安徽省宿州市汴北三校聯(lián)考2025屆高二上數(shù)學(xué)期末調(diào)研試題含解析

安徽省宿州市汴北三校聯(lián)考2025屆高二上數(shù)學(xué)期末調(diào)研試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，角終邊上有一點(diǎn)，為銳角，且，則（）A. B.C. D.2．“橢圓的離心率為”是“”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件3．已知F是橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)，B是短軸的一個(gè)端點(diǎn)，直線BF與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為D，且，則C的離心率為（）A. B.C. D.4．若雙曲線的漸近線方程為，則實(shí)數(shù)a的值為（）A B.C.2 D.5．在數(shù)列中，若，則稱為“等方差數(shù)列”，下列對(duì)“等方差數(shù)列”的判斷，其中不正確的為（）A.若是等方差數(shù)列，則是等差數(shù)列 B.若是等方差數(shù)列，則是等方差數(shù)列C.是等方差數(shù)列 D.若是等方差數(shù)列，則是等方差數(shù)列6．在數(shù)列中抽取部分項(xiàng)（按原來(lái)的順序）構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，記為，再在數(shù)列插入適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使它們一起能構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列.若，則數(shù)列中第項(xiàng)前（不含）插入的項(xiàng)的和最小為（）A.30 B.91C.273 D.8207．已知雙曲線，過(guò)左焦點(diǎn)且與軸垂直的直線與雙曲線交于、兩點(diǎn)，若弦的長(zhǎng)恰等于實(shí)鈾的長(zhǎng)，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.8．已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，，是雙曲線上一點(diǎn)，且，，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A. B.C. D.9．函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B.C. D.10．等差數(shù)列的首項(xiàng)為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為.現(xiàn)有下列命題，其中是假命題的有（）A.若有最大值，則數(shù)列的公差小于0B.若，則使的最大的n為18C.若，，則中最大D.若，，則數(shù)列中的最小項(xiàng)是第9項(xiàng)11．已知定義在R上的函數(shù)滿足，且有，則的解集為（）A B.C. D.12．橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，上存在兩點(diǎn)、滿足，，則的離心率為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知曲線的焦距是10，曲線上的點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)的距離是2，則點(diǎn)到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為__________.14．=______.15．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)在的一條漸近線上，若，則的離心率的取值范圍是________16．給定點(diǎn)、、與點(diǎn)，求點(diǎn)到平面的距離______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）2021年7月25日，在東京奧運(yùn)會(huì)自行車公路賽中，奧地利數(shù)學(xué)女博士安娜·基秣崔天以3小時(shí)52分45秒的成績(jī)獲得冠軍，震驚了世界！廣大網(wǎng)友驚呼“學(xué)好數(shù)理化，走遍天下都不怕”．某市對(duì)中學(xué)生的體能測(cè)試成績(jī)與數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)進(jìn)行分析，并從中隨機(jī)抽取了200人進(jìn)行抽樣分析，得到下表（單位：人）：體能一般體能優(yōu)秀合計(jì)數(shù)學(xué)一般5050100數(shù)學(xué)優(yōu)秀4060100合計(jì)90110200（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.10的前提下認(rèn)為“體能優(yōu)秀”還是“體能一般”與數(shù)學(xué)成績(jī)有關(guān)？（結(jié)果精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位）（2）①現(xiàn)從抽取的數(shù)學(xué)優(yōu)秀的人中，按“體能優(yōu)秀”與“體能一般”這兩類進(jìn)行分層抽樣抽取10人，然后，再?gòu)倪@10人中隨機(jī)選出4人，求其中至少有2人是“體能優(yōu)秀”的概率；②將頻率視為概率，以樣本估計(jì)總體，從該市中學(xué)生中隨機(jī)抽取10人參加座談會(huì)，記其中“體能優(yōu)秀”的人數(shù)為X，求X的數(shù)學(xué)期望和方差參考公式：，其中參考數(shù)據(jù)：0.150.100.050.250.0102.0722.7063.8415.0246.63518．（12分）已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為a，，若向量，且（1）求角的值；（2）已知的外接圓半徑為，求周長(zhǎng)的最大值.19．（12分）已知滿足，.（1）求證：是等差數(shù)列，求的通項(xiàng)公式；（2）若，的前項(xiàng)和是，求證：.20．（12分）已知公差不為0的等差數(shù)列滿足：且成等比數(shù)列（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求證是等差數(shù)列21．（12分）2020年8月，總書記對(duì)制止餐飲浪費(fèi)行為作出重要指示，要求進(jìn)一步加強(qiáng)宣傳教育，切實(shí)培養(yǎng)節(jié)約習(xí)慣，在全社會(huì)營(yíng)造浪費(fèi)可恥、節(jié)約光榮的氛圍．為貫徹總書記指示，大慶市某學(xué)校食堂從學(xué)生中招募志愿者，協(xié)助食堂宣傳節(jié)約糧食的相關(guān)活動(dòng)．現(xiàn)已有高一63人、高二42人，高三21人報(bào)名參加志愿活動(dòng)．根據(jù)活動(dòng)安排，擬采用分層抽樣的方法，從已報(bào)名的志愿者中抽取12名志愿者，參加為期20天的第一期志愿活動(dòng)（1）第一期志愿活動(dòng)需從高一、高二、高三報(bào)名的學(xué)生中各抽取多少人？（2）現(xiàn)在要從第一期志愿者中的高二、高三學(xué)生中抽取2人粘貼宣傳標(biāo)語(yǔ)，求抽出兩人都是高二學(xué)生的概率是多少？（3）食堂每天約有400人就餐，其中一組志愿者的任務(wù)是記錄學(xué)生每天倒掉的剩菜剩飯的重量（單位：公斤），以10天為單位來(lái)衡量宣傳節(jié)約糧食的效果．在一個(gè)周期內(nèi)，這組志愿者記錄的數(shù)據(jù)如下：前10天剩菜剩飯的重量為：后天剩菜剩飯的重量為：借助統(tǒng)計(jì)中的圖、表、數(shù)字特征等知識(shí)，分析宣傳節(jié)約糧食活動(dòng)的效果（選擇一種方法進(jìn)行說(shuō)明即可）22．（10分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）試討論函數(shù)的單調(diào)性.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)角終邊上有一點(diǎn)，得到，再根據(jù)為銳角，且，求得，再利用兩角差的正切函數(shù)求解.【詳解】因?yàn)榻墙K邊上有一點(diǎn)，所以，又因?yàn)闉殇J角，且，所以，所以，故選：C2、C【解析】討論橢圓焦點(diǎn)的位置，根據(jù)離心率分別求出參數(shù)m，由充分必要性的定義判斷條件間的充分、必要關(guān)系.【詳解】當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，，得；當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，，得故“橢圓的離心率為”是“”的必要不充分條件故選：C.3、A【解析】設(shè)，根據(jù)得，代入橢圓方程即可求得離心率.【詳解】設(shè)橢圓方程，所以，設(shè)，所以，所以，在橢圓上，所以，.故選：A4、D【解析】由雙曲線的漸近線方程結(jié)合已知可得.【詳解】雙曲線方程為所以漸近線為，故，解得：.故選：D5、B【解析】根據(jù)等方差數(shù)列的定義逐一進(jìn)行判斷即可【詳解】選項(xiàng)A中，符合等差數(shù)列的定義，所以是等差數(shù)列，A正確；選項(xiàng)B中，不是常數(shù)，所以不是等方差數(shù)列，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C中，，所以是等方差數(shù)列，C正確；選項(xiàng)D中，所以是等方差數(shù)列，D正確故選：B6、C【解析】先根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得到，列出數(shù)列的前6項(xiàng)，將其中是數(shù)列的項(xiàng)的所有數(shù)去掉即可求解.【詳解】因?yàn)槭且?為首項(xiàng)、3為公比的等比數(shù)列，所以，則由，得，即數(shù)列中前6項(xiàng)分別為：1、3、9、27、81、243，其中1、9、81是數(shù)列的項(xiàng)，3、27、243不是數(shù)列的項(xiàng)，且，所以數(shù)列中第7項(xiàng)前（不含）插入的項(xiàng)的和最小為.故選：C.7、B【解析】求出，進(jìn)而求出，之間的關(guān)系，即可求解結(jié)論【詳解】解：由題意，直線方程為：，其中，因此，設(shè)，，，，解得，得，，弦的長(zhǎng)恰等于實(shí)軸的長(zhǎng)，，，故選：B8、D【解析】根據(jù)條件設(shè)，，由條件求得，即可求得雙曲線方程.【詳解】設(shè)，則由已知得，，又，，又，，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：D9、B【解析】求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算出和的值，可得出所求切線的點(diǎn)斜式方程，化簡(jiǎn)即可.詳解】，，，，因此，所求切線的方程為，即.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函圖象的切線方程，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題10、B【解析】由有最大值可判斷A；由，可得，，利用可判斷BC；，得，，可判斷D.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，∵有最大值，∴等差數(shù)列一定有負(fù)數(shù)項(xiàng)，∴等差數(shù)列為遞減數(shù)列，故公差小于0，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，∵，且，∴，，∴，，則使的最大的n為17，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，∵，，∴，，故中最大，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，∵，，∴，，故數(shù)列中的最小項(xiàng)是第9項(xiàng)，故選項(xiàng)D正確.故選：B.11、A【解析】構(gòu)造，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)及已知條件判斷的單調(diào)性，而題設(shè)不等式等價(jià)于即可得解.【詳解】設(shè)，則，∴在R上單調(diào)遞增.又，則.∵等價(jià)于，即，∴，即所求不等式的解集為.故選：A12、A【解析】作點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，連接、、、，推導(dǎo)出、、三點(diǎn)共線，利用橢圓的定義可求得、、、，推導(dǎo)出，利用勾股定理可得出關(guān)于、的齊次等式，即可求得該橢圓的離心率.【詳解】作點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，連接、、、，則為、的中點(diǎn)，故四邊形為平行四邊形，故且，則，所以，，故、、三點(diǎn)共線，由橢圓定義，，有，所以，則，再由橢圓定義，有，因?yàn)?，所以，在中，即，所以，離心率故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、或10.【解析】對(duì)參數(shù)a進(jìn)行討論，考慮曲線是橢圓和雙曲線的情況，進(jìn)而結(jié)合橢圓與雙曲線的定義和性質(zhì)求得答案.【詳解】由題意，曲線的半焦距為5，若曲線是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則a>16，所以，而橢圓上的點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)距離是2，則點(diǎn)到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為；若曲線是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則0<a<16，所以，舍去；若曲線是雙曲線，則a<0，容易判斷雙曲線的焦點(diǎn)在y軸，所以，不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的上半支，上下焦點(diǎn)分別為，因?yàn)閷?shí)半軸長(zhǎng)為4，容易判斷點(diǎn)P到下焦點(diǎn)的距離的最小值為4+5=9>2，不合題意，所以點(diǎn)P到上焦點(diǎn)的距離為2，則它到下焦點(diǎn)的距離.故答案為：或10.14、【解析】根據(jù)被積函數(shù)（）表示一個(gè)半圓，利用定積分的幾何意義即可得解.【詳解】被積函數(shù)（）表示圓心為，半徑為2的圓的上半部分，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了利用定積分的幾何意義來(lái)求定積分，在用該方法求解時(shí)需注意被積函數(shù)的在給定區(qū)間內(nèi)的函數(shù)值符號(hào)，本題屬于中檔題.15、【解析】設(shè)，，因?yàn)辄c(diǎn)是線段中點(diǎn)，所以有，代入坐標(biāo)求出點(diǎn)的軌跡為圓，因?yàn)辄c(diǎn)在漸近線上，所以圓與漸近線有公共點(diǎn)，利用點(diǎn)到直線的距離求出臨界狀態(tài)下漸近線的斜率，數(shù)形結(jié)合求出有公共點(diǎn)時(shí)漸近線斜率的范圍，從而求出離心率的范圍.【詳解】解：設(shè)，，因?yàn)辄c(diǎn)是線段的中點(diǎn)，所以有，即有，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以滿足：，代入可得：，即，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，以1為半徑的圓，如圖所示：因?yàn)辄c(diǎn)在漸近線上，所以圓與漸近線有公共點(diǎn)，當(dāng)兩條漸近線與圓恰好相切時(shí)為臨界點(diǎn)，則：圓心到漸近線的距離為，因?yàn)椋?，即，且，所以，此時(shí)，，當(dāng)時(shí)，漸近線與圓有公共點(diǎn)，.故答案為：.16、【解析】先求出平面的法向量，再利用點(diǎn)到面的距離公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)平面的法向量為，點(diǎn)到平面的距離為，，，即，令，得故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）不能，理由見(jiàn)解析；（2）①，②，【解析】（1）運(yùn)用公式求出，比較得出結(jié)論.（2）①先用分層抽樣得到“體能優(yōu)秀”與“體能一般”的人數(shù)，再利用公式計(jì)算至少有2人是“體能優(yōu)秀”的概率.②根據(jù)已知條件知此分布列為二項(xiàng)分布，故利用數(shù)學(xué)期望和方差的公式即可求出答案【小問(wèn)1詳解】由表格的數(shù)據(jù)可得，，故不能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.10的前提下認(rèn)為“體能優(yōu)秀”還是“體能一般”與數(shù)學(xué)成績(jī)有關(guān).【小問(wèn)2詳解】①在數(shù)學(xué)優(yōu)秀的人群中，“體能優(yōu)秀”與“體能一般”的比例為“體能一般”的人數(shù)為，“體能優(yōu)秀”的人數(shù)為故再?gòu)倪@10人中隨機(jī)選出4人，其中至少有2人是“體能優(yōu)秀”的概率為.②由題意可得，隨機(jī)抽取一人“體能優(yōu)秀”的概率為，且故，18、（1）（2）6【解析】（1）由可得，再利用正弦定理和三角函數(shù)恒等變換公可得，從而可求出角的值，（2）利用正弦定理求出，再利用余弦定理結(jié)合基本不等式可得的最大值為4，從而可求出三角形周長(zhǎng)的最大值【小問(wèn)1詳解】由，得

，由正弦定理，得，即.在中，由，得.又，所以.【小問(wèn)2詳解】根據(jù)題意，得，由余弦定理，得，即，整理得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以的最大值為所以.所以的周長(zhǎng)的最大值為

.19、（1）證明見(jiàn)解析，（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）在等式兩邊同時(shí)除以，結(jié)合等差數(shù)列的定義可證得數(shù)列為等差數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公差，可求得的表達(dá)式；（2）求得，利用裂項(xiàng)相消法求得，即可證得原不等式成立.【小問(wèn)1詳解】解：在等式兩邊同時(shí)除以可得且，所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，則，因此，.【小問(wèn)2詳解】證明：，所以，.故原不等式得證.20、（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】(1)根據(jù)等比中項(xiàng)的應(yīng)用可得，結(jié)合等差數(shù)列的定義和求出公差，進(jìn)而得出通項(xiàng)公式；(2)根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)求和公式可得，結(jié)合等差數(shù)列定義即可證明.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為()，由成等比數(shù)列，得，又，所以，解得，所以；【小問(wèn)2詳解】由(1)可得，所以，有，故，又，所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列.21、（1）6，4，2；（2）；（3）答案見(jiàn)解析.【解析】（1）先求出抽樣比，然后每次按比例抽取即可求出；（2）先求出抽出兩人的基本事件，再求出兩人都是高二學(xué)生包含的基本事件，即可求出概率；（3）可求出平均值進(jìn)行判斷；也可畫出莖葉圖觀察判斷.【詳解】解：（1）報(bào)名的學(xué)生共有126人，抽取的比例為，所以高一抽取人，高二抽取人，高三抽取人.（2）記高二四個(gè)學(xué)生為1，2，3，4，高三兩個(gè)學(xué)生為5，6，抽出兩人表示為（x，y），則抽出兩人的基本事件為（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）共15個(gè)基本事件，其中高二學(xué)生都在同一組包含（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共6個(gè)基本事件.記抽出兩人都是高二學(xué)生為事件，則，所以高二學(xué)生都在同一組的概率是.（3）法