新高考數學專題復習專題27函數單調性含參問題的研究專題練習(學生版+解析)

專題27函數單調性含參問題的研究一、題型選講題型一、含參區(qū)間的討論求含參函數單調區(qū)間的實質——解含參不等式，而定義域對的限制有時會簡化含參不等式的求解。當參數的不同取值對下一步的影響不相同時，就是分類討論開始的時機。當參數扮演多個角色時，則以其中一個為目標進行分類，在每一大類下再考慮其他角色的情況以及是否要進行進一步的分類。例1、【2019年高考全國Ⅲ卷理數】已知函數.討論的單調性；變式1、（2019·夏津第一中學高三月考）已知函數．當時，討論的單調性；變式2、（2020屆山東省濰坊市高三上期末）已知函數.(1)討論函數的單調性;變式3、（2020屆山東省煙臺市高三上期末）已知函數，其中.（1）求函數的單調區(qū)間；變式4、（2020屆山東省臨沂市高三上期末）函數（）.（1）討論的單調性；題型二、給定區(qū)間的單調性已知在某區(qū)間的單調性求參數范圍問題，其思路為通過導數將問題轉化成為不等式恒成立或不等式能成立問題，進而求解，要注意已知函數單調遞增（減）時，其導函數（），勿忘等號。例2、【2019年高考北京理數】設函數（a為常數）．若f（x）為奇函數，則a=________；若f（x）是R上的增函數，則a的取值范圍是___________．變式1、（2020屆山東省濰坊市高三上學期統考）已知函數.若在上是單調遞增函數，求的取值范圍；變式2、(2018無錫期末）若函數f(x)＝(x＋1)2|x－a|在區(qū)間[－1，2]上單調遞增，則實數a的取值范圍是________．二、達標訓練1、（2018年泰州期中），若在上存在單調遞增區(qū)間，則的取值范圍是_______2、【2018年高考天津理數】已知函數，，其中a>1.（I）求函數的單調區(qū)間；3、【2018年高考全國Ⅰ卷理數】已知函數．（1）討論的單調性；4、（2020屆山東省九校高三上學期聯考）已知函數，（1）求的極值；（2）若時，與的單調性相同，求的取值范圍；5、（2020屆山東省德州市高三上期末）已知函數（為常數）.（1）若在處的切線與直線垂直，求的值；（2）若，討論函數的單調性.專題27函數單調性含參問題的研究一、題型選講題型一、含參區(qū)間的討論求含參函數單調區(qū)間的實質——解含參不等式，而定義域對的限制有時會簡化含參不等式的求解。當參數的不同取值對下一步的影響不相同時，就是分類討論開始的時機。當參數扮演多個角色時，則以其中一個為目標進行分類，在每一大類下再考慮其他角色的情況以及是否要進行進一步的分類。例1、【2019年高考全國Ⅲ卷理數】已知函數.討論的單調性；【解析】．令，得x=0或.若a>0，則當時，；當時，．故在單調遞增，在單調遞減；若a=0，在單調遞增；若a<0，則當時，；當時，．故在單調遞增，在單調遞減.變式1、（2019·夏津第一中學高三月考）已知函數．當時，討論的單調性；【解析】函數的定義域為.，因為，所以，①當，即時，由得或，由得，所以在，上是增函數，在上是減函數；②當，即時，所以在上是增函數；③當，即時，由得或，由得，所以在，.上是增函數，在.上是減函綜上可知：當時在，上是單調遞增，在上是單調遞減；當時，在.上是單調遞增；當時在，上是單調遞增，在上是單調遞減.變式2、（2020屆山東省濰坊市高三上期末）已知函數.(1)討論函數的單調性;【解析】(1)，當時，恒成立，在上單調遞減，當時，由，解得，由于時，導函數單調遞增，故，單調遞減，單調遞增.綜上，當時在上單調遞減;當時，在上單調遞減，在上單調遞增..變式3、（2020屆山東省煙臺市高三上期末）已知函數，其中.（1）求函數的單調區(qū)間；【解析】（1）函數的定義域為,,令,得或,因為,當或時,,單調遞增；當時,,單調遞減,所以的增區(qū)間為,；減區(qū)間為變式4、（2020屆山東省臨沂市高三上期末）函數（）.（1）討論的單調性；【解析】（1）解：的定義域為，，當，時，，則在上單調遞增；當，時，令，得，令，得，則在上單調遞減，在上單調遞增；當，時，，則在上單調遞減；當，時，令，得，令，得，則在上單調遞增，在上單調遞減；題型二、給定區(qū)間的單調性已知在某區(qū)間的單調性求參數范圍問題，其思路為通過導數將問題轉化成為不等式恒成立或不等式能成立問題，進而求解，要注意已知函數單調遞增（減）時，其導函數（），勿忘等號。例2、【2019年高考北京理數】設函數（a為常數）．若f（x）為奇函數，則a=________；若f（x）是R上的增函數，則a的取值范圍是___________．【答案】【解析】首先由奇函數的定義得到關于的恒等式，據此可得的值，然后利用可得a的取值范圍.若函數為奇函數，則即，即對任意的恒成立，則，得.若函數是R上的增函數，則在R上恒成立，即在R上恒成立，又，則，即實數的取值范圍是.變式1、（2020屆山東省濰坊市高三上學期統考）已知函數.若在上是單調遞增函數，求的取值范圍；【解析】在上是單調遞增函數,在上，恒成立，即：設，當時，在上為增函數，當時，在上為減函數，，即.變式2、(2018無錫期末）若函數f(x)＝(x＋1)2|x－a|在區(qū)間[－1，2]上單調遞增，則實數a的取值范圍是________．【答案】(－∞，－1]∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)，＋∞))【解析】eq\a\vs4\al(思路分析)由于條件中函數的解析式比較復雜，可以先通過代數變形，將其化為熟悉的形式，進而利用導數研究函數的性質及圖像，再根據圖像變換的知識得到函數f(x)的圖像進行求解．函數f(x)＝(x＋1)2|x－a|＝|(x＋1)2(x－a)|＝|x3＋(2－a)x2＋(1－2a)x－a|.令g(x)＝x3＋(2－a)x2＋(1－2a)x－a，則g′(x)＝3x2＋(4－2a)x＋1－2a＝(x＋1)(3x＋1－2a)．令g′(x)＝0得x1＝－1，x2＝eq\f(2a－1,3).①當eq\f(2a－1,3)<－1，即a<－1時，令g′(x)>0，即(x＋1)(3x＋1－2a)>0，解得x<eq\f(2a－1,3)或x>－1；令g′(x)<0，解得eq\f(2a－1,3)<x<－1.所以g(x)的單調增區(qū)間是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(2a－1,3)))，(－1，＋∞)，單調減區(qū)間是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a－1,3)，－1)).又因為g(a)＝g(－1)＝0，所以f(x)的單調增區(qū)間是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(2a－1,3)))，(－1，＋∞)，單調減區(qū)間是(－∞，a)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a－1,3)，－1))，滿足條件，故a<－1(此種情況函數f(x)圖像如圖1)．,圖1)②當eq\f(2a－1,3)＝－1，即a＝－1時，f(x)＝|(x＋1)3|，函數f(x)圖像如圖2，則f(x)的單調增區(qū)間是(－1，＋∞)，單調減區(qū)間是(－∞，－1)，滿足條件，故a＝－1.,圖2)③當eq\f(2a－1,3)>－1，即a>－1時，令g′(x)>0，即(x＋1)(3x＋1－2a)>0，解得x<－1或x>eq\f(2a－1,3)；令g′(x)<0，解得－1<x<eq\f(2a－1,3).所以g(x)的單調增區(qū)間是(－∞，－1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a－1,3)，＋∞))，單調減區(qū)間是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(2a－1,3))).又因為g(a)＝g(－1)＝0，所以f(x)的單調增區(qū)間是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(2a－1,3)))，(a，＋∞)，單調減區(qū)間是(－∞，－1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a－1,3)，a))，要使f(x)在[－1，2]上單調遞增，必須滿足2≤eq\f(2a－1,3)，即a≥eq\f(7,2)，又因為a>－1，故a≥eq\f(7,2)(此種情況函數f(x)圖像如圖3)．綜上，實數a的取值范圍是(－∞，－1]∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)，＋∞)).,圖3)二、達標訓練1、（2018年泰州期中），若在上存在單調遞增區(qū)間，則的取值范圍是_______【答案】【解析】：，有已知條件可得：，使得，即，只需，而，所以2、【2018年高考天津理數】已知函數，，其中a>1.（I）求函數的單調區(qū)間；【解析】（I）由已知，，有.令，解得x=0.由a>1，可知當x變化時，，的變化情況如下表：x00+極小值所以函數的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為.3、【2018年高考全國Ⅰ卷理數】已知函數．（1）討論的單調性；【解析】（1）的定義域為，.（i）若，則，當且僅當，時，所以在單調遞減.（ii）若，令得，或.當時，；當時，.所以在單調遞減，在單調遞增.4、（2020屆山東省九校高三上學期聯考）已知函數，（1）求的極值；（2）若時，與的單調性相同，求的取值范圍；【解析】：（1）的定義域為，，當時，；當時，，所以在單調遞減，在單調遞增.所以有極小值，無極大值.（2）由（1）知，在單調遞增.則在單調遞增，即在恒成立，即在恒成立，令，；，所以當時，；當時，，