新人教版高中數(shù)學(xué)必須第二冊(cè)第六章平面向量及其應(yīng)用導(dǎo)學(xué)學(xué)案

平面向量的概念

學(xué)習(xí)重難點(diǎn)學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)

了解平面向量的實(shí)際背景，理解平面向

平面向量的相關(guān)概念數(shù)學(xué)抽象

量的相關(guān)概念

掌握向量的表示方法，理解向量的模的

平面向量的幾何表示數(shù)學(xué)抽象

概念

理解兩個(gè)向量相等的含義以及共線向量

相等向量與共線向量數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理

的概念

【學(xué)習(xí)過(guò)程】

一、問(wèn)題導(dǎo)學(xué)

預(yù)習(xí)教材P2—P4的內(nèi)容，思考以下問(wèn)題：

1.向量是如何定義的？向量與數(shù)量有什么區(qū)別？

2.怎樣表示向量？向量的相關(guān)概念有哪些？

3.兩個(gè)向量（向量的模）能否比較大小？

4.如何判斷相等向量或共線向量？向量初與向量明是相等向量嗎？

二、合作探究

探究點(diǎn)1：

向量的相關(guān)概念

例1：給出下列命題：

①若霜=氏,則A,B,C,。四點(diǎn)是平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)；

②在口ASCO中，一定有油=阮；

③若Q=。，b=c,則0=C

其中所有正確命題的序號(hào)為.

解析：m=或,A,B,C,力四點(diǎn)可能在同一條直線上，故①不正確；在辦BCO中，|曲

|=|Dt|,牯與覺(jué)平行且方向相同，故戲=成,故②正確；a=b,則⑷=制，且。與b的方向

相同；b=c,則步|=|c|,且b與。的方向相同，則。與。長(zhǎng)度相等且方向相同，故。=。，故③

正確.

答案：②③

探究點(diǎn)2：

向量的表示

例2：在如圖所示的坐標(biāo)紙上（每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為1）,用直尺和圓規(guī)畫(huà)出下列向量:

（1）8，使|8|=4/，點(diǎn)A在點(diǎn)。北偏東45。方向上；

（2）油，使帥|=4,點(diǎn)8在點(diǎn)A正東方向上；

（3）Bt,使|反1=6,點(diǎn)C在點(diǎn)。北偏東30。方向上.

解：（1）由于點(diǎn)A在點(diǎn)。北偏東45。方向上，所以在坐標(biāo)紙上點(diǎn)A距點(diǎn)O的橫向小方格

數(shù)與縱向小方格數(shù)相等.又|次|=4、區(qū)小方格的邊長(zhǎng)為1,所以點(diǎn)A距點(diǎn)。的橫向小方格數(shù)

與縱向小方格數(shù)都為4,于是點(diǎn)A的位置可以確定，畫(huà)出向量以，如圖所示.

（2）由于點(diǎn)B在點(diǎn)A正東方向上，且|初|=4,所以在坐標(biāo)紙上點(diǎn)B距點(diǎn)A的橫向小方格

數(shù)為4,縱向小方格數(shù)為0,于是點(diǎn)8的位置可以確定，畫(huà)出向量油，如圖所示.

（3）由于點(diǎn)。在點(diǎn)3北偏東30。方向上，且|反1=6,依據(jù)勾股定理可得，在坐標(biāo)紙上點(diǎn)

C距點(diǎn)3的橫向小方格數(shù)為3,縱向小方格數(shù)為34=5.2,于是點(diǎn)。的位置可以確定，畫(huà)出向

量配，如圖所示.

探究點(diǎn)3：

共線向量與相等向量

例3：如圖所示，。是正六邊形ABCDE/7的中心，且3=小帥=b,在每?jī)牲c(diǎn)所確定的

向量中.

（1）與。的長(zhǎng)度相等、方向相反的向量有哪些？

（2）與a共線的向量有哪些？

解：（1）與。的長(zhǎng)度相等、方向相反的向量有仍，猶，AZ）,Fk.

（2）與。共線的向量有辦，就，ob,Ft,Ch,D&,皿,況，Ab.

互動(dòng)探究

1.變條件、變問(wèn)法：本例中若優(yōu)=c,其他條件不變，試分別寫(xiě)出與a,b,。相等的向

量.

解：與。相等的向量有分，力&,m與b相等的向量有反，劭，與。相等的向量

有或）,Eb,碰.

2.變問(wèn)法：本例條件不變，與屈）共線的向量有哪些？

解：與勸共線的向量有辦，碇,ob,電c&,仍，初，況，oX.

三、學(xué)習(xí)小結(jié)

1.向量的概念及表示

（1）概念：既有大小又有方向的量.

（2）有向線段

①定義：具有方向的線段.

②三個(gè)要素：起點(diǎn)、方囪、長(zhǎng)度.

③表示：在有向線段的終點(diǎn)處畫(huà)上箭頭表示它的方向.以4為起點(diǎn)、3為終點(diǎn)的有向線段

記作亞.

④長(zhǎng)度：線段AB的長(zhǎng)度也叫做有向線段牯的長(zhǎng)度，記作曲.

（3）向量的表示

■名師點(diǎn)撥

（1）判斷一個(gè)量是否為向量，就要看它是否具備大小和方向兩個(gè)因素.

（2）用有向線段表示向量時(shí)，要注意加的方向是由點(diǎn)A指向點(diǎn)3,點(diǎn)A是向量的起點(diǎn),

點(diǎn)B是向量的終點(diǎn).

2.向量的有關(guān)概念

（1）向量的模（長(zhǎng)度）：向量霜的大小，稱為向量牯的長(zhǎng)度（或稱模），記作國(guó).

（2）零向量：長(zhǎng)度為2的向量，記作0.

（3）單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量.

3.兩個(gè)向量間的關(guān)系

（1）平行向量：方向相同或相反的非零向量,也叫做共線向量.若a,力是平行向量，記

作舊〃瓦

規(guī)定：零向量與任意向量平行,即對(duì)任意向量。，都有0〃a.

（2）相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量,若。，方是相等向量，記作。=瓦

■名師點(diǎn)撥

（1）平行向量也稱為共線向量，兩個(gè)概念沒(méi)有區(qū)別.

（2）共線向量所在直線可以平夕亍，與平面幾何中的共線不同.

（3）平行向量可以共線，與平面幾何中的直線平行不同.

四、精煉反饋

1.如圖，在口ABCD中，點(diǎn)E,r分別是AB,CD的中點(diǎn)，圖中與碇平行的向量的個(gè)數(shù)為

（）

A.1B.2

C.3D.4

解析：選C.圖中與初平行的向量為法，F(xiàn)t）,Ft共3個(gè).

2.下列結(jié)論中正確的是（）

①若?！╞且|0|=|臼，則a=8；

②若。=。，則?！η襹。|=階

③若。與b方向相同且同=步|,則。=〃；

④若畔b,則a與力方向相反且同羊步

A.①③B.②③

C.③④D.②④

解析：選B.兩個(gè)向量相等需同向等長(zhǎng)，反之也成立，故①錯(cuò)誤，°,方可能反向；②③正

確；④兩向量不相等，可能是不同向或者長(zhǎng)度不相等或者不同向且長(zhǎng)度不相等.

3.已知。是正方形A8CO對(duì)角線的交點(diǎn)，在以O(shè),4,B,C,。這5點(diǎn)中任意一點(diǎn)為起

點(diǎn)，另一點(diǎn)為終點(diǎn)的所有向量中，寫(xiě)出：

（1）與血相等的向量；

（2）與加長(zhǎng)度相等的向量；

（3）與次共線的向量.

解：畫(huà)出圖形，如圖所示.

（1）易知BC〃A。，BC=AD,

所以與配相等的向量為祀）.

（2）由。是正方形A5CO對(duì)角線的交點(diǎn)知。3=0。=。4=。。，

所以與仍長(zhǎng)度相等的向量為肋，ot,cd,況，初，ob,Db.

（3）與次共線的向量為動(dòng)，Bt,Cfe.

平面向量的應(yīng)用

【第一學(xué)時(shí)】

學(xué)習(xí)重難點(diǎn)學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)

會(huì)用向量方法解決平面幾何中的

向量在平面幾何中的應(yīng)用平行、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理

垂直、長(zhǎng)度、夾角等問(wèn)題

會(huì)用向量方法解決物理中的速

向量在物理中的應(yīng)用數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算

度、力學(xué)問(wèn)題

【學(xué)習(xí)過(guò)程】

一、問(wèn)題導(dǎo)學(xué)

頂習(xí)教材內(nèi)容，思考以下問(wèn)題：

1.利用向量可以解決哪些常見(jiàn)的幾何問(wèn)題?

2.如何用向量方法解決物理問(wèn)題?

二、合作探究

探究點(diǎn)1：

向量在幾何中的應(yīng)用

角度一：平面幾何中的垂直問(wèn)題

圖不如圖所示，在正方形ABC。中，E,尸分別是4B,8C的中點(diǎn)，求證：AFLDE.

4ER

證明：法一：設(shè)勸=。，4=b.

則|。|=步|,a?b=O,

又循=次+助=—a+g/b辦=初+肝=5+：。，

所以辦./=（b+%）（一C+%）=_%2—%仍+/=一如2+如2=0.

故辦_1及：，B|JAFLDE.

法二：如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2,則4(0,0),D(0,2),F(l,

0),F(2,1),A>=(2,1),Dk=(1,-2).

。J。

M

因?yàn)檗k?處=(2,1)?(1,-2)=2—2=0,

所以#_L的，HPAFLDE.

角度二：平面幾何中的平行（或共線）問(wèn)題

CFAF

SSI21如圖，點(diǎn)O是平行四邊形48co的中心，E,尸分別在邊CZ）,A8上，且流=隹

匕Drt>

=今求證：點(diǎn)E,。，尸在同一直線上.

證明：設(shè)腦=相，加>=〃，

CFAFI

由而=標(biāo)=5，知E，尸分別是。，45的三等分點(diǎn),

匕DrDL

所以劭=用+初=;或+;祀

=-ywi+2(/n+n)

%=沈+建祀+；仍

=2(w+n)-

所以m

又O為劭和旗的公共點(diǎn)，故點(diǎn)E,O,尸在同一直線上.

角度三：平面幾何中的長(zhǎng)度問(wèn)題

Sim如圖，平行四邊形A8CO中，已知AO=1,AB=2,對(duì)角線80=2,求對(duì)角線AC

的長(zhǎng).

解：設(shè)A/)=a,A^=b,則沉＞=Q—b,祝=°+6,

^\Bb\=\a-b\=，=一2°1+〃2=^1+4-2a1=S5—20仍=2,

所以5—2a/=4,所以Q6=；,又|AtT=|a+8F=a2+2a?)+戶=]+4+2O〃=6,所以|祝

|=,，即AC=%.

探究點(diǎn)2：

向量在物理中的應(yīng)用

廊1(1)在長(zhǎng)江南岸某渡口處，江水以12.5km/h的速度向東流，渡船的速度為25

km/h.渡船要垂直地渡過(guò)長(zhǎng)江，其航向應(yīng)如何確定？

(2)已知兩恒力尸i=(3,4),尸2=(6,-5)作用于同一質(zhì)點(diǎn)，使之由點(diǎn)A(20,15)

移動(dòng)到點(diǎn)8(7,0),求尸2分別對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功.

解：(1)如圖，設(shè)AS表示水流的速度，3力表示渡船的速度，祝表示渡船實(shí)

際垂直過(guò)江的速度.

因?yàn)殛?勸=祀，所以四邊形A8CO為平行四邊形.

在RSACO中，NACO=90。，|Dt|=|初|=12.5.

|砌=25,所以NCW=30。，即渡船要垂直地渡過(guò)長(zhǎng)江，其航向應(yīng)為北偏西30。.

(2)設(shè)物體在力尸作用下的位移為s,則所做的功為W=Fs.

因?yàn)榻?(7,0)-(20,15)=(-13,-15).

所以Wi=B?勸=(3,4)?(-13,-15)

=3x(—13)+4x(—15)=—99(焦),

牝=尸2?勸=(6,-5)?(-13,-15)

=6x(—13)+(—5)x(—15)=—3(焦).

三、學(xué)習(xí)小結(jié)

1.用向量方法解決平面幾何問(wèn)題的“三個(gè)步驟”

/X建立平面幾何與向好的聯(lián)系，用向一表

對(duì)度一示問(wèn)題中涉及的幾何元素，將平面幾何

問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題

4介,一通過(guò)向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)

7系，如距離、夾角等問(wèn)題_____________

6/T把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系:

2.向量在物理學(xué)中的應(yīng)用

(1)由于物理學(xué)中的力、速度、位移都是矢量，它們的分解與合成與向量的減法和加法

相似，可以用向量的知識(shí)來(lái)解決.

(2)物理學(xué)中的功是一個(gè)標(biāo)量，即為力尸與位移s的數(shù)量積，即W=F6=|F||s|cos6(。

為尸與s的夾角).

四、精煉反饋

1.河水的流速為2m/s,一艘小船以垂直于河岸方向10m/s的速度駛向?qū)Π?，則小船在靜

水中的速度大小為()

A.10m/sB.2y[26m/s

C.4#m/sD.12m/s

解析：選B.由題意知卜水|=2m/s,|v?v|=10m/s,作出示意圖如圖.

所以小船在靜水中的速度大小/：=

|V|=A/102+22=2V26(m/s).

2.已知三個(gè)力力=(-2,-1),f2=(-3,2),力=(4,-3)同時(shí)作用于某物體上一

點(diǎn)，為使物體保持平衡，再加上一個(gè)力,，則八=()

A.(—1f—2)B.(1>-2)

C.(-1,2)D.(1,2)

解析：選D.由物理知識(shí)知力+先+力+/i=0,故"=一(力+力+力)=(1，2).

3.設(shè)尸，。分別是梯形ABC。的對(duì)角線AC與8。的中點(diǎn)，AB//DC,試用向量證明：PQ

//AB.

證明：設(shè)力^一加(2＞0且狎1),因?yàn)殡娨粓A一篇＞一君+毆一刀＞一益(反)-/)

=A5+1[(勸-硒-(m+Z5t)]

=A^-\~2(Cb—Ak)

=￡(Cb+m)=￡(—2+1)通,

所以匝〃油，又P,Q,A,8四點(diǎn)不共線，所以尸?！ˋ8.

【第二學(xué)時(shí)】

學(xué)習(xí)重難點(diǎn)學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)

余弦定理了解余弦定理的推導(dǎo)過(guò)程邏輯推理

掌握余弦定理的幾種變形公式及應(yīng)

余弦定理的推論數(shù)學(xué)運(yùn)算

用

能利用余弦定理求解三角形的邊、

三角形的元素及解三角形數(shù)學(xué)運(yùn)算

角等問(wèn)題

【學(xué)習(xí)過(guò)程】

一、問(wèn)題導(dǎo)學(xué)

預(yù)習(xí)教材內(nèi)容，思考以下問(wèn)題:

1.余弦定理的內(nèi)容是什么？

2.余弦定理有哪些推論？

二、合作探究

探究點(diǎn)1：

已知兩邊及一角解三角形

{gm(1)(2018?高考全國(guó)卷n)在3c中，COSr5=華[5，BC=LAC=5,則AB=()

4J

A.4y[2B.病

C.^29D.2y[5

2

(2)已知aABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為mb,c,a=、B，c=2,cosA=?則b

=()

A.y[2B.黃

C.2D.3

解析：(1)因?yàn)镃OSC=2COS2f--l=2x-^—1=—I，所以由余弦定理，得-32=41+3d

乙JJ

—2ACBCcosC=25+l—2x5xlx(—§=32,所以48=4吸，故選A.

(2)由余弦定理得5=22+/—2X2AOSA,

2

因?yàn)閏osA=§,所以3〃一昉一3=0,

所以b=3(b=—(舍去).故選D.

答案：(1)A

(2)D

互動(dòng)探究：

變條件：將本例(2)中的條件％=小，c=2,cosA=!"改為“a=2,c=2小，cos4=坐”，

求力為何值？

解：由余弦定理得：

(r=b1+c1-2bccosA,

所以22=/+(2^3)2-2xbx2小田,

即〃2—68+8=0,解得b=2或Z?=4.

探究點(diǎn)2：

己知三邊(三邊關(guān)系)解三角形

偏12(1)在△A5C中，已知〃=3,b=5,c=V19,則最大角與最小角的和為()

A.90°B.120°

C.135°D.150°

(2)在AABC中，若(a+c)(a—c)=b(Z?—c)?則A等于()

A.90°B.60°

C.120°D.150°

解析：(1)在△ABC中，因?yàn)閍=3,b=5,c=皿,

所以最大角為8,最小角為A,

-4-人2—B9+25—191

所以csC=一五/==5,所以C=60。，所以A+b=120。，所以AA3c中

ZuczZ

的最大角與最小角的和為120。.故選B.

從+〃一12

111

(2)因?yàn)?a+c)(a—c)=b(Z?—c),所以b+c—a=bcf所以cosA=---------=

z.因?yàn)?0°,180°),所以A=60。.

答案：(1)B

(2)B

探究點(diǎn)3：

判斷三角形的形狀

頌引在△斗^。中，若〃疝2。+四而8=2"cosBcosC,試判斷△ABC的形狀.

解：將已知等式變形為

法(1-cos2C)H-c2(1—COS2B)=2bccosBcosC.

由余弦定理并整理，得

僅2+〃一

2

/+c一序I~2ah)A~~2^~~)

/+戶一〃

=2bcx-2ac-*-2^-

[(^2+Z?2-c2)+(?2+c2-/?2)]24/)

所以/十(？=4?=4?=tt

所以A=90。.所以aABC是直角三角形.

三、學(xué)習(xí)小結(jié)

1.余弦定理

三角形中任何一邊的壬左，等于其他兩邊壬那困減去這兩邊與它們夾

文字語(yǔ)言

角的余弦的積的兩倍

。2=序+一一28ccos4

符號(hào)語(yǔ)言護(hù)=〃2+/—2〃ccos8

^二片+/一24/xx)sC

2.余弦定理的推論

Z?2+c2—ez2

cosA=2bc;

cosB=lac;

.2+〃一/

cosc=一邁一?

3.三角形的元素與解三角形

（1）三角形的元素

三角形的三個(gè)角A,B,C和它們的對(duì)邊a,b,c叫做三角形的元素.

（2）解三角形

已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過(guò)程叫做解三角形.

四、精煉反饋

1.在中，己知a=5,b=7,c=8,則A+C=（）

A.90°B.120°

C.135°D.150°

4+/一/25+64—491

解析：選B.cosB=_2ac-=_2x5x8-=T

所以8=60。，所以4+C=120。.

2.在A48C中，己知（Q+Z?+C）（〃+c—a）=3bc,則角A等于（）

A.30°B.60°

C.120°D.150°

解析：選B.因?yàn)椋╞+c）2—02=y+d+2bc—〃2=36。

所以加+c2—，=從，

加+d-/1

所以cosA=---荻---=2>所以4=60。.

3.若AABC的內(nèi)角A,B,。所對(duì)的邊〃，b,c滿足（〃+Z?）2—/=4,且C=60。，貝ijab

解析：因?yàn)镃=60°,所以^二片+/―2〃bcos60°,

即〃江①

又因?yàn)椋╝+ZO2一天=%

所以/=〃+。2+2〃力-4.②

4

由①②知一出?=2出?一4,所以必=1.

答案、：|4

4.在AABC中，acos/1+Z?cosB=ccosC,試判斷△ABC的形狀.

6+/一〃c2+a2-/>2序+序-/

解：由余弦定理知cosA=而cosB=*，,，力：代入已知條

/CC/cosC=4*C40

/（//+c2-/cr+tz2—Z?2.c9*-a2b1-2

件得〃.一^+匕-S~A=0

lab

通分得（按+C2—*）+62（〃2+02—按）+/（/一〃2_〃）=0,

2

展開(kāi)整理得（〃2—加）=?.

所以，一加=±/,即/=b2+c2或62=〃2+。2.

根據(jù)勾股定理知是直角三角形.

【第三學(xué)時(shí)】

學(xué)習(xí)重難點(diǎn)學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)

通過(guò)對(duì)任意三角形邊長(zhǎng)和角度關(guān)系

正弦定理的探索，掌握正弦邏輯推理

定理的內(nèi)容及其證明方法

【學(xué)習(xí)過(guò)程】

一、問(wèn)題導(dǎo)學(xué)

預(yù)習(xí)教材內(nèi)容，思考以下問(wèn)題：

1.在直角三角形中，邊與角之間的關(guān)系是什么？

2.正弦定理的內(nèi)容是什么？

二、合作探究

探究點(diǎn)1：

已知兩角及一邊解三角形

陽(yáng)E在△人2c中，已知°=10,人一45。，C-30°,解這個(gè)三角形.

解：因?yàn)锳=45。，0=30°,所以3=180。一(A+C)=105°.

?a__ccsinA,八sin45°?八r-

由而彳=而下得a=sinC="sin30。=1S/*2。

因?yàn)閟in750=sin(30°+45°)=sin30°cos45°+cos30°sin所以^=筆學(xué)

?olllLz

lOxsin(A+C)也+mr-?r-

--35；=2OX^T^=5^+5V6.

探究點(diǎn)2：

已知兩邊及其中一邊的對(duì)角解三域

麗已知AABC中的下列條件，解三角形：

(1)。=10,6=20,A=60°；

(2)a=2,c=加，

解:⑴因?yàn)橹鄱?/p>

所以血8=智=型喏￡=#>1,

所以三角形無(wú)解.

/-、HLACg、i.A^sinC\/2

（2）因?yàn)槎鴁=而乙，所以sinA=-^=亍.

因?yàn)閏>〃，所以0A.所以A=；.

Grri八5兀csinBm'in12r-

所以8=五，力=4=-^=小+1.

sin3

互動(dòng)探究：

變條件：若本例⑵中。蘭改為A=；,其他條件不變，求C,B,b.

ac「二卜].csinAy]3

解：因?yàn)殒輪?而下'所以smC=F-=看，

所以。=1或竽

當(dāng)C=1時(shí),8=五，b=M7=S+l?

當(dāng)C=1■時(shí)，B=五，b=/彳=小一】?

探究點(diǎn)3：

判斷三角形的形狀

Sim已知在△ABC中，角A,B所對(duì)的邊分別是〃和江若〃cosB=OcosA,貝iJ/iABC一

定是()

A.等腰三角形B.等邊三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

解析：由正弦定理得：acosB=bcosA=sin4cos8=sin8cos40sin(4—8)=0,由于一兀

<A-B<nf故必有4-8=0,A=3,即△ABC為等腰三角形.

答案：A

變條件：若把本例條件變?yōu)椤凹觟n8=csinC"，試判斷aABC的形狀.

解：由Z?sinB=csinC可得sin23=sin2。，因?yàn)槿切蝺?nèi)角和為180。,

所以sinB=sinC.所以8=C.故△A8C為等腰三角形.

三、學(xué)習(xí)小結(jié)

1.正弦定理

條件在AABC中，角4,B,。所對(duì)的邊分別為。，b,C

a_____b_____c

結(jié)論sinAsinBsinC

文字

在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等

敘述

2.正弦定理的變形

若R為△ABC外接圓的半徑，則

(1)a=2Rs\nA,b=2Rs\nB,c=2/?sinC；

c?4__?__6__C

(2)sinA-2R,sinDB—2R，sinC-2R；

(3)sinA1sinB?sinC=a:b：c；

a+b-\-c

(4)------------------------=2R

sinA+sinB+sinC"

四、精煉反饋

1.(2019?遼寧沈陽(yáng)鐵路實(shí)驗(yàn)中學(xué)期中考試)在中,48=2,4c=3,8=60。,則cos

C=)

V3V36

AC.B.

V23D.V26

解析：選8?由正弦定理，得梟即焉=焉，解得sinC=孚因?yàn)锳"

AC,所以C<5,所以csC=71—sii/C=乎.

2.在△ABC中，角A,B,。的對(duì)邊分別為。，b,c,且A：8：C=1：2：3,則a：b：c

=()

A.1：2：3B.3：2：1

C.2：小：1D.1：4：2

解析：選D.在A4BC中，因?yàn)锳：B：C=1：2：3,所以B=2A,C=3A,又A+B+C

=180°,所以4=30。，5=60。,C=90°,所以a：h：c=sinA：sinB：sinC=sin30°：sin60°：

sin90°=1:?。?.

3.在AABC中，角4,B,。的對(duì)邊分別是小b,c,若c-acosB=(2a-b)cosA,則

△ABC的形狀是()

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

解析：選D.己知c—acosB=(2a—b)cosA,由正弦定理得sinC—sinAcosB=2sinAcos

A-sin5cosA,所以sin(A+8)—sinAcosB=2sinAcosA-sinBcosA,化簡(jiǎn)得cos4(sinB-

sinA)=0,所以cosA=0或sin8—sinA=0,則A=90?；?=8,故△ABC為等腰三角形或直

角三角形.

【第四學(xué)時(shí)】

學(xué)習(xí)重難點(diǎn)學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)

理解測(cè)量中的基線等有關(guān)名詞、

測(cè)量中的術(shù)語(yǔ)直觀想象

術(shù)語(yǔ)的確切含義

會(huì)利用正、余弦定理解決生產(chǎn)實(shí)

測(cè)量距離、高度、角度問(wèn)題踐中的有關(guān)距離、高度、角度等數(shù)學(xué)建模

問(wèn)題

【學(xué)習(xí)過(guò)程】

一、問(wèn)題導(dǎo)學(xué)

預(yù)習(xí)教材內(nèi)容，思考以下問(wèn)題:

1.什么是基線？

2.基線的長(zhǎng)度與測(cè)量的精確度有什么關(guān)系？

3.利用正、余弦定理可解決哪些實(shí)際問(wèn)題？

二、合作探究

探究點(diǎn)1：

測(cè)量距離問(wèn)題

TO海上4,B兩個(gè)小島相距10海里，從A島望。島和8島成60。的視角，從8島望

。島和A島成75。的視角，則8島與。島間的距離是?

解析：如圖，在ZiABC中，ZC=180°-(NB+NA)=45。，

由正弦定理,可得凝=焉,=|

所以8c=/10=5加(海里).

答案：5#海里

互動(dòng)探究:

變條件：在本例中，若“從。島望C島和人島成75。的視角”改為“八，C兩島相距20海

里”，其他條件不變，又如何求8島與C島間的距離呢？

解：由已知在△A8C中，AB=10,AC=20,NB4C=60。，即已知兩邊和兩邊的夾角,利

用余弦定理求解即可.

BC2=AB2-\-AC2-2ABACCOS60°=102+20-2X10X20X^=300.故8。=1即.

即B,C間的距離為海里.

探究點(diǎn)2

測(cè)量高度問(wèn)題

m如圖，一輛汽車(chē)在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一山頂。

在西偏北30。的方向上，行駛60()m后到達(dá)5處，測(cè)得此山頂在西偏北75。的方向上，仰角為

30°,則此山的高度。=m.

D

BA

解析：由題意，在△A8C中，N8AC=30°,NABC=180。-75。=105。，故NACB=45°.

又A3=60()m,故由正弦定理得點(diǎn)臉=看2

Alliw*ky

解得BC=30Mm.在RS8C。中，CD=BCtan30°=30072^^=10076(m).

答案：106同

互動(dòng)探究：

變問(wèn)法：在本例條件下，汽車(chē)在沿直線A8方向行駛的過(guò)程中，若測(cè)得觀察山頂。點(diǎn)的最

大仰角為a,求tana的值.

解：如圖，過(guò)點(diǎn)C,作CE_LA8,垂足為E,則NOEC=a,由例題可知,

75°,BC=30(h/2,

所以CE=BCsm/CBE

=300V2sin75°

=300^即；*

=150+15即.

DC_100\^_36.而

所以tana=

CE—150+15即-3

探究點(diǎn)3：

測(cè)量角度問(wèn)題

隨引島人觀察站發(fā)現(xiàn)在其東南方向有一艘可疑船只，正以每小時(shí)10

海里的速度向東南方向航行（如圖所示），觀察站即刻通知在島A正南方

向8處巡航的海監(jiān)船前往檢查.接到通知后，海監(jiān)船測(cè)得可疑船只在其北

偏東75。方向且相距10海里的C處，隨即以每小時(shí)1（八份海里的速度前往

攔截.

（1）問(wèn)：海監(jiān)船接到通知時(shí)，在距離島A多少海里處？

（2）假設(shè)海監(jiān)船在。處恰好追上可疑船只，求它的航行方向及其航行的時(shí)間.

解：（1）根據(jù)題意得NB4C=45。，NABC=75。，BC=10,

所以N4。3=180。一75。一45。=60。，

在A4BC中，由

sinN4cBsin/BAC'

BCsinZACBlOsin60°

所以海監(jiān)船接到通知時(shí)，在距離島A5加海里處.

（2）設(shè)海監(jiān)船航行時(shí)間為，小時(shí)，則8。=10\8力CD=106

又因?yàn)镹BCQ=180°-ZACB=180°-60°=120°,

所以BD2=BC2+CD2-2BC-CDcos120°,

所以300尸=100+100?-2xl0xl0f|

所以2尸一/一1=0,

解得/=1或Z=-2（舍去）.

所以CD=10,所以BC=CD,

所以NC&）=；（180°-120°）=30°,

所以N43O=75。+30。=105。.

所以海監(jiān)船沿方位角105。航行，航行時(shí)間為1個(gè)小時(shí).

（或海監(jiān)船沿南偏東75。方向航行，航行時(shí)間為1個(gè)小時(shí)）

三、學(xué)習(xí)小結(jié)

1.基線

在測(cè)量過(guò)程中，我們把根據(jù)測(cè)量的需要而確定的線段叫做型.

2.基線與測(cè)量精確度的關(guān)系

一般來(lái)說(shuō)，基線越長(zhǎng)，測(cè)量的精確度越匱.

3.實(shí)際測(cè)量中的有關(guān)名稱、術(shù)語(yǔ)

名稱定義圖示

在同一鉛垂平面內(nèi)，視線在水平線上方時(shí)與水平線1//視線

彳臼角

的夾角水平線

在同一鉛垂平面內(nèi)，視線在水平線下方時(shí)與水平線犁卜理角水平線

俯角線1

的夾角

北南偏西60°

西J（指以正南

從指定方向線到目標(biāo)方向線的水平角（指定方向線袤癬可方向?yàn)槭?/p>

方向角

是指正北或正南或正東或正西，方向角小于90。）南1邊，轉(zhuǎn)向目

標(biāo)方向線形成的角）

北

從正北的方向線按順時(shí)針到目標(biāo)方向線所轉(zhuǎn)過(guò)的水0)120°

方位角

平角飛

四、精煉反饋

1.若尸在。的北偏東44。50,方向上，則。在「的（）

A.東偏北45。10,方向上B.東偏北45。50,方向上

C.南偏西44。50,方向上D.西偏南45。50,方向上

解析：選C.如圖所示.

北

由

2.如圖，D,C,8三點(diǎn)在地面同一直線上，從地面上C,。兩點(diǎn)望山頂A,測(cè)得它們的

仰角分別為45。和30。，已知8=200米，點(diǎn)。位于8。上，則山高A8等于（）

A

DCR

A.埼成米B.50（^3+1）米

C.100（小+1）米D.200米

解析：選C.設(shè)A8—人米，在RSACB中，NAC8—45。，

所以BC=AB=x.

在R3ABO中，ZD=30°,貝1]8。=448=小工

因?yàn)锽O—8C=CO,所以小不一x=200,

解得x=100（黃+1）.故選C.

3.已知臺(tái)風(fēng)中心位于城市4東偏北a（。為銳角）度的150公里處，以P公里〃J、時(shí)沿正

西方向快速移動(dòng)，2.5小時(shí)后到達(dá)距城市A西偏北夕（△為銳角）度的200公里處，若cosa

3

=Wcos￡,貝iju=（）

A.60B.8（）

C.100D.125

解析：選C.畫(huà)出圖象如圖所示，由余弦定理得（2.5v）2=2002+1502+2X200X150COS（a

+夕）①，由正弦定理得；點(diǎn)2，所以sina=gsin夕.又cosa=,cos￡,sin2a+cos2a=

olllpolllUJQ

3443I?12

1,解得sin￡=W，故cos￡=g,sina=7,cosa=7,故cos（a+￡）=zr——=0,代入①解得

JJJJJ。J。

產(chǎn)100.

A

4.某巡邏艇在A處發(fā)現(xiàn)在北偏東45。距A處8海里處有一走私船，正沿南偏東75。的方向

以12海里/小時(shí)的速度向我岸行駛，巡邏艇立即以12、8海里/小時(shí)的速度沿直線追擊，問(wèn)巡邏

艇最少需要多長(zhǎng)時(shí)間才能追到走私船，并指出巡邏艇的航行方向.

解：設(shè)經(jīng)過(guò)，小時(shí)在點(diǎn)。處剛好追上走私船，依題意：AC=12小3BC=\2t,ZABC=

120°,

在"5C中，由正弦定理得^需=馬而

所以sinN8AC=g,所以NB4C=30。，

2

所以AB=BC=8=12f,解得［=1,航行的方向?yàn)楸逼珫|75°.

2

即巡邏艇最少經(jīng)過(guò)1小時(shí)可追到走私船，沿北偏東75。的方向航行.

平面向量的運(yùn)算

【第一課時(shí)】

向量的加法運(yùn)算

【學(xué)習(xí)重難點(diǎn)】【學(xué)習(xí)目標(biāo)】【核心素養(yǎng)】

理解向量加法的概念以及向量

平面向量加法的幾何意義數(shù)學(xué)抽象、直觀想象

加法的幾何意義

掌握向量加法的平行四邊形法

平行四邊形法則

則和三角形法則，數(shù)學(xué)抽象、直觀想象

和三角形法則

會(huì)用它們解決實(shí)際問(wèn)題

掌握向量加法的交換律和結(jié)合

平面向量加法的運(yùn)算律數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算

律，會(huì)用它們進(jìn)行計(jì)算

【學(xué)習(xí)過(guò)程】

一、問(wèn)題導(dǎo)學(xué)

預(yù)習(xí)教材內(nèi)容，思考以下問(wèn)題：

1.在求兩向量和的運(yùn)算時(shí)，通常使用哪兩個(gè)法則？

2.向量加法的運(yùn)算律有哪兩個(gè)？

二、新知探究

探究點(diǎn)1：

平而向量的加法及其幾何意義

例1：如圖，已知向量a,b,Cf求作和向量a+8+c.

解：法一：可先作a+c,再作Q+c)+力，即。+)+c.如圖，首先在平面內(nèi)任取一點(diǎn)

O,作向量以一處接著作向量加一。，

則得向量仍=a+c,然后作向量沈=4

則向量沈=。+方+。為所求.

-c

0<-----

法二：三個(gè)向量不共線，用平行四邊形法則來(lái)作.如圖，(1)在平面內(nèi)任取一點(diǎn)0,作

0A=af0h=b\

(2)作平行四邊形A0BC,則靈=。+)；

(3)再作向量帥=c；

(4)作平行四邊形CODE,

則次?+c=a+8+c.0fc即為所求.

探究點(diǎn)2：

平面向量的加法運(yùn)算

例2：化簡(jiǎn)：

(1)覺(jué)+砧

(2)m+Ct>+祀；

(3)勸+亦+仍+濕+或

解：(1)成+^=筋+求=濕.

(2)Dh+Cb+Bt

=配+劭+勵(lì)

=(Bt+Ct>)+勵(lì)

=筋+加=0.

(3)油+辦+劭+配+成

=牯+反：+6+辦+現(xiàn)

=配+劭+加+并

=助+辦+兩=#+雙=0.

探究點(diǎn)3：

向量加法的實(shí)際應(yīng)用

例3：某人在靜水中游泳，速度為44千米/小時(shí)，他在水流速度為4千米/小時(shí)的河中游

泳.若他垂直游向河對(duì)岸，則他實(shí)際沿什么方向前進(jìn)？實(shí)際前進(jìn)的速度大小為多少？

解：如圖，設(shè)此人游泳的速度為仍，水流的速度為次，以3,仍為鄰邊作口。4。5,則

此人的實(shí)際速度為3+附=區(qū).

B.....C

4731\

04，

由勾股定理知I成1=8,且在放"C。中，ZCOA=60°f故此人沿與河岸成60。的夾角順

著水流的方向前進(jìn)，速度大小為8千米/小時(shí).

三、學(xué)習(xí)小結(jié)

1.向量加法的定義及運(yùn)算法則

定義求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法

三角前提已知非零向量。，b

法則形法作法在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A,作筋=。，比=從再作向量祀

則結(jié)論向量祝叫做。與b的和,記作。+瓦

即a~\~b=硅+唯=/

圖形

前提已知不共線的兩個(gè)向量。，b

平行在平面內(nèi)任取一點(diǎn)0,以同一點(diǎn)0為起點(diǎn)的兩個(gè)己

作法

法四邊知向量。，〃為鄰邊作口。4"

則形法結(jié)論對(duì)角線元就是。與b的和

則。書(shū)

圖形

規(guī)

對(duì)于零向量與任一向量a,我們規(guī)定。+0=止±衛(wèi)=口

定

2.lo+例,|a|,回之間的關(guān)系

一般地，\a+b\<\a\~\~\b\f當(dāng)且僅當(dāng)〃，b方向相同時(shí)等號(hào)成立.

3.向量加法的運(yùn)算律

交換律g-\-b=b~\~a

結(jié)合律(a+b)+c=a+(：+c)

四、精煉反饋

1,化簡(jiǎn)。>+地+對(duì)+下的結(jié)果等于（

A.QPB.

C.SPD.

解析：選B.辦+地+對(duì)+升=死+0=死.