浙江省杭州市蕭山區(qū)文淵中學(xué)2023--2024學(xué)年上學(xué)期九年級(jí)期中數(shù)學(xué)試卷

2023-2024學(xué)年浙江省杭州市蕭山區(qū)文淵中學(xué)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題有10小題，每小題3分，共30分.）1．（3分）若，則的值為A． B． C． D．2．（3分）若氣象部門(mén)預(yù)報(bào)，明天下雨的概率是，下列說(shuō)法正確的是A．明天下雨的可能性比較大 B．明天一定不會(huì)下雨 C．明天一定會(huì)下雨 D．明天下雨的可能性比較小3．（3分）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是A． B． C． D．4．（3分）如圖，的半徑為5，直角三角板的角的頂點(diǎn)落在上，兩邊與圓交于點(diǎn)、，則弦的長(zhǎng)為A．3 B．4 C．5 D．65．（3分）如圖為一座拱形橋示意圖，橋身（弦長(zhǎng)度為8，半徑垂直于點(diǎn)，，則橋拱高為A．3 B．2.5 C．2 D．1.56．（3分）如圖，某同學(xué)利用鏡面反射的原理巧妙地測(cè)出了樹(shù)的高度，已知人的站位點(diǎn)，鏡子，樹(shù)底三點(diǎn)在同一水平線上，眼睛與地面的高度為1.6米，米，米，則樹(shù)高為米．A．4 B．5 C．6 D．77．（3分）某超市銷售一種商品，每件成本為50元，銷售人員經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每月的銷售量（件與銷售單價(jià)（元之間滿足函數(shù)關(guān)系式，若要求銷售單價(jià)不得低于成本，為了每月所獲利潤(rùn)最大，該商品銷售單價(jià)應(yīng)定為A．85元 B．80元 C．75元 D．70元8．（3分）二次函數(shù)中，當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，則一次項(xiàng)系數(shù)滿足A． B． C． D．9．（3分）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)在邊上，，點(diǎn)在上，與直線交于點(diǎn)，（點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)），則的長(zhǎng)度為A． B．8 C． D．10．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，與軸交于，兩點(diǎn)在的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是上方拋物線上一點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié)，，記△的面積為，△的面積為，則的最大值為A． B． C． D．1二、填空題（本大題有6小題，每小題4分，共24分）11．（4分）某九年級(jí)一名學(xué)生進(jìn)行定點(diǎn)投籃訓(xùn)練，其成績(jī)?nèi)绫?，則這名學(xué)生定點(diǎn)投籃一次，投中的概率約為（精確到．投籃次數(shù)1010010000投中次數(shù)659600312．（4分）將拋物線向右平移1個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位，所得新拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．13．（4分）如圖，在△中，，，，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交于點(diǎn)，則弧的長(zhǎng)為．14．（4分）如圖，在正六邊形中，連接、，則的度數(shù)為．15．（4分）三角形三邊長(zhǎng)為5，5，6，則這個(gè)三角形的外心和重心的距離為．16．（4分）如圖，矩形的內(nèi)部有5個(gè)全等的小正方形，小正方形的頂點(diǎn)，，，分別落在邊，，，上，若，，則小正方形的邊長(zhǎng)為．三、解答題（本大題有8小題，第17～19小題每小題6分，第20，21小題每小題6分，第22，23小題每小題6分，第24小題12分，共66分.解答需寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程）17．（6分）在一個(gè)不透明的袋子里，裝有6個(gè)紅球、3個(gè)黑球、1個(gè)白球，它們除顏色外都相同．（1）求從袋中任意摸出一個(gè)球?yàn)榧t球的概率；（2）現(xiàn)從袋中取走若干個(gè)紅球，并放入相同數(shù)量的白球，充分搖勻后，要使從袋中隨機(jī)摸出一個(gè)球是白球的概率是，問(wèn)取走了多少個(gè)紅球？18．（6分）在的方格紙中，請(qǐng)按下列要求畫(huà)出格點(diǎn)三角形（頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上）．（1）將圖1中的格點(diǎn)△繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，畫(huà)出經(jīng)旋轉(zhuǎn)后的△．（2）在圖2中畫(huà)出一個(gè)以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的△，使得△與△相似．19．（6分）如圖，在中，是直徑，弦，垂足為點(diǎn)，連結(jié)，．（1）求證：．（2）若，，求弓形的面積．20．（8分）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線．（1）求，的值；（2）當(dāng)時(shí)，求的最小值；（3）當(dāng)時(shí)，求的取值范圍．21．（8分）如圖，在△中，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，．（1）求證：△△．（2）已知，，，①求的長(zhǎng)度；②若，求的長(zhǎng)．22．（10分）如圖1是一座圓弧型拱橋側(cè)面示意圖．水面寬與橋長(zhǎng)均為24米，橋拱頂部離水面的距離為8米，以橋拱頂部為原點(diǎn)，橋面為軸建立平面直角坐標(biāo)系．（1）求圓弧型橋拱所在圓的半徑；（2）如圖2，橋面上方有3根高度均為4米的支柱，，，過(guò)相鄰兩根支柱頂端的鋼纜呈形狀相同的拋物線，其最低點(diǎn)到橋面的距離為1米．①求出軸右側(cè)一條鋼纜拋物線的函數(shù)表達(dá)式；②為慶祝節(jié)日，在鋼纜和橋拱之間豎直裝飾若干條彩帶，求經(jīng)過(guò)鋼纜最低點(diǎn)的彩帶的長(zhǎng)度．23．（10分）如圖1，四邊形內(nèi)接于，為直徑，上存在點(diǎn)，滿足，連結(jié)并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，與交于點(diǎn)．（1）若，請(qǐng)用含的代數(shù)式表示．（2）如圖2，連結(jié)，．求證：．（3）在（2）的條件下，若．，求△的周長(zhǎng)．24．（12分）綜合與實(shí)踐定義：將寬與長(zhǎng)的比值為為正整數(shù)）的矩形稱為階奇妙矩形．（1）概念理解：當(dāng)時(shí)，這個(gè)矩形為1階奇妙矩形，如圖（1），這就是我們學(xué)習(xí)過(guò)的黃金矩形，它的寬與長(zhǎng)的比值是．（2）操作驗(yàn)證：用正方形紙片進(jìn)行如下操作（如圖（2）第一步：對(duì)折正方形紙片，展開(kāi)，折痕為，連接；第二步：折疊紙片使落在上，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，展開(kāi)，折痕為；第三步：過(guò)點(diǎn)折疊紙片，使得點(diǎn)、分別落在邊、上，展開(kāi)，折痕為．試說(shuō)明：矩形是1階奇妙矩形．（3）方法遷移：用正方形紙片折疊出一個(gè)2階奇妙矩形．要求：在圖（3）中畫(huà)出折疊示意圖并作簡(jiǎn)要標(biāo)注．（4）探究發(fā)現(xiàn)：小明操作發(fā)現(xiàn)任一個(gè)階奇妙矩形都可以通過(guò)折紙得到．他還發(fā)現(xiàn)：如圖（4），點(diǎn)為正方形邊上（不與端點(diǎn)重合）任意一點(diǎn)，連接，繼續(xù)（2）中操作的第二步、第三步，四邊形的周長(zhǎng)與矩形的周長(zhǎng)比值總是定值．請(qǐng)寫(xiě)出這個(gè)定值，并說(shuō)明理由．

2023-2024學(xué)年浙江省杭州市蕭山區(qū)文淵中學(xué)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題有10小題，每小題3分，共30分.）1．（3分）若，則的值為A． B． C． D．【分析】根據(jù)合比性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算．【解答】解：，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例的性質(zhì)：熟練掌握比例的性質(zhì)（內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積；合比性質(zhì)；分比性質(zhì)；合分比性質(zhì)；等比性質(zhì)）是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．2．（3分）若氣象部門(mén)預(yù)報(bào)，明天下雨的概率是，下列說(shuō)法正確的是A．明天下雨的可能性比較大 B．明天一定不會(huì)下雨 C．明天一定會(huì)下雨 D．明天下雨的可能性比較小【分析】利用概率的意義結(jié)合具體的選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【解答】解：明天下雨的概率是，說(shuō)明明天下雨的可能性比較大，但也可能下雨，也可能不下雨，因此選項(xiàng)符合題意，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的意義，理解概率的意義是正確判斷的前提．3．（3分）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是A． B． C． D．【分析】根據(jù)拋物線頂點(diǎn)式與圖象的位置關(guān)系解答即可．【解答】解：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)性質(zhì)，熟練掌握拋物線頂點(diǎn)式的特征是關(guān)鍵．4．（3分）如圖，的半徑為5，直角三角板的角的頂點(diǎn)落在上，兩邊與圓交于點(diǎn)、，則弦的長(zhǎng)為A．3 B．4 C．5 D．6【分析】連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，根據(jù)圓周角定理得出，，再由直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【解答】解：連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，，，是的直徑，，，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓周角定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．5．（3分）如圖為一座拱形橋示意圖，橋身（弦長(zhǎng)度為8，半徑垂直于點(diǎn)，，則橋拱高為A．3 B．2.5 C．2 D．1.5【分析】根據(jù)垂徑定理、勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：連接，，，在中，由勾股定理得，，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查垂徑定理、勾股定理，掌握垂徑定理和勾股定理是正確解答的前提．6．（3分）如圖，某同學(xué)利用鏡面反射的原理巧妙地測(cè)出了樹(shù)的高度，已知人的站位點(diǎn)，鏡子，樹(shù)底三點(diǎn)在同一水平線上，眼睛與地面的高度為1.6米，米，米，則樹(shù)高為米．A．4 B．5 C．6 D．7【分析】點(diǎn)作鏡面的法線，由入射角等于反射角可知，進(jìn)而可得出，由相似三角形的判定定理可得出，再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可求出的長(zhǎng)．【解答】解：點(diǎn)作鏡面的法線，由入射角等于反射角可知，，，，又，，，米，米，米，，米，答：樹(shù)高為4米，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用，解題時(shí)關(guān)鍵是找出相似的三角形，然后根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例列出方程，建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型來(lái)解決問(wèn)題．7．（3分）某超市銷售一種商品，每件成本為50元，銷售人員經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每月的銷售量（件與銷售單價(jià)（元之間滿足函數(shù)關(guān)系式，若要求銷售單價(jià)不得低于成本，為了每月所獲利潤(rùn)最大，該商品銷售單價(jià)應(yīng)定為A．85元 B．80元 C．75元 D．70元【分析】設(shè)每月所獲利潤(rùn)為，按照利潤(rùn)銷售量（售價(jià)成本）列出二次函數(shù)，并根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得最值即可．【解答】解：設(shè)每月總利潤(rùn)為，依題意得，，此圖象開(kāi)口向下，當(dāng)時(shí)，有最大值為4500元，為了每月所獲利潤(rùn)最大，該商品銷售單價(jià)應(yīng)定為80元．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，根據(jù)題意找到等量關(guān)系并掌握二次函數(shù)求最值的方法是解題的關(guān)鍵．8．（3分）二次函數(shù)中，當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，則一次項(xiàng)系數(shù)滿足A． B． C． D．【分析】根據(jù)的值先確定拋物線的開(kāi)口方向，然后再根據(jù)已知當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，可得拋物線的對(duì)稱軸，從而進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：，二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向上，當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，，解得：，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（3分）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)在邊上，，點(diǎn)在上，與直線交于點(diǎn)，（點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)），則的長(zhǎng)度為A． B．8 C． D．【分析】連結(jié)，由正方形的性質(zhì)得，，而，所以，則，所以，即可求得，于是得到問(wèn)題的答案．【解答】解：連結(jié)，則，四邊形是邊長(zhǎng)為4的正方形，，，，，，，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查正方形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．10．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，與軸交于，兩點(diǎn)在的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是上方拋物線上一點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié)，，記△的面積為，△的面積為，則的最大值為A． B． C． D．1【分析】先將轉(zhuǎn)化為，再過(guò)點(diǎn)作軸的平行線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，利用相似三角形的性質(zhì)將轉(zhuǎn)化為，再借助點(diǎn)坐標(biāo)表示出即可解決問(wèn)題．【解答】解：由題知，．過(guò)點(diǎn)作軸的平行線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，軸，△△，．解方程得，，，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，．將代入得，，點(diǎn)的坐標(biāo)為．令直線的函數(shù)解析式為，則，解得，直線的函數(shù)解析式為．令點(diǎn)坐標(biāo)為，則，，則，，則當(dāng)時(shí)，有最大值為：，即的最大值為．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、拋物線與軸的交點(diǎn)及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟知二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二、填空題（本大題有6小題，每小題4分，共24分）11．（4分）某九年級(jí)一名學(xué)生進(jìn)行定點(diǎn)投籃訓(xùn)練，其成績(jī)?nèi)绫?，則這名學(xué)生定點(diǎn)投籃一次，投中的概率約為0.6（精確到．投籃次數(shù)1010010000投中次數(shù)6596003【分析】大量重復(fù)試驗(yàn)下摸球的頻率可以估計(jì)摸球的概率，據(jù)此求解．【解答】解：觀察表格發(fā)現(xiàn)隨著投籃次數(shù)的增多投中的頻率逐漸穩(wěn)定在0.6附近，故投中的概率估計(jì)值為0.6；故答案為：0.6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用頻率估計(jì)概率的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解大量重復(fù)試驗(yàn)中某個(gè)事件發(fā)生的頻率能估計(jì)概率．12．（4分）將拋物線向右平移1個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位，所得新拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律（左加右減，上加下減）進(jìn)行求解．【解答】解：將拋物線向右平移1個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位，則所得新拋物線的表達(dá)式為：．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減是解題的關(guān)鍵．13．（4分）如圖，在△中，，，，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交于點(diǎn)，則弧的長(zhǎng)為．【分析】連接，根據(jù)，可以得到的度數(shù)，再根據(jù)以及的度數(shù)即可得到的度數(shù)，最后根據(jù)弧長(zhǎng)公式求解即可．【解答】解：如圖，連接，則，，，，，，，△為等邊三角形，，的長(zhǎng)為：．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了弧長(zhǎng)公式，掌握弧長(zhǎng)的計(jì)算公式是正確解答的關(guān)鍵，求出弧所對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù)以及弧所在扇形的半徑是解決問(wèn)題的前提．14．（4分）如圖，在正六邊形中，連接、，則的度數(shù)為30．【分析】由正六邊形的性質(zhì)得出，，由等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理得出，，求出．【解答】解：六邊形是正六邊形，，，，，．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正六邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理；熟練掌握正六邊形的性質(zhì)，求出、和的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．15．（4分）三角形三邊長(zhǎng)為5，5，6，則這個(gè)三角形的外心和重心的距離為．【分析】由三角形重心的概念求出的長(zhǎng)，由三角形外心的概念求出外接圓的半徑，即可解決問(wèn)題．【解答】解：中，，，作于，垂直平分，的外心，內(nèi)心在上，，，為的重心，，設(shè)外接圓的半徑是，，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的外心，重心，關(guān)鍵是掌握三角形外心，重心的定義．16．（4分）如圖，矩形的內(nèi)部有5個(gè)全等的小正方形，小正方形的頂點(diǎn)，，，分別落在邊，，，上，若，，則小正方形的邊長(zhǎng)為5．【分析】依據(jù)題意，由矩形的性質(zhì)可得，求出，由證得△△，得出，過(guò)點(diǎn)作于，可得，再證明△△，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出，再求出，然后利用勾股定理列式求出，然后求解即可．【解答】解：作，垂足為．四邊形是矩形，．．．個(gè)小正方形大小相同，．又，，△△，．過(guò)點(diǎn)作于，如圖所示：四邊形是矩形．，．，，．，△△．．．．在△中，．小正方形的邊長(zhǎng)為．故答案為：5．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)作輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．三、解答題（本大題有8小題，第17～19小題每小題6分，第20，21小題每小題6分，第22，23小題每小題6分，第24小題12分，共66分.解答需寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程）17．（6分）在一個(gè)不透明的袋子里，裝有6個(gè)紅球、3個(gè)黑球、1個(gè)白球，它們除顏色外都相同．（1）求從袋中任意摸出一個(gè)球?yàn)榧t球的概率；（2）現(xiàn)從袋中取走若干個(gè)紅球，并放入相同數(shù)量的白球，充分搖勻后，要使從袋中隨機(jī)摸出一個(gè)球是白球的概率是，問(wèn)取走了多少個(gè)紅球？【分析】（1）從袋中任意摸出一個(gè)球有10種等可能結(jié)果，其中是紅球的有6種結(jié)果，再根據(jù)概率公式求解即可；（2）設(shè)取走了個(gè)紅球，根據(jù)隨機(jī)摸出一個(gè)球是白球的概率是列出關(guān)于的方程，解之即可得出答案．【解答】解：（1）從袋中任意摸出一個(gè)球有10種等可能結(jié)果，其中是紅球的有6種結(jié)果，所以從袋中任意摸出一個(gè)球?yàn)榧t球的概率為；（2）設(shè)取走了個(gè)紅球，根據(jù)題意，得：，解得，答：取走了3個(gè)紅球．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查概率公式，隨機(jī)事件的概率（A）事件可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)．18．（6分）在的方格紙中，請(qǐng)按下列要求畫(huà)出格點(diǎn)三角形（頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上）．（1）將圖1中的格點(diǎn)△繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，畫(huà)出經(jīng)旋轉(zhuǎn)后的△．（2）在圖2中畫(huà)出一個(gè)以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的△，使得△與△相似．【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作圖即可．（2）結(jié)合相似三角形的判定，畫(huà)△的各邊長(zhǎng)分別為即可．【解答】解：（1）如圖1，△即為所求．（2）如圖2，分別取格點(diǎn)，，使，，，此時(shí)△△，相似比為，則△即為所求．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖相似變換、作圖旋轉(zhuǎn)變換，熟練掌握相似三角形的判定、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．19．（6分）如圖，在中，是直徑，弦，垂足為點(diǎn)，連結(jié)，．（1）求證：．（2）若，，求弓形的面積．【分析】（1）根據(jù)垂徑定理，圓周角定理即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)垂徑定理，證明，推出，可得，再利用弧長(zhǎng)公式求解．【解答】（1）證明：，是弦，是直徑，，；（2）解：如圖，連接，，．，是直徑，是弦，，，，，，，在△中，，，，，，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查垂徑定理，圓周角定理以及扇形面積的計(jì)算，掌握垂徑定理、圓周角定理以及扇形面積的計(jì)算方法是正確解答的關(guān)鍵．20．（8分）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線．（1）求，的值；（2）當(dāng)時(shí)，求的最小值；（3）當(dāng)時(shí)，求的取值范圍．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）首先把二次函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合得到當(dāng)時(shí)，取得最小值；（3）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【解答】解：（1）二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線，，解得；（2）由（1）知，，，，當(dāng)時(shí)，有最小值；（3）如圖，當(dāng)時(shí)，求的取值范圍為或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的最值，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式．21．（8分）如圖，在△中，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，．（1）求證：△△．（2）已知，，，①求的長(zhǎng)度；②若，求的長(zhǎng)．【分析】（1）是公共角，可直接得出結(jié)論；（2）由相似三角形的性質(zhì)可得，由此可得出的長(zhǎng)度，再由等角對(duì)等邊可得結(jié)論．【解答】（1）證明：，，△△；（2）解：△△，，即，，，，，（負(fù)值舍去），，．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)等內(nèi)容，得出△△是解題關(guān)鍵．22．（10分）如圖1是一座圓弧型拱橋側(cè)面示意圖．水面寬與橋長(zhǎng)均為24米，橋拱頂部離水面的距離為8米，以橋拱頂部為原點(diǎn)，橋面為軸建立平面直角坐標(biāo)系．（1）求圓弧型橋拱所在圓的半徑；（2）如圖2，橋面上方有3根高度均為4米的支柱，，，過(guò)相鄰兩根支柱頂端的鋼纜呈形狀相同的拋物線，其最低點(diǎn)到橋面的距離為1米．①求出軸右側(cè)一條鋼纜拋物線的函數(shù)表達(dá)式；②為慶祝節(jié)日，在鋼纜和橋拱之間豎直裝飾若干條彩帶，求經(jīng)過(guò)鋼纜最低點(diǎn)的彩帶的長(zhǎng)度．【分析】（1）設(shè)圓弧型拱橋的圓心為，圓的半徑為，則米，米，利用勾股定理列式解答即可；（2）①由圖象分析右邊鋼纜所在拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，然后利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；②連接圓與，作于點(diǎn)，如圖2，從而得到米，米，利用勾股定理求得米，求得米，米，進(jìn)而得解．【解答】解：（1）設(shè)圓弧型拱橋的圓心為，圓的半徑為，連接，交于點(diǎn)，如圖1，由題意得：，米，米，米，米，由勾股定理得：，，解得：，答：圓弧型橋拱所在圓的半徑為13米；（2）①由題意可知右邊鋼纜所在拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)其表達(dá)式為，將代入得：，解得：，右邊鋼纜所在拋物線表達(dá)式為：；②由題意可知，即為所求彩帶的長(zhǎng)度，如圖2，連接圓與，作于點(diǎn)，則米，米，（米，米，（米，答：經(jīng)過(guò)鋼纜最低點(diǎn)的彩帶的長(zhǎng)度為米．【點(diǎn)評(píng)】本題屬于二次函數(shù)綜合題，主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，勾股定理，解答本題的關(guān)鍵要明確：一般先根據(jù)題意設(shè)出適當(dāng)?shù)亩魏瘮?shù)表達(dá)式（一般式、頂點(diǎn)式或交點(diǎn)式），再結(jié)合實(shí)際和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行求解．23．（10分）如圖1，四邊形內(nèi)接于，為直徑，上存在點(diǎn)，滿足，連結(jié)并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，與交于點(diǎn)．（1）若，請(qǐng)用含的代數(shù)式表示．（2）如圖2，連結(jié)，．求證：．（3）在（2）的條件下，若．，求△的周長(zhǎng)．【分析】（1）利用圓周角定理解答即可；（2）連接，利用圓周角定理和三角形的內(nèi)角和定理得到，再利用全等三角形的判定與性質(zhì)解答即可；（3）連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，利用圓周角定理得到，利用直角三角形的邊角關(guān)系定理求得，，利用圓周角定理和直角三角形的邊角關(guān)系定理求得，，，，利用（2）的結(jié)論和勾股定理求得，再利用△的周長(zhǎng)解答即可．【解答】（1）解：，，，，為直徑，，；（2）證明：連接，如圖，為直徑，，，，．由（1）知：，，．在△和△中，，△△，．（3）解：連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖，，，，．，．為直徑，，，．為直徑，，，．由（2）知：，，，，△的周長(zhǎng)．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，直角三角形的邊角關(guān)系定理，勾股定理，特殊角的三角函數(shù)值，連接直徑所對(duì)的圓周角和作出三角形的高線是解決此類問(wèn)題常添加的輔助線．24．（12分）綜合與實(shí)踐定義：將寬與長(zhǎng)的比值為為正整數(shù)）的矩形稱為階奇妙矩形．（1）概念理解：當(dāng)