2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章解析幾何初步2.1直線(xiàn)與直線(xiàn)的方程2.1.4兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)學(xué)案含解析北師大版必修2

PAGE1．4兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)考綱定位重難突破1.能用解方程組的方法求兩條相交直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)．2.會(huì)用方程組解的個(gè)數(shù)判定兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系．3.會(huì)用求交點(diǎn)坐標(biāo)的方法解決直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)、三條直線(xiàn)交于一點(diǎn)等問(wèn)題.重點(diǎn)：駕馭兩點(diǎn)間距離公式并能敏捷應(yīng)用．難點(diǎn)：駕馭通過(guò)求方程組解的個(gè)數(shù)，判定兩直線(xiàn)位置關(guān)系的方法.授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第42頁(yè)[自主梳理]一、兩直線(xiàn)的交點(diǎn)已知兩直線(xiàn)l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.若兩直線(xiàn)方程組成的方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0,A2x＋B2y＋C2＝0))有唯一解eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x0,y＝y(tǒng)0))，則兩直線(xiàn)相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)．二、方程組的解的組數(shù)與兩直線(xiàn)的位置關(guān)系方程組的解交點(diǎn)個(gè)數(shù)兩直線(xiàn)的位置關(guān)系無(wú)解0平行有唯一解1相交有多數(shù)組解多數(shù)個(gè)重合[雙基自測(cè)]1．兩條直線(xiàn)l1：2x－y－1＝0與l2：x＋3y－11＝0的交點(diǎn)坐標(biāo)為()A．(3,2)B．(2,3)C．(－2，－3) D．(－3，－2)解析：解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y－1＝0，,x＋3y－11＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝3，))故兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2,3)．答案：B2．若三條直線(xiàn)2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0，x＋ky＝0相交于一點(diǎn)，則k＝()A．－2B．－eq\f(1,2)C．2D.eq\f(1,2)解析：解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＋8＝0,x－y－1＝0))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1,y＝－2，))所以?xún)芍本€(xiàn)的交點(diǎn)為(－1，－2)，將eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1,y＝－2))代入x＋ky＝0，得k＝－eq\f(1,2).答案：B3．當(dāng)m∈R時(shí)，直線(xiàn)(2m＋1)x＋(3m－2)y－18m＋5＝0恒過(guò)定點(diǎn)M解析：原方程可整理為(x－2y＋5)＋m(2x＋3y－18)＝0，解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋5＝0，,2x＋3y－18＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝4，))所以直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)M(3,4)．答案：(3,4)4．求經(jīng)過(guò)兩條直線(xiàn)3x＋4y－2＝0與2x＋y＋2＝0的交點(diǎn)，且在x軸上的截距等于4的直線(xiàn)方程．解析：依題意，可設(shè)所求直線(xiàn)方程為3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0，其中λ∈R.整理得(3＋2λ)x＋(4＋λ)y＋(2λ－2)＝0.令y＝0，得x＝eq\f(2－2λ,3＋2λ)，依題意有eq\f(2－2λ,3＋2λ)＝4，解得λ＝－1，即所求直線(xiàn)方程為x＋3y－4＝0.授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第43頁(yè)探究一兩直線(xiàn)的交點(diǎn)問(wèn)題[典例1]推斷下列各對(duì)直線(xiàn)的位置關(guān)系，假如相交，求出交點(diǎn)的坐標(biāo)．(1)l1：x－y＝0，l2：3x＋3y－10＝0；(2)l1：3x－y＋4＝0，l2：6x－2y－1＝0；(3)l1：3x＋4y－5＝0，l2：6x＋8y－10＝0.[解析](1)解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＝0,3x＋3y－10＝0))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(5,3),y＝\f(5,3))).所以l1與l2相交，且垂直，交點(diǎn)是M(eq\f(5,3)，eq\f(5,3))．(2)解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－y＋4＝0①,6x－2y－1＝0②))①×2－②，得9＝0沖突．故方程組無(wú)解，所以?xún)芍本€(xiàn)無(wú)公共點(diǎn)，l1∥l2.(3)解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋4y－5＝0①,6x＋8y－10＝0②))①×2，得6x＋8y－10＝0，因此，①和②可以化成同一個(gè)方程，即①和②表示同一條直線(xiàn)，l1與l2重合．1．已知兩個(gè)直線(xiàn)的方程，求它們的交點(diǎn)坐標(biāo)，就是解兩個(gè)直線(xiàn)方程組成的方程組，方程組的解就是交點(diǎn)的坐標(biāo)．2．解二元一次方程組時(shí)，可以利用加減消元法，也可以利用代入消元法．1．已知在平行四邊形ABCD中，A(1,1)，B(7,1)，D(4,6)，點(diǎn)M是邊AB的中點(diǎn)，CM與BD交于點(diǎn)P.(1)求直線(xiàn)CM的方程；(2)求點(diǎn)P的坐標(biāo)．解析：(1)設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x，y)，因?yàn)樵谄叫兴倪呅蜛BCD中，AB∥DC，AD∥BC，所以線(xiàn)段AB，DC所在直線(xiàn)的斜率相等，線(xiàn)段AD，BC所在直線(xiàn)的斜率相等，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1－1,7－1)＝\f(y－6,x－4),\f(6－1,4－1)＝\f(y－1,x－7)))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝10,y＝6))，即C(10,6)．又點(diǎn)M是邊AB的中點(diǎn)，所以M(4,1)，所以直線(xiàn)CM的方程為eq\f(y－1,6－1)＝eq\f(x－4,10－4)，即5x－6y－14＝0.(2)因?yàn)锽(7,1)，D(4,6)，所以直線(xiàn)BD的方程為eq\f(y－1,6－1)＝eq\f(x－7,4－7)，即5x＋3y－38＝0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5x－6y－14＝0,5x＋3y－38＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝6,y＝\f(8,3)))，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為(6，eq\f(8,3))．探究二過(guò)兩條直線(xiàn)交點(diǎn)的直線(xiàn)方程[典例2]求經(jīng)過(guò)2x＋y＋8＝0和x＋y＋3＝0的交點(diǎn)，且與直線(xiàn)2x＋3y－10＝0垂直的直線(xiàn)方程．解法一解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y＋8＝0，,x＋y＋3＝0))得交點(diǎn)P(－5,2)．∵直線(xiàn)2x＋3y－10＝0的斜率k＝－eq\f(2,3)，∴所求直線(xiàn)的斜率是eq\f(3,2).因此所求直線(xiàn)方程為3x－2y＋19＝0.解法二設(shè)所求直線(xiàn)方程為3x－2y＋m＝0，解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y＋8＝0，,x＋y＋3＝0))得交點(diǎn)P(－5,2)．把點(diǎn)P(－5,2)的坐標(biāo)代入3x－2y＋m＝0，求得m＝19.因此所求直線(xiàn)方程為3x－2y＋19＝0.解決此類(lèi)問(wèn)題有兩種方法．一種是常規(guī)法，即由題目已知條件求出交點(diǎn)和直線(xiàn)斜率，利用點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線(xiàn)方程；二是利用待定系數(shù)法寫(xiě)出方程，再求出交點(diǎn)，代入求出待定系數(shù)．2．求經(jīng)過(guò)兩直線(xiàn)2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交點(diǎn)且與直線(xiàn)3x＋y－1＝0平行的直線(xiàn)l的方程．解析：解法一由方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－3y－3＝0，,x＋y＋2＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(3,5)，,y＝－\f(7,5).))∵直線(xiàn)l和直線(xiàn)3x＋y－1＝0平行，∴直線(xiàn)l的斜率k＝－3，∴依據(jù)點(diǎn)斜式有y－(－eq\f(7,5))＝－3[x－(－eq\f(3,5))]，即所求直線(xiàn)方程為15x＋5y＋16＝0.解法二∵直線(xiàn)l過(guò)兩直線(xiàn)2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交點(diǎn)，∴可設(shè)直線(xiàn)l的方程為2x－3y－3＋λ(x＋y＋2)＝0，即(λ＋2)x＋(λ－3)y＋2λ－3＝0.∵直線(xiàn)l與直線(xiàn)3x＋y－1＝0平行，∴eq\f(λ＋2,3)＝eq\f(λ－3,1)≠eq\f(2λ－3,－1)，解得λ＝eq\f(11,2).從而所求直線(xiàn)方程為15x＋5y＋16＝0.探究三兩直線(xiàn)交點(diǎn)的綜合應(yīng)用[典例3]已知三條直線(xiàn)l1：4x＋y－4＝0，l2：mx＋y＝0及l(fā)3：2x－3my－4＝0，求m的值，使l1，l2，l3三條直線(xiàn)能?chē)扇切危甗解析](1)若l1，l2，l3三條直線(xiàn)交于一點(diǎn)．明顯m≠4，若m＝4，則l1∥l2.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x＋y－4＝0，,mx＋y＝0))得l1，l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,4－m)，\f(－4m,4－m))).代入l3的方程得eq\f(8,4－m)－3m·eq\f(－4m,4－m)－4＝0.解得m＝－1或m＝eq\f(2,3)，∴當(dāng)m＝－1或m＝eq\f(2,3)時(shí)，l1，l2，l3交于一點(diǎn)．(2)若l1與l2不相交，則m＝4，若l1與l3不相交，則m＝－eq\f(1,6)，若l2與l3不相交，則m∈?.綜上知：當(dāng)m＝－1或m＝eq\f(2,3)或m＝4或m＝－eq\f(1,6)時(shí)，三條直線(xiàn)不能構(gòu)成三角形，即構(gòu)成三角形的條件是m∈(－∞，－1)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,6)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,6)，\f(2,3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，4))∪(4，＋∞)．1．將幾何條件轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題是解決本題的關(guān)鍵；2．在分類(lèi)探討時(shí)，不能遺漏；3．此題是從結(jié)論的反面即求出不能?chē)扇切蔚臈l件入手解決的．3．平行四邊形的兩鄰邊所在直線(xiàn)的方程是x＋y＋1＝0和3x－y＋4＝0，對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)是O′(3,3)，求另外兩邊的方程．解析：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，依據(jù)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＋1＝0，,3x－y＋4＝0，))得頂點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,4)，\f(1,4))).因?yàn)镺′是對(duì)角線(xiàn)AC的中點(diǎn)，且O′為(3,3)，所以頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(29,4)，\f(23,4))).由x＋y＋1＝0知，kAB＝－1，所以kCD＝－1，由點(diǎn)斜式得直線(xiàn)CD的方程為y－eq\f(23,4)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(29,4)))，即x＋y－13＝0.因?yàn)閗AD＝3.所以kBC＝3，由點(diǎn)斜式得直線(xiàn)BC的方程為y－eq\f(23,4)＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(29,4)))，即3x－y－16＝0.有關(guān)對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的解法[典例]已知直線(xiàn)l：y＝3x＋3，求：(1)點(diǎn)P(4,5)關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)；(2)直線(xiàn)l1：y＝x－2關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)直線(xiàn)的方程；(3)直線(xiàn)l關(guān)于點(diǎn)A(3,2)的對(duì)稱(chēng)直線(xiàn)的方程．[解析](1)設(shè)點(diǎn)P關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P′(x′，y′)，則線(xiàn)段PP′的中點(diǎn)M在直線(xiàn)l上，且直線(xiàn)PP′垂直于直線(xiàn)l，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y′＋5,2)＝3·\f(x′＋4,2)＋3，,\f(y′－5,x′－4)·3＝－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝－2，,y′＝7.))所以P′(－2,7)．(2)法一聯(lián)立方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y－2＝0，,3x－y＋3＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(5,2)，,y＝－\f(9,2).))所以直線(xiàn)l1與l的交點(diǎn)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，－\f(9,2))).在直線(xiàn)l1：x－y－2＝0上任取一點(diǎn)(2,0)，過(guò)點(diǎn)(2,0)與直線(xiàn)l：3x－y＋3＝0垂直的直線(xiàn)方程為x＋3y＝2.設(shè)直線(xiàn)x＋3y＝2與直線(xiàn)l的交點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x0－y0＋3＝0，,x0＋3y0＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝－\f(7,10)，,y0＝\f(9,10).))即交點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,10)，\f(9,10))).又點(diǎn)(2,0)關(guān)于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,10)，\f(9,10)))對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17,5)，\f(9,5)))，所以過(guò)兩點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，－\f(9,2)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17,5)，\f(9,5)))的直線(xiàn)方程為eq\f(y＋\f(9,2),\f(9,5)＋\f(9,2))＝eq\f(x＋\f(5,2),－\f(17,5)＋\f(5,2))，整理，得7x＋y＋22＝0.則所求直線(xiàn)方程為7x＋y＋22＝0.法二在直線(xiàn)l1上任取一點(diǎn)P(x1，y1)(P∈l1)，設(shè)點(diǎn)P關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q(x′，y′)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3·\f(x1＋x′,2)－\f(y1＋y′,2)＋3＝0，,\f(y′－y1,x′－x1)·3＝－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝\f(－4x′＋3y′－9,5)，,y1＝\f(3x′＋4y′＋3,5).))又點(diǎn)P在直線(xiàn)l1上運(yùn)動(dòng)，所以x1－y1－2＝0.所以eq\f(－4x′＋3y′－9,5)－eq\f(3x′＋4y′＋3,5)－2＝0，即7x′＋y′＋22＝0.所以所求直線(xiàn)方程為7x＋y＋22＝0.(3)設(shè)直線(xiàn)l關(guān)于點(diǎn)A(3,2)的對(duì)稱(chēng)直線(xiàn)為l′，由l∥l′，設(shè)l′：y′＝3x′＋b.任取y＝3x＋3上的一點(diǎn)(0,3)，則該點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)A(3,2)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)肯定在直線(xiàn)l′上，設(shè)其對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(x′，y′)．則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(0＋x′,2)＝3，,\f(3＋y′,2)＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝6，,y′＝1.))代入y′＝3x′＋b，得b＝－17.故直線(xiàn)l′的方程為y′＝3x′－17，即所求直線(xiàn)的方程為3x－y－17＝0.[感悟提高](1)點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)問(wèn)題：求對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)，一般設(shè)P點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P′，由PP′⊥l，線(xiàn)段PP′的中點(diǎn)在直線(xiàn)l上，列方程組求解．(2)線(xiàn)關(guān)于線(xiàn)對(duì)稱(chēng)問(wèn)題：求對(duì)稱(chēng)直線(xiàn)的方程，一般求l與l1的交點(diǎn)，再在直線(xiàn)l1上取一點(diǎn)(不是交點(diǎn))，求該點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，最終由兩點(diǎn)式寫(xiě)出直線(xiàn)方程．(3)線(xiàn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)問(wèn)題：求對(duì)稱(chēng)直線(xiàn)的方程可依據(jù)幾何意義求解．[隨堂訓(xùn)練]對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第44頁(yè)1．直線(xiàn)2x－y＝7與直線(xiàn)3x＋2y－7＝0的交點(diǎn)坐標(biāo)是()A．(3，－1) B．(－1,3)C．(－3，－1) D．(3,1)解析：解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＝7，,3x＋2y－7＝0，))得eq\b