2025屆陜西省渭南市臨渭區(qū)數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題含解析

2025屆陜西省渭南市臨渭區(qū)數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知數(shù)列滿(mǎn)足，，則（）A. B.C. D.2．已知圓：，是直線(xiàn)的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的切線(xiàn)，切點(diǎn)為，，則的最小值為（）A. B.C. D.3．某救援隊(duì)有5名隊(duì)員，其中有1名隊(duì)長(zhǎng)，1名副隊(duì)長(zhǎng)，在一次救援中需隨機(jī)分成兩個(gè)行動(dòng)小組，其中一組2名隊(duì)員，另一組3名隊(duì)員，則正、副隊(duì)長(zhǎng)不在同一組的概率為（）A. B.C. D.4．平面的法向量，平面的法向量，已知，則等于（）A B.C. D.5．已知正方形的四個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓上，若的焦點(diǎn)F在正方形的外面，則的離心率的取值范圍是（）A. B.C. D.6．下列關(guān)系中，正確的是（）A. B.C. D.7．已知數(shù)列滿(mǎn)足，，，前項(xiàng)和（）A. B.C. D.8．已知曲線(xiàn)與直線(xiàn)總有公共點(diǎn)，則m的取值范圍是（）A. B.C. D.9．已知函數(shù)，則函數(shù)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為（）A. B.C. D.10．若，則（）A.1 B.2C.4 D.811．函數(shù)在處有極小值5，則（）A. B.C.或 D.或312．從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線(xiàn)，經(jīng)過(guò)橢圓反射后，反射光線(xiàn)經(jīng)過(guò)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)；從雙曲線(xiàn)的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線(xiàn)，經(jīng)過(guò)雙曲線(xiàn)反射后，反射光線(xiàn)的反向延長(zhǎng)線(xiàn)經(jīng)過(guò)雙曲線(xiàn)的另一個(gè)焦點(diǎn).如圖①，一個(gè)光學(xué)裝置由有公共焦點(diǎn)的橢圓與雙曲線(xiàn)構(gòu)成，現(xiàn)一光線(xiàn)從左焦點(diǎn)發(fā)出，依次經(jīng)與反射，又回到了點(diǎn)，歷時(shí)秒；若將裝置中的去掉，如圖②，此光線(xiàn)從點(diǎn)發(fā)出，經(jīng)兩次反射后又回到了點(diǎn)，歷時(shí)秒；若，則的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與的實(shí)軸長(zhǎng)之比為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為A，直線(xiàn)與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為B，則的面積為_(kāi)__________.14．設(shè)函數(shù)（1）求的最小正周期和的最大值；（2）已知銳角的內(nèi)角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，若，且，求的面積.15．橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為_(kāi)_____16．點(diǎn)到拋物線(xiàn)上的點(diǎn)的距離的最小值為_(kāi)_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，且被兩條平行直線(xiàn)，截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為.（1）求的最小值；（2）當(dāng)直線(xiàn)與軸平行時(shí)，求的值.18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)、，點(diǎn)M滿(mǎn)足，記點(diǎn)M的軌跡為C（1）求C的方程；（2）若直線(xiàn)l過(guò)圓圓心D且與圓交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P為C上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最小值19．（12分）已知點(diǎn)A(0，－2)，橢圓E：(a>b>0)的離心率為，F(xiàn)是橢圓E的右焦點(diǎn)，直線(xiàn)AF的斜率為，O為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求E的方程；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)A的動(dòng)直線(xiàn)l與E相交于P，Q兩點(diǎn).當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí)，求l的方程.20．（12分）已知銳角的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.（1）求A；（2）若，求外接圓面積的最小值.21．（12分）已知圓：與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A，過(guò)A的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于B，C兩點(diǎn)，且.（1）證明：點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為定值；（2）若點(diǎn)C在圓內(nèi)，且過(guò)點(diǎn)C與垂直的直線(xiàn)與圓交于D，E兩點(diǎn)，求四邊形ADBE的面積的最大值.22．（10分）已知函數(shù)（m≥0）.（1）當(dāng)m=0時(shí)，求曲線(xiàn)在點(diǎn)（1，f（1））處的切線(xiàn)方程；（2）若函數(shù)的最小值為，求實(shí)數(shù)m的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)遞推關(guān)系依次求出即可.【詳解】，，，，，.故選：A.2、A【解析】根據(jù)題意，為四邊形的面積的2倍，即，然后利用切線(xiàn)長(zhǎng)定理，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓心到直線(xiàn)的距離求解.【詳解】圓：的圓心為，半徑，設(shè)四邊形的面積為，由題設(shè)及圓的切線(xiàn)性質(zhì)得，，∵，∴，圓心到直線(xiàn)的距離為，∴的最小值為，則的最小值為，故選：A3、C【解析】求出基本事件總數(shù)與正、副隊(duì)長(zhǎng)不在同一組的基本事件個(gè)數(shù)，即可求出答案.【詳解】基本事件總數(shù)為正、副隊(duì)長(zhǎng)不在同一組的基本事件個(gè)數(shù)為故正、副隊(duì)長(zhǎng)不在同一組的概率為.故選：C.4、A【解析】根據(jù)兩個(gè)平面平行得出其法向量平行，根據(jù)向量共線(xiàn)定理進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】由題意得，因?yàn)椋裕ǎ?，即，解得，所?故選:A5、C【解析】如圖由題可得，進(jìn)而可得，即求.【詳解】如圖根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，點(diǎn)D在直線(xiàn)y=x上，可設(shè)，則，∴，可得，，即，又解得.故選：C.6、B【解析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷A，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷B，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)及誘導(dǎo)公式判斷C，根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)及誘導(dǎo)公式判斷D；【詳解】解：對(duì)于A：因?yàn)?，，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)樵诙x域上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，又，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，所以，所以，故B正確；對(duì)于C：因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，因?yàn)?，所以，又，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，又，所以，又，所以，故D錯(cuò)誤；故選：B7、C【解析】根據(jù)，利用對(duì)數(shù)運(yùn)算得到，再利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求解.【詳解】解：因?yàn)?，所以，則，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，故選：C8、D【解析】對(duì)曲線(xiàn)化簡(jiǎn)可知曲線(xiàn)表示以點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓的下半部分，對(duì)直線(xiàn)方程化簡(jiǎn)可得直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，畫(huà)出圖形，由圖可知，，然后求出直線(xiàn)的斜率即可【詳解】由，得，因?yàn)?，所以曲線(xiàn)表示以點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓的下半部分，由，得，所以，得，所以直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，如圖所示設(shè)曲線(xiàn)與軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為，直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，為曲線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，根據(jù)圖可知，若曲線(xiàn)與直線(xiàn)總有公共點(diǎn)，則，得，設(shè)直線(xiàn)為，則，解得，或，所以，所以，所以，故選：D9、C【解析】依據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義去求函數(shù)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程即可解決.【詳解】則，又則函數(shù)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，即故選：C10、D【解析】由題意結(jié)合導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算可得，再由導(dǎo)數(shù)的概念即可得解.【詳解】由題意，所以，所以.故選：D.11、A【解析】由題意條件和，可建立一個(gè)關(guān)于的方程組，解出的值，然后再將帶入到中去驗(yàn)證其是否滿(mǎn)足在處有極小值，排除增根，即可得到答案.【詳解】由題意可得，則，解得，或．當(dāng)，時(shí)，．由，得；由，得．則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故在處有極大值5，不符合題意．當(dāng)，時(shí)，．由，得；由，得．則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在處有極小值5，符合題意，從而故選：A.12、D【解析】在圖①和圖②中，利用橢圓和雙曲線(xiàn)的定義，分別求得和的周長(zhǎng)，再根據(jù)光速相同，且求解.【詳解】在圖①中，由橢圓的定義得：，由雙曲線(xiàn)的定義得，兩式相減得，所以的周長(zhǎng)為，在圖②中，的周長(zhǎng)為，因?yàn)楣馑傧嗤?，且，所以，即，所以，即的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與的實(shí)軸長(zhǎng)之比為，故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】求出直線(xiàn)的方程，聯(lián)立方程，求得B點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可得出答案.【詳解】解：由題意知，，，直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立方程組，解得，或，即，所以.故答案為：.14、（1）的最小正周期為，的最大值為1（2）【解析】（1）直接根據(jù)的表達(dá)式和正弦函數(shù)的性質(zhì)可得到的最小正周期和最大值；（2）先根據(jù)求得角的大小為，然后在中利用余弦定理求得，最后根據(jù)三角形的面積公式即可【小問(wèn)1詳解】已知?jiǎng)t的最小正周期為：則的最大值為：【小問(wèn)2詳解】由可得：（）或（）又為銳角，則可得：.在中，由余弦定理可得：，即又，解得：則的面積為：15、4【解析】把橢圓方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式直接計(jì)算作答.【詳解】橢圓方程化為：，令橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a，則，解得，所以橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4.故答案為：416、【解析】設(shè)出拋物線(xiàn)上點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式，配方求出最小值.【詳解】設(shè)拋物線(xiàn)上的點(diǎn)坐標(biāo)，則，當(dāng)時(shí)，取得最小值，且最小值為.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）3；（2）5【解析】（1）由題可得和的距離即為的最小值；（2）可得此時(shí)直線(xiàn)的方程為，求出交點(diǎn)坐標(biāo)即可求出距離.【詳解】（1）由題可得當(dāng)且時(shí)，取得最小值，即和的距離，由兩平行線(xiàn)間的距離公式，得，所以的最小值為3.（2）當(dāng)直線(xiàn)與軸平行時(shí)，方程為，設(shè)直線(xiàn)與直線(xiàn)，分別交于點(diǎn)，，則，，所以，即，所以.18、（1）（2）23【解析】（1）根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義判斷軌跡，直接寫(xiě)出軌跡方程即可；（2）設(shè)，利用向量坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算，再由二次函數(shù)求最值即可.【小問(wèn)1詳解】由，則軌跡C是以點(diǎn)、為左、右焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)的右支，設(shè)軌跡C的方程為，則，可得，，所以C的方程為；【小問(wèn)2詳解】設(shè)，則，且，圓心，則因?yàn)?，則當(dāng)時(shí)，取最小值23.19、（1）（2）【解析】設(shè)出，由直線(xiàn)的斜率為求得，結(jié)合離心率求得，再由隱含條件求得，即可求橢圓方程；（2）點(diǎn)軸時(shí)，不合題意；當(dāng)直線(xiàn)斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)，聯(lián)立直線(xiàn)方程和橢圓方程，由判別式大于零求得的范圍，再由弦長(zhǎng)公式求得，由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求得到的距離，代入三角形面積公式，化簡(jiǎn)后換元，利用基本不等式求得最值，進(jìn)一步求出值，則直線(xiàn)方程可求.試題解析：（1）設(shè)，因?yàn)橹本€(xiàn)的斜率為，所以，.又解得，所以橢圓的方程為.（2）解：設(shè)由題意可設(shè)直線(xiàn)的方程為：，聯(lián)立消去得，當(dāng)，所以，即或時(shí).所以點(diǎn)到直線(xiàn)的距離所以，設(shè)，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，解得時(shí)取等號(hào)，滿(mǎn)足所以的面積最大時(shí)直線(xiàn)的方程為：或.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查待定系數(shù)法求橢圓方程及圓錐曲線(xiàn)求最值，屬于難題.解決圓錐曲線(xiàn)中的最值問(wèn)題一般有兩種方法：一是幾何意義，特別是用圓錐曲線(xiàn)的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來(lái)解決，非常巧妙；二是將圓錐曲線(xiàn)中最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角函數(shù)有界法、函數(shù)單調(diào)性法以及均值不等式法，本題（2）就是用的這種思路，利用均值不等式法求三角形最值的.20、（1）（2）【解析】（1）利用二倍角公式將已知轉(zhuǎn)化為正弦函數(shù)，解一元二次方程可得；（2）由余弦定理和（1）可求a的最小值，再由正弦定理可得外接圓半徑的最小值，然后可解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以，解得或（舍去），又為銳角三角形，所以.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以.外接圓的半徑，故外接圓面積的最小值為.21、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）設(shè)直線(xiàn)方程，與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，設(shè)，，結(jié)合，得到，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，即可解得答案；（2）根據(jù)（1）所設(shè)，表示出弦長(zhǎng)，再求出，進(jìn)而表示出四邊形ADBE的面積，據(jù)此求其最大值,【小問(wèn)1詳解】由題意知點(diǎn)的坐標(biāo)為，易知直線(xiàn)的斜率存在且不為零，設(shè)直線(xiàn)：，，，聯(lián)立，得，則，即，由韋達(dá)定理得，由，即，得，即，代入，得或，又拋物線(xiàn)開(kāi)口向右，，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值.【小問(wèn)2詳解】由（1）知點(diǎn)的坐標(biāo)為，故，由（1）知點(diǎn)的坐標(biāo)為，由點(diǎn)在圓內(nèi)，得，解得，又，得的斜率，故的方程為，即，故圓心到直線(xiàn)的距離為，由垂徑定理得，故，（），