2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第四章指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)4.5增長(zhǎng)速度的比較課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)含解析新人教B版必修第二冊(cè)

PAGE增長(zhǎng)速度的比較(15分鐘30分)1.下列函數(shù)中函數(shù)值隨x的增大而增長(zhǎng),且函數(shù)值增長(zhǎng)速度最快的是 ()A.y=QUOTEex B.y=10lnx3C.y=x10 D.y=10·2x【解析】選A.對(duì)于C,函數(shù)值隨x的增大先減小后增大,不符合題意,對(duì)于B,可化為y=30lnx,函數(shù)值增長(zhǎng)速度越來(lái)越慢,而A,D中函數(shù)值增長(zhǎng)速度越來(lái)越快,因?yàn)閑>2,所以QUOTEex比10·2x增長(zhǎng)速度快.故選A.2.函數(shù)y=x2+1在QUOTE上的平均改變率是 ()A.2 B.2xC.2+Δx D.2+QUOTE【解析】選C.依題意,所求平均改變率為QUOTE=2+Δx.3.有一組試驗(yàn)數(shù)據(jù)如表所示:t12345s1.55.913.424.137下列所給函數(shù)模型較適合的是 ()A.y=logax(a>1) B.y=ax+b(a>1)C.y=ax2+b(a>0) D.y=logax+b(a>1)【解析】選C.通過(guò)所給數(shù)據(jù)可知s隨t的增大而增大,其增長(zhǎng)速度越來(lái)越快,而A、D中的函數(shù)增長(zhǎng)速度越來(lái)越慢,而B中的函數(shù)增長(zhǎng)速度保持不變.4.某林區(qū)的森林蓄積量平均每年比上一年增長(zhǎng)10.4%,若經(jīng)過(guò)x年可以增長(zhǎng)到原來(lái)的y倍,則函數(shù)y=f(x)的大致圖像是下圖中的 ()【解析】選D.設(shè)某林區(qū)的森林蓄積量原有1個(gè)單位,則經(jīng)過(guò)1年森林的蓄積量為1+10.4%;經(jīng)過(guò)2年森林的蓄積量為(1+10.4%)2;…;經(jīng)過(guò)x年的森林蓄積量為(1+10.4%)x(x≥0),因?yàn)榈讛?shù)110.4%大于1,依據(jù)指數(shù)增長(zhǎng)的特征可知選D.5.若函數(shù)f(x)在隨意區(qū)間內(nèi)的平均改變率比g(x)=1在同一區(qū)間內(nèi)的平均改變率大,則函數(shù)f(x)可以為______,函數(shù)f(x)是________函數(shù).(填“單調(diào)遞增”或“單調(diào)遞減”)

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)g(x)=1在隨意區(qū)間上的改變率為0,所以函數(shù)f(x)在隨意區(qū)間上的改變率為正數(shù),所以函數(shù)f(x)可以為f(x)=x,且函數(shù)f(x)是單調(diào)遞增函數(shù).答案:x(答案不唯一)單調(diào)遞增6.若函數(shù)f(x)在隨意區(qū)間內(nèi)的平均改變率均為QUOTE,且函數(shù)的圖像過(guò)(2,2)點(diǎn),求f(x)的解析式.【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在隨意區(qū)間內(nèi)的平均改變率均為QUOTE,則f(x)為一次函數(shù),設(shè)f(x)=QUOTEx+b,又函數(shù)圖像過(guò)點(diǎn)(2,2),所以2=QUOTE×2+b,所以b=1,所以f(x)=QUOTEx+1.(30分鐘60分)一、單選題(每小題5分,共20分)1.如圖,函數(shù)y=f(x)在A,B兩點(diǎn)間的平均改變率等于 ()A.-1 B.1 C.-2 D.2【解析】選A.易知fQUOTE=3,fQUOTE=1,因此QUOTE=-1.2.函數(shù)f(x)=x3在區(qū)間QUOTE上的平均改變率為 ()A.1 B.9C.19 D.36【解析】選C.QUOTE=QUOTE=19.3.函數(shù)f(x)=QUOTE在區(qū)間[1,a]上的平均改變率為QUOTE,則實(shí)數(shù)a的值為 ()A.10 B.9 C.8 D.7【解析】選B.f(x)=QUOTE在區(qū)間[1,a]上的平均改變率為QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE,解得實(shí)數(shù)a的值為9.4.已知f(x)=2x,g(x)=3x,h(x)=x3,則在區(qū)間QUOTE上函數(shù)值增長(zhǎng)速度的大小依次是 ()A.h(x)<f(x)<g(x)B.h(x)<g(x)<f(x)C.f(x)<g(x)<h(x)D.g(x)<f(x)<h(x)【解析】選C.因?yàn)镼UOTE=QUOTE=2,QUOTE=QUOTE=6,QUOTE=QUOTE=7,所以函數(shù)在區(qū)間QUOTE上的函數(shù)值增長(zhǎng)速度的大小依次是f(x)<g(x)<h(x).二、多選題(每小題5分,共10分,全部選對(duì)得5分,選對(duì)但不全的得3分,有選錯(cuò)的得0分)5.若函數(shù)f(x)=x2由x=1至x=1+Δx的平均改變率的取值范圍是(1.975,2.025),則增量Δx的取值可以為 ()A.-0.1 B.0.001 C.0.01 D.0.1【解析】選BC.QUOTE=QUOTE=Δx+2,因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x2由x=1至x=1+Δx的平均改變率的取值范圍是QUOTE,所以1.975<Δx+2<2.025,-0.025<Δx<0.025,結(jié)合選項(xiàng)知,B,C符合題意.6.若函數(shù)f(x)=x,g(x)=x2,h(x)=x3在QUOTE上的平均改變率分別記為m1,m2,m3,則下面結(jié)論不正確的是 ()A.m1=m2=m3 B.m1>m2>m3C.m2>m1>m3 D.m1<m2<m3【解析】選BCD.函數(shù)f(x)=x在QUOTE上的平均改變率為m1=QUOTE=1;函數(shù)g(x)=x2在QUOTE上的平均改變率為m2=QUOTE=1;函數(shù)h(x)=x3在QUOTE上的平均改變率為m3=QUOTE=1;所以m1=m2=m3,故選BCD.【補(bǔ)償訓(xùn)練】下面對(duì)函數(shù)f(x)=QUOTEx,g(x)=QUOTE和h(x)=QUOTE在區(qū)間QUOTE上的說(shuō)法不正確的是 ()A.f(x)的遞減速度越來(lái)越慢,g(x)的遞減速度越來(lái)越快,h(x)的遞減速度越來(lái)越慢B.f(x)的遞減速度越來(lái)越快,g(x)的遞減速度越來(lái)越慢,h(x)的遞減速度越來(lái)越快C.f(x)的遞減速度越來(lái)越慢,g(x)的遞減速度越來(lái)越慢,h(x)的遞減速度越來(lái)越慢D.f(x)的遞減速度越來(lái)越快,g(x)的遞減速度越來(lái)越快,h(x)的遞減速度越來(lái)越快【解析】選ABD.視察函數(shù)f(x)=QUOTEx,g(x)=QUOTE和h(x)=QUOTE在區(qū)間QUOTE上的圖像,由圖像(圖略)可知:函數(shù)f(x)的圖像在區(qū)間QUOTE上遞減較快,但遞減速度漸漸變慢;在區(qū)間QUOTE上遞減較慢,且越來(lái)越慢.同樣,函數(shù)g(x)的圖像在區(qū)間QUOTE上遞減較慢,且遞減速度越來(lái)越慢.函數(shù)h(x)的圖像在區(qū)間QUOTE上遞減較快,但遞減速度變慢;在區(qū)間QUOTE上遞減較慢,且越來(lái)越慢.三、填空題(每小題5分,共10分)7.已知f(x)=3x+2在隨意區(qū)間上的平均改變率為________,當(dāng)自變量每增加1個(gè)單位時(shí),函數(shù)值增加______個(gè)單位.

【解析】設(shè)區(qū)間QUOTE,則QUOTE=QUOTE=3,當(dāng)自變量每增加1個(gè)單位時(shí),函數(shù)值增加3個(gè)單位.答案:338.函數(shù)y=x2與函數(shù)y=xlnx在區(qū)間(0,+∞)上增長(zhǎng)較快的一個(gè)是________.

【解析】當(dāng)x變大時(shí),x比lnx增長(zhǎng)得快,所以x2要比xlnx增長(zhǎng)得快.答案:y=x2四、解答題(每小題10分,共20分)9.已知函數(shù)f(x)=3x+1,g(x)=5x-4,(1)推斷f(2),g(2)的相對(duì)大小.(2)求使f(2+Δx)<g(2+Δx)成立的Δx的取值范圍.【解析】(1)因?yàn)閒(2)=2×3+1=7,g(2)=2×5-4=6,所以f(2)>g(2).(2)令f(2+Δx)<g(2+Δx),則3(2+Δx)+1<5(2+Δx)-4,即2Δx>1,解得Δx>QUOTE.10.假如函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上是減函數(shù),而函數(shù)QUOTE在區(qū)間I上是增函數(shù),那么稱函數(shù)y=f(x)是區(qū)間I上的“緩減函數(shù)”,區(qū)間I叫做“緩減區(qū)間”.求函數(shù)f(x)=QUOTEx2-2x+1區(qū)間的緩減區(qū)間.【解析】對(duì)于f(x)=QUOTEx2-2x+1,對(duì)稱軸為x=2,在區(qū)間(-∞,2]上是減函數(shù).對(duì)于y=QUOTE=QUOTE+QUOTE-2,令g(x)=QUOTE+QUOTE,所以g(x)為奇函數(shù),令0<x1<x2,則g(x1)-g(x2)=QUOTE+QUOTE-QUOTE=QUOTE(x1-x2)+QUOTE-QUOTE=QUOTE(x1-x2)+QUOTE=(x1-x2)QUOTE=(x1-x2)·QUOTE,當(dāng)x1,x2∈(0,QUOTE]上時(shí),x1-x2<0,x1x2-2<0,所以g(x1)-g(x2)>0,所以g(x1)>g(x2),g(x)為減函數(shù).當(dāng)x1,x2∈[QUOTE,+∞)時(shí),x1-x2<0,x1x2-2>0,所以g(x1)-g(x2)<0,g(x)為增函數(shù),又g(x)為奇函數(shù),所以在[-QUOTE,0)上是減函數(shù),在(-∞,-QUOTE]上是增函數(shù),所以y=QUOTE在(-∞,-QUOTE],[QUOTE,2]上是增函數(shù),故函數(shù)f(x)的緩減區(qū)間為(-∞,-QUOTE],[QUOTE,2].1.已知函數(shù)f(x)=x2,g(x)=3x,h(x)=lnx,這三個(gè)函數(shù)在區(qū)間QUOTE(a>1)上的平均改變率的大小為________.

【解析】因?yàn)镼UOTE=QUOTE=2a+1,QUOTE=QUOTE=3,QUOTE=QUOTE=lnQUOTE,又因?yàn)閍>1,所以2a+1>2×1+1=3,lnQUOTE<lnQUOTE=ln2<lne=1<3,因此在區(qū)間QUOTE上,f(x)的平均改變率最大,h(x)的平均改變率最小.答案:f(x)>g(x)>h