上海市四區(qū)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題含解析

上海市四區(qū)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則（）A.5 B.10C.4 D.2．對(duì)于三次函數(shù)，給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”.經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個(gè)三次函數(shù)圖象都有對(duì)稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱中心.設(shè)函數(shù)，則（）A. B.C. D.3．已知函數(shù)在上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.4．某海關(guān)緝私艇在執(zhí)行巡邏任務(wù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)其所在位置正西方向20nmile處有一走私船只，正以30nmile/h的速度向北偏東30°的方向逃竄，若緝私艇突然發(fā)生機(jī)械故障，20min后才以的速度開始追趕，則在走私船只不改變航向和速度的情況下，緝私艇追上走私船只的最短時(shí)間為（）A.1h B.C. D.5．若函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.6．中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則等于（）A. B.C. D.7．已知直線l的方向向量，平面α的一個(gè)法向量為，則直線l與平面α的位置關(guān)系是（）A.平行 B.垂直C.在平面內(nèi) D.平行或在平面內(nèi)8．已知函數(shù).設(shè)命題的定義域?yàn)?，命題的值域?yàn)?若為真，為假，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.9．從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)白球的袋內(nèi)任取2個(gè)球，那么互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是（）A.取出的球至少有1個(gè)紅球；取出的球都是紅球B.取出的球恰有1個(gè)紅球；取出的球恰有1個(gè)白球C.取出的球至少有1個(gè)紅球；取出的球都是白球D.取出的球恰有1個(gè)白球；取出的球恰有2個(gè)白球10．不等式表示的平面區(qū)域是一個(gè)（）A.三角形 B.直角三角形C.矩形 D.梯形11．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足為純虛數(shù)，則的虛部為（）A. B.C. D.12．設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則（）A.64 B.72C.80 D.144二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．命題為假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_____________.14．已知B(，0)是圓A：內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)C是圓A上任意一點(diǎn)，線段BC的垂直平分線與AC相交于點(diǎn)D.則動(dòng)點(diǎn)D的軌跡方程為_________________.15．在數(shù)列中，，，則數(shù)列的前6項(xiàng)和為___________.16．已知函數(shù)，，則曲線在處的切線方程為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)，（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)且前項(xiàng)和為，求18．（12分）在公差為的等差數(shù)列中,已知，且成等比數(shù)列.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若,求.19．（12分）已知關(guān)于的不等式的解集為.（1）求的值；（2）若，求的最小值，并求此時(shí)的值.20．（12分）已知函數(shù)在處取得極值7（1）求的值；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值21．（12分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，且成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列前項(xiàng)和，求使成立的的最小值22．（10分）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過作斜率為的弦.求：（1）弦的長；（2）△的周長.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解.【詳解】由題有，則=5.故選：A2、B【解析】根據(jù)“拐點(diǎn)”的概念可判斷函數(shù)的對(duì)稱中心，進(jìn)而求解.【詳解】，，，令，解得：，而，故函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，，，故選：B.3、A【解析】由題意可知，對(duì)任意的恒成立，可得出對(duì)任意的恒成立，利用基本不等式可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，則，由題意可知，對(duì)任意的恒成立，所以，對(duì)任意的恒成立，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，.故選：A.4、A【解析】設(shè)小時(shí)后，相遇地點(diǎn)為，在三角形中根據(jù)題目條件得出，再在三角形中，由勾股定理即可求出.【詳解】以緝私艇為原點(diǎn)，建立如下圖所示的直角坐標(biāo)系.圖中走私船所在位置為，設(shè)緝私艇追上走私船的最短時(shí)間為，相遇地點(diǎn)為.則，走私船以的速度向北偏東30°的方向逃竄，60°.因?yàn)?0min后緝私艇才以的速度開始追趕走私船，所以20min走私船行走了，到達(dá).在三角形中，由余弦定理知：，則，所以.在三角形中，，，有：，化簡得：，則.緝私艇追上走私船只的最短時(shí)間為1h.故選：A.點(diǎn)睛】5、D【解析】由題意，即在區(qū)間上有兩個(gè)異號(hào)零點(diǎn)，令，利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系判斷單調(diào)性，數(shù)形結(jié)合即可求解【詳解】解：由題意，即在區(qū)間上有兩個(gè)異號(hào)零點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)，則，令，得，令，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又時(shí)，，時(shí)，，且，所以，即，所以的范圍故選：D6、A【解析】由題得，進(jìn)而根據(jù)余弦定理求解即可.【詳解】解：依題意，即，所以，所以，由于，所以故選：A7、D【解析】根據(jù)題意，結(jié)合線面位置關(guān)系的向量判斷方法，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，因?yàn)?，所以，所以直線l與平面α的位置關(guān)系是平行或在平面內(nèi)故選：D8、C【解析】根據(jù)一元二次不等式恒成立和二次函數(shù)值域可求得為真命題時(shí)的取值范圍，根據(jù)和的真假性可知一真一假，分類討論可得結(jié)果.【詳解】若命題為真，則在上恒成立，，；若命題為真，則的值域包含，則或，；為真，為假，一真一假，若真假，則；若假真，則；綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：C.9、D【解析】利用互斥事件、對(duì)立事件的定義逐一判斷即可.【詳解】A答案中的兩個(gè)事件可以同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件B答案中的兩個(gè)事件可以同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件C答案中的兩個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生，但必有一個(gè)發(fā)生，既是互斥事件又是對(duì)立事件D答案中的兩個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生，也可以都不發(fā)生，故是互斥而不對(duì)立事件故選：D【點(diǎn)睛】本題考查的是互斥事件和對(duì)立事件的概念，較簡單.10、D【解析】作出不等式組所表示平面區(qū)域，可得出結(jié)論.【詳解】由可得或，作出不等式組所表示的平面區(qū)域如下圖中的陰影部分區(qū)域所示：由圖可知，不等式表示的平面區(qū)域是一個(gè)梯形.故選：D.11、D【解析】先設(shè)，代入化簡，由純虛數(shù)定義求出，即可求解.【詳解】設(shè)，所以，因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以，解得，所以的虛部為：.故選：D.12、B【解析】利用等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)，求得，再用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式即可求解.【詳解】根據(jù)等差數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)，，解得，.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】依據(jù)題意列出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】命題為假命題，則為真命題則判別式，解之得故答案為：14、【解析】利用橢圓的定義可得軌跡方程.【詳解】連接，由題意，，則，由橢圓的定義可得動(dòng)點(diǎn)D的軌跡為橢圓，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，長半軸長為2，故短半軸長為1，故軌跡方程為：.故答案為：.15、129【解析】依次寫出前6項(xiàng)，即可求得數(shù)列的前6項(xiàng)和.【詳解】數(shù)列中，，則，，，則數(shù)列的前6項(xiàng)和為故答案為：12916、【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得在點(diǎn)處的切線方程.【詳解】由，求導(dǎo)，知，又，則函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）由已知變形得出，即可證得結(jié)論成立；（2）計(jì)算，利用并項(xiàng)求和法可求得.【小問1詳解】證明：對(duì)任意的，，則，且，故數(shù)列為等比數(shù)列，且該數(shù)列的首項(xiàng)為，公比也為，故.【小問2詳解】解：，所以，，因此，.18、(Ⅰ)或(Ⅱ)【解析】(Ⅰ)由題意求得數(shù)列的公差后可得通項(xiàng)公式．(Ⅱ)結(jié)合條件可得，分和兩種情況去掉中的絕對(duì)值后，利用數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求解試題解析：（Ⅰ）∵成等比數(shù)列，∴，整理得，解得或，當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，所以或（Ⅱ）設(shè)數(shù)列前項(xiàng)和為，∵，∴，當(dāng)時(shí)，，∴；當(dāng)時(shí)，綜上19、（1）;（2），.【解析】（1）利用根與系數(shù)的關(guān)系，得到等式和不等式，最后求出的值；（2）化簡函數(shù)的解析式，利用基本不等式可以求出函數(shù)的最小值.【小問1詳解】由題意知：，解得【小問2詳解】由（1）知，∴，由對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性知在上單調(diào)遞減，∴，即當(dāng)，函數(shù)的最小值為20、（1）；（2）.【解析】（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)題中條件，列出方程組求解，即可得出結(jié)果；（2）先由（1）得到，導(dǎo)數(shù)的方法研究其單調(diào)性，進(jìn)而可求出最值.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，又函?shù)在處取得極值7，，解得；，所以，由得或；由得；滿足題意；（2）又，由（1）得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的問題，解題方法如下：（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)題意，結(jié)合函數(shù)在某個(gè)點(diǎn)處取得極值，導(dǎo)數(shù)為0，函數(shù)值為極值，列出方程組，求得結(jié)果；（2）將所求參數(shù)代入，得到解析式，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，得到其最大值.21、(1).(2)10.【解析】（1）借助于將轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而得到數(shù)列為等比數(shù)列，通過首項(xiàng)和公比求得通項(xiàng)公式；（2）整理數(shù)列的通項(xiàng)公式，可知數(shù)列為等比數(shù)列，求得前n項(xiàng)和，代入不等式可求得n的最小值試題解析：（1）由已知，有，即從而又因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，即所以，解得所以，數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列故（2）由（1）得．所以由，得，即因?yàn)椋裕谑?，使成?/p>