2024高考數(shù)學(xué)統(tǒng)考一輪復(fù)習(xí)第九章概率統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例第三節(jié)幾何概型教師文檔教案文北師大版

PAGE第三節(jié)幾何概型授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第174頁[基礎(chǔ)梳理]1．幾何概型的定義假如每個(gè)事務(wù)發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事務(wù)區(qū)域的長度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱幾何概型．2．幾何概型的特點(diǎn)(1)無限性：試驗(yàn)中全部可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本領(lǐng)件)有無限多個(gè)．(2)等可能性：試驗(yàn)結(jié)果在每一個(gè)區(qū)域內(nèi)勻稱分布．3．幾何概型的概率公式P(A)＝eq\f(構(gòu)成事務(wù)A的區(qū)域長度（面積或體積）,試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度（面積或體積）).1．一個(gè)概念一測度幾何概型的概率公式中的“測度(即構(gòu)成事務(wù)的區(qū)域)”只與大小有關(guān)，而與形態(tài)和位置無關(guān)．2．兩種方法推斷幾何概型幾何度量形式的兩種方法(1)當(dāng)題干是雙重變量問題，一般與面積有關(guān)系．(2)當(dāng)題干是單變量問題，要看變量可以等可能到達(dá)的區(qū)域：若變量在線段上移動(dòng)，則幾何度量是長度；若變量在平面區(qū)域(空間區(qū)域)內(nèi)移動(dòng)，則幾何度量是面積(體積)，即一個(gè)幾何度量的形式取決于該度量是否在等可能改變的區(qū)域．[四基自測]1．(基礎(chǔ)點(diǎn)：面積型的幾何概型)有四個(gè)嬉戲盤，將它們水平放穩(wěn)后，在上面扔一顆玻璃小球，若小球落在陰影部分，則可中獎(jiǎng)，小明要想增加中獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，應(yīng)選擇的嬉戲盤是()答案：A2．(基礎(chǔ)點(diǎn)：區(qū)間長度型的幾何概型)在區(qū)間[－2，3]上隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)X，則X≤1的概率為()A.eq\f(4,5) B.eq\f(3,5)C.eq\f(2,5) D.eq\f(1,5)答案：B3．(基礎(chǔ)點(diǎn)：時(shí)間型幾何概型)某人午覺醒來，發(fā)覺表停了，他打開收音機(jī)，想聽電臺(tái)整點(diǎn)報(bào)時(shí)，則他等待的時(shí)間少于20分鐘的概率為________．答案：eq\f(1,3)4．(基礎(chǔ)點(diǎn)：面積型的幾何概型)求在半徑為r的圓內(nèi)隨機(jī)撒一粒黃豆，它落在圓內(nèi)接等腰直角三角形內(nèi)的概率為________．答案：eq\f(1,π)授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第174頁考點(diǎn)一與長度型有關(guān)的幾何概型挖掘1與線段長度有關(guān)的幾何概型/自主練透[例1](2024·長春模擬)已知線段AC＝16cm，先截取AB＝4cm作為長方體的高，再將線段BC隨意分成兩段作為長方體的長和寬，則長方體的體積超過128cm3的概率為________．[解析]設(shè)長方體的長為x，寬為12－x，由4x(12－x)>128，得x2－12x＋32<0，∴4<x<8，即在線段BC內(nèi)，截取點(diǎn)D，滿意BD∈(4，8)，其概率為eq\f(8－4,12)＝eq\f(1,3).[答案]eq\f(1,3)挖掘2與角度有關(guān)的幾何概型/互動(dòng)探究[例2]如圖所示，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，射線OT落在30°角的終邊上，任作一條射線OA，則射線OA落在∠yOT內(nèi)的概率為________．[解析]因?yàn)樯渚€OA在坐標(biāo)系內(nèi)是等可能分布的，所以O(shè)A落在∠yOT內(nèi)的概率為eq\f(60,360)＝eq\f(1,6).[答案]eq\f(1,6)挖掘3與時(shí)間有關(guān)的幾何概型/互動(dòng)探究[例3]某單位試行上班刷卡制度，規(guī)定每天8：30上班，有15分鐘的有效刷卡時(shí)間(即8：15～8：30)，一名職工在7：50到8：30之間到達(dá)單位且到達(dá)單位的時(shí)刻是隨機(jī)的，則他能有效刷卡上班的概率是()A.eq\f(2,3) B.eq\f(5,8)C.eq\f(1,3) D.eq\f(3,8)[解析]該職工在7：50到8：30之間到達(dá)單位且到達(dá)單位的時(shí)刻是隨機(jī)的，設(shè)其構(gòu)成的區(qū)域?yàn)榫€段AB，且AB＝40，職工的有效刷卡時(shí)間是8：15到8：30之間，設(shè)其構(gòu)成的區(qū)域?yàn)榫€段CB，且CB＝15，如圖，所以該職工有效刷卡上班的概率P＝eq\f(15,40)＝eq\f(3,8)，故選D.[答案]D挖掘4與不等式有關(guān)的幾何概型/自主練透[例4]在區(qū)間[0，2]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x，則事務(wù)“－1≤logeq\s\do9(\f(1,2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))≤1”發(fā)生的概率為()A.eq\f(3,4)B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,4)[解析]由－1≤logeq\s\do9(\f(1,2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))≤1，得eq\f(1,2)≤x＋eq\f(1,2)≤2，∴0≤x≤eq\f(3,2)，∴P＝eq\f(\f(3,2),2)＝eq\f(3,4).[答案]A[破題技法]與長度型有關(guān)的幾何概型的常見類型題點(diǎn)解讀適合題型與線段長度有關(guān)將已知總長度的線段截?cái)嘈偷母怕拭黠@的線段長度與角度有關(guān)點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)、形成角度的概率點(diǎn)(射線)旋轉(zhuǎn)問題與時(shí)間有關(guān)將某段時(shí)間進(jìn)行分段的概率時(shí)間分段問題與不等式有關(guān)解不等式其解集是一個(gè)變量的范圍的概率一元不等式問題考點(diǎn)二與面積有關(guān)的幾何概型及模擬試驗(yàn)挖掘1與平面幾何的面積有關(guān)/互動(dòng)探究[例1](1)(2024·高考全國卷Ⅰ)如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖．正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱．在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是()A.eq\f(1,4)B.eq\f(π,8)C.eq\f(1,2)D.eq\f(π,4)[解析]設(shè)正方形邊長為2，則圓半徑為1，則正方形的面積為2×2＝4，圓的面積為π×12＝π，圖中黑色部分的面積為eq\f(π,2)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率為eq\f(\f(π,2),4)＝eq\f(π,8).[答案]B(2)(2024·福州質(zhì)檢)如圖，在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，以該菱形的4個(gè)頂點(diǎn)為圓心的扇形的半徑都為1.若在菱形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自陰影部分的概率是________．[解析]依題意，菱形中空白部分的面積總和等于一個(gè)半徑為1的圓的面積，菱形ABCD的面積為2×2×sin60°＝2eq\r(3).所以該點(diǎn)落在陰影部分的概率P＝1－eq\f(π,2\r(3))＝1－eq\f(\r(3),6)π.[答案]1－eq\f(\r(3),6)π挖掘2與解析幾何有關(guān)的面積/互動(dòng)探究[例2](1)已知以原點(diǎn)O為圓心，1為半徑的圓以及函數(shù)y＝x3的圖像如圖所示，則向圓內(nèi)隨意投擲一粒小米(視為質(zhì)點(diǎn))，則該小米落入陰影部分的概率為()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,6)D.eq\f(1,8)[解析]由圖形的對(duì)稱性知，所求概率為eq\f(\f(1,4)π×12,π×12)＝eq\f(1,4).故選B.[答案]B(2)(2024·湖南衡陽聯(lián)考)已知圓C：(x－2)2＋y2＝2，在圓C內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)M，直線OM交圓C于A，B兩點(diǎn)(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則|AB|＜2的概率為________．[解析]由已知得C(2，0)，當(dāng)|AB|＝2時(shí)，∠ACB＝90°，所以當(dāng)|AB|＜2時(shí)，點(diǎn)M在如圖所示的陰影部分，S陰影＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－1))＝π－2，所以|AB|＜2的概率P＝eq\f(S陰影,S圓)＝eq\f(π－2,2π)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,π).[答案]eq\f(1,2)－eq\f(1,π)挖掘3隨機(jī)模擬的應(yīng)用/互動(dòng)探究[例3](2024·安徽合肥模擬)如圖是一個(gè)正六邊形及其內(nèi)切圓，現(xiàn)實(shí)行隨機(jī)模擬的方法估計(jì)圓周率π的值．隨機(jī)撒一把豆子，若落在正六邊形內(nèi)的豆子個(gè)數(shù)為N，落在正六邊形內(nèi)切圓內(nèi)的豆子個(gè)數(shù)為M，則估計(jì)圓周率π的值為()A.eq\r(\f(2\r(3)M,N)) B.eq\r(\f(3M,N))C.eq\f(3M,N) D.eq\f(2\r(3)M,N)[解析]設(shè)正六邊形的邊長為1，則其內(nèi)切圓的半徑為eq\f(\r(3),2)，依題意得，eq\f(π×（\f(\r(3),2)）2,6×\f(\r(3),4)×12)＝eq\f(M,N)，解得π＝eq\f(2\r(3)M,N)，故選D.[答案]D[破題技法]與面積有關(guān)的幾何概型：求解與面積有關(guān)的幾何概型時(shí)，關(guān)鍵是弄清某事務(wù)對(duì)應(yīng)的面積．必要時(shí)可依據(jù)題意構(gòu)造兩個(gè)變量，把變量看成點(diǎn)的坐標(biāo)，找到全部試驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成的平面圖形，以便求解．考點(diǎn)三與體積有關(guān)的幾何概型[例](2024·長沙模擬)在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)O為底面ABCD的中心，在正方體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)[解析]V正＝23＝8，V半球＝eq\f(