上海市莘莊中學(xué)等四校聯(lián)考2025屆高二上數(shù)學(xué)期末檢測(cè)試題含解析

上海市莘莊中學(xué)等四校聯(lián)考2025屆高二上數(shù)學(xué)期末檢測(cè)試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線(xiàn)內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．集合，則集合A的子集個(gè)數(shù)為（）A.2個(gè) B.4個(gè)C.8個(gè) D.16個(gè)2．若函數(shù)在上有兩個(gè)極值點(diǎn)，則下列選項(xiàng)中不正確的為（）A. B.C. D.3．已知是和的等比中項(xiàng)，則圓錐曲線(xiàn)的離心率為（）A. B.或2C. D.或4．金剛石的成分為純碳，是自然界中存在的最堅(jiān)硬物質(zhì)，它的結(jié)構(gòu)是由8個(gè)等邊三角形組成的正八面體.若某金剛石的棱長(zhǎng)為2，則它外接球的體積為（）A. B.C. D.5．如圖，一個(gè)圓錐形的空杯子上面放著一個(gè)半徑為4.5cm的半球形的冰淇淋，若冰淇淋融化后正好盛滿(mǎn)杯子，則杯子的高（）A.9cm B.6cmC.3cm D.4.5cm6．如圖，在正方體中，（）A. B.C. D.7．已知、，則直線(xiàn)的傾斜角為（）A. B.C. D.8．在四面體中，設(shè)，若F為BC的中點(diǎn)，P為EF的中點(diǎn)，則＝（）A. B.C. D.9．已知過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)l與圓相交于A，B兩點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B.C. D.10．意大利數(shù)學(xué)家斐波那契的《算經(jīng)》中記載了一個(gè)有趣的數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，……，這就是著名的斐波那契數(shù)列，該數(shù)列的前2022項(xiàng)中有（）個(gè)奇數(shù)A.1012 B.1346C.1348 D.135011．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則△ABC（）A.一定是銳角三角形 B.一定是直角三角形C.一定是鈍角三角形 D.是銳角或直角三角形12．如圖，在三棱柱中，平面，，，分別是，中點(diǎn)，在線(xiàn)段上，則與平面的位置關(guān)系是（）A.垂直 B.平行C.相交但不垂直 D.要依點(diǎn)的位置而定二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．下圖是4個(gè)幾何體的展開(kāi)圖，圖①是由4個(gè)邊長(zhǎng)為3的正三角形組成；圖②是由四個(gè)邊長(zhǎng)為3的正三角形和一個(gè)邊長(zhǎng)為3的正方形組成；圖③是由8個(gè)邊長(zhǎng)為3的正三角形組成；圖④是由6個(gè)邊長(zhǎng)為3的正方形組成若直徑為4的球形容器（不計(jì)容器厚度）內(nèi)有一幾何體，則該幾何體的展開(kāi)圖可以是______（填所有正確結(jié)論的番號(hào)）14．如圖是用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出水平放置的正三角形ABC的直觀圖，其中，則三角形的面積為_(kāi)_____.15．不等式的解集是___________.16．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿(mǎn)足通項(xiàng)公式，則________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）某種機(jī)械設(shè)備隨著使用年限的增加，它的使用功能逐漸減退，使用價(jià)值逐年減少，通常把它使用價(jià)值逐年減少的“量”換算成費(fèi)用，稱(chēng)之為“失效費(fèi)”．某種機(jī)械設(shè)備的使用年限（單位：年）與失效費(fèi)（單位：萬(wàn)元）的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示：使用年限（單位：年）1234567失效費(fèi)（單位：萬(wàn)元）2.903.303.604.404.805.205.90（1）由上表數(shù)據(jù)可知，可用線(xiàn)性回歸模型擬合與關(guān)系．請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明；（精確到0.01）（2）求出關(guān)于的線(xiàn)性回歸方程，并估算該種機(jī)械設(shè)備使用8年的失效費(fèi)參考公式：相關(guān)系數(shù)線(xiàn)性回歸方程中斜率和截距最小二乘估計(jì)計(jì)算公式：，參考數(shù)據(jù)：，，18．（12分）已知等差數(shù)列中，，前5項(xiàng)的和為，數(shù)列滿(mǎn)足，（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和19．（12分）已知數(shù)列與滿(mǎn)足（1）若，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)的第k項(xiàng)是數(shù)列的最小項(xiàng)，即恒成立．求證：的第k項(xiàng)是數(shù)列的最小項(xiàng)；（3）設(shè)．若存在最大值M與最小值m，且，試求實(shí)數(shù)的取值范圍20．（12分）已知集合，，.（1）求；（2）若“”是“”的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.21．（12分）已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)與曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)重合.（1）求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若拋物線(xiàn)上的點(diǎn)滿(mǎn)足，求點(diǎn)的坐標(biāo).22．（10分）如圖所示，在四棱錐中，平面，底面是等腰梯形，．且（1）證明：平面平面；（2）若，求平面與平面的夾角的余弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】取，再根據(jù)的周期為4，可得，即可得解.【詳解】因?yàn)?，所?時(shí),，時(shí),，時(shí),，時(shí),，所以集合，所以的子集的個(gè)數(shù)為，故選：C.2、C【解析】求導(dǎo)，根據(jù)題意可得，從而可得出答案.【詳解】解：，因?yàn)楹瘮?shù)在上有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以，即.所以ABD正確，C錯(cuò)誤.故選：C.3、B【解析】由等比中項(xiàng)的性質(zhì)可得，分別計(jì)算曲線(xiàn)的離心率.【詳解】由是和的等比中項(xiàng)，可得，當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)方程為，該曲線(xiàn)為焦點(diǎn)在軸上的橢圓，離心率，當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)方程為，該曲線(xiàn)為焦點(diǎn)在軸上的雙曲線(xiàn)，離心率，故選：B.4、A【解析】求得外接球的半徑，進(jìn)而計(jì)算出外接球體積.【詳解】設(shè)，正八面體的棱長(zhǎng)為，根據(jù)正八面體的性質(zhì)可知：，所以是外接球的球心，且半徑，所以外接球的體積為.故選：A5、A【解析】根據(jù)圓錐和球的體積公式以及半球的體積等于圓錐的體積，即可列式解出【詳解】由題意可得，，解得．故選：A6、B【解析】根據(jù)正方體的性質(zhì)，結(jié)合向量加減法的幾何意義有，即可知所表示的向量.【詳解】∵，而，∴，故選：B7、B【解析】設(shè)直線(xiàn)的傾斜角為，利用直線(xiàn)的斜率公式求出直線(xiàn)的斜率，進(jìn)而可得出直線(xiàn)的傾斜角.【詳解】設(shè)直線(xiàn)的傾斜角為，由斜率公式可得，，因此，.故選：B.8、A【解析】作出圖示，根據(jù)空間向量的加法運(yùn)算法則，即可得答案.【詳解】如圖示：連接OF,因?yàn)镻為EF中點(diǎn)，，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，則，故選：A9、D【解析】經(jīng)判斷點(diǎn)在圓內(nèi)，與半徑相連，所以與垂直時(shí)弦長(zhǎng)最短，最長(zhǎng)為直徑【詳解】將代入圓方程得：，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，連接，當(dāng)時(shí)，弦長(zhǎng)最短，，所以弦長(zhǎng)，當(dāng)過(guò)圓心時(shí)，最長(zhǎng)等于直徑8，所以的取值范圍是故選：D10、C【解析】由斐波那契數(shù)列的前幾項(xiàng)分析該數(shù)列的項(xiàng)的奇偶規(guī)律，由此確定該數(shù)列的前2022項(xiàng)中的奇數(shù)的個(gè)數(shù).【詳解】由已知可得為奇數(shù)，為奇數(shù)，為偶數(shù)，因?yàn)?，所以為奇?shù)，為奇數(shù)，為偶數(shù)，…………所以為奇數(shù)，為奇數(shù)，為偶數(shù)，又故該數(shù)列的前2022項(xiàng)中共有1348個(gè)奇數(shù)，故選：C.11、C【解析】由余弦定理確定角的范圍，從而判斷出三角形形狀【詳解】由得－cosC>0，所以cosC<0，從而C為鈍角，因此△ABC一定是鈍角三角形.故選：C12、B【解析】構(gòu)造三角形,先證∥平面,同理得∥平面,再證平面∥平面即可.【詳解】連接，，.因?yàn)樵谥比庵?，M，N分別是，AB的中點(diǎn)，所以∥.因?yàn)槠矫鎯?nèi)，平面，所以∥平面.同理可得AM∥平面.又因?yàn)?，平面，平面，所以平面∥平?又因?yàn)镻點(diǎn)在線(xiàn)段上，所以∥平面.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①【解析】根據(jù)幾何體展開(kāi)圖可知①正四面體、②正四棱錐、③正八面體、④正方體，進(jìn)而求其外接球半徑，并與4比較大小，即可確定答案.【詳解】若幾何體外接球球心為，半徑為，①由題設(shè)，幾何體為棱長(zhǎng)為3的正四面體，為底面中心，則，，所以，可得，即，滿(mǎn)足要求；②由題設(shè)，幾何體為棱長(zhǎng)為3的正四棱錐，為底面中心，則，所以，可得，即，不滿(mǎn)足要求；③由題設(shè)，幾何體為棱長(zhǎng)為3的正八面體，其外接球直徑同棱長(zhǎng)為3的正四棱錐，故不滿(mǎn)足要求；④由題設(shè)，幾何體為棱長(zhǎng)為3的正方體，體對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)度即為外接球直徑，所以，不滿(mǎn)足要求；故答案為：①14、【解析】根據(jù)直觀圖和平面圖的關(guān)系可求出，進(jìn)而利用面積公式可得三角形的面積【詳解】由已知可得則故答案為：.15、##【解析】將分式不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為不等式組，求解即得.【詳解】原不等式等價(jià)于，解得,故答案為：.16、【解析】由時(shí)，，可得，利用累乘法得，從而即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以時(shí)，，即，化簡(jiǎn)得，又，所以，檢驗(yàn)時(shí)也成立，所以，所以，故答案：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）答案見(jiàn)解析；（2）；失效費(fèi)為6.3萬(wàn)元【解析】（1）根據(jù)相關(guān)系數(shù)公式計(jì)算出相關(guān)系數(shù)可得結(jié)果；（2）根據(jù)公式求出和可得關(guān)于的線(xiàn)性回歸方程，再代入可求出結(jié)果.【詳解】（1）由題意，知，，∴結(jié)合參考數(shù)據(jù)知：因?yàn)榕c的相關(guān)系數(shù)近似為0.99，所以與的線(xiàn)性相關(guān)程度相當(dāng)大，從而可以用線(xiàn)性回歸模型擬合與的關(guān)系（2）∵，∴∴關(guān)于的線(xiàn)性回歸方程為，將代入線(xiàn)性回歸方程得萬(wàn)元，∴估算該種機(jī)械設(shè)備使用8年的失效費(fèi)為6.3萬(wàn)元18、（1），；（2）.【解析】（1）利用等差數(shù)列求和公式可得，進(jìn)而可得，再利用累加法可求，即得；（2）由題可得，然后利用分組求和法即得.【小問(wèn)1詳解】設(shè)公差為d，由題設(shè)可得，解得，所以；當(dāng)時(shí)，，∴，當(dāng)時(shí)，（滿(mǎn)足上述的），所以【小問(wèn)2詳解】∵當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，綜上所述：19、（1）（2）證明見(jiàn)解析．（3）【解析】（1）由已知關(guān)系得出是等差數(shù)列及公差，然后可得通項(xiàng)公式；（2）由已知關(guān)系式，利用累加法證明對(duì)任意的，恒成立，即可得（3）由累加法求得通項(xiàng)公式，然后確定的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)的單調(diào)性，得出數(shù)列的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)，再利用已知范圍解得的范圍【小問(wèn)1詳解】由已知，是等差數(shù)列，公差為6，所以；【小問(wèn)2詳解】對(duì)任意的，恒成立，而恒成立，若，則，恒成立，同理若，也有恒成立，所以對(duì)任意的，恒成立，即是最小項(xiàng)；【小問(wèn)3詳解】時(shí)，，所以，也適合此式所以，若，則，，，即，，若，由于，且是正負(fù)相間，因此無(wú)最大項(xiàng)也無(wú)最小項(xiàng)因此有，所以的奇數(shù)項(xiàng)數(shù)列是遞增數(shù)列，且，，的偶數(shù)項(xiàng)數(shù)列是遞減數(shù)列，且，，所以的最大值是，最小項(xiàng)是，，由，又，所以20、(1).(2).【解析】分析：（1）先求出A,B集合的解集，A集合求定義，B集合解不等式即可，然后由交集定義即可得結(jié)論；（2）若“”是“”的必要不充分條件，說(shuō)明且，然后根據(jù)集合關(guān)系求解.詳解：(1),.則(2)，因?yàn)椤啊笔恰啊钡谋匾怀浞謼l件，所以且.由，得，解得.經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，成立，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.點(diǎn)睛：考查定義域，解不等式，交集的定義以及必要不充分條件，正確求解集合，縷清集合間的基本關(guān)系是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.21、（1）；（2）或.【解析】（1）求出雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)坐標(biāo)，可求出的值，即可得出拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)，由拋物線(xiàn)的定義求出的值，代入拋物線(xiàn)的方程可求得的值，即可得出點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】（1）由雙曲線(xiàn)方程可得，，所以，解得.則曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為，所以，.因此，拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)，由拋物線(xiàn)的定義及已知可得，解得.代入拋物線(xiàn)方程可得，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為或.22、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）由線(xiàn)面垂直的判定定理可得平面，再由面面垂直的判定定理可得平面平面；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，