專題13因式分解壓軸題五種模型全

專題13因式分解壓軸題五種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"13"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一判斷是否是因式分解】 1【考點(diǎn)二公因式及提提公因式分解因式】 2【考點(diǎn)三已知因式分解的結(jié)果求參數(shù)】 3【考點(diǎn)四運(yùn)用公式法分解因式】 4【考點(diǎn)五運(yùn)用分解因式求值】 7【過關(guān)檢測】 8【典型例題】【考點(diǎn)一判斷是否是因式分解】例題：（2023秋·湖北孝感·八年級統(tǒng)考期末）下列從左到右的變形中，是因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)因式分解的定義是把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式的變形，可得答案．【詳解】解：A．把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，故此選項(xiàng)符合題意；B．沒把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，故此選項(xiàng)不符合題意；C．是整式的乘法，不是因式分解，故此選項(xiàng)不符合題意；D．是整式的乘法，不是因式分解，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了因式分解的定義，熟練掌握因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式的變形是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·四川巴中·八年級統(tǒng)考期末）下列因式分解正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】依據(jù)因式分解的定義以及提公因式法和公式法分解因式，依次判斷即可得到正確結(jié)論．【詳解】解：A.，故原因式分解錯(cuò)誤，不符合題意；B.，不能進(jìn)行因式分解，故不符合題意；C.，故原因式分解錯(cuò)誤，不符合題意；D.，因式分解正確，符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了因式分解的知識，解決問題的關(guān)鍵是掌握提公因式法和公式法分解因式．2．（2023秋·河北石家莊·八年級統(tǒng)考期末）下列變形從左到右是因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)因式分解的定義，逐一進(jìn)行判斷即可得到答案．【詳解】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，不符合題意，選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、結(jié)果不是整式的積的形式，不是因式分解，不符合題意，選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、是整式的乘法，不是因式分解，不符合題意，選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、是因式分解，符合題意，選項(xiàng)正確，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解得定義，解題關(guān)鍵是掌握因式分解是整式的變形，變形前后都是整式，且結(jié)果是積的形式．【考點(diǎn)二公因式及提提公因式分解因式】例題：（2022秋·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·八年級校考階段練習(xí)）把因式分解時(shí)，應(yīng)提取的公因式是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)公因式的概念（多項(xiàng)式各項(xiàng)都含有的相同因式），即可求解．【詳解】由題意得應(yīng)該提取的公因式是：故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查因式分解中公因式的概念，解題的關(guān)鍵是掌握公因式的概念．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·河南鶴壁·八年級校考期中）多項(xiàng)式的公因式是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)多項(xiàng)式的公因式的確定方法，即可求解．【詳解】解：多項(xiàng)式的公因式是．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了公因式的定義．確定多項(xiàng)式中各項(xiàng)的公因式，可概括為三“定”：①定系數(shù)，即確定各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)；②定字母，即確定各項(xiàng)的相同字母因式（或相同多項(xiàng)式因式）；③定指數(shù)，即各項(xiàng)相同字母因式（或相同多項(xiàng)式因式）的指數(shù)的最低次冪．2．（2023秋·福建寧德·八年級?？茧A段練習(xí)）和的公因式是_______．【答案】【分析】直接找出公因式進(jìn)而提取即可．【詳解】解：．則公因式是：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了提取公因式法分解因式，正確找出公因式是解題關(guān)鍵．3．（2023秋·湖南長沙·九年級統(tǒng)考期末）分解因式：______．【答案】【分析】先提公因式，然后根據(jù)完全平方公式因式分解即可求解．【詳解】解：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)三已知因式分解的結(jié)果求參數(shù)】例題：（2022秋·湖南長沙·八年級湖南師大附中博才實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┓纸庖蚴剑篲_________．【答案】【分析】此多項(xiàng)式有公因式，應(yīng)先提取公因式，再對余下的多項(xiàng)式進(jìn)行觀察分解．【詳解】解：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了用提公因式法進(jìn)行因式分解，一個(gè)多項(xiàng)式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進(jìn)行因式分解，同時(shí)因式分解要徹底，直到不能分解為止．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·山東泰安·八年級?？茧A段練習(xí)）若能分解成，則的值為______．【答案】【分析】根據(jù)多項(xiàng)式分解成，所以整式乘法得出的多項(xiàng)式與相同，由此得出一次項(xiàng)系數(shù)的值．【詳解】解：，∵是由分解成的，∴一次項(xiàng)系數(shù)．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，熟練掌握整式乘法與因式分解為互逆的運(yùn)算過程是解題的關(guān)鍵．2．（2022·山東淄博·山東省淄博第六中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知多項(xiàng)式分解因式為，則bc的值為______．【答案】24【分析】利用整式的乘法去括號合并同類項(xiàng)后，對比各項(xiàng)系數(shù)相等即可．【詳解】∵分解因式為∴∴，∴故答案是24【點(diǎn)睛】本題考查多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，以及多項(xiàng)式相等時(shí)對應(yīng)各項(xiàng)系數(shù)相等，正確利用公式計(jì)算是關(guān)鍵．3．（2022秋·福建泉州·八年級福建省永春第三中學(xué)校聯(lián)考期中）若多項(xiàng)式可分解為，則的值為______【答案】8【分析】先將的括號展開，求出a和b的值，代入求解即可．【詳解】解：，∵，∴，解得：，∴．故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題主要考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則．【考點(diǎn)四運(yùn)用公式法分解因式】例題：（2023秋·山西晉城·八年級統(tǒng)考期末）（1）因式分解：（2）因式分解：【答案】（1）；（2）【分析】（1）先提取公因式，然后利用平方差公式繼續(xù)進(jìn)行分解；（2）首先分組，進(jìn)而利用完全平方公式以及平方差公式分解因式即可得出答案．【詳解】解：（1）；（2）．【點(diǎn)睛】本題考查分組分解法分解因式，提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，一定要注意如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因式，必須先提公因式．解題的關(guān)鍵正確分組、熟練掌握完全平方公式和平方差公式．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·湖北荊門·八年級統(tǒng)考期末）因式分解(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）先利用平方差公式因式分解，再利用完全平方公式進(jìn)行因式分解，即可求解；（2）先提公因式，再利用完全平方公式進(jìn)行因式分解，即可求解．【詳解】（1）解：（2）解：【點(diǎn)睛】本題主要考查了多項(xiàng)式的因式分解，熟練掌握多項(xiàng)式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分組分解法，并會(huì)結(jié)合多項(xiàng)式的特征，靈活選用合適的方法是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·湖北十堰·八年級統(tǒng)考期末）因式分解：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）提公因式法分解因式即可；（2）先提公因式，再用平方差公式分解因式即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分解因式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平方差公式．3．（2023秋·上海浦東新·七年級?？计谀┓纸庖蚴剑?1)(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）通過添括號，將轉(zhuǎn)化為，再利用平方差公式進(jìn)行分解因式即可求解．（2）將轉(zhuǎn)化為，先提出公因式，再利用十字相乘法進(jìn)行分解因式即可求解．【詳解】（1）（2）【點(diǎn)睛】本題考查分解因式的方法，解題的關(guān)鍵是掌握提公因式法，公式法和十字相乘法．【考點(diǎn)五運(yùn)用分解因式求值】例題：（2022·四川成都·八年級期末）已知：a+b=3，ab=2，則_____．【答案】9【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解，將已知等式整體代入計(jì)算即可求出值．【詳解】解：∵a+b=3，ab=2，∴=9，故答案為：9．【點(diǎn)睛】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·新疆烏魯木齊·八年級新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團(tuán)第一中學(xué)校考期末）已知，，則代數(shù)式的值為__________．【答案】【分析】原式提取公因式，將已知等式代入計(jì)算即可求出值．【詳解】解：，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了提公因式法的運(yùn)用，熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·甘肅酒泉·七年級?？计谥校?shù)學(xué)中，運(yùn)用整體思想方法在求代數(shù)式的值中非常重要．例如，已知：，則代數(shù)式．請你根據(jù)以上材料解答以下問題：(1)若，則______；(2)當(dāng)，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)整體思想對分解因式即可得到結(jié)果；（2）利用整體思想對加減，再提公因式即可得出結(jié)果．【詳解】（1）解：∵∴故答案為：2；（2）解：∵∴.【點(diǎn)睛】本題考查了運(yùn)用整體思想方法求代數(shù)式的值，利用因式分解對所求式子進(jìn)行化簡是解題的關(guān)鍵．【過關(guān)檢測】一、選擇題1．（2023春·浙江·七年級專題練習(xí)）把多項(xiàng)式分解因式，結(jié)果正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】運(yùn)用提公因式法分解因式即可．【詳解】解：，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，熟練掌握因式分解的方法（常用提公因式，公式法）是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·江蘇·七年級期中）下列等式中，從左到右的變形是因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)因式分解的定義解答即可．【詳解】A.從左至右的變形屬于整式乘法，不屬于因式分解，故本選項(xiàng)不符合題意；B.從左至右的變形屬于整式乘法且計(jì)算錯(cuò)誤，不屬于因式分解，故本選項(xiàng)不符合題意；C.從左至右的變形屬于因式分解，故本選項(xiàng)符合題意；D.右邊不是幾個(gè)整式的積的形式，不屬于因式分解，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是因式分解，熟知把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫做分解因式是解題的關(guān)鍵．3．（2023·河北保定·統(tǒng)考一模）對于①，②，從左到右的變形，表述正確的是（

）A．都是乘法運(yùn)算 B．都是因式分解C．①是乘法運(yùn)算，②是因式分解 D．①是因式分解，②是乘法運(yùn)算【答案】C【分析】根據(jù)整式的混合運(yùn)算，結(jié)合整式乘法與因式分解定義對題中運(yùn)算進(jìn)行判定即可得到答案．【詳解】解：①屬于整式乘法，是利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算；②屬于因式分解，是利用提公因式法進(jìn)行因式分解；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查整式混合運(yùn)算，涉及平方差公式及提公因式法因式分解，熟練掌握整式乘法及因式分解的定義是解決問題的關(guān)鍵．4．（2023春·浙江·七年級專題練習(xí)）若是多項(xiàng)式因式分解的結(jié)果，則的值為（

）．A． B．3 C． D．6【答案】C【分析】先計(jì)算，由即可求得的值．【詳解】解：，由題意得，，，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，因式分解的定義，熟練掌握多項(xiàng)式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．5．（2023春·七年級單元測試）若能分解成兩個(gè)一次因式的積，則的值為（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【分析】首先設(shè)原式，進(jìn)而求出即可．【詳解】解：原式故，，，解得：，，或，，，∴．故選C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了分組分解法分解因式，正確得出等式是解題關(guān)鍵．6．（2023春·浙江·七年級專題練習(xí)）下列因式分解：①；②；③；④，其中結(jié)果正確的有（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)因式分解逐項(xiàng)分析判斷即可求解．【詳解】解：①，故①不正確；②，故②正確；③，故③正確；④，故④正確,∴正確的有3個(gè)，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，靈活運(yùn)用所學(xué)知識求解是解決本題的關(guān)鍵．二、填空題7．（2023春·浙江·七年級專題練習(xí)）單項(xiàng)式與的公因式是___________．【答案】##【分析】根據(jù)公因式的確定方法：①系數(shù)取最小公倍數(shù)②字母取公共的字母③字母指數(shù)取最小的，即可寫出答案．【詳解】解：∵與中都含有，∴與的公因式為．故答案是：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了公因式的確定，關(guān)鍵是正確把握公因式的確定方法．8．（2022秋·云南德宏·八年級統(tǒng)考期末）因式分解：______．【答案】【分析】先提出公因式，然后根據(jù)，即可．【詳解】．【點(diǎn)睛】本題考查因式分解的知識，解題的關(guān)鍵是掌握提因式分解的方法：公式法和提公因式法．9．（2023春·八年級課時(shí)練習(xí)）已知，，則的值是________．【答案】【分析】對式子進(jìn)行因式分解，再整體代入求解即可．【詳解】解：，將，代入可得，原式，故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查了因式分解，代數(shù)式求值，解題的關(guān)鍵是掌握因式分解的方法，利用整體代入進(jìn)行求解．10．（2023春·七年級課時(shí)練習(xí)）下列從左到右的變形中，是因式分解的有___________.①(x＋5)(x－5)＝x2－25②x2－9＝(x＋3)(x－3)③x2＋2x－3＝(x＋3)(x－1)④9x2－6x＋1＝3x(3x－2)＋1⑤x＋1＝x(1＋)⑥3xn＋2＋27xn＝3xn(x2＋9)【答案】②③⑥【詳解】把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，這種變形叫做因式分解，根據(jù)因式分解的定義可得②③⑥屬于因式分解.11．（2023春·陜西西安·八年級校考階段練習(xí)）已知，則的值為___________．【答案】1【分析】先提出前兩項(xiàng)的公因式，原式可變形為，再把代入，可得，再利用完全平方公式進(jìn)行因式分解，即可求解．【詳解】解：∵，∴．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題主要考查了因式分解的應(yīng)用，利用整體代入思想解答是解題的關(guān)鍵．12．（2023春·七年級單元測試）甲、乙兩個(gè)同學(xué)分解因式時(shí)，甲看錯(cuò)了，分解結(jié)果為；乙看錯(cuò)了，分解結(jié)果為，則正確的分解結(jié)果為_____．【答案】【分析】根據(jù)題意分別運(yùn)算和，確定、的值，然后進(jìn)行因式分解即可．【詳解】解：∵甲看錯(cuò)了，分解結(jié)果為，∴由，可知，又∵乙看錯(cuò)了，分解結(jié)果為，∴由，可知，∴，∵，∴正確的分解結(jié)果為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了整式乘法運(yùn)算以及因式分解的知識，解決本題的關(guān)鍵是理解題意，求出、的值．三、解答題13．（2023春·浙江·七年級專題練習(xí)）下列由左邊到右邊的變形，哪些是因式分解？為什么？（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）從左到右不是因式分解，是整式乘法；（2）是因式分解；（3）不是因式分解，因?yàn)樽詈蠼Y(jié)果不是幾個(gè)整式的積的形式；（4）是因式分解．【分析】根據(jù)因式分解的定義：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式積的形式叫做因式分解，也叫分解因式，逐一判斷即可．【詳解】解：（1），從左到右不是因式分解，是整式乘法；（2），是因式分解；（3），不是因式分解，因?yàn)樽詈蠼Y(jié)果不是幾個(gè)整式的積的形式；（4），是因式分解．【點(diǎn)睛】本題考查了多項(xiàng)式的因式分解，屬于基礎(chǔ)概念題型，熟知因式分解的定義是關(guān)鍵．14．（2023秋·四川眉山·八年級統(tǒng)考期末）分解因式：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用完全平方公式進(jìn)行分解因式即可得到答案；（2）利用完全平方公式進(jìn)行分解因式即可得到答案．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，完全平方公式，熟練掌握因式分解的方法是解題關(guān)鍵．15．（2023秋·山東濟(jì)寧·八年級統(tǒng)考期末）利用因式分解計(jì)算：(1)(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）提取公因數(shù)，進(jìn)行計(jì)算即可得；（2）提取公因數(shù)，運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可得．【詳解】（1）解：原式．（2）解：原式．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，平方差公式，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識點(diǎn)，正確計(jì)算．16．（2023春·江蘇·七年級期中）分解因式(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）先提取公因式，再套用平方差公式；（2）先用完全平方公式，再用平方差公式．【詳解】（1）原式；（2）原式．【點(diǎn)睛】本題考查了整式的因式分解，掌握提公因式法和因式分解法是解決本題的關(guān)鍵．17．（2023秋·遼寧撫順·八年級統(tǒng)考期末）因式分解：(1)；(2)；(3)【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）逆用平方差公式進(jìn)行因式分解．（2）先變形，再運(yùn)用提公因式法進(jìn)行因式分解．（3）先提取公因式，再逆用完全平方公式進(jìn)行因式分解．【詳解】（1）；（2）；（3）．【點(diǎn)睛】本題主要考查運(yùn)用提公因式法、公式法進(jìn)行因式分解，熟練掌握提公因式法、公式法是解決本題的關(guān)鍵．18．（2023秋·寧夏石嘴山·八年級統(tǒng)考期末）下面是某同學(xué)對多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解的過程．解：設(shè)，原式（第一步）（第二步）（第三步）（第四步）回答下列問題：(1)該同學(xué)第二步到第三步運(yùn)用了因式分解的_______．A．提取公因式；B．平方差公式；C．兩數(shù)和的完全平方公式；D．兩數(shù)差的完全平方公式．(2)該同學(xué)因式分解的結(jié)果是否徹底_______．（填“徹底”或“不徹底”）若不徹底，請直接寫出因式分解的最后結(jié)果_____．(3)請你模仿以上方法嘗試對多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解．【答案】(1)C(2)不徹底；(3)【分析】（1）完全平方式是兩數(shù)的平方和與這兩個(gè)數(shù)積的兩倍的和或差；（2）還可以分解，所以是不徹底；（3）按照例題的分解方法進(jìn)行分解即可．【詳解】（1）解：由是利用了兩數(shù)和的完全平方公式，故C正確；故選：C．（2）解：∵，∴該同學(xué)因式分解的結(jié)果不徹底，最后結(jié)果為：．故答案為：不徹底；．（3）解：設(shè)，原式．【點(diǎn)睛】本題主要考查了運(yùn)用公式法分解因式和學(xué)生的模仿理解能力，按照題干提供的方法和樣式解答即可．19．（2023春·浙江·七年級專題練習(xí)）仔細(xì)閱讀下面例題，解答問題：例題：已知二次三項(xiàng)式有一個(gè)因式是，求另一個(gè)因式以及的值．解：設(shè)另一個(gè)因式為，得，則，∴，解得：，，∴另一個(gè)因式為，m的值為．問題：仿照以上方法解答下面問題：已知二次三項(xiàng)式有一個(gè)因式是，求另一個(gè)因式以及的值．【答案】另一個(gè)因式為，的值為．【分析】根據(jù)例題的方法進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】解：設(shè)另一個(gè)因式為，得：，則∴解得：，∴另一個(gè)因式為，的