新高考數(shù)學(xué)題型全歸納之排列組合專題01兩個(gè)計(jì)數(shù)原理(原卷版+解析)

專題1兩個(gè)計(jì)數(shù)原理類型一、加法原理【例1】高二年級(jí)一班有女生人，男生人，從中選取一名學(xué)生作代表，參加學(xué)校組織的調(diào)查團(tuán)，問(wèn)選取代表的方法有幾種．【解析】．【例2】若、是正整數(shù)，且，則以為坐標(biāo)的點(diǎn)共有多少個(gè)？【解析】．【例3】用到這個(gè)數(shù)字，可以組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．【解析】由題意知本題要分類來(lái)解，當(dāng)尾數(shù)為2、4、6、8時(shí)，個(gè)位有4種選法，因百位不能為0，所以百位有8種，十位有8種，共有當(dāng)尾數(shù)為0時(shí)，百位有9種選法，十位有8種結(jié)果，共有根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理知共有故選：．【例4】用數(shù)字組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．【解析】由題意知本題需要分步計(jì)數(shù)，2和4排在末位時(shí)，共有種排法，其余三位數(shù)從余下的四個(gè)數(shù)中任取三個(gè)有種排法，根據(jù)由分步計(jì)數(shù)原理得到符合題意的偶數(shù)共有（個(gè)．故選：．【例5】用這個(gè)數(shù)字，可以組成____個(gè)大于，小于的數(shù)字不重復(fù)的四位數(shù)．【解析】分四類：=1\*GB3①千位數(shù)字為3,4之一時(shí)，百十個(gè)位數(shù)只要不重復(fù)即可，有個(gè)；=2\*GB3②千位數(shù)字為5時(shí)，百位數(shù)字為0,1,2,3之一時(shí)，有個(gè)；=3\*GB3③千位數(shù)字為5時(shí)，百位數(shù)字是4，十位數(shù)字是0,1之一時(shí)，有個(gè)；最后還有5420也滿足題意.所以，所求四位數(shù)共有個(gè).故答案為．類型二、乘法原理【例6】公園有個(gè)門，從一個(gè)門進(jìn)，一個(gè)門出，共有_____種不同的走法．【解析】根據(jù)題意，要求從從任一門進(jìn)，從任一門出，則進(jìn)門的方法有4種，出門的方法也有4種，則不同的走法有種【例7】將個(gè)不同的小球放入個(gè)盒子中，則不同放法種數(shù)有_______．【解析】根據(jù)題意，依次對(duì)3個(gè)小球進(jìn)行討論：第一個(gè)小球可以放入任意一個(gè)盒子，即有4種不同的放法，同理第二個(gè)小球也有4種不同的放法，第三個(gè)小球也有4種不同的放法，即每個(gè)小球都有4種可能的放法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理知共有即不同的放法，故答案為：64．【例8】如果在一周內(nèi)（周一至周日）安排三所學(xué)校的學(xué)生參觀某展覽館，每天最多只安排一所學(xué)校，要求甲學(xué)校連續(xù)參觀兩天，其余兩所學(xué)校均只參觀一天，那么不同的安排方法共有種．【解析】分兩步完成，第一步先安排甲學(xué)校參觀，共六種安排方法；第二步安排另外兩所學(xué)校，共有安排方法，故不同的安排種法有，故答案為120．【例9】高二年級(jí)一班有女生人，男生人，從中選取一名男生和一名女生作代表，參加學(xué)校組織的調(diào)查團(tuán)，問(wèn)選取代表的方法有幾種．【解析】【例10】六名同學(xué)報(bào)名參加三項(xiàng)體育比賽，每人限報(bào)一項(xiàng)，共有多少種不同的報(bào)名結(jié)果？【解析】每人都可以從這三個(gè)比賽項(xiàng)目中選報(bào)一項(xiàng)，各有3種不同的報(bào)名方法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，可得共有不同的報(bào)名方法種．【例11】六名同學(xué)參加三項(xiàng)比賽，三個(gè)項(xiàng)目比賽冠軍的不同結(jié)果有多少種？【解析】由題意，每項(xiàng)比賽的冠軍都有種可能，因?yàn)橛?項(xiàng)體育比賽，所以冠軍獲獎(jiǎng)?wù)吖灿蟹N可能【例12】用，，，，，組成六位數(shù)（沒(méi)有重復(fù)數(shù)字），要求任何相鄰兩個(gè)數(shù)字的奇偶性不同，且和相鄰，這樣的六位數(shù)的個(gè)數(shù)是__________（用數(shù)字作答）．【解析】解析：可分三步來(lái)做這件事：第一步：先將3、5排列，共有種排法；第二步：再將4、6插空排列，插空時(shí)要滿足奇偶性不同的要求，共有種排法；第三步：將1、2放到3、5、4、6形成的空中，共有種排法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理得共有（種．答案為：40【例13】從集合中任選兩個(gè)元素作為橢圓方程中的和，則能組成落在矩形區(qū)域且內(nèi)的橢圓個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．【解析】橢圓落在矩形內(nèi)，滿足題意必須有，，所以有兩類，一類是，從，2，3，，7，任選兩個(gè)不同數(shù)字，方法有令一類是從9，10，兩個(gè)數(shù)字中選一個(gè)，從，2，3，，7，中選一個(gè)方法是：所以滿足題意的橢圓個(gè)數(shù)是：故選：．【例14】若一系列函數(shù)的解析式相同，值域相同，但其定義域不同，則稱這些函數(shù)為“同族函數(shù)”，那么函數(shù)解析式為，值域?yàn)榈摹巴搴瘮?shù)”共有（）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【解析】定義域是集合的子集，且子集中至少應(yīng)該含有、1中的一個(gè)和、3中的一個(gè)，滿足條件的定義有：，、，、，、，、，1，、，1，、，，、，，、，1，，，共9個(gè)．故選：．【例15】某銀行儲(chǔ)蓄卡的密碼是一個(gè)位數(shù)碼，某人采用千位、百位上的數(shù)字之積作為十位和個(gè)位上的數(shù)字（如）的方法設(shè)計(jì)密碼，當(dāng)積為一位數(shù)時(shí)，十位上數(shù)字選，并且千位、百位上都能?。@樣設(shè)計(jì)出來(lái)的密碼共有（）A．個(gè) B．個(gè)C．個(gè) D．個(gè)【例16】從集合中，選出個(gè)數(shù)組成子集，使得這個(gè)數(shù)中的任何兩個(gè)數(shù)之和不等于，則取出這樣的子集的個(gè)數(shù)為（）A．B．C．D．【解析】從集合，，，，0，1，2，3，4，中，隨機(jī)選出5個(gè)數(shù)組成子集，共有種取法，即可組成個(gè)子集，記“這5個(gè)數(shù)中的任何兩個(gè)數(shù)之和不等于1”為事件，而兩數(shù)之和為1的數(shù)組分別為，，，，，，包含的結(jié)果有①只有有一組數(shù)的和為1，有種結(jié)果②有兩組數(shù)之和為1，有種，則包含的結(jié)果共有種故答案為：．【例17】若、是整數(shù)，且，，則以為坐標(biāo)的不同的點(diǎn)共有多少個(gè)？【解析】整數(shù)，滿足，則，，，0，1，2，，，，，，0，1，2，3，，從種選一個(gè)共有種方法，從選一個(gè)共有種方法，故有種．故答案為：．【例18】用，，，，，這個(gè)數(shù)字：⑴可以組成______________個(gè)數(shù)字不重復(fù)的三位數(shù)．⑵可以組成______________個(gè)數(shù)字允許重復(fù)的三位數(shù)．【解析】（1）根據(jù)題意，分2步分析：①、先選百位，百位可以在1、2、3、4、5中任選1個(gè)，則百位有5種方法，②、在剩下的5個(gè)數(shù)字中任選2個(gè)，安排在十位、個(gè)位，有種選法，則可以組成個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)（2）分3步進(jìn)行分析：①、先選百位，百位可以在1、2、3、4、5中任選1個(gè)，則百位有5種選法，②、再選十位，十位可以在0、1、2、3、4、5中任選1個(gè)，則十位有6種選法，③、最后分析個(gè)位，個(gè)位可以在0、1、2、3、4、5中任選1個(gè)，則個(gè)位有6種選法，則可以組成個(gè)數(shù)字允許重復(fù)的三位數(shù)；【例19】六名同學(xué)報(bào)名參加三項(xiàng)體育比賽，共有多少種不同的報(bào)名結(jié)果？【解析】【例20】將名教師分配到所中學(xué)任教，每所中學(xué)至少一名教師，則不同的分配方案共有（）種．A． B． C． D．【解析】將名教師分配到所中學(xué)任教，每所中學(xué)至少1名教師，只有一種結(jié)果1，2，首先從個(gè)人中選個(gè)作為一個(gè)元素，使它與其他兩個(gè)元素在一起進(jìn)行排列，共有種結(jié)果，故選：．類型三、基本計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用【例21】用，，，，排成無(wú)重復(fù)字的五位數(shù)，要求偶數(shù)字相鄰，奇數(shù)字也相鄰，則這樣的五位數(shù)的個(gè)數(shù)是_________．（用數(shù)字作答）【解析】按首位數(shù)字的奇偶性分兩類：一類是首位是奇數(shù)的，有：；另一類是首位是偶數(shù)，有：則這樣的五位數(shù)的個(gè)數(shù)是：．故答案為：．【例22】若自然數(shù)使得作豎式加法均不產(chǎn)生進(jìn)位現(xiàn)象．則稱為“可連數(shù)”．例如：是“可連數(shù)”，因不產(chǎn)生進(jìn)位現(xiàn)象；不是“可連數(shù)”，因產(chǎn)生進(jìn)位現(xiàn)象．那么，小于的“可連數(shù)”的個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．【解析】如果是良數(shù)，則的個(gè)位數(shù)字只能是0，1，2，非個(gè)位數(shù)字只能是0，1，2，3（首位不為，而小于1000的數(shù)至多三位，一位的良數(shù)有0，1，2，共3個(gè)二位的良數(shù)個(gè)位可取0，1，2，十位可取1，2，3，共有個(gè)三位的良數(shù)個(gè)位可取0，1，2，十位可取0，1，2，3，百位可取1，2，3，共有個(gè)．綜上，小于1000的“良數(shù)”的個(gè)數(shù)為個(gè)故選：．【例23】由正方體的8個(gè)頂點(diǎn)可確定多少個(gè)不同的平面？【解析】依題意，正方體的8個(gè)頂點(diǎn)所確定的平面有：6個(gè)表面，6個(gè)對(duì)角面，8個(gè)正三角形平面共個(gè).故答案為：【例24】分母是385的最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)一共有多少個(gè)？并求它們的和．【解析】因?yàn)椋谶@385個(gè)自然數(shù)中，5的倍數(shù)有（個(gè)，7的倍數(shù)有（個(gè)，11的倍數(shù)有（個(gè)，的倍數(shù)有（個(gè)，的倍數(shù)有（個(gè)，的倍數(shù)有（個(gè)，385的倍數(shù)有1個(gè)．由容斥原理知，在中能被5、7或11整除的數(shù)有（個(gè)，而5、7、11互質(zhì)的數(shù)有（個(gè)．即分母為385的真分?jǐn)?shù)有240（個(gè)．如果有一個(gè)真分?jǐn)?shù)為，則必還有另一個(gè)真分?jǐn)?shù)，即以385為分母的最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)是成對(duì)出現(xiàn)的，而每一對(duì)之和恰為1．故以385為分母的240最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)可以分成120時(shí)，它們的和為．【例25】用，，，，，這個(gè)數(shù)字，可以組成_______個(gè)大于，小于的數(shù)字不重復(fù)的四位數(shù)．【解析】分四類：=1\*GB3①千位數(shù)字為3,4之一時(shí)，百十個(gè)位數(shù)只要不重復(fù)即可，有個(gè)；=2\*GB3②千位數(shù)字為5時(shí)，百位數(shù)字為0,1,2,3之一時(shí)，有個(gè)；=3\*GB3③千位數(shù)字為5時(shí)，百位數(shù)字是4，十位數(shù)字是0,1之一時(shí)，有個(gè)；最后還有5420也滿足題意.所以，所求四位數(shù)共有個(gè).故答案為．【例26】某通訊公司推出一組手機(jī)卡號(hào)碼，卡號(hào)的前七位數(shù)字固定，從“”到“”共個(gè)號(hào)碼．公司規(guī)定：凡卡號(hào)的后四位帶有數(shù)字“”或“”的一律作為“優(yōu)惠卡”，則這組號(hào)碼中“優(yōu)惠卡”的個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．【解析】個(gè)號(hào)碼中不含4、7的有，“優(yōu)惠卡”的個(gè)數(shù)為，故選：．【例27】同室人各寫張賀年卡，先集中起來(lái)，然后每人從中各拿張別人送出的賀年卡，則張賀年卡不同的分配方式有（

）A．

B．種

C．種

D．種【解析】設(shè)四人分別為、、、，寫的卡片分別為、、、，由于每個(gè)人都要拿別人寫的，即不能拿自己寫的，故有三種拿法，不妨設(shè)拿了，則可以拿剩下三張中的任一張，也有三種拿法，和只能有一種拿法，所以共有種分配方式，故選：．【例28】某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的6個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開(kāi)演前又增加了3個(gè)新節(jié)目，如果將這3個(gè)節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同的插法種數(shù)為（）A． B． C． D．【解析】由題意知將這3個(gè)節(jié)目插入節(jié)目單中，原來(lái)的節(jié)目順序不變，三個(gè)新節(jié)目一個(gè)一個(gè)插入節(jié)目單中，原來(lái)的6個(gè)節(jié)目形成7個(gè)空，在這7個(gè)位置上插入第一個(gè)節(jié)目，共有7種結(jié)果，原來(lái)的6個(gè)和剛插入的一個(gè)，形成8個(gè)空，有8種結(jié)果，同理最后一個(gè)節(jié)目有9種結(jié)果根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理得到共有插法種數(shù)為，故選：．【例29】某班學(xué)生參加植樹(shù)節(jié)活動(dòng)，苗圃中有甲、乙、丙3種不同的樹(shù)苗，從中取出5棵分別種植在排成一排的5個(gè)樹(shù)坑內(nèi)，同種樹(shù)苗不能相鄰，且第一個(gè)樹(shù)坑和第5個(gè)樹(shù)坑只能種甲種樹(shù)苗的種法共（）A．15種 B．12種 C．9種 D．6種【解析】同種樹(shù)苗不相鄰且第一個(gè)樹(shù)坑和第5個(gè)樹(shù)坑只能種甲種樹(shù)苗，只有中間三個(gè)坑需要選擇樹(shù)苗，當(dāng)中間一個(gè)種甲時(shí)，第二和第四個(gè)坑都有2種選法，共有4種結(jié)果，當(dāng)中間一個(gè)不種甲時(shí)，則中間一個(gè)種乙或丙，當(dāng)中間這個(gè)種乙時(shí)，第二和第四個(gè)位置樹(shù)苗確定，當(dāng)中間一個(gè)種丙時(shí)，第二和第四個(gè)位置樹(shù)苗確定，共有2種結(jié)果，總上可知共有種結(jié)果，故選：．【例30】用到這個(gè)數(shù)字，可以組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．【解析】由題意知本題要分類來(lái)解，當(dāng)尾數(shù)為2、4、6、8時(shí)，個(gè)位有4種選法，因百位不能為0，所以百位有8種，十位有8種，共有當(dāng)尾數(shù)為0時(shí)，百位