回歸教材重難點08圓的綜合題（原卷版）

回歸教材重難點08圓的綜合問題本考點是中考五星高頻考點，難度較大，在全國各地市的中考試卷中均有考查。（2022年廣西柳州市中考數學試卷第25題）如圖，已知AB是⊙O的直徑，點E是⊙O上異于A，B的點，點F是的中點，連接AE，AF，BF，過點F作FC⊥AE交AE的延長線于點C，交AB的延長線于點D，∠ADC的平分線DG交AF于點G，交FB于點H．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）求sin∠FHG的值；（3）若GH＝4，HB＝2，求⊙O的直徑．【分析】（1）連接OF，證明OF⊥CD即可；（2）證明∠FGH＝∠FHG＝45°，可得結論；（3）過點H作HM⊥DF于點M，HN⊥AD于點N．則HM＝HN，可得＝＝＝＝2設DB＝k，DF＝2k，證明△DFB∽△DAF，推出DF2＝DB?DA，可得AD＝4k，由GD平分∠ADF，同法可得＝＝，推出AG＝8，再利用勾股定理求解即可．【解答】（1）證明：連接OF．∵OA＝OF，∴∠OAF＝∠OFA，∵＝，∴∠CAF＝∠FAB，∴∠CAF＝∠AFO，∴OF∥AC，∵AC⊥CD，∴OF⊥CD，∵OF是半徑，∴CD是⊙O的切線．（2）解：∵AB是直徑，∴∠AFB＝90°，∵OF⊥CD，∴∠OFD＝∠AFB＝90°，∴∠AFO＝∠DFB，∵∠OAF＝∠OFA，∴∠DFB＝∠OAF，∵GD平分∠ADF，∴∠ADG＝∠FDG，∵∠FGH＝∠OAF+∠ADG，∠FHG＝∠DFB+∠FDG，∴∠FGH＝∠FHG＝45°，∴sin∠FHG＝；（3）解：過點H作HM⊥DF于點M，HN⊥AD于點N．∵HD平分∠ADF，∴HM＝HN，∵＝＝＝，∵△FGH是等腰直角三角形，GH＝4，∴FH＝FG＝4，∴＝＝2，設DB＝k，DF＝2k，∵∠FDB＝∠ADF，∠DFB＝∠DAF，∴△DFB∽△DAF，∴DF2＝DB?DA，∴AD＝4k，∵GD平分∠ADF，∴∠FDH＝∠ADG，∴△FDH∽△ADG，∴＝＝，∴AG＝8，∵∠AFB＝90°，AF＝12，FB＝6，∴AB＝＝＝6，∴⊙O的直徑為6．點評：本題屬于圓的綜合題，考查了切線的判定，相似三角形的判定和性質，等腰直角三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會利用參數解決問題，屬于中考壓軸題。圓的綜合問題包含初中數學中《圓的基本性質》和《直線與圓的位置關系》兩大部分，題目一般較為綜合，常和三角形相似或三角函數結合考察。題型一般為解答題，考生在復習這塊內容時，不僅需要熟悉圓的所以性質，更需要熟悉常與之結合的幾何問題的方法技巧。本考點是中考五星高頻考點，難度較大，個別會以壓軸題出現，在全國各地市的中考試卷中均有考查。圓的綜合問題常用的規(guī)律方法：技法01：第一問常考考點——切線，對應規(guī)律①切線的判定：常用方法→有切點，連半徑，證垂直！無切點，作垂直，證半徑！☆特別地：題目中所需證的垂直，一般是由已知垂直轉化而來的，故有“想證⊥，先找⊥”②切線的性質：常用方法→見切點，連半徑，得垂直！因切線所得結論必為⊥，故常以直角三角形來展開后續(xù)問題技法02：考題常見結合考點①知2得1：②三角形相似：③三角函數：相似三角形與三角函數不分家，所以應用方法類似；特殊之處是：給三角函數，必“找”Rt△④特殊角及其轉化：技法03：常見輔助線①連半徑——有關切線時，連接的是過切點的半徑②作弦心距——構造Rt△，進而用知2得3——或做兩條弦心距，構造矩形或正方形③連接弦——使直徑所對的圓周角=90°，進而在Rt△中展開問題【中考真題練】1．（2022?杭州）如圖是以點O為圓心，AB為直徑的圓形紙片，點C在⊙O上，將該圓形紙片沿直線CO對折，點B落在⊙O上的點D處（不與點A重合），連接CB，CD，AD．設CD與直徑AB交于點E．若AD＝ED，則∠B＝36度；的值等于．2．（2022?益陽）如圖，C是圓O被直徑AB分成的半圓上一點，過點C的圓O的切線交AB的延長線于點P，連接CA，CO，CB．（1）求證：∠ACO＝∠BCP；（2）若∠ABC＝2∠BCP，求∠P的度數；（3）在（2）的條件下，若AB＝4，求圖中陰影部分的面積（結果保留π和根號）．3．（2022?黃石）如圖CD是⊙O直徑，A是⊙O上異于C，D的一點，點B是DC延長線上一點，連AB、AC、AD，且∠BAC＝∠ADB．（1）求證：直線AB是⊙O的切線；（2）若BC＝2OC，求tan∠ADB的值；（3）在（2）的條件下，作∠CAD的平分線AP交⊙O于P，交CD于E，連PC、PD，若AB＝2，求AE?AP的值．4．（2022?鄂爾多斯）如圖，以AB為直徑的⊙O與△ABC的邊BC相切于點B，且與AC邊交于點D，點E為BC中點，連接DE、BD．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若DE＝5，cos∠ABD＝，求OE的長．5．（2022?綿陽）如圖，AB為⊙O的直徑，C為圓上的一點，D為劣弧的中點，過點D作⊙O的切線與AC的延長線交于點P，與AB的延長線交于點F，AD與BC交于點E．（1）求證：BC∥PF；（2）若⊙O的半徑為，DE＝1，求AE的長度；（3）在（2）的條件下，求△DCP的面積．6．（2022?上海）如圖，在?ABCD中，P是線段BC中點，聯結BD交AP于點E，聯結CE．（1）如果AE＝CE．ⅰ．求證：?ABCD為菱形；ⅱ．若AB＝5，CE＝3，求線段BD的長；（2）分別以AE，BE為半徑，點A，B為圓心作圓，兩圓交于點E，F，點F恰好在射線CE上，如果CE＝AE，求的值．7．（2022?貴陽）如圖，AB為⊙O的直徑，CD是⊙O的切線，C為切點，連接BC．ED垂直平分OB，垂足為E，且交于點F，交BC于點P，連接BF，CF．（1）求證：∠DCP＝∠DPC；（2）當BC平分∠ABF時，求證：CF∥AB；（3）在（2）的條件下，OB＝2，求陰影部分的面積．8．（2022?深圳）一個玻璃球體近似半圓O，AB為直徑．半圓O上點C處有個吊燈EF，EF∥AB，CO⊥AB，EF的中點為D，OA＝4．（1）如圖①，CM為一條拉線，M在OB上，OM＝1.6，DF＝0.8，求CD的長度．（2）如圖②，一個玻璃鏡與圓O相切，H為切點，M為OB上一點，MH為入射光線，NH為反射光線，∠OHM＝∠OHN＝45°，tan∠COH＝，求ON的長度．（3）如圖③，M是線段OB上的動點，MH為入射光線，∠HOM＝50°，HN為反射光線交圓O于點N，在M從O運動到B的過程中，求N點的運動路徑長．9．（2022?北京）在平面直角坐標系xOy中，已知點M（a，b），N．對于點P給出如下定義：將點P向右（a≥0）或向左（a＜0）平移|a|個單位長度，再向上（b≥0）或向下（b＜0）平移|b|個單位長度，得到點P′，點P′關于點N的對稱點為Q，稱點Q為點P的“對應點”．（1）如圖，點M（1，1），點N在線段OM的延長線上．若點P（﹣2，0），點Q為點P的“對應點”．①在圖中畫出點Q；②連接PQ，交線段ON于點T，求證：NT＝OM；（2）⊙O的半徑為1，M是⊙O上一點，點N在線段OM上，且ON＝t（＜t＜1），若P為⊙O外一點，點Q為點P的“對應點”，連接PQ．當點M在⊙O上運動時，直接寫出PQ長的最大值與最小值的差（用含t的式子表示）．10．（2022?綏化）如圖所示，在⊙O的內接△AMN中，∠MAN＝90°，AM＝2AN，作AB⊥MN于點P，交⊙O于另一點B，C是上的一個動點（不與A，M重合），射線MC交線段BA的延長線于點D，分別連接AC和BC，BC交MN于點E．（1）求證：△CMA∽△CBD．（2）若MN＝10，＝，求BC的長．（3）在點C運動過程中，當tan∠MDB＝時，求的值．【中考模擬練】1．（2023?東營區(qū)校級一模）如圖，PA、PB是⊙O的切線，切點分別為A、B，BC是⊙O的直徑，PO交⊙O于E點，連接AB交PO于F，連接CE交AB于D點．下列結論：①PA＝PB；②OP⊥AB；③CE平分∠ACB；④；⑤E是△PAB的內心；⑥△CDA≌△EDF．其中一定成立的有（）個．A．5 B．4 C．3 D．22．（2023?石家莊模擬）如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，在AB上取點O，以O為圓心，以OB為半徑作圓，與AC相切于點D，并分別與AB，BC相交于點E，F（異于點B）．（1）求證：BD平分∠ABC；?（2）若點E恰好是AO的中點，求扇形BOF的面積；（3）若CF的長為1，求⊙O的半徑長．3．（2023?錦江區(qū)模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BO平分∠ABC，交AC于點O．以點O為圓心，OA為半徑作⊙O，交BO于點D，連接AD．（1）求證：BC為⊙O的切線；（2）若OA＝3，OC＝，求AB的長；（3）在（2）的條件下，求tan∠BAD的值．4．（2023?南崗區(qū)校級二模）如圖，△ABC內接于⊙O，∠A＝∠B+∠C．（1）如圖1，求證：BC為⊙O的直徑；（2）如圖2，點D，E在弧AB上，連接BD，CE相交于點F，連接DE，CD，若∠BFC＝∠EDC，求證：CE是∠BCD的角分線；（3）如圖3，在（2）的條件下．連接BE，AE，AE與CD相交于點G，過點B作BH⊥BD交AE延長線于點H，AB與CE相交于點M，若BH＝5，DG＝1，tan∠AMC＝，求DE的長．5．（2023?黃巖區(qū)一模）如圖1，已知△ABC內接于⊙O，AB為⊙O的直徑，AB＝5，，點D是半圓上的一個動點，過點D作DE∥AC交直徑AB于點E．（1）求證：∠ADE＝∠CBD；（2）如圖2，連接CD交AB于點F，若∠ADC＝∠EDB，求cos∠CBD；（3）如圖3，連接CD交AB于點F，若CD＝2AE，①求AD的長；②直接寫出的