江西省南城縣第一中學2025屆高二數(shù)學第一學期期末教學質(zhì)量檢測試題含解析

江西省南城縣第一中學2025屆高二數(shù)學第一學期期末教學質(zhì)量檢測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．為了了解1200名學生對學校某項教改實驗的意見，打算從中抽取一個容量為40的樣本，采用系統(tǒng)抽樣方法，則分段的間隔為（）A.40 B.30C.20 D.122．已知a，b為正數(shù)，，則下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.3．“”是“直線：與直線：平行”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4．已知1與5的等差中項是，又1，，，8成等比數(shù)列，公比為，則的值為（）A.5 B.4C.3 D.65．直線分別與軸，軸交于A，B兩點，點在圓上，則面積的取值范圍是（）A. B.C D.6．已知橢圓，則它的短軸長為（）A.2 B.4C.6 D.87．拋物線的焦點坐標A. B.C. D.8．已知函數(shù)，其導函數(shù)的圖象如圖所示，則()A.在上為減函數(shù) B.在處取極小值C.在上為減函數(shù) D.在處取極大值9．已知圓：，圓：，則兩圓的位置關(guān)系為（）A.外離 B.外切C.相交 D.內(nèi)切10．已知，且直線始終平分圓的周長，則的最小值是（）A.2 B.C.6 D.1611．已知向量，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件12．已知向量，，且與互相垂直，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)34567402.5-0.50.5-2得到的回歸方程為若，則的值為___________.14．等差數(shù)列中，若，，則______，數(shù)列的前n項和為，則______15．若點到點的距離比它到定直線的距離小1，則點滿足的方程為_____________16．已知橢圓與雙曲線具有相同的焦點，，且在第一象限交于點，設(shè)橢圓和雙曲線的離心率分別為，，若，則的最小值為_______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）圓與軸的交點分別為，且與直線，都相切（1）求圓的方程；（2）圓上是否存在點滿足？若存在，求出滿足條件的所有點的坐標；若不存在，請說明理由.18．（12分）如圖，在正方體中，分別為，的中點（1）求證：平面平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值19．（12分）設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為，，且，一條漸近線的傾斜角為60°（1）求雙曲線C的標準方程和離心率；（2）求分別以，為左、右頂點，短軸長等于雙曲線虛軸長的橢圓的標準方程20．（12分）在平面直角坐標系中，過點且傾斜角為的直線與曲線（為參數(shù)）交于兩點.（1）將曲線的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程；（2）求長.21．（12分）設(shè)，為雙曲線：（，）的左、右頂點，直線過右焦點且與雙曲線的右支交于，兩點，當直線垂直于軸時，△為等腰直角三角形（1）求雙曲線的離心率；（2）若雙曲線左支上任意一點到右焦點點距離的最小值為3，①求雙曲線方程；②已知直線，分別交直線于，兩點，當直線傾斜角變化時，以為直徑的圓是否過軸上的定點，若過定點，求出定點的坐標；若不過定點，請說明理由22．（10分）如圖，已知矩形ABCD所在平面外一點P，平面ABCD，E、F分別是AB、PC的中點求證：（1）共面；（2）求證：

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)系統(tǒng)抽樣的概念，以及抽樣距的求法，可得結(jié)果.【詳解】由總數(shù)為1200，樣本容量為40，所以抽樣距為：故選：B【點睛】本題考查系統(tǒng)抽樣的概念，屬基礎(chǔ)題.2、A【解析】構(gòu)造新函數(shù)，以函數(shù)單調(diào)性把不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式即可解決.【詳解】不等式可化為：令，則則函數(shù)為單調(diào)增函數(shù).由可得故選：A3、C【解析】根據(jù)兩直線平行求得的值，由此確定充分、必要條件.【詳解】由于，所以，當時，兩直線重合，不符合題意，所以.所以“”是“直線：與直線：平行”的充要條件.故選：C4、A【解析】由等差中項的概念列式求得值，再由等比數(shù)列的通項公式列式求解，則答案可求.【詳解】由題意，，則；又1，，，8成等比數(shù)列，公比為，，即,,故選：.5、A【解析】把求面積轉(zhuǎn)化為求底邊和底邊上的高，高就是圓上點到直線的距離.【詳解】與x，y軸的交點，分別為，，點在圓，即上，所以，圓心到直線的距離為，所以面積的最小值為，最大值為.故選：A6、B【解析】根據(jù)橢圓短軸長的定義進行求解即可.【詳解】由橢圓的標準方程可知：，所以該橢圓的短軸長為，故選：B7、B【解析】由拋物線方程知焦點在x軸正半軸，且p=4，所以焦點坐標為，所以選B8、C【解析】首先利用導函數(shù)的圖像求和的解，進而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點.【詳解】由導函數(shù)的圖象可知:當時，或；當時，或，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為和，故在處取得極大值，在處取得極小值，在處取得極大值.故選：C.9、C【解析】求出兩圓的圓心和半徑，根據(jù)圓心距與半徑和與差的關(guān)系，判斷圓與圓的位置關(guān)系【詳解】圓：的圓心為，半徑，圓：，即，圓心，半徑，兩圓的圓心距，顯然，即，所以圓與圓相交.故選：C10、B【解析】由已知直線過圓心得，再用均值不等式即可.【詳解】由已知直線過圓心得：，，當且僅當時取等.故選:B.11、A【解析】根據(jù)平面向量垂直的性質(zhì)，結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標表示公式、充分性、必要性的定義進行求解判斷即可.詳解】當時，有，顯然由，但是由不一定能推出，故選：A12、D【解析】根據(jù)垂直關(guān)系可得，由向量坐標運算可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】，，又與互相垂直，，解得：.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、-1.4##【解析】分別求出的值，即得到樣本中心點，根據(jù)樣本中心點一定在回歸直線上，可求得答案.【詳解】，則得到樣本中心點為，因為樣本中心點一定在回歸直線上，故，解得，故答案為：14、①.②.【解析】設(shè)等差數(shù)列公差為d，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)即可求通項公式；，采用裂項相消的方法求.【詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為d，，，；∵，∴.故答案為：；.15、【解析】根據(jù)拋物線的定義可得動點的軌跡方程【詳解】點到點的距離比它到直線的距離少1，所以點到點的距離與到直線的距離相等，所以其軌跡為拋物線，焦點為，準線為，所以方程為，故答案為：16、【解析】由題意設(shè)焦距為，橢圓長軸長為，雙曲線實軸為，令在雙曲線的右支上，由已知條件結(jié)合雙曲線和橢圓的定義推出，由此能求出的最小值【詳解】由題意設(shè)焦距為，橢圓長軸長為，雙曲線實軸為，令在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義，由橢圓定義，可得，，又，，可得，得，即，可得，則，當且僅當，上式取得等號，可得的最小值為故答案為：【點睛】本題考查橢圓和雙曲線的性質(zhì)，主要是離心率，解題時要熟練掌握雙曲線、橢圓的定義，注意均值定理的合理運用三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）存在，或【解析】（1）由題意，設(shè)圓心，由圓與兩直線相切，可得圓心到兩直線的距離都等于圓的半徑，進而可求，然后求出半徑即可得答案；（2）假設(shè)圓上存在點滿足，利用向量數(shù)量積的坐標運算化簡，再聯(lián)立圓的方程即可求解.【小問1詳解】解：因為圓與軸的交點分別為，，所以圓心在弦的垂直平分線上，設(shè)圓心，又圓與直線，都相切，所以，解得，所以圓心，半徑，所以圓的方程為；【小問2詳解】解：假設(shè)圓上存在點滿足，則，即①，又，即②，聯(lián)立①②可得或，所以存在點或滿足.18、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）由正方體性質(zhì)易得，根據(jù)線面平行的判定可得面、面，再由面面平行的判定證明結(jié)論；（2）建立空間直角坐標系，設(shè)正方體棱長為2，確定相關(guān)點的坐標，進而求兩個半平面的法向量，應用空間向量夾角的坐標表示求二面角的余弦值【小問1詳解】在正方體中，且，且，且，則四邊形為平行四邊形，即有，因為面，面，則平面，同理平面，又，面，則平面平面E.小問2詳解】以點為坐標原點，，，所在直線分別為、、軸建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)正方體的棱長為，則，，所以，，設(shè)平面的法向量為,則，令，則由平面，則是平面的一個法向量設(shè)平面與平面夾角,，因此平面與平面所成銳二面角的余弦值為19、（1），2（2）【解析】（1）結(jié)合，聯(lián)立即得解；（2）由題意，即得解.【詳解】（1）由題意，又解得：故雙曲線C的標準方程為：，離心率為（2）由題意橢圓的焦點在軸上，設(shè)橢圓方程為故即橢圓方程為：20、（1）；（2）.【解析】（1）利用公式直接將橢圓的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程即可.（2）首先求出直線的參數(shù)方程，代入橢圓的普通方程得到，再利用直線參數(shù)方程的幾何意義求弦長即可.【詳解】（1）因為曲線（為參數(shù)），所以曲線的普通方程為：.（2）由題知：直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），將直線的參數(shù)方程代入，得.，.所以.21、（1）；（2）①；②定點有兩個，【解析】（1）由雙曲線方程有、、，根據(jù)已知條件有，即可求離心率.（2）①由題設(shè)有，結(jié)合（1）求雙曲線參數(shù)，寫出雙曲線方程即可；②由題設(shè)可設(shè)為，，，聯(lián)立雙曲線方程結(jié)合韋達定理求，，，，再由、的方程求，坐標，若在為直徑的圓上點，由結(jié)合向量垂直的坐標表示列方程，進而求出定點坐標.【小問1詳解】由題設(shè)，若，且，又△為等腰直角三角形，∴，即，則又，可得.【小問2詳解】由題設(shè)，，由（1）有，則，即，①由上可知：雙曲線方程為.②由①知：，且直線的斜率不為0，設(shè)為，，，聯(lián)立直線與雙曲線得：，∴，，則，∴，∴直線為；直線為；∴，，若在為直徑的圓上點，∴，且，∴，令，則，∴，即，∴或，即過定點.【點睛】關(guān)鍵點點睛：第二問的②，設(shè)直線為，聯(lián)立直線與雙曲線，應用韋達定理求，，，，進而根據(jù)、的方程求，坐標，再由圓的性質(zhì)及向量垂直的坐標表示求定點坐標.22、（1）詳見解析；（