專題04二次函數(shù)

專題04二次函數(shù)一、選擇題1．（2019四川自貢）一次函數(shù)y＝ax+b與反比列函數(shù)y＝的圖象如圖所示，則二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的大致圖象是（）A． B． C． D．【答案】A．【解析】解：∵一次函數(shù)y1＝ax+c圖象過第一、二、四象限，∴a＜0，b＞0，∴﹣＞0，∴二次函數(shù)y3＝ax2+bx+c開口向下，二次函數(shù)y3＝ax2+bx+c對稱軸在y軸右側(cè)；∵反比例函數(shù)y2＝的圖象在第一、三象限，∴c＞0，∴與y軸交點在x軸上方．滿足上述條件的函數(shù)圖象只有選項A．故選：A．2．（2019四川遂寧）二次函數(shù)y＝x2﹣ax+b的圖象如圖所示，對稱軸為直線x＝2，下列結(jié)論不正確的是（）A．a(chǎn)＝4 B．當(dāng)b＝﹣4時，頂點的坐標(biāo)為（2，﹣8） C．當(dāng)x＝﹣1時，b＞﹣5 D．當(dāng)x＞3時，y隨x的增大而增大【答案】C．【解析】解：∵二次函數(shù)y＝x2﹣ax+b∴對稱軸為直線x＝＝2∴a＝4，故A選項正確；當(dāng)b＝﹣4時，y＝x2﹣4x﹣4＝（x﹣2）2﹣8∴頂點的坐標(biāo)為（2，﹣8），故B選項正確；當(dāng)x＝﹣1時，由圖象知此時y＜0即1+4+b＜0∴b＜﹣5，故C選項不正確；∵對稱軸為直線x＝2且圖象開口向上∴當(dāng)x＞3時，y隨x的增大而增大，故D選項正確；故選：C．3．（2019四川達(dá)州）如圖，邊長都為4的正方形ABCD和正三角形EFG如圖放置，AB與EF在一條直線上，點A與點F重合．現(xiàn)將△EFG沿AB方向以每秒1個單位的速度勻速運動，當(dāng)點F與B重合時停止．在這個運動過程中，正方形ABCD和△EFG重疊部分的面積S與運動時間t的函數(shù)圖象大致是（）A． B． C． D．【答案】C．【解析】解：當(dāng)0≤t≤2時，S＝，即S與t是二次函數(shù)關(guān)系，有最小值（0，0），開口向上，當(dāng)2＜t≤4時，S＝＝，即S與t是二次函數(shù)關(guān)系，開口向下，由上可得，選項C符合題意，故選：C．4.（2019四川攀枝花）在同一坐標(biāo)系中，二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖像可能是（）【答案】：C.【解析】一次函數(shù)與y軸交點為：（0，），對于A，由直線與y軸交點可知，＜0，即a＞0，一次函數(shù)的圖象中，y隨x的增大而增大，所以，b＞0，因此，＜0，但由圖可知，拋物線的對稱軸＞0，矛盾，排除；對于B，由，得：＝0，△＝－4a2＜0，即直線與拋物線無交點，所以，B排除；對于D，因為拋物線必經(jīng)過原點，所以，D排除；故選C.5．（2019四川成都）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點A（1，0），B（5，0），下列說法正確的是（）A．c＜0 B．b2﹣4ac＜0 C．a(chǎn)﹣b+c＜0 D．圖象的對稱軸是直線x＝3【答案】D【解析】解：A．由于二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與y軸交于正半軸，所以c＞0，故A錯誤；B．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸由2個交點，所以b2﹣4ac＞0，故B錯誤；C．當(dāng)x＝﹣1時，y＜0，即a﹣b+c＜0，故C錯誤；D．因為A（1，0），B（5，0），所以對稱軸為直線x＝＝3，故D正確．故選：D．6.（2019四川綿陽）如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a＞0）的圖象與x軸交于兩點（x1，0），（2，0），其中0＜x1＜1．下列四個結(jié)論：①abc＜0；②2ac＞0；③a+2b+4c＞0；④，正確的個數(shù)是（）A.1B.2C.3D.4【答案】D.【解析】解：①∵拋物線開口向上，∴a＞0，∵拋物線對稱軸在y軸的右側(cè)，∴b＜0，∵拋物線與y軸的交點在x軸上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①正確；②∵圖象與x軸交于兩點（x1，0），（2，0），其中0＜x1＜1，

∴＜＜，∴1＜＜，當(dāng)＜時，b＞3a，∵當(dāng)x=2時，y=4a+2b+c=0，∴b=2ac，∴2ac＞3a，∴2ac＞0，故②正確；③∵＜1，∴2a+b＞0，∵c＞0，4c＞0，∴a+2b+4c＞0，故③正確；④∵＜1，∴2a+b＞0，∴（2a+b）2＞0，4a2+b2+4ab＞0，4a2+b2＞4ab，∵a＞0，b＜0，

∴ab＜0，∴，即，故④正確．故選：D．7.（2019四川樂山）如圖，拋物線與軸交于、兩點，是以點（0,3）為圓心，2為半徑的圓上的動點，是線段的中點，連結(jié).則線段的最大值是（）A. B.C.D.【答案】C【解析】因為拋物線與軸交于、兩點，所以A（4,0），B（4,0），即OA=4.又因為P在圓C上，且半徑為2，即CP=2，OC=3，Q是AP上的中點.所以當(dāng)AP與圓C相切時OQ最大.可得∠APC=90°，連接AC，在Rt△ACO中由勾股定理得AC=5，連接BC，可知B、C、P在同一直線上，所以BP=BC+CP=7，因為Q為AP中點，O為AB中點，所以O(shè)Q=BP=.8．（2019四川南充）拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)），a＞0，頂點坐標(biāo)為（，m），給出下列結(jié)論：①若點（n，y1）與（﹣2n，y2）在該拋物線上，當(dāng)n＜時，則y1＜y2；②關(guān)于x的一元二次方程ax2﹣bx+c﹣m+1＝0無實數(shù)解，那么（）A．①正確，②正確 B．①正確，②錯誤 C．①錯誤，②正確 D．①錯誤，②錯誤【答案】A．【解析】解：①∵頂點坐標(biāo)為（，m），n＜，∴點（n，y1）關(guān)于拋物線的對稱軸x＝的對稱點為（1﹣n，y1），∴點（1﹣n，y1）與（﹣2n，y2）在該拋物線上，∵（1﹣n）﹣（﹣2n）＝n﹣＜0，∴1﹣n＜﹣2n，∵a＞0，∴當(dāng)x＞時，y隨x的增大而增大，∴y1＜y2，故此小題結(jié)論正確；②把（，m）代入y＝ax2+bx+c中，得m＝a+b+c，∴一元二次方程ax2﹣bx+c﹣m+1＝0中，△＝b2﹣4ac+4am﹣4a＝b2﹣4ac+4a（a+b+c﹣4a＝（a+b）2﹣4a＜0，∴一元二次方程ax2﹣bx+c﹣m+1＝0無實數(shù)解，故此小題正確；故選：A．9．（2019四川涼山州）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的部分圖象如圖所示，有以下結(jié)論：①3a﹣b＝0；②b2﹣4ac＞0；③5a﹣2b+c＞0；④4b+3c＞0，其中錯誤結(jié)論的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A.【解析】解：由圖象可知a＜0，c＞0，對稱軸為x＝﹣，∴x＝﹣＝﹣，∴b＝3a，①正確；∵函數(shù)圖象與x軸有兩個不同的交點，∴△＝b2﹣4ac＞0，②正確；當(dāng)x＝﹣1時，a﹣b+c＞0，當(dāng)x＝﹣3時，9a﹣3b+c＞0，∴10a﹣4b+2c＞0，∴5a﹣2b+c＞0，③正確；由對稱性可知x＝1時對應(yīng)的y值與x＝﹣4時對應(yīng)的y值相等，∴當(dāng)x＝1時a+b+c＜0，∵b＝3a，∴4b+3c＝3b+b+3c＝3b+3a+3c＝3（a+b+c）＜0，∴4b+3c＜0，④錯誤；故選：A．10．（2019四川宜賓）已知拋物線y＝x2﹣1與y軸交于點A，與直線y＝kx（k為任意實數(shù)）相交于B，C兩點，則下列結(jié)論不正確的是（）A．存在實數(shù)k，使得△ABC為等腰三角形 B．存在實數(shù)k，使得△ABC的內(nèi)角中有兩角分別為30°和60° C．任意實數(shù)k，使得△ABC都為直角三角形 D．存在實數(shù)k，使得△ABC為等邊三角形【答案】D．【解析】解：A、如圖1，可以得△ABC為等腰三角形，正確；B、如圖3，∠ACB＝30°，∠ABC＝60°，可以得△ABC的內(nèi)角中有兩角分別為30°和60°正確；C、如圖2和3，∠BAC＝90°，可以得△ABC為直角三角形，正確；D、不存在實數(shù)k，使得△ABC為等邊三角形，不正確；故選：D．11．（2019四川廣安）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象如圖所示，圖象過點（﹣1，0），對稱軸為直線x＝1，下列結(jié)論：①abc＜0；②b＜c；③3a+c＝0；④當(dāng)y＞0時，﹣1＜x＜3.其中正確的結(jié)論有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D．【解析】解：①對稱軸位于x軸的右側(cè)，則a，b異號，即ab＜0．拋物線與y軸交于正半軸，則c＞0．∴abc＜0．故①正確；②∵拋物線開口向下，∴a＜0．∵拋物線的對稱軸為直線x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a．∵x＝﹣1時，y＝0，∴a﹣b+c＝0，而b＝﹣2a，∴c＝﹣3a，∴b﹣c＝﹣2a+3a＝a＜0，即b＜c，故②正確；③∵x＝﹣1時，y＝0，∴a﹣b+c＝0，而b＝﹣2a，∴c＝﹣3a，∴3a+c＝0．故③正確；④由拋物線的對稱性質(zhì)得到：拋物線與x軸的另一交點坐標(biāo)是（3，0）．∴當(dāng)y＞0時，﹣1＜x＜3故④正確．綜上所述，正確的結(jié)論有4個．故選：D．12．（2019四川資陽）如圖是函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3（0≤x≤4）的圖象，直線l∥x軸且過點（0，m），將該函數(shù)在直線l上方的圖象沿直線l向下翻折，在直線l下方的圖象保持不變，得到一個新圖象．若新圖象對應(yīng)的函數(shù)的最大值與最小值之差不大于5，則m的取值范圍是（）A．m≥1 B．m≤0 C．0≤m≤1 D．m≥1或m≤0【答案】C.【解析】解：如圖1所示，當(dāng)t等于0時，∵y＝（x﹣1）2﹣4，∴頂點坐標(biāo)為（1，﹣4），當(dāng)x＝0時，y＝﹣3，∴A（0，﹣3），當(dāng)x＝4時，y＝5，∴C（4，5），∴當(dāng)m＝0時，D（4，﹣5），∴此時最大值為0，最小值為﹣5；如圖2所示，當(dāng)m＝1時，此時最小值為﹣4，最大值為1．綜上所述：0≤m≤1，故選：C．13．（2019四川巴中）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，下列結(jié)論①b2＞4ac，②abc＜0，③2a+b﹣c＞0，④a+b+c＜0．其中正確的是（）A．①④ B．②④ C．②③ D．①②③④【答案】A．【解析】解：①∵拋物線與x軸由兩個交點，∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，所以①正確；②由二次函數(shù)圖象可知，a＜0，b＜0，c＞0，∴abc＞0，故②錯誤；③∵對稱軸：直線x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a，∴2a+b﹣c＝4a﹣c，∵a＜0，4a＜0，c＞0，﹣c＜0，∴2a+b﹣c＝4a﹣c＜0，故③錯誤；④∵對稱軸為直線x＝﹣1，拋物線與x軸一個交點﹣3＜x1＜﹣2，∴拋物線與x軸另一個交點0＜x2＜1，當(dāng)x＝1時，y＝a+b+c＜0，故④正確．故選：A．二、填空題14．（2019四川宜賓）將拋物線y＝2x2的圖象，向左平移1個單位，再向下平移2個單位，所得圖象的解析式為．【答案】y＝2（x+1）2﹣2．【解析】解：將拋物線y＝2x2的圖象，向左平移1個單位，再向下平移2個單位，所得圖象的解析式為：y＝2（x+1）2﹣2．故答案為：y＝2（x+1）2﹣2．15．（2019四川涼山州）將拋物線y＝（x﹣3）2﹣2向左平移個單位后經(jīng)過點A（2，2）．【答案】3．【解析】解：∵將拋物線y＝（x﹣3）2﹣2向左平移后經(jīng)過點A（2，2），∴設(shè)平移后解析式為：y＝（x﹣3+a）2﹣2，則2＝（2﹣3+a）2﹣2，解得：a＝3或a＝﹣1（不合題意舍去），故將拋物線y＝（x﹣3）2﹣2向左平移3個單位后經(jīng)過點A（2，2）．故答案為：3．16．（2019四川廣安）在廣安市中考體考前，某初三學(xué)生對自己某次實心球訓(xùn)練的錄像進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)實心球飛行高度y（米）與水平距離x（米）之間的關(guān)系為y＝﹣，由此可知該生此次實心球訓(xùn)練的成績?yōu)槊祝敬鸢浮?0．【解析】解：當(dāng)y＝0時，y＝﹣＝0，解得，x＝2（舍去），x＝10．故答案為：10．17．（2019四川涼山州）當(dāng)0≤x≤3時，直線y＝a與拋物線y＝（x﹣1）2﹣3有交點，則a的取值范圍是．【答案】﹣3≤a≤1．【解答】解：法一：y＝a與拋物線y＝（x﹣1）2﹣3有交點則有a＝（x﹣1）2﹣3，整理得x2﹣2x﹣2﹣a＝0∴△＝b2﹣4ac＝4+4（2+a）≥0解得a≥﹣3，∵0≤x≤3，對稱軸x＝1∴y＝（3﹣1）2﹣3＝1∴a≤1法二：由題意可知，∵拋物線的頂點為（1，﹣3），而0≤x≤3∴拋物線y的取值為﹣3≤y≤1∵y＝a，則直線y與x軸平行，∴要使直線y＝a與拋物線y＝（x﹣1）2﹣3有交點，∴拋物線y的取值為﹣3≤y≤1，即為a的取值范圍，∴﹣3≤a≤1．故答案為：﹣3≤a≤1．18．（2019四川遂寧）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點O落在坐標(biāo)原點，點A、點C分別位于x軸，y軸的正半軸，G為線段OA上一點，將△OCG沿CG翻折，O點恰好落在對角線AC上的點P處，反比例函數(shù)y＝經(jīng)過點B．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過C（0，3）、G、A三點，則該二次函數(shù)的解析式為．（填一般式）【答案】y＝x2﹣x+3．【解析】解：點C（0，3），反比例函數(shù)y＝經(jīng)過點B，則點B（4，3），則OC＝3，OA＝4，∴AC＝5，設(shè)OG＝PG＝x，則GA＝4﹣x，PA＝AC﹣CP＝AC﹣OC＝5﹣3＝2，由勾股定理得：（4﹣x）2＝4+x2，解得：x＝，故點G（，0），將點C、G、A坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得：，解得：，故答案為：y＝x2﹣x+3．19．（2019四川達(dá)州）如圖，拋物線y＝﹣x2+2x+m+1（m為常數(shù)）交y軸于點A，與x軸的一個交點在2和3之間，頂點為B．①拋物線y＝﹣x2+2x+m+1與直線y＝m+2有且只有一個交點；②若點M（﹣2，y1）、點N（，y2）、點P（2，y3）在該函數(shù)圖象上，則y1＜y2＜y3；③將該拋物線向左平移2個單位，再向下平移2個單位，所得拋物線解析式為y＝﹣（x+1）2+m；④點A關(guān)于直線x＝1的對稱點為C，點D、E分別在x軸和y軸上，當(dāng)m＝1時，四邊形BCDE周長的最小值為．其中正確判斷的序號是．【答案】①③④．【解析】解：①把y＝m+2代入y＝﹣x2+2x+m+1中，得x2﹣2x+1＝0，∵△＝4﹣4＝0，∴此方程兩個相等的實數(shù)根，則拋物線y＝﹣x2+2x+m+1與直線y＝m+2有且只有一個交點，故此小題結(jié)論正確；②∵拋物線的對稱軸為x＝1，∴點P（2，y3）關(guān)于x＝1的對稱點為P′（0，y3），∵a＝﹣1＜0，∴當(dāng)x＜1時，y隨x增大而減小，又∵﹣2＜0＜，點M（﹣2，y1）、點N（，y2）、點P′（0，y3）在該函數(shù)圖象上，∴y2＜y3＜y1，故此小題結(jié)論錯誤；③將該拋物線向左平移2個單位，再向下平移2個單位，拋物線的解析式為：y＝﹣（x+2）2+2（x+2）x+m+1﹣2，即y＝﹣（x+1）2+m，故此小題結(jié)論正確；④當(dāng)m＝1時，拋物線的解析式為：y＝﹣x2+2x+2，∴A（0，2），C（2，2），B（1，3），作點B關(guān)于y軸的對稱點B′（﹣1，3），作C點關(guān)于x軸的對稱點C′（2，﹣2），連接B′C′，與x軸、y軸分別交于D、E點，如圖，則BE+ED+CD+BC＝B′E+ED+C′D+BC＝B′C′+BC，根據(jù)兩點之間線段最短，知B′C′最短，而BC的長度一定，∴此時，四邊形BCDE周長＝B′C′+BC最小，為：，故此小題結(jié)論正確；故答案為：①③④．三、解答題20．（2019四川涼山州）已知二次函數(shù)y＝x2+x+a的圖象與x軸交于A（x1，0）、B（x2，0）兩點，且，求a的值．【答案】a＝﹣1+或a＝﹣1﹣.【解析】解：y＝x2+x+a的圖象與x軸交于A（x1，0）、B（x2，0）兩點，∴x1+x2＝﹣1，x1?x2＝a，∵，∴a＝﹣1+或a＝﹣1﹣．21．（2019四川南充）在“我為祖國點贊“征文活動中，學(xué)校計劃對獲得一，二等獎的學(xué)生分別獎勵一支鋼筆，一本筆記本．已知購買2支鋼筆和3個筆記本共38元，購買4支鋼筆和5個筆記本共70元．（1）鋼筆、筆記本的單價分別為多少元？（2）經(jīng)與商家協(xié)商，購買鋼筆超過30支時，每增加1支，單價降低0.1元；超過50支，均按購買50支的單價售，筆記本一律按原價銷售．學(xué)校計劃獎勵一、二等獎學(xué)生共計100人，其中一等獎的人數(shù)不少于30人，且不超過60人，這次獎勵一等獎學(xué)生多少人時，購買獎品總金額最少，最少為多少元？【答案】（1）鋼筆、筆記本的單價分別為10元，6元；（2）獎勵一等獎學(xué)生50人時，購買獎品總金額最少，最少為700元．【解析】解：（1）鋼筆、筆記本的單價分別為x、y元，根據(jù)題意得，，解得：，答：鋼筆、筆記本的單價分別為10元，6元；（2）設(shè)鋼筆的單價為a元，購買數(shù)量為b元，支付鋼筆和筆記本的總金額w元，①當(dāng)30≤b≤50時，a＝10﹣0.1（b﹣30）＝﹣0.1b+13，w＝b（﹣0.1b+13）+6（100﹣b）＝﹣0.1b2+7b+600＝﹣0.1（b﹣35）2+722.5，∵當(dāng)b＝30時，w＝720，當(dāng)b＝50時，w＝700，∴當(dāng)30≤b≤50時，700≤w≤722.5；②當(dāng)50＜b≤60時，a＝8，w＝8b+6（100﹣b）＝2b+600，700＜w≤720，∴當(dāng)30≤b≤60時，w的最小值為700元，∴這次獎勵一等獎學(xué)生50人時，購買獎品總金額最少，最少為700元．22．（2019四川成都）隨著5G技術(shù)的發(fā)展，人們對各類5G產(chǎn)品的使用充滿期待，某公司計劃在某地區(qū)銷售一款5G產(chǎn)品，根據(jù)市場分析，該產(chǎn)品的銷售價格將隨銷售周期的變化而變化．設(shè)該產(chǎn)品在第x（x為正整數(shù)）個銷售周期每臺的銷售價格為y元，y與x之間滿足如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系．（1）求y與x之間的關(guān)系式；（2）設(shè)該產(chǎn)品在第x個銷售周期的銷售數(shù)量為p（萬臺），p與x的關(guān)系可以用p＝x+來描述．根據(jù)以上信息，試問：哪個銷售周期的銷售收入最大？此時該產(chǎn)品每臺的銷售價格是多少元？【答案】（1）y＝﹣500x+7500；（2）第7個銷售周期的銷售收入最大，此時該產(chǎn)品每臺的銷售價格是4000元．【解析】解：（1）設(shè)函數(shù)的解析式為：y＝kx+b（k≠0），由圖象可得，，解得，，∴y與x之間的關(guān)系式：y＝﹣500x+7500；（2）設(shè)銷售收入為w萬元，根據(jù)題意得，w＝y(tǒng)p＝（﹣500x+7500）（x+），即w＝﹣250（x﹣7）2+16000，∴當(dāng)x＝7時，w有最大值為16000，此時y＝﹣500×7+7500＝4000（元）答：第7個銷售周期的銷售收入最大，此時該產(chǎn)品每臺的銷售價格是4000元．23.（2019四川綿陽）辰星旅游度假村有甲種風(fēng)格客房15間，乙種風(fēng)格客房20間．按現(xiàn)有定價：若全部入住，一天營業(yè)額為8500元；若甲、乙兩種風(fēng)格客房均有10間入住，一天營業(yè)額為5000元．

（1）求甲、乙兩種客房每間現(xiàn)有定價分別是多少元？

（2）度假村以乙種風(fēng)格客房為例，市場情況調(diào)研發(fā)現(xiàn)：若每個房間每天按現(xiàn)有定價，房間會全部住滿；當(dāng)每個房間每天的定價每增加20元時，就會有兩個房間空閑．如果游客居住房間，度假村需對每個房間每天支出80元的各種費用．當(dāng)每間房間定價為多少元時，乙種風(fēng)格客房每天的利潤m最大，最大利潤是多少元？

【答案】（1）甲、乙兩種客房每間現(xiàn)有定價分別是300元、200元；（2）當(dāng)每間房間定價為200元時，乙種風(fēng)格客房每天的利潤m最大，最大利潤是2400元．【解析】解：設(shè)甲、乙兩種客房每間現(xiàn)有定價分別是x元、y元，

根據(jù)題意，得：，解得，答：甲、乙兩種客房每間現(xiàn)有定價分別是300元、200元；（2）設(shè)當(dāng)每間房間定價為x元，m=x（）80×20=，∴當(dāng)x=200時，m取得最大值，此時m=2400，答：當(dāng)每間房間定價為200元時，乙種風(fēng)格客房每天的利潤m最大，最大利潤是2400元．24.（2019四川攀枝花）已知拋物線的對稱軸為直線，其圖像與軸相交于、兩點，與軸交于點.（1）求，的值；（2）直線與軸交于點，①如圖1，若∥軸，且與線段及拋物線分別相交于點、，點關(guān)于直線的對稱點為，求四邊形面積的最大值；HH圖1圖2②如圖2，若直線與線段相交于點，當(dāng)∽時，求直線的表達(dá)式.【答案】（1）；（2）①最大值為；②.【解析】：解：（1）由題可知：，解得；（2）①由題可知，，∴.由（1）可知，，∴：.設(shè)，則，∴，∴.∴當(dāng)時，四邊形的面積最大，最大值為.②由（1）可知，由∽，可得，∴，∴，由，可得，∴，作于點，設(shè)，則，∴，.∴.即，解得.∴，∴：.25．（2019四川眉山）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點A（﹣5，0）和點B（1，0）．（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標(biāo)；（2）點P是拋物線上A、D之間的一點，過點P作PE⊥x軸于點E，PG⊥y軸，交拋物線于點G，過點G作GF⊥x軸于點F，當(dāng)矩形PEFG的周長最大時，求點P的橫坐標(biāo)；（3）如圖2，連接AD、BD，點M在線段AB上（不與A、B重合），作∠DMN＝∠DBA，MN交線段AD于點N，是否存在這樣點M，使得△DMN為等腰三角形？若存在，求出AN的長；若不存在，請說明理由．【答案】（1）拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2﹣x+，D（﹣2，4）；（2）點P的橫坐標(biāo)為﹣；（3）AN＝1或．【解析】解：（1）拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣（x+5）（x﹣1）＝﹣x2﹣x+，則點D（﹣2，4）；（2）設(shè)點P（m，﹣x2﹣x+），則PE＝﹣m2﹣m+，PG＝2（﹣2﹣m）＝﹣4﹣2m，矩形PEFG的周長＝2（PE+PG）＝2（﹣m2﹣m+﹣4﹣2m）＝﹣（m+）2+，∵﹣＜0，故當(dāng)m＝﹣時，矩形PEFG周長最大，此時，點P的橫坐標(biāo)為﹣；（3）∵∠DMN＝∠DBA，∠BMD+∠BDM＝180°﹣∠ADB，∠NMA+∠DMB＝180°﹣∠DMN，∴∠NMA＝∠MDB，∴△BDM∽△AMN，，而AB＝6，AD＝BD＝5，①當(dāng)MN＝DM時，∴△BDM≌△AMN，即：AM＝BD＝5，則AN＝MB＝1；②當(dāng)NM＝DN時，則∠NDM＝∠NMD，∴△AMD∽△ADB，∴AD2＝AB×AM，即：25＝6×AM，則AM＝，而，即，解得：AN＝；③當(dāng)DN＝DM時，∵∠DMN＞∠DAB，而∠DAB＝∠DMN，∴∠DNM＞∠DMN，∴DN≠DM；故AN＝1或．26．（2019四川涼山州）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c的圖象過點A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）．（1）求拋物線的解析式；（2）在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使得△PAC的周長最小，若存在，請求出點P的坐標(biāo)及△PAC的周長；若不存在，請說明理由；（3）在（2）的條件下，在x軸上方的拋物線上是否存在點M（不與C點重合），使得S△PAM＝S△PAC？若存在，請求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2點P（1，2）使△PAC的周長最小，最小值為；（3）存在，且點M坐標(biāo)為（1，4）．【解析】解：（1）∵拋物線與x軸交于點A（﹣1，0）、B（3，0）∴可設(shè)交點式y(tǒng)＝a（x+1）（x﹣3）把點C（0，3）代入得：﹣3a＝3∴a＝﹣1∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3∴拋物線解析式為y＝﹣x2+2x+3；（2）在拋物線的對稱軸上存在一點P，使得△PAC的周長最?。鐖D1，連接PB、BC∵點P在拋物線對稱軸直線x＝1上，點A、B關(guān)于對稱軸對稱∴PA＝PB∴C△PAC＝AC+PC+PA＝AC+PC+PB∵當(dāng)C、P、B在同一直線上時，PC+PB＝CB最小∵A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）∴AC＝，BC＝，∴C△PAC＝AC+CB＝最小設(shè)直線BC解析式為y＝kx+3把點B代入得：3k+3＝0，解得：k＝﹣1∴直線BC：y＝﹣x+3∴yP＝﹣1+3＝2∴點P（1，2）使△PAC的周長最小，最小值為．（3）存在滿足條件的點M，使得S△PAM＝S△PAC．∵S△PAM＝S△PAC∴當(dāng)以PA為底時，兩三角形等高∴點C和點M到直線PA距離相等∵M(jìn)在x軸上方∴CM∥PA∵A（﹣1，0），P（1，2），設(shè)直線AP解析式為y＝px+d∴，解得：.∴直線AP：y＝x+1，∴直線CM解析式為：y＝x+3，∵，解得：（即點C），∴點M坐標(biāo)為（1，4）27．（2019四川巴中）如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣5（a≠0）經(jīng)過x軸上的點A（1，0）和點B及y軸上的點C，經(jīng)過B、C兩點的直線為y＝x+n．①求拋物線的解析式．②點P從A出發(fā)，在線段AB上以每秒1個單位的速度向B運動，同時點E從B出發(fā)，在線段BC上以每秒2個單位的速度向C運動．當(dāng)其中一個點到達(dá)終點時，另一點也停止運動．設(shè)運動時間為t秒，求t為何值時，△PBE的面積最大并求出最大值．③過點A作AM⊥BC于點M，過拋物線上一動點N（不與點B、C重合）作直線AM的平行線交直線BC于點Q．若點A、M、N、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求點N的橫坐標(biāo)．【答案】①y＝﹣x2+6x﹣5；②當(dāng)t＝2時，△PBE的面積最大，最大值為2；③，點N的橫坐標(biāo)為：4或或．【解析】解：①∵點B、C在直線為y＝x+n上，∴B（﹣n，0）、C（0，n），∵點A（1，0）在拋物線上，∴，∴a＝﹣1，b＝6，∴拋物線解析式：y＝﹣x2+6x﹣5；②由題意，得，PB＝4﹣t，BE＝2t，由①知，∠OBC＝45°，∴點P到BC的高h(yuǎn)為BPsin45°＝（4﹣t），∴S△PBE＝BE?h＝，當(dāng)t＝2時，△PBE的面積最大，最大值為2；③由①知，BC所在直線為：y＝x﹣5，∴點A到直線BC的距離d＝2，過點N作x軸的垂線交直線BC于點P，交x軸于點H．設(shè)N（m，﹣m2+6m﹣5），則H（m，0）、P（m，m﹣5），易證△PQN為等腰直角三角形，即NQ＝PQ＝2，∴PN＝4，Ⅰ．NH+HP＝4，∴﹣m2+6m﹣5﹣（m﹣5）＝4解得m1＝1，m2＝4，∵點A、M、N、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，∴m＝4；Ⅱ．NH+HP＝4，∴m﹣5﹣（﹣m2+6m﹣5）＝4解得m1＝，m2＝，∵點A、M、N、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，m＞5，∴m＝，Ⅲ．NH﹣HP＝4，∴﹣（﹣m2+6m﹣5）﹣[﹣（m﹣5）]＝4，解得m1＝，m2＝，∵點A、M、N、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，m＜0，∴m＝，綜上所述，若點A、M、N、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，點N的橫坐標(biāo)為：4或或．28．（2019四川廣安）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A、B兩點（A在B的左側(cè)），與y軸交于點N，過A點的直線l：y＝kx+n與y軸交于點C，與拋物線y＝﹣x2+bx+c的另一個交點為D，已知A（﹣1，0），D（5，﹣6），P點為拋物線y＝﹣x2+bx+c上一動點（不與A、D重合）．（1）求拋物線和直線l的解析式；（2）當(dāng)點P在直線l上方的拋物線上時，過P點作PE∥x軸交直線l于點E，作PF∥y軸交直線l于點F，求PE+PF的最大值；（3）設(shè)M為直線l上的點，探究是否存在點M，使得以點N、C，M、P為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）直線l的表達(dá)式為：y＝﹣x﹣1，拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2+3x+4；（2）當(dāng)x＝2時，PE+PF最大值為18；（3）點P的坐標(biāo)為：（2+，﹣3﹣）或（2﹣，﹣3+）或（4，﹣5）或（﹣4，3）．【解析】解：（1）將點A、D的坐標(biāo)代入直線表達(dá)式得：，解得，故直線l的表達(dá)式為：y＝﹣x﹣1，將點A、D的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式，同理可得拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2+3x+4；（2）直線l的表達(dá)式為：y＝﹣x﹣1，則直線l與x軸的夾角為45°，即：則PE＝PE，設(shè)點P坐標(biāo)為（x，﹣x2+3x+4）、則點F（x，﹣x﹣1），PE+PF＝2PF＝2（﹣x2+3x+4+x+1）＝﹣2（x﹣2）2+18，∵﹣2＜0，故PE+PF有最大值，當(dāng)x＝2時，其最大值為18；（3）NC＝5，①當(dāng)NC是平行四邊形的一條邊時，設(shè)點P坐標(biāo)為（x，﹣x2+3x+4）、則點M（x，﹣x﹣1），由題意得：|yM﹣yP|＝5，即：|﹣x2+3x+4+x+1|＝5，解得：x＝2或0或4（舍去0），則點P坐標(biāo)為（2+，﹣3﹣）或（2﹣，﹣3+）或（4，﹣5）；②當(dāng)NC是平行四邊形的對角線時，則NC的中點坐標(biāo)為（﹣，2），設(shè)點P坐標(biāo)為（m，﹣m2+3m+4）、則點M（n，﹣n﹣1），N、C，M、P為頂點的四邊形為平行四邊形，則NC的中點即為PM中點，即：﹣＝，2＝，解得：m＝0或﹣4（舍去0），故點P（﹣4，3）；故點P的坐標(biāo)為：（2+，﹣3﹣）或（2﹣，﹣3+）或（4，﹣5）或（﹣4，3）．29．（2019四川達(dá)州）如圖1，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c過點A（1，0），B（﹣3，0）．（1）求拋物線的解析式及其頂點C的坐標(biāo)；（2）設(shè)點D是x軸上一點，當(dāng)tan（∠CAO+∠CDO）＝4時，求點D的坐標(biāo)；（3）如圖2．拋物線與y軸交于點E，點P是該拋物線上位于第二象限的點，線段PA交BE于點M，交y軸于點N，△BMP和△EMN的面積分別為m、n，求m﹣n的最大值．【答案】（1）拋物線解析式為：y＝﹣x2﹣2x+3，頂點C的坐標(biāo)為（﹣1，4）；（2）點D的坐標(biāo)為（﹣19，0）或（17，0）；（3）m﹣n的最大值為．【解析】解：（1）由題意把點（1，0），（﹣3，0）代入y＝﹣x2+bx+c，得，，解得b＝﹣2，c＝3，∴y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴此拋物線解析式為：y＝﹣x2﹣2x+3，頂點C的坐標(biāo)為（﹣1，4）；（2）∵拋物線頂點C（﹣1，4），∴拋物線對稱軸為直線x＝﹣1，設(shè)拋物線對稱軸與x軸交于點H，則H（﹣1，0），在Rt△CHO中，CH＝4，OH＝1，∴tan∠COH＝＝4，∵∠COH＝∠CAO+∠ACO，∴當(dāng)∠ACO＝∠CDO時，tan（∠CAO+∠CDO）＝tan∠COH＝4，如圖1，當(dāng)點D在對稱軸左側(cè)時，∵∠ACO＝∠CDO，∠CAO＝∠CAO，∴△AOC∽△ACD，∴，∵AC＝＝2，AO＝1，∴，∴AD＝20，∴OD＝19，∴D（﹣19，0）；當(dāng)點D在對稱軸右側(cè)時，點D關(guān)于直線x＝1的對稱點D'的坐標(biāo)為（17，0），∴點D的坐標(biāo)為（﹣19，0）或（17，0）；（3）設(shè)P（a，﹣a2﹣2a+3），將P（a，﹣a2﹣2a+3），A（1，0）代入y＝kx+b，得，，解得，k＝﹣a﹣3，b＝a+3，∴yPA＝（﹣a﹣3）x+a+3，當(dāng)x＝0時，y＝a+3，∴N（0，a+3），如圖2，∵S△BPM＝S△BPA﹣S四邊形BMNO﹣S△AON，S△EMN＝S△EBO﹣S四邊形BMNO，∴S△BPM﹣S△EMN＝S△BPA﹣S△EBO﹣S△AON＝×4×（﹣a2﹣2a+3）﹣×3×3﹣×1×（a+3）＝﹣2a2﹣a＝﹣2（a+）2+，由二次函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)a＝﹣時，S△BPM﹣S△EMN有最大值，∵△BMP和△EMN的面積分別為m、n，∴m﹣n的最大值為．30．（2019四川資陽）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c過點A（3，2），且與直線y＝﹣x+交于B、C兩點，點B的坐標(biāo)為（4，m）．（1）求拋物線的解析式；（2）點D為拋物線上位于直線BC上方的一點，過點D作DE⊥x軸交直線BC于點E，點P為對稱軸上一動點，當(dāng)線段DE的長度最大時，求PD+PA的最小值；（3）設(shè)點M為拋物線的頂點，在y軸上是否存在點Q，使∠AQM＝45°？若存在，求點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）y＝；（2）PD+PA的最小值為；（3）點Q的坐標(biāo)：Q1（0，2﹣）、Q2（0，2+）．【解析】解：（1）將點B的坐標(biāo)為（4，m）代入y＝﹣x+，m＝﹣4+＝﹣，∴B的坐標(biāo)為（4，﹣），將A（3，2），B（4，﹣）代入y＝﹣x2+bx+c，解得b＝1，c＝，∴拋物線的解析式y(tǒng)＝；（2）設(shè)D（m，），則E（m，﹣m+），DE＝（）﹣（﹣m+）＝＝﹣（m﹣2）2+2，∴當(dāng)m＝2時，DE有最大值為2，此時D（2，），作點A關(guān)于對稱軸的對稱點A'，連接A'D，與對稱軸交于點P．PD+PA＝PD+PA'＝A'D，此時PD+PA最小，∵A（3，2），∴A'（﹣1，2），A'D＝＝，即PD+PA的最小值為；（3）作AH⊥y軸于點H，連接AM、AQ、MQ、HA、HQ，∵拋物線的解析式y(tǒng)＝，∴M（1，4），∵A（3，2），∴AH＝MH＝2，H（1，2）∵∠AQM＝45°，∠AHM＝90°，∴∠AQM＝∠AHM，可知△AQM外接圓的圓心為H，∴QH＝HA＝HM＝2設(shè)Q（0，t），則＝2，t＝2+或2﹣∴符合題意的點Q的坐標(biāo)：Q1（0，2﹣）、Q2（0，2+）．31．（2019四川成都）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點A（﹣2，5），與x軸相交于B（﹣1，0），C（3，0）兩點．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）點D在拋物線的對稱軸上，且位于x軸的上方，將△BCD沿直線BD翻折得到△BC'D，若點C'恰好落在拋物線的對稱軸上，求點C'和點D的坐標(biāo)；（3）設(shè)P是拋物線上位于對稱軸右側(cè)的一點，點Q在拋物線的對稱軸上，當(dāng)△CPQ為等邊三角形時，求直線BP的函數(shù)表達(dá)式．【答案】（1y＝x2﹣2x﹣3；（2）點C′的坐標(biāo)為（1，2）點D的坐標(biāo)為（1，）；（3）直線BP的函數(shù)表達(dá)式為或．【解析】解：（1）由題意得：，解得，∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝x2﹣2x﹣3．（2）∵拋物線與x軸交于B（﹣1，0），C（3，0），∴BC＝4，拋物線的對稱軸為直線x＝1，如圖，設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交于點H，則H點的坐標(biāo)為（1，0），BH＝2，由翻折得C′B＝CB＝4，在Rt△BHC′中，由勾股定理，得C′H＝，∴點C′的坐標(biāo)為（1，2），，∴∠C′BH＝60°，由翻折得∠DBH＝∠C′BH＝30°，在Rt△BHD中，DH＝BH?tan∠DBH＝2?tan30°＝，∴點D的坐標(biāo)為（1，）．（3）?。?）中的點C′，D，連接CC′，∵BC′＝BC，∠C′BC＝60°，∴△C′CB為等邊三角形．分類討論如下：①當(dāng)點P在x軸的上方時，點Q在x軸上方，連接BQ，C′P．∵△PCQ，△C′CB為等邊三角形，∴CQ＝CP，BC＝C′C，∠PCQ＝∠C′CB＝60°，∴∠BCQ＝∠C′CP，∴△BCQ≌△C′CP（SAS），∴BQ＝C′P．∵點Q在拋物線的對稱軸上，∴BQ＝CQ，∴C′P＝CQ＝CP，又∵BC′＝BC，∴BP垂直平分CC′，由翻折可知BD垂直平分CC′，∴點D在直線BP上，設(shè)直線BP的函數(shù)表達(dá)式為y＝kx+b，則，解得，∴直線BP的函數(shù)表達(dá)式為y＝x+.②當(dāng)點P在x軸的下方時，點Q在x軸下方．∵△PCQ，△C′CB為等邊三角形，∴CP＝CQ，BC＝CC′，∠CC′B＝∠QCP＝∠C′CB＝60°．∴∠BCP＝∠C′CQ，∴△BCP≌△C′CQ（SAS），∴∠CBP＝∠CC′Q，∵BC′＝CC′，C′H⊥BC，∴．∴∠CBP＝30°，設(shè)BP與y軸相交于點E，在Rt△BOE中，OE＝OB?tan∠CBP＝OB?tan30°＝1×=，∴點E的坐標(biāo)為（0，﹣）．設(shè)直線BP的函數(shù)表達(dá)式為y＝mx+n，則，解得，∴直線BP的函數(shù)表達(dá)式為y＝．綜上所述，直線BP的函數(shù)表達(dá)式為y＝x+或y＝．32.（2019四川樂山）如圖1，已知拋物線與軸相交于、兩點，與軸交于點，且tan.設(shè)拋物線的頂點為，對稱軸交軸于點.（1）求拋物線的解析式；（2）為拋物線的對稱軸上一點，為軸上一點，且.①當(dāng)點在線段(含端點)上運動時，求的變化范圍；②當(dāng)取最大值時，求點到線段的距離；③當(dāng)取最大值時，將線段向上平移個單位長度，使得線段與拋物線有兩個交點，求的取值范圍.圖1備用圖圖1備用圖【答案】（1）；（2）①；②點到線段距離為；③.【解析】解：（1）根據(jù)題意得：,，在中，∵,且,得，∴,將點坐標(biāo)代入得：，故拋物線解析式為：；（2）①由（1）知，拋物線的對稱軸為：，頂點，設(shè)點坐標(biāo)為（其中），則，，，∵,∴在中，由勾股定理得：,即，整理得：（），∴當(dāng)時，取得最小值為；當(dāng)時，取得最大值為，所以，；②由①知：當(dāng)取最大值4時，，∴，，則,,，設(shè)點到線段距離為，由，得：，故點到線段距離為；由②可知：當(dāng)取最大值4時，，∴線段的解析式為：，設(shè)線段向上平移個單位長度后的解析式為：，當(dāng)線段向上平移，使點恰好在拋物線上時，線段與拋物線有兩個交點，此時對應(yīng)的點的縱坐標(biāo)為：，將代入得：，當(dāng)線段繼續(xù)向上平移，線段與拋物線只有一個交點時，聯(lián)解得：，化簡得：，由，得，∴當(dāng)線段與拋物線有兩個交點時，.33．（2019四川遂寧）如圖，頂點為P（3，3）的二次函數(shù)圖象與x軸交于點A（6，0），點B在該圖象上，OB交其對稱軸l于點M，點M、N關(guān)于點P對稱，連接BN、ON．（1）求該二次函數(shù)的關(guān)系式．（2）若點B在對稱軸l右側(cè)的二次函數(shù)圖象上運動，請解答下列問題：①連接OP，當(dāng)OP＝MN時，請判斷△NOB的形狀，并求出此時點B的坐標(biāo)．②求證：∠BNM＝∠ONM．【答案】（1）y＝﹣（x﹣3）2+3＝﹣x2+2x；（2）①△NOB是等腰直角三角形，此時點B坐標(biāo)為（3+3，﹣3）；②見解析．【解析】解：（1）∵二次函數(shù)頂點為P（3，3）∴設(shè)頂點式y(tǒng)＝a（x﹣3）2+3∵二次函數(shù)圖象過點A（6，0）∴（6﹣3）2a+3＝0，解得：a＝﹣∴二次函數(shù)的關(guān)系式為y＝﹣（x﹣3）2+3＝﹣x2+2x（2）設(shè)B（b，﹣b2+2b）（b＞3）∴直線OB解析式為：y＝（﹣b+2）x∵OB交對稱軸l于點M∴當(dāng)xM＝3時，yM＝（﹣b+2）×3＝﹣b+6∴M（3，﹣b+6）∵點M、N關(guān)于點P對稱∴NP＝MP＝3﹣（﹣b+6）＝b﹣3，∴yN＝3+b﹣3＝b，即N（3，b）①∵OP＝MN∴OP＝MP∴＝b﹣3解得：b＝3+3∴﹣b2+2b＝﹣×（3+3）2+2×（3+3）＝﹣3∴B（3+3，﹣3），N（3，3+3）∴OB2＝（3+3）2+（﹣3）2＝36+18，ON2＝32+（3+3）2＝36+18，BN2＝（3+﹣3）2+（﹣3﹣3﹣3）2＝72+36．∴OB＝ON，OB2+ON2＝BN2∴△NOB是等腰直角三角形，此時點B坐標(biāo)為（3+3，﹣3）．②證明：如圖，設(shè)直線BN與x軸交于點D∵B（b，﹣b2+2b）、N（3，b），設(shè)直線BN解析式為y＝kx+d∴，解得：．∴直線BN：y＝﹣bx+2b．當(dāng)y＝0時，﹣bx+2b＝0，解得：x＝6∴D（6，0）．∵C（3，0），NC⊥x軸，∴NC垂直平分OD．∴ND＝NO．∴∠BNM＝∠ONM．34．（2019四川南充）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點A（﹣1，0），點B（﹣3，0），且OB＝OC．（1）求拋物線的解析式；（2）點P在拋物線上，且∠POB＝∠ACB，求點P的坐標(biāo)；（3）拋物線上兩點M，N，點M的橫坐標(biāo)為m，點N的橫坐標(biāo)為m+4．點D是拋物線上M，N之間的動點，過點D作y軸的平行線交MN于點E．①求DE的最大值；②點D關(guān)于點E的對稱點為F，當(dāng)m為何值時，四邊形MDNF為矩形．【答案】（1）y＝﹣x2﹣4x﹣3；（2）點P的坐標(biāo)為（）、（）、（﹣2，1）或（﹣，）；（3）①DE的最大值為4；②m的值為﹣4﹣或﹣4+時，四邊形MDNF為矩形．【解析】解：（1）∵拋物線與x軸交于點A（﹣1，0），點B（﹣3，0）∴設(shè)交點式y(tǒng)＝a（x+1）（x+3）∵OC＝OB＝3，點C在y軸負(fù)半軸∴C（0，﹣3）把點C代入拋物線解析式得：3a＝﹣3∴a＝﹣1∴拋物線解析式為y＝﹣（x+1）（x+3）＝﹣x2﹣4x﹣3（2）如圖1，過點A作AG⊥BC于點G，過點P作PH⊥x軸于點H∴∠AGB＝∠AGC＝∠PHO＝90°∵∠ACB＝∠POB∴△ACG∽△POH∴，∴，∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°∴∠ABC＝45°，BC＝＝3∴△ABG是等腰直角三角形∴AG＝BG＝AB＝∴CG＝BC﹣BG＝3﹣＝2∴，∴OH＝2PH設(shè)P（p，﹣p2﹣4p﹣3）①當(dāng)p＜﹣3或﹣1＜p＜0時，點P在點B左側(cè)或在AC之間，橫縱坐標(biāo)均為負(fù)數(shù)∴OH＝﹣p，PH＝﹣（﹣p2﹣4p﹣3）＝p2+4p+3∴﹣p＝2（p2+4p+3）解得：p1＝，p2＝∴P（）或（）②當(dāng)﹣3＜p＜﹣1或p＞0時，點P在AB之間或在點C右側(cè)，橫縱坐標(biāo)異號∴p＝2（p2+4p+3）解得：p1＝﹣2，p2＝﹣∴P（﹣2，1）或（﹣，）綜上所述，點P的坐標(biāo)為（）、（）、（﹣2，1）或（﹣，）．（3）①如圖2，∵x＝m+4時，y＝﹣（m+4）2﹣4（m+4）﹣3＝﹣m2﹣12m﹣35∴M（m，﹣m2﹣4m﹣3），N（m+4，﹣m2﹣12m﹣35）設(shè)直線MN解析式為y＝kx+n∴，解得：，∴直線MN：y＝（﹣2m﹣8）x+m2+4m﹣3設(shè)D（d，﹣d2﹣4d﹣3）（m＜d＜m+4）∵DE∥y軸∴xE＝xD＝d，E（d，（﹣2m﹣8）d+m2+4m﹣3）∴DE＝﹣d2﹣4d﹣3﹣[（﹣2m﹣8）d+m2+4m﹣3]＝﹣d2+（2m+4）d﹣m2﹣4m＝﹣[d﹣（m+2）]2+4∴當(dāng)d＝m+2時，DE的最大值為4．②如圖3，∵D、F關(guān)于點E對稱∴DE＝EF∵四邊形MDNF是矩形∴MN＝DF，且MN與DF互相平分∴DE＝MN，E為MN中點∴xD＝xE＝＝m+2由①得當(dāng)d＝m+2時，DE＝4∴MN＝2DE＝8∴（m+4﹣m）2+[﹣m2﹣12m﹣35﹣（﹣m2﹣4m﹣3）]2＝82解得：m1＝﹣4﹣，m2＝﹣4+∴m的值為﹣4﹣或﹣4+時，四邊形MDNF為矩形．35．（2019四川宜賓）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y＝ax2﹣2x+c與直線y＝kx+b都經(jīng)過A（0，﹣3）、B（3，0）兩點，該拋物線的頂點為C．（1）求此拋物線和直線AB的解析式；（2）設(shè)直線AB與該拋物線的對稱軸交于點E，在射線EB上是否存在一點M，過M作x軸的垂線交拋物線于點N，使點M、N、C、E是平行四邊形的四個頂點？若存在，求點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）設(shè)點P是直線AB下方拋物線上的一動點，當(dāng)△PAB面積最大時，求點P的坐標(biāo)，并求△PAB面積的最大值．【答案】（1）直線AB的解析式為y＝x﹣3，拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3；（2）存在，且M點的坐標(biāo)為（2，﹣1）或（）；（3）當(dāng)m＝時，△PAB面積的最大值是，此時P點坐標(biāo)為（，）．【解析】解：（1）∵拋物線y＝ax2﹣2x+c經(jīng)過A（0，﹣3）、B（3，0）兩點，∴，∴，∴拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3，∵直線y＝kx+b經(jīng)過A（0，﹣3）、B（3，0）兩點，∴，解得：，∴直線AB的解析式為y＝x﹣3，（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴拋物線的頂點C的坐標(biāo)為（1，﹣4），∵CE∥y軸，∴E（1，﹣2），∴CE＝2，①如圖，若點M在x軸下方，四邊形CEMN為平行四邊形，則CE＝MN，設(shè)M（a，a﹣