個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為___；②如果這個(gè)作圖過程可以一直繼續(xù)下去，那么作到第n個(gè)正方形，這n個(gè)正方形的面積之和為___.16．如圖的一系列正方形圖案稱為謝爾賓斯基地毯，圖案的做法是：把一個(gè)正方形分成9個(gè)全等的小正方形，對(duì)中間的一個(gè)小正方形進(jìn)行著色得到第1個(gè)圖案（圖1）；在第1個(gè)圖案中對(duì)沒有著色的小正方形再重復(fù)以上做法得到第2個(gè)圖案（圖2）；以此類推，每進(jìn)行一次操作，就得到一個(gè)新的正方形圖案，設(shè)原正方形的邊長(zhǎng)為1，記第n個(gè)圖案中所有著色的正方形的面積之和為，則數(shù)列的通項(xiàng)公式______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在二項(xiàng)式的展開式中；（1）若，求常數(shù)項(xiàng)；（2）若第4項(xiàng)的系數(shù)與第7項(xiàng)的系數(shù)比為，求：①二項(xiàng)展開式中的各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和；②二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)的系數(shù)之和18．（12分）如圖，在四棱錐中，面ABCD，，且，，，，，N為PD的中點(diǎn).（1）求證：平面PBC；（2）在線段PD上是否存在一點(diǎn)M，使得直線CM與平面PBC所成角的正弦值是.若存在，求出的值，若不存在，說明理由.19．（12分）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.20．（12分）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式;（2）當(dāng)為何值時(shí)，最大，并求的最大值.21．（12分）已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且（1）求，的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.22．（10分）已知函數(shù)，從下列兩個(gè)條件中選擇一個(gè)使得數(shù)列{an}成等比數(shù)列.條件1：數(shù)列{f（an）}是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列；條件2：數(shù)列{f（an）}是首項(xiàng)為4，公差為2的等差數(shù)列.（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】由遞推公式得到，，，再結(jié)合已知即可求解.【詳解】解：由，得，，又，那么故選：D2、D【解析】分析可知函數(shù)在上為增函數(shù)，且有，將所求不等式變形為，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)且在上單調(diào)遞減，則該函數(shù)在上為增函數(shù)，且，由可得，所以，，可得或，解得或.因此，不等式的解集為.故選：D.3、C【解析】頻率跟實(shí)驗(yàn)次數(shù)有關(guān)，概率是一種現(xiàn)象的固有屬性，與實(shí)驗(yàn)次數(shù)無關(guān)，即可得到答案.【詳解】頻率跟實(shí)驗(yàn)次數(shù)有關(guān)，出現(xiàn)正面朝上的頻率為實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)正面朝上的次數(shù)除以總試驗(yàn)次數(shù)，故為.概率是拋硬幣試驗(yàn)的固有屬性，與實(shí)驗(yàn)次數(shù)無關(guān)，拋硬幣正面朝上的概率為.故選：C4、A【解析】利用橢圓的定義可得，再結(jié)合條件即求.【詳解】由橢圓的定義可知，因?yàn)?，所以，因?yàn)辄c(diǎn)分別是線段，的中點(diǎn)，所以是的中位線，所以.故選：A.5、B【解析】由題意，利用兩直線垂直的性質(zhì)，兩直線垂直時(shí)，一次項(xiàng)對(duì)應(yīng)系數(shù)之積的和等于0，計(jì)算求得a的值【詳解】∵直線l1：ax+2y＝0與直線l2：2x+（2a+2）y+1＝0垂直，∴a×2+2×（2a+2）＝0，求得a＝﹣，故選：B6、C【解析】利用雙曲線的定義、幾何性質(zhì)以及題意對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)分析判斷即可【詳解】對(duì)于①，設(shè)內(nèi)切圓與的切點(diǎn)分別為，則由切線長(zhǎng)定理可得,因?yàn)?，，所以，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值a，所以①正確，對(duì)于②，因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得，即，解得，因?yàn)?，所以，所以②正確，對(duì)于③，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，由雙曲線的定義可得，，因?yàn)?，，所以，所以，所以③正確，對(duì)于④，當(dāng)軸時(shí)，可得，此時(shí)，所以，所以④錯(cuò)誤，故選：C7、B【解析】利用特稱命題的否定是全稱命題，寫出結(jié)果即可【詳解】命題“?x0∈（0，+∞），”的否定是“?x∈（0，+∞），2x+sinx≥0”故選：B8、B【解析】根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)函數(shù)為零可求解.【詳解】因?yàn)?，則，由題意可知.經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意故選：B9、C【解析】由可得出，利用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式，由此可解得實(shí)數(shù)的值.【詳解】若，則，所以，所以，解得.故選：C10、B【解析】根據(jù)漸近線的對(duì)稱性，結(jié)合銳角三角函數(shù)定義、正切的二倍角公式、直角三角形內(nèi)切圓半徑公式進(jìn)行求解即可.【詳解】由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程可知：，雙曲線的漸近線方程為：，因此，因?yàn)椤螼PQ＝90°，所以三角形是直角三角形，，而，解得：，由雙曲線漸近線的對(duì)稱性可知：，于是有，在直角三角形中，，由勾股定理可知：，設(shè)OPQ內(nèi)切圓的半徑為，于是有：，即，故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.11、D【解析】解：橢圓的右焦點(diǎn)為(2,0)，所以拋物線的焦點(diǎn)為(2,0)，則，故選D12、A【解析】由題設(shè)及橢圓方程可得，即可求參數(shù)a的值.【詳解】由題設(shè)易知：橢圓參數(shù)，即有，可得故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解析】設(shè)為這3張卡片的標(biāo)號(hào)相鄰的組數(shù)，則的可能取值為0，1，2，利用列舉法分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望【詳解】解：不透明袋中裝有完全相同，標(biāo)號(hào)分別為1，2，3，，8的八張卡片從中隨機(jī)取出3張，共有種，設(shè)為這3張卡片的標(biāo)號(hào)相鄰的組數(shù)，則的可能取值為0，1，2，的情況有：，2，，，3，，，4，，，5，，，6，，，7，，共6個(gè)，，的情況有：取，另外一個(gè)數(shù)有5種取法；取，另外一個(gè)數(shù)有4種取法；取，另外一個(gè)數(shù)有4種取法；取，另外一個(gè)數(shù)有4種取法；取，另外一個(gè)數(shù)有4種取法；取，另外一個(gè)數(shù)有4種取法；取，另外一個(gè)數(shù)有5種取法的情況一共有：，，，隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望：故答案為：14、①.##1.5②.【解析】求得焦點(diǎn)到漸近線的距離可得，計(jì)算即可求得離心率，由雙曲線的定義可求得，計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，即，焦點(diǎn)到漸近線的距離為，又，，，，.雙曲線上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之差的絕對(duì)值為，即，，即，解得：，由，解得：,.雙曲線C的方程為.故答案為：；.15、①.1②.【解析】根據(jù)題意，正方形邊長(zhǎng)成等比數(shù)列，正方形的面積等于邊長(zhǎng)的平方可得，然后根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式即可求解.【詳解】設(shè)第n個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為，第n個(gè)正方形的面積為，則第n個(gè)正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為，所以第n+1個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為，，∴數(shù)列{}是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，，∴，即第7個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為1；∴數(shù)列{}是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故答案為：1；.16、【解析】根據(jù)題意，歸納總結(jié)，結(jié)合等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，即可求得的通項(xiàng)公式.【詳解】結(jié)合已知條件，歸納總結(jié)如下：第一個(gè)圖案中，著色正方形的面積即；第二個(gè)圖案中，新著色的正方形面積是，故著色正方形的面積即；第三個(gè)圖案中，新著色的正方形面積是，故著色正方形的面積即；第個(gè)圖案中，新著色的正方形面積是，故著色正方形的面積即.故.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）60（2）①1024；②1【解析】（1）根據(jù)二項(xiàng)式定理求解（2）根據(jù)二項(xiàng)式定理與條件求解，二項(xiàng)式系數(shù)之和為，系數(shù)和可賦值【小問1詳解】若，則，（，…，9）令∴∴常數(shù)項(xiàng)為.【小問2詳解】，（，…，），解得①②令，得系數(shù)和為18、（1）證明見解析（2）存在，且【解析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證得平面.（2）設(shè)，利用直線與平面所成角的正弦值列方程，化簡(jiǎn)求得.【小問1詳解】設(shè)是的中點(diǎn)，連接，由于，所以四邊形是矩形，所以，由于平面，所以，以為空間坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，，，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè).，且平面，所以平面.【小問2詳解】，設(shè)，則，，，設(shè)直線與平面所成角為，則，，兩邊平方并化簡(jiǎn)得，解得或（舍去）.所以存在，使直線與平面所成角的正弦值是，且.19、（1）；（2）.【解析】（1）由，，可得求出，從而可得的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，從而可得，然后利用裂項(xiàng)相消求和法可求得【詳解】解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)椋?所以，化簡(jiǎn)得，解得，所以，（2）由（1）可知，所以，所以【點(diǎn)睛】此題考查等差數(shù)列前項(xiàng)和的基本量計(jì)算，考查裂項(xiàng)相消求和法的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題20、（1）（2）n為6或7；126【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解；（2）由，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解.【小問1詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因?yàn)?所以，解得，所以；【小問2詳解】，當(dāng)或7時(shí)，最大，的最大值是126.21、（1），；（2）.【解析】（1）由，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求得、的值，即可得的通項(xiàng)公式，再根據(jù)列出關(guān)于首項(xiàng)、公差的方程組，解方程組可得與的值，從而可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）結(jié)合（1）可得，根據(jù)錯(cuò)位相減法，利用等比數(shù)列求和公式可得結(jié)果.【詳解】（1）等比數(shù)列的公比，所以，設(shè)等差數(shù)列公差為因?yàn)椋?，所以，即所以?）由（1）知，，因此從而數(shù)列的前項(xiàng)和,,,兩式作差可得,,解得.【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項(xiàng)、等比數(shù)列的求和公式以及錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前項(xiàng)和，屬于