專題6.7A字型相似三角形綜合問題大題專項提升訓練（重難點培優(yōu)）-2022-2023學年九年級數(shù)學下冊尖子生培優(yōu)題典

20212022學年九年級數(shù)學下冊尖子生培優(yōu)題典【蘇科版】專題6.7A字型相似三角形綜合問題大題專項提升訓練（重難點培優(yōu)）姓名：__________________班級：______________得分：_________________一、解答題（共24題）1．（2022·安徽·合肥市第三十中學九年級期中）如圖，在△ABC中，BD、CE分別是AC、AB邊上的高．求證：△【答案】見詳解【分析】先證明△ACE∽△ABD，即有AEAD【詳解】∵BD、CE分別是AC、AB邊上的高，∴∠AEC∵∠A∴△ACE∴AEAD又∵∠A∴△ACB【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質，掌握三角形的判定與性質是解答本題的關鍵．2．（2021·江蘇·九年級）在△ABC中，AB=mm>0，D為AB上一點，過D作DE∥BC交AC于點E，連接CD【答案】0<【分析】作AG⊥BC于F點，交DE于G點，設AD=x，首先結合相似三角形的判定與性質推出DEBC和GF【詳解】解：如圖所示，作AG⊥BC于F點，交DE于G點，設AD=x，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴DEBC∴GFAF∴S2整理得：S2∵點D在AB上，m>0∴0<x<m∴拋物線S2S1的開口向下，且當x=m當x=0和x=m綜上分析，S2S1【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質，二次函數(shù)的性質運用等，掌握相似三角形的判定與性質推出相關線段的比例，以及熟練運用二次函數(shù)的性質分析是解題關鍵．3．（2021·遼寧丹東·九年級期中）如圖，△ABD中，∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm．某一時刻，動點M從點A出發(fā)沿AB方向以1cm/s的速度向點B勻速運動；同時，動點N從點D出發(fā)沿DA方向以2cm/s的速度向點A勻速運動，運動的時間為ts．（1）求t為何值時，△AMN的面積是△ABD面積的29（2）當以點A，M，N為頂點的三角形與△ABD相似時，求t值．【答案】（1）t1=4，t2=2；（2）t【分析】（1）由題意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm，根據(jù)三角形的面積公式列出方程可求出答案；（2）分兩種情況，由相似三角形的判定列出方程可求出t的值．【詳解】解：（1）由題意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm，∴△AMN的面積＝12AN?AM＝12×（12﹣2t）×t＝6t﹣t∵∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm∴△ABD的面積為12AB?AD＝12×6×12＝∵△AMN的面積是△ABD面積的29∴6t﹣t2＝29∴t2﹣6t+8＝0，解得t1＝4，t2＝2，答：經(jīng)過4秒或2秒，△AMN的面積是△ABD面積的29（2）由題意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm，若△AMN∽△ABD，則有AMAB=AN解得t＝3，若△AMN∽△ADB，則有AMAD=AN解得t＝245答：當t＝3或245時，以A、M、N為頂點的三角形與△ABD【點睛】本題考查了相似三角形的判定，直角三角形的性質和一元二次方程的應用，正確進行分類討論是解題的關鍵．4．（2022·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習）如圖，在△ABC中，點D在邊AB上，點E、點F在邊AC上，且DE∥BC，AFFE（1）求證：DF∥BE；（2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝63．求證△ADE∽△AEB．【答案】（1）見詳解；（2）見詳解【分析】（1）由題意易得ADBD=AE（2）由（1）及題意可知ADBD=AFEF=【詳解】解：（1）∵DE∥BC，∴ADBD∵AFFE∴AFFE∴DF∥BE；（2）∵AF＝2，EF＝4，∴由（1）可知，ADBD=AFEF∵AB＝63，∴AD=∴AEAB∴AEAB∵∠A=∠A，∴△ADE∽△AEB．【點睛】本題主要考查相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題的關鍵．5．（2021·全國·九年級課時練習）一塊直角三角形木板的面積為1.5m2，一條直角邊AB為【答案】乙木匠的加工方法符合要求．說明見解析．【分析】要求哪位木匠的加工方法符合要求，需要先求出兩種加工方式中正方形的邊長，邊長最大就符合要求；由已知三角形的面積和一條直角邊的邊長可求出其余兩邊的邊長，根據(jù)乙加工方案中的平行關系得到相似三角形，根據(jù)相似三角形對應變成比例，可求出正方形的邊長；根據(jù)甲加工方案中，根據(jù)相似三角形的高的比等于邊長比，可求出正方形的邊長，對比兩方案的邊長即可知誰符合要求．【詳解】解：作BH⊥AC于H，交DE于M，如圖∵S∴BC∵AC∴S∴BH又∵DE∥AC∴DE∴x52設正方形的邊長為x米，如圖乙∵DE∥AB∴DE∴x1.5=∵6∴乙木匠的加工方法符合要求．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質的實際應用及分析、解決問題的能力，正確理解題意，建立數(shù)學模型，把實際問題轉化為數(shù)學問題是解決本題的關鍵．6．（2021·全國·九年級專題練習）如圖，Rt△APE，∠AEP＝90°，以AB為直徑的⊙O交PE于C，且AC平分∠EAP．連接BC，PB：PC＝1：2．（1）求證：PE是⊙O的切線；（2）已知⊙O的半徑為52，求AP【答案】（1）見解析；（2）20【分析】（1）連接OC，由AC平分∠EAP，得到∠DAC＝∠OAC，由等腰三角形的性質得到∠CAO＝∠ACO，等量代換得到∠DAC＝∠ACO，根據(jù)平行線的性質得到∠E＝∠OCP＝90°，于是得到結論；（2）設PB＝x，PC＝2x，根據(jù)勾股定理得到PC=103，PB=5【詳解】解：（1）連接OC，∵AC平分∠EAP，∴∠DAC＝∠OAC，∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠ACO，∴∠DAC＝∠ACO，∴AE∥OC，∴∠E＝∠OCP＝90°，∵OC是圓O的半徑∴PE是⊙O的切線；（2）∵PB：PC＝1：2，∴設PB＝x，PC＝2x，∵OC2+PC2＝OP2，即（52）2+（2x）2＝（52+x∴x=5∴PC=103，PB∴AP=20【點睛】本題考查了切線的判定，勾股定理，熟記切線的判定是解題的關鍵．7．（2021·山東·嘉祥縣馬集鎮(zhèn)中學九年級階段練習）Rt△ABC中，∠C=90°，AC=20cm，BC=15cm，現(xiàn)有動點P從點A出發(fā)，沿AC向點C方向運動，動點Q從點C出發(fā)，沿線段CB也向點B方向運動，如果點P的速度是（1）求運動時間為多少秒時，P、Q兩點之間的距離為10cm?（2）若△CPQ的面積為S，求S關于t（3）當t為多少時，以點C，P，Q為頂點的三角形與△ABC相似【答案】（1）3秒或5秒；（2）S=20t-4t【分析】（1）根據(jù)題意得到AP=4tcm，CQ=2tcm，AC=20cm，CP=（204t）cm，根據(jù)三角形的面積公式列方程即可得答案；（2）若運動的時間為ts，則CP=（204t）cm，CQ=2tcm，利用三角形的面積計算公式，即可得出S=20t4t2，再結合各線段長度非負，即可得出t的取值范圍；（3）分①Rt△CPQ∽Rt【詳解】（1）解：由運動知，AP=4tcm，CQ=2tcm，∵AC=20cm，∴CP=（204t）cm，在Rt△CPQ中，CP即20-4t∴t=3秒或t（2）由題意得AP=4t，CQ=2因此Rt△CPQ的面積為（3）分兩種情況：①當Rt△CPQ∽Rt△CAB時，②當Rt△CPQ∽Rt△CBA時，因此t=3或t=4011時，以點C、P、【點睛】本題考查了勾股定理，相似三角形的性質，用方程的思想解決問題是解本題的關鍵．8．（2022·山東東營·三模）已知：如圖①，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，連接AC，將三角形ABC沿AC翻折，使B點落在E點處，連接EC，AE，AE交DC于F點．(1)求DF的長．(2)若將△CEF沿著射線CA方向平移，設平移的距離為m（平移距離指點C沿CA方向所經(jīng)過的線段長度）．當點F平移到線段AD上時，如圖②，求出相應的m的值．(3)如圖③，將△CEF繞點C逆時針旋轉一個角a（0°＜a＜∠ECB），記旋轉中的△CEF為△CE′F′，過E′作E′G⊥AD于G點，在旋轉過程中，當△DCE′為等腰三角形時，求出線段E′G的長度．【答案】(1)7(2)35(3)4或23【分析】（1）利用矩形性質、折疊性質找出DF、AF之間關系，利用勾股定理解RtΔADF（2）利用平移性質、平行線性質，ΔADC、Δ（3）分DE'=CE'（1）解：（1）如圖①，∵四邊形ABCD是矩形，AB=8，AD=6，∴AB‖CD，∠由折疊可知∠1=∠2，又∵AB‖CD∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴AF=CF，設AF=CF=x，則DF=8-x在RtΔADF中，AD=6，AF=x，由勾股定理得：62+解得x=則DF=8-25（2）設平移中的三角形為△C'E'由勾股定理得：AC=A由（1）知CF=由平移性質可知，CD//C'F∴∠DCA又∠DAC∴Δ∴C∴25解得AC'=∴m（3）①當DE'=CE'時，△E'在DC的垂直平分線上，過E'作E'H⊥CD于點H，則四邊形DGE'H為矩形，∴GE②當DE'=CD=8時，過E'作E'H⊥CD于點H，則四邊形DGE'H為矩形，連接DE'，設DH=x，則由勾股定理得：DE'綜合可得：DE'∴82-∴GE【點睛】本題考查折疊的性質、平移的性質、矩形的性質、等腰三角形判定、勾股定理等知識點，綜合性較強，有一定難度，特別是第（3）問需要分類討論，不要出現(xiàn)遺漏．9．（2021·山東省青島第二十六中學九年級期中）矩形ABCD中，AB＝CD＝3cm，AD＝BC＝4cm，AC是對角線，動點P從點A出發(fā)沿AC方向向點C勻速運動，速度為1cm/s；動點Q從點C出發(fā)沿CD方向向點D勻速運動，速度為2cm/s．過點P作BC的垂線段PH，運動過程中始終保持PH與BC互相垂直，連接HQ交AC于點O．若點P和點Q同時出發(fā)，設運動的時間為t（s）（0＜t＜1.5），解答下列問題：（1）求當t為何值時，四邊形PHCQ為矩形；（2）是否存在一個時刻，使HQ與AC互相垂直？如果存在請求出t值；如果不存在請說明理由；（3）是否存在一個時刻，使矩形ABCD的面積是四邊形PHCQ面積的7544，如果存在請求出t【答案】（1）t=1513；（2）存在，t=【分析】（1）當四邊形PHCQ為矩形時，PH=CQ，利用相似三角形的性質求出PH，（2）證明△HCQ～△ABC（3）根據(jù)矩形ABCD的面積是四邊形PHCQ面積的7544，構建方程求解即可【詳解】解：（1）∵AB=3，∴AC由題可得：AP=t，CP=5-∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B∵PH∴∠CHP∵∠PCH∴△PCH∴PHAB=∴PH=3當四邊形PHCQ為矩形時，PH=∴3解得：t=∴當t=1513時，四邊形（2）存在一個時刻，使HQ⊥當HQ⊥AC時，∵∠BAC∴∠QHC∵∠HCQ∴△HCQ∴CHAB=∴4解得：t=∴當t=4023（3）存在，由題意得：3×4=75解得：t=1或t∴當t=1時，矩形ABCD的面積是四邊形PHCQ面積的75【點睛】本題屬于四邊形綜合問題，考查了矩形的性質，相似三角形的判定與性質，掌握相關的知識點是解決本題的關鍵．10．（2021·遼寧丹東·九年級期末）如圖，小軍、小麗、小華利用晚間放學時間完成一個綜合實踐活動，活動內(nèi)容是測量人行路上的路燈高度．小軍和小麗分別站在路燈的兩側，小軍站在水平地面上的點A處，小麗站在點C處，這時小軍的身高AB形成的影子為AE，小麗身高CD形成的影子為CF．（1）請畫圖確定燈泡P的位置（2）已知小軍和小麗的身高分別為1.8米和1.6米，小華測得小軍和小麗在路燈下的影子AE和CF分別為1米和2米，小軍和小麗之間的距離AC為10米，點E，A，C，F(xiàn)在同一條直線上，請幫助他們3人求出路燈的高度．【答案】（1）見解析；（2）路燈的高度7.2米．【分析】（1）連接EB，F(xiàn)D，延長EB交FD的延長線于點P，點P即為所求作．（2）過點P作PH⊥AC于H．設AH＝x米，則CH＝（10?x）米，利用相似三角形的性質構建方程求解即可．【詳解】解：（1）作圖如下：∴P（2）過P做PH⊥AC于點設AH=x米，則∵PH⊥AC，AB∴△EAB∴EA∴1∴PH同理可證：△FDC∴CF即22+10-解得：x=3∴1解得：PH=7.2答：路燈的高度7.2米．【點睛】本題考查作圖?應用與設計，相似三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．11．（2020·浙江·杭州啟正中學九年級期中）如圖，△ABC中，中線AD，BE交于點F，EG//BC交（1）求AGGF（2）如果BD=43，DF=4【答案】（1）3；（2）△BDA【分析】（1）先證明△AGE∽△ADC，再證明△（2）根據(jù)題意分別證明△BDA∽△FDB【詳解】解：（1）∵D是BC的中點，E是AC∴BD=CD∵GE∴△AGE∴AG∴AG=GD∵GE∴△GEF∴GE∴DF∴AG∴AG（2）當BD=43，由（1）可得GF=12DF=2GE=∵BDDF=∴AD又∵∠BDG∴△BDA∵GEGF=∴AD∵GE∴∠ADB∴△BDA【點睛】本題考查了相似三角形的性質和判定，解答關鍵是根據(jù)題意選擇適當方法證明三角形相似．12．（2020·黑龍江哈爾濱·九年級期中）如圖，△ABC中，點D在AC邊上，且∠

（1）求證：DB=（2）點E在BC邊上，連接AE交BD于點F，且∠AFD=∠ABC，BE（3）在（2）的條件下，若BC=16，△ABF的周長等于30，求【答案】（1）見解析；（2）∠ACB＝60°；（3）AF＝【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角與外角之間的關系建立等式，運用等量代換得出∠A=∠BDA（2）作CH＝BE，連接DH，根據(jù)角的數(shù)量關系證得∠EAC=∠C，再由三角形全等判定得△BDH≌△ABE，最后推出△DCH為等邊三角形，即可得出∠（3）借助輔助線AO⊥CE，構造直角三角形，并結合平行線構造△BFE∽△BDH，建立相應的等量關系式，完成等式變形和求值，即可得出AF的值．【詳解】（1）證明：∵∠BDC＝90°＋12∠ABD，∠BDC=∠ABD+∠A∴

∠A＝90°－12∠ABD∵∠BDC＋∠BDA＝180°，∴∠BDA＝180°－∠BDC＝90°－12∠ABD∴

∠A＝∠BDA＝90°－12∠ABD∴DB＝AB．解：（2）如圖1，作CH＝BE，連接DH，∵∠AFD＝∠ABC，∠AFD＝∠ABD＋∠BAE，∠ABC＝∠ABD＋∠DBC，∴∠BAE＝∠DBC．∵由（1）知，∠BAD＝∠BDA，又∵∠EAC＝∠BAD－∠BAE，∠C＝∠ADB－∠DBC，∴∠CAE＝∠C．∴AE＝CE．∵BE＝CH，∴BE＋EH＝CH＋EH．即BH＝CE＝AE．∵AB＝BD，∴△BDH≌△ABE．∴BE＝DH．∵BE＝CD，∴CH＝DH＝CD．∴△DCH為等邊三角形．∴∠ACB＝60°．（3）如圖2，過點A作AO⊥CE，垂足為O．∵DH∥AE，∴∠CAE＝∠CDH＝60°，∠AEC＝∠DHC＝60°．∴△ACE是等邊三角形．設AC＝CE＝AE＝x，則BE＝16－x，∵DH∥AE，∴△BFE∽△BDH．∴BFBD∴BF=EF=∵△ABF的周長等于30，即AB＋BF＋AF＝AB＋16-xxAB＋x－解得AB＝16－x8在Rt△ACO中，AC＝x2，AO＝3∴BO＝16－x2在Rt△ABO中，AO2＋BO2＝AB2，即x4解得x1=0（舍去）∴AC＝25621∴AF＝11．【點睛】本題考查了三角形角的性質、等邊三角形的性質與判定以及全等三角形的判定與性質的綜合應用，解題的關鍵是能熟練掌握三角形的性質與全等判定并借助輔助線構造特殊三角形的能力，．13．（2019·海南華僑中學九年級期中）如圖，已知矩形ABCD的邊長AB=4cm，BC=8cm，動點M從A出發(fā)在邊AB上以1cm/s的速度向B點勻速運動，同時，動點N從D出發(fā)在邊DA上以2cm/（1）經(jīng)過多少時間，△AMN的面積等于矩形ABCD面積的1（2）是否存在時刻t，使以A、M、N為頂點的三角形與△ACD相似？若存在，求t（3）當t=1時，求NQ【答案】（1）2秒；（2）165或2（3）【分析】（1）設時間為t，用t表示出AM和AN的長，根據(jù)三角形的面積列式求出t的值；（2）分兩種情況進行討論，△AMN～△DAC或△（3）過點Q作QP⊥AD于點P，求出t=1時，AN、AM的長，設QP=x，NP=y【詳解】解：（1）設時間為t，則AM=t，S△1212t-t=2經(jīng)過2秒，△AMN的面積等于矩形ABCD面積的1∵∠ADC∴分兩種情況討論，①△AMN∴AMDA=ANDC，則②△AMN∴AMDC=ANDA，則綜上：t為165或2時，以A、M、N為頂點的三角形與△（3）如圖，過點Q作QP⊥AD于點當t=1時，DN=2，AN=8-2=6設QP=x，∵QP//∴NPNA=QPMA∵QP//∴APAD=QPCD根據(jù)①和②求出x=34則QP=34根據(jù)勾股定理NQ=【點睛】本題考查動點問題，解題的關鍵是掌握設時間t，列式解一元二次方程的方法，利用相似三角形對應邊成比例的性質列式求解的方法，再考慮三角形相似的時候要注意分類討論．14．（2022·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習）已知：矩形ABCD中，AB＝9，AD＝6，點E在對角線AC上，且滿足AE＝2EC，點F在線段CD上，作直線FE，交線段AB于點M，交直線BC于點N．（1）當CF＝2時，求線段BN的長；（2）若設CF＝x，△BNE的面積為y，求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量的取值范圍；（3）試判斷△BME能不能成為等腰三角形，若能，請直接寫出x的值．【答案】（1）BN＝10；（2）y=6x-27x-3，0＜x＜3；y=27-6xx-3，3【分析】（1）由AB∥CD得△CFE∽△AME，△NCF∽△（2）分為0＜x＜3和3＜x＜4.5兩種情形，作EG⊥BC于G，根據(jù)三角形相似求出EG和BN；（3）分為BM＝BE，EM＝BE，EN＝BM三種，可根據(jù)BM＝9﹣2CF求得．【詳解】解：（1）如圖1，在矩形ABCD中，BC＝AD＝6，AB∥CD∴△CFE∽△AME，△NCF∽△NBM，∴CFAM∴AM＝2CF＝4，∴BM＝AB﹣AM＝5，∴25=∴BN＝10；（2）當CF＝BM時，MF∥BC，此時△∴CF＝9﹣2CF，∴CF＝3，當點M和B點重合時，AB＝2CF，∴CF＝4.5，∴分為0＜x＜3和3＜x＜4.5，如圖2，當0＜x＜3時，作EG⊥BC于G，由（1）知，EG＝3，AM＝2CF＝2x，∴BM＝9﹣2x，由CFBM=NCNB∴BN=18-4∴y＝1＝1＝6x如圖3，當3＜x＜4.5時，由BNCN=BNBN∴CN＝2(9-2x)∴y＝1＝27-6xx（3）如圖4，∵EG∥∴CGCB=∴CG＝13CB＝2，∴GB＝CB﹣CG＝4，∴BE＝5，當BM＝BE＝5時，9﹣2x＝5，∴x＝2，如圖5，當EM＝EB＝5時，作EH⊥AB于H，∴BM＝2BH＝2EG＝6，∴9﹣2x＝6，∴x=32，如圖6，當EM＝BM時，作MH⊥BE于H，在Rt△BMH中，BH＝12BE=52，cos∠MBH＝cos∠∴BM＝BHcos∴9﹣2x＝256，∴x＝2912綜上所述：x＝2或32或29【點睛】此題考查相似三角形的判定及性質，銳角三角函數(shù)，勾股定理解直角三角形，矩形的性質，正確引出輔助線及掌握分類思想解決問題是解題的關鍵．15．（2021·江蘇·揚州市梅嶺中學九年級階段練習）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠ADB=90°，AB=10cm，AD=8cm，點P從點D出發(fā)，沿DA方向勻速運動，速度為2cm/s；同時，點Q從點B出發(fā)，沿BC方向勻速運動，速度為1cm/s.當一個點停止運動，另一個點也停止運動.過點P作PE//BD交AB于點E，連接（1）當t為___________時，PQ//（2）連接EQ，設四邊形APQE的面積為ycm2，求y與t（3）當t為何值時，點E在線段PQ的垂直平分線上？（4）若點F關于AB的對稱點為F'，是否存在某一時刻t，使得點P，E，F(xiàn)'三點共線？若存在，求出t【答案】（1）83；（2）y=-34t2-3t【分析】（1）由題意得，PQ∥AB，則四邊形PABQ是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質可得AP=BQ，即82t=t，解方程即可求解；（2）過點Q作QH⊥AB交AB的延長線于點H，由勾股定理求出BD=6，證明△ADB∽△BHQ，根據(jù)相似三角形的性質可得QH=35t，根據(jù)平行線分線段成比例定理可得DPAD=BEAB，可得出BE=52t，根據(jù)y=S（3）先證出△APE∽△ABD，根據(jù)相似三角形的性質可得PEDB=APAD，可得PE=632t，根據(jù)線段垂直平分線的性質得EQ=PE，由（2）得QH=35t，可得出BH=45t（4）連接FF′交AB于點N，由對稱及平行線的性質可得∠FEB=∠ABD，由等角對等邊得EF=FB，則BN=EN=12BE=54t，再證△DPF∽△BQF，可得DF=2BF，可求出【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，若PQ∥AB，∴四邊形PABQ是平行四邊形，∴AP=BQ，∴82t=t，∴t=83∴當t=83時，PQ∥AB故答案為：83（2）如圖，過點Q作QH⊥AB交AB的延長線于點H，∵∠ADB=90°，∴BD2=AB2AD2=10064=36，即BD=6，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠A=∠QBH，又∵∠ADB=∠BHQ=90°，∴△ADB∽△BHQ，∴BDQH=AB∴QH=∵PE∥BD，∴DPAD=BE∴BE=∴y=S四邊形APQBS△BEQ=12（3）如圖：∵PE∥BD，∴∠APE=∠ADB，∵∠A=∠A，∴△APE∽△ADB，∴PEDB=AP∴PE=6-∵點E在線段PQ的垂直平分線上，∴EQ=PE=6-由（2）得QH=∴BH=∴EH=Rt△EQH中，EH2+HQ2=EQ2，∴(3310t)2+(解得：t1∴當t=5-1時，點E在（4）連接FF'交AB于點N，∵點F關于AB的對稱點為F′，∴∠FEB=∠F′EB，F(xiàn)N⊥EB，∵點P，E，F(xiàn)′三點共線，PE∥AB，∴∠F′EB=∠ABD，∴∠FEB=∠ABD，∴EF=FB，∴BN=∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠DPF=∠FQB，∵DFP=∠BFQ，∴△DPF∽△BQF，∴DFBF∴DF=2BF，∴2BF+BF=6，∴BF=2，∵∠FBN=∠ABD，∠FNB=∠ADB，∴△BNF∽△BDA，∴BNBF∴54t2=6∴存在某一時刻t，使得點P，E，F(xiàn)′三點共線，t的值為2425【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性質，平行四邊形的性質，多邊形的面積等知識，解題的關鍵是學會利用參數(shù)構建方程解決問題．16．（2021·全國·九年級專題練習）如圖，已知D是BC的中點，M是AD的中點．求AN:【答案】1【分析】解法1：過點D作AC的平行線交BN于點H，構造“A”型和“8”型，得出△BDH∽△解法2：過點C作AD的平行線交BN的延長線于點H，構造“A”型和“8”型，得出△BDM∽BCH解法3：過點A作BC的平行線交BN的延長線于點H，構造“A”型和“8”型，得出△AHM∽△DBM解法4：過點D作BN的平行線交AC于點H，根據(jù)三角形中位線定理得出AN=即可得出答案；【詳解】解法1：如圖2，過點D作AC的平行線交BN于點H．因為DH//所以△BDH所以DHCN因為D為BC的中點，所以DHCN因為DH//AN，所以所以DHAN因為M為AD的中點，所以DHAN所以DH=所以ANCN解法2：如圖3，過點C作AD的平行線交BN的延長線于點H．因為DM//CH，所以所以DMCH因為D為BC的中點，所以DMCH因為M為AD的中點，所以AM=所以AMCH因為DM//所以△AMN所以ANCN解法3：如圖4，過點A作BC的平行線交BN的延長線于點H．因為AH//BD，所以所以AHBD因為M為AD的中點，所以AM=DM，所以因為AH//BD，所以所以ANCN因為D為BC的中點，且AH=所以ANCN解法4：如圖5，過點D作BN的平行線交AC于點H．在△ADH因為M為AD的中點，MN//所以N為AH的中點，即AN=在△CBN中，因為D為BC的中點，DH//BN，所以H為CN所以AN=所以ANCN17．（2021·山東省諸城市樹一中學三模）如圖1，平行四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，CD邊的垂直平分線EH交BD于點E，連接AE，CE．（1）過點A作AF//EC交BD于點F，求證：（2）如圖2，將△ABE沿AB翻折得到△①求證：BE'//②若AE'//BC，OE=1【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②1+【分析】（1）根據(jù)題意證明△COE≌△AOF(AAS)，即可證明ED=（2）①過點A作AF//EC交BD于點F，根據(jù)（1）中結論，然后證明②求證△AEF∽△BCE【詳解】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC，∵AF//∴∠CEO=∠AFO∴△COE∴CE=AF，∴ED=∵EH垂直平分CD，∴EC=∴AF=（2）如圖2，過點A作AF//EC交BD于點①證明：由（1）可知△AOF≌△COE∴∠ABF∵將△ABE沿AB翻折得到△∴∠ABE∴∠ABE∴BE'//又∵AF//∴BE'//②解：∵AE'//∴∠E由翻折可知∠E∴∠ABC∵AF=∴∠FAB∴∠ABC∴∠EBC∵AF//∴∠AFE∴△AEF∴AFBE設AF=∵OE=∴EF=2∴xx∴x=1+5．經(jīng)檢驗：x=1+∴【點睛】本題主要考查平行四邊形的性質，垂直平分線的性質，全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，能夠根據(jù)已知條件證明相關三角形全等和相似是解題的關鍵．18．（2021·遼寧大連·九年級期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2BC，AB=47cm，點D從點A出發(fā)，沿AB以2cm/s的速度向終點B運動，當點D與點A、B不重合時，過點D作DE⊥AB交射線AC于點E，以AD、AE為鄰邊向上作平行四邊形ADFE，設D（1）填空：AC=______cm，BC=______（2）當點F在BC上時，求t的值；（3）求s與t的函數(shù)解析式，并直接寫出自變量t的取值范圍．【答案】（1）8355，4355；（2）t=879s【分析】（1）在Rt△（2）證△EDA～△BCA和△ABC～△（3）分情況討論①當0<t≤879時，平行四邊形ADFE與△ABC的重疊部分圖形的面積為s=S?ADFE，②當879<t<2【詳解】（1）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC∴AB∴BC=4355cm（2）∵DE∴∠設D點的運動時間為t(s∵∠A=∠∴△∴DE∴DE∴AE∴EC∵平行四邊形ADFE∴AD∥EF，EF∴△∴EF∴EF∴47-（3）當0<t≤879時，平行四邊形ADFE即s當D到達B點停止運動，且與B不重合，則t當879<t<27時，如圖，平行四邊形由（2）可知，EC=∵平行四邊形ADFE∴AD∥EF∴△∴HC∴HC∴S∵AD=2t∴DB∵平行四邊形ADFE∴DF∥AC∴△∴DG∴DGBG∴Ss=S==-∴s自變量t的取值范圍：0<【點睛】本題是三角形和四邊形的綜合題．涉及相似三角形的判定和性質、平行四邊形的性質、動點問題、求函數(shù)解析式等知識點．綜合性較強，計算較為復雜．19．（2021·山東東營·八年級期末）有一塊直角三角形木板，∠B＝90°，AB＝1.5m，BC＝2m，要把它加工成一個面積盡可能大的正方形桌面．甲、乙兩位同學的加工方法分別如圖1、圖2所示．請你用學過的知識說明哪位同學的加工方法更好（加工損耗忽略不計）．【答案】甲同學【分析】對于甲圖：設正方形的邊長為x，則DE=DB=x，CD=1.5-x，證明△CDE∽△CBA，利用相似比可計算出x=67；對于乙圖：作BH⊥ACN，交DE于N，如圖乙，先利用勾股定理計算出AC=2.5，再利用面積法計算出BM=1.2，設正方形的邊長為y【詳解】解：如圖1所示，設甲同學加工的桌面邊長為xm，∵DE∥AB∴△CDE∽△CBA∴CD即2-∴x＝67圖2所示，過點B作BH⊥AC，交AC于點H，交DE于點P．由勾股定理得：AC＝A∵1∴BH設乙同學加工的桌面邊長為ym，∵DE∥AC∴△BDE∽△BAC∴DE即y∴y＝30∵67＞3037，即x＞y，x2∴甲同學的加工方法更好．【點睛】本題考查了相似三角形的應用：常常構造“A”型或“X”型相似圖，然后利用三角形相似的性質計算相應線段的長，也考查了正方形的性質．20．（2022·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習）已知點P為線段AB上的一點，將線段AP繞點A逆時針旋轉60°，得到線段AC；再將線段繞點B逆時針旋轉120°，得到線段BD；點M是AD的中點，聯(lián)結BM、CM．（1）如圖1，如果點P在線段CM上，求證：PM//（2）如圖1，如果點P在線段CM上，求證：PC=2（3）如果點P不在線段CM上（如圖12），當點P在線段AB上運動時，∠BCM的正切值是否發(fā)生變化？如果發(fā)生變化，簡述理由；如果不發(fā)生變化，請求出∠【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）3【分析】（1）由旋轉可得，△APC是等邊三角形，∠PBD=120°，則∠BPM+∠PBD=180°，所以PM∥BD．（2）利用三角形的中位線定理解決問題即可．（3）延長BM至點G，使得MG=MB，連接AG，BC，GC，PC，可證△CBG是等邊三角形且點M是BG的中點，可得結論．【詳解】解：（1）如圖1中，由題意可得，∠CAP=60°，且AP=AC，∴△APC是等邊三角形，∴∠APC=60°，∴∠BPM=60°，又∵∠PBD=120°，∴∠BPM+∠PBD=180°，∴PM∥BD；（2）如圖1中，∵AM=MD，PM∥BD，∴AP=PB，∴PM=12BD∵PA=PC=PB=BD，∴PC=2PM；（3）結論：tan∠BCM=33如圖2，延長BM至點G，使得MG=MB，連接AG，BC，GC，PC，GD，∵AM=MD，GM=BM，∴四邊形AGDB是平行四邊形，∴AG=BD，AG∥BD，∴∠BAG=180°∠ABD=60°，∴∠CAG=120°，∵△APC是等邊三角形，∴AC=CP，∠CPB=120°，∵PB=DB=AG，∴△CAG≌△CPB（SAS），∴CG=CB，∠ACG=∠PCB，∴∠GCB=60°，∴△CBG是等邊三角形，∵GM=BM，∴∠BCM=12∠BCG=30°∴tan∠BCM=33【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等邊三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，三角形中位線定理，解直角三角形等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．21．（2021·河南新鄉(xiāng)·九年級期中）如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點A、B的坐標分別為A(4，0)、B(4，3)，動點M、N分別從點O、B同時出發(fā)，以1單位/秒的速度運動(點M沿OA向終點A運動，點N沿BC向終點C運動)，過點N作NP//AB交AC于點P，連結（1）直接寫出OA、AB的長度；（2）試說明△CPN（3）在兩點的運動過程中，求△MPA的面積S與運動的時間t的函數(shù)關系式，并求出S=32【答案】（1）OA=4,AB=3；（2）見解析；（3）S【分析】（1）根據(jù)點A、B的坐標即可得；（2）先根據(jù)平行線的性質可得∠CPN（3）先根據(jù)矩形的性質、線段的和差可得AM=CN=4-t,AB⊥OA，再根據(jù)相似三角形的性質可得PNAB=CNCB，從而可得PN=3-【詳解】（1）∵A∴OA（2）∵NP∴∠CPN∴△CPN（3）由題意得：OM=BN=則AM=∵四邊形OABC是矩形，∴BC∴CN∵△CPN∴PNAB=CN解得PN=3-∵NP∴NP∴△MPA的AM邊上的高為3-∴S即S=-當S=32解得t1故t的值為2．【點睛】本題考查了矩形的性質、平行線的性質、相似三角形的判定與性質、求二次函數(shù)的自變量等知識點，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解題關鍵．22．（2020·河南洛陽·九年級期中）如圖，點O是△ABC邊BC上一點，過點O的直線分別交AB，AC所在直線于點M，N，且ABAM＝m，ACAN＝（1）若點O是線段BC中點．①求證：m+n＝2；②求mn的最大值；（2）若COOB＝k（k≠0）求m，n之間的關系（用含k【答案】（1）①證明見解析；②mn有最大值1；（2）n＝k﹣km+1．【分析】設AM＝a，AN＝b．由ABAM＝m，ACAN＝n可得AB＝am，AC＝bn，那么MB＝MA﹣AB＝a﹣am＝（1﹣m）a，CN＝AC﹣AN＝bn﹣b＝（n﹣1）（1）①若點O是線段BC中點，如圖1，過點B作BH∥AC交MN于H，利用ASA證明△OBH≌△OCN，得出BH＝CN＝（n﹣1）b．由BH∥AN列出比例式(1-m)a②由①的結論m+n＝2得出m＝2﹣n，那么mn＝（2﹣n）n＝﹣n2+2n＝﹣（n﹣1）2+1，根據(jù)二次函數(shù)的性質即可得出當n＝1時，mn有最大值1；（2）若COOB＝k（k≠0），如圖2，過點B作BG∥AC交MN于G，證明△OBG∽△OCN，根據(jù)相似三角形對應邊成比例得出CNBG＝COOB，那么BG＝n-1kb．由BG∥AN列出比例式(1-m)【詳解】解：設AM＝a，AN＝b.∵ABAM＝m，ACAN＝∴AB＝am，AC＝bn，∴MB＝MA﹣AB＝a﹣am＝（1﹣m）a，CN＝AC﹣AN＝bn﹣b＝（n﹣1）b.（1）①若點O是線段BC中點，如圖1，過點B作BH∥AC交MN于H，∴∠OBH＝∠OCN.在△OBH與△OCN中，∠OBH∴△OBH≌△OCN（ASA），∴BH＝CN＝（n﹣1）b.∵BH∥AN，∴MBMA＝BHAN，即(1-m∴1﹣m＝n﹣1，∴m+n＝2；②由①知，m+n＝2，∴m＝2﹣n，∴mn＝（2﹣n）n＝﹣n2+2n＝﹣（n﹣1）2+1，∴當n＝1時，mn有最大值1；（2）若COOB＝k（k≠0如圖2，過點B作BG∥AC交MN于G，∴∠OBG＝∠OCN.在△OBG與△OCN中，∠OBG∴△OBG∽△OCN，∴CNBG＝COOB，即(n∴BG＝n-∵BG∥AN，∴MBMA＝BGAN，即(1-m∴1﹣m＝n-∴n＝k﹣km+1.【點睛】此題考查平行線的性質，三角形全等的判定及性質，平行線分線段成比例是性質，相似三角形的判定及性質，二次函數(shù)最值問題，正確掌握各知識點并綜合運用解題是關鍵.23．（2020·江蘇南通·中考真題）矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12．將矩形折疊，使點A落在點P處，折痕為DE．（1）如圖①，若點P恰好在邊BC上，連接AP，求APDE（2）如圖②，若E是AB的中點，EP的延長線交BC于點F，求BF的長．【答案】（1）23；（2）BF＝3【分析】（1）如圖①中，取DE的中點M，連接PM．證明△POM∽△DCP，利用相似三角形的性質求解即可．（2）如圖②中，過點P作GH∥BC交AB于G，交CD于H．設EG=x，則BG=4x．證明△EGP∽△PHD，推出EGPH=PGDH=EPPD=13，推出P