平面向量專題講義(學(xué)生版+解析)

第第頁(yè)平面向量專題講義TOC\o"1-3"\h\u7566第1講平面向量基本概念和基本定理 225067題型1平面向量的線性運(yùn)算 221148題型2平行問(wèn)題 719741題型3模長(zhǎng)問(wèn)題 89738題型4夾角問(wèn)題 930568題型5平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 113728題型6投影問(wèn)題 142111題型7垂直問(wèn)題 1731474第2講平面向量基本定理及三點(diǎn)共線定理 1927659第3講平面向量中的范圍、最值問(wèn)題 2717369第4講極化恒等式 4126382第5講矩形大法 4814779第6講五心問(wèn)題（奔馳定理） 53第1講平面向量基本概念和基本定理題型1平面向量的線性運(yùn)算1．如圖，平面內(nèi)有三個(gè)向量，其中與的夾角為，與的夾角為，且，若，則A．1 B．2 C．3 D．4【解析】解：與的夾角為，與的夾角為，且；對(duì)兩邊平方得：①；對(duì)兩邊同乘得：，兩邊平方得：②；①②得：；根據(jù)圖象知，，，代入得，；．故選：．2．已知向量滿足，若為的中點(diǎn)，并且，則的最大值是A． B． C． D．【解析】解：如圖所示，向量滿足，，不妨取，．為的中點(diǎn)，．，，，．，，設(shè)，，，．則，當(dāng)時(shí)取等號(hào)．的最大值是．故選：．3．在中，，．若點(diǎn)滿足A． B． C． D．【解析】解：由題意可得故選：．4．已知，是兩個(gè)單位向量，且．若點(diǎn)在內(nèi)，且，，則A． B．3 C． D．【解析】解：因?yàn)?，是兩個(gè)單位向量，且．所以，故可建立直角坐標(biāo)系如圖所示．則，，故，，，，又點(diǎn)在內(nèi)，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，在直角三角形中，由正切函數(shù)的定義可知，，所以，故選：．5．在中，為邊上任意一點(diǎn)，為中點(diǎn)，，則的值為A． B． C． D．1【解析】解：設(shè)則，故選：．6．點(diǎn)是的邊上任意一點(diǎn)，在線段上，且，若，則的面積與的面積的比值是A． B． C． D．【解析】解：如圖，設(shè)，，，，且，，則．，則，又與的底邊相等，的面積與的面積的比值是．故選：．7．中，為邊上任意一點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)，且，又，則的值為A． B． C． D．1【解析】解：設(shè)，，，又，所以故選：．8．在中，點(diǎn)滿足，則．【解析】解：點(diǎn)滿足，，又，，．又，，．．故答案為：．9．如圖，在正方形中，為的中點(diǎn)，為以為圓心、為半徑的圓弧上的任意一點(diǎn)，設(shè)向量，則的最小值為．【解析】解：以為原點(diǎn)，以所在的為軸，建立坐標(biāo)系，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1，則，，，，，．設(shè)，．再由向量，，，，，，，．由題意得，，．求得，故在，上是增函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，即，這時(shí)取最小值為，故答案為：．10．如圖，在中，為上不同于，的任意一點(diǎn)，點(diǎn)滿足．若，則的最小值為．【解析】解：不妨設(shè)，，，，，，，當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值為，故答案為：．題型2平行問(wèn)題1．已知，若與平行，則A． B．1 C．2 D．3【解析】解：，，當(dāng)與平行時(shí)，，解得．故選：．2．已知向量，則實(shí)數(shù)為A． B．或 C．1 D．【解析】解：由題意可得：，，，，，，，，，解得故選：．3．已知向量，，若，則．【解析】解：向量，，且，，即．則，，．故答案為：30．4．已知向量，，若，則向量的模為．【解析】解：向量，，若，則，解得，，向量的模為．故答案為：10．5．已知，，，則向量或．【解析】解；設(shè)：，，，解得；或等于或故答案為或．題型3模長(zhǎng)問(wèn)題1．設(shè)向量，滿足，，則A．1 B．2 C．3 D．5【解析】解：，，分別平方得，，兩式相減得，即，故選：．2．若向量，滿足，，，則A．2 B． C．1 D．【解析】解：向量，滿足，，，，，．故選：．3．已知向量，的夾角為，且，，則A． B． C． D．【解析】解：因?yàn)橄蛄浚膴A角為，且，，所以，即，解得或（舍．故選：．4．已知向量與的夾角為，且，，則向量．【解析】解：根據(jù)題意得，故答案為1．5．已知向量，夾角為，且，，則．【解析】解：根據(jù)題意，得；．故答案為：．6．已知向量，則．【解析】解：向量，又即即即故答案為：57．已知向量滿足，，與的夾角為，則．【解析】解：向量滿足，，與的夾角為，則．故答案為：．題型4夾角問(wèn)題1．已知向量，，若向量，的夾角為，則實(shí)數(shù)A． B． C．0 D．【解析】解：由題意可得，解得，故選：．2．已知非零向量，滿足，且，則與的夾角為A． B． C． D．【解析】解：由已知非零向量，滿足，且，可得，設(shè)與的夾角為，則有，即，又因?yàn)?，，所以，故選：．3．已知非零向量滿足：，則與的夾角為A． B． C． D．【解析】解：由，所以，解得，且；所以；又，，所以，即與的夾角為．故選：．4．已知非零向量滿足，則與的夾角為A． B． C． D．【解析】解：由于非零向量滿足，等號(hào)兩邊同時(shí)平方化簡(jiǎn)得：，則夾角為，故選：．5．已知向量，，若，則與的夾角為A． B． C． D．【解析】解：根據(jù)題意，設(shè)與的夾角為，向量，，若，則有，解可得，則，則，則有，，且，則有，則；故選：．6．在中，，，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，且，則．【解析】解：由題意可知為的靠近的三等分點(diǎn)，，．故答案為：．題型5平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算1．已知，，若，則的值為A．2 B． C．3 D．【解析】解：，，，，可得：，可得，．故選：．2．向量，，在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若，則A．2 B．4 C． D．【解析】解：以向量，的公共點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖直角坐標(biāo)系可得，，，，解之得且，因此，則故選：．3．已知向量，，則A． B．0 C．1 D．2【解析】解：，，故選：．4．在中，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)是的中點(diǎn)，若，，則A． B． C． D．【解析】解：點(diǎn)是的中點(diǎn)故選：．5．已知正方形的邊長(zhǎng)為2，為的中點(diǎn)，則A． B．6 C．2 D．【解析】解：根據(jù)題意，如圖：以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，所在直線為軸，所在直線為軸建立坐標(biāo)系，則，，，，則，則，，則，故選：．6．已知向量，，若，，，則的值為．【解析】解：向量，，若可得，解得，，．故答案為：．7．已知是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)、分別是邊、的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，則的值為．【解析】解：以所在的直線為軸，以的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)，分別是邊，的中點(diǎn)，，，，，，，，，，，，設(shè)，，，，，，，解得，，，，，，，故答案為：．題型6投影問(wèn)題1．已知點(diǎn)，，，，則向量在方向上的投影為A． B． C． D．【解析】解：；向量在方向上的投影為：．故選：．2．已知外接圓圓心為，半徑為1，，且，則向量在向量方向的投影為A． B． C． D．【解析】解：由知，為的中點(diǎn)，如圖所示；又為外接圓的圓心，半徑為1，為直徑，且，，；向量在向量方向的投影為．故選：．3．已知的外接圓的圓心為，半徑為2，且，則向量在向量方向上的投影為A．3 B． C． D．【解析】解：的外接圓的圓心為，半徑為2，且，，為平行四邊形．的外接圓的圓心為，半徑為2，得，四邊形是邊長(zhǎng)為2的菱形，且，因此，，向量在方向上的投影為：，故選：．4．已知向量，的夾角為，且，，則向量在方向上的投影等于A． B． C． D．1【解析】解：，，，，解得或（舍去），在方向上的投影等于．故選：．5．已知向量，，且向量滿足，則向量在方向上的投影為A． B． C．2或 D．2或【解析】解：向量，，，可得：，解得，，當(dāng)時(shí)，，向量在方向上的投影為，當(dāng)時(shí)，，向量在方向上的投影為，故選：．6．向量，滿足，，，則在方向上的投影為A． B． C． D．1【解析】解：向量，滿足，，，可得，所以，則在方向上的投影為：．故選：．7．已知向量，向量在方向上的投影為，若，則實(shí)數(shù)的值為A．3 B． C． D．【解析】解：，在方向上的投影為，，，又，，解得．故選：．8．若為單位向量，，則向量在向量方向上的投影為A． B．1 C． D．【解析】解：，，，在方向上的投影為：．故選：．9．已知非零向量，滿足，，在方向上的投影為1，則．【解析】解：設(shè)，的夾角為，則在方向上的投影為，，，，，解得：，，．故答案為：36．10．已知邊長(zhǎng)為的等邊中，則向量在向量方向上的投影為．【解析】解：根據(jù)題意，，在方向上的投影為：．故答案為：．11．已知向量，且，則向量在向量的方向上的投影為．【解析】解：，在的方向上的投影為．故答案為：2．12．若兩單位向量，的夾角為，則向量在方向上的投影為．【解析】解：，，，在方向上的投影為：．故答案為：．13．已知向量，滿足，其中是單位向量，則在方向上的投影為．【解析】解：，，，，在方向上的投影是．故答案為：．題型7垂直問(wèn)題1．已知向量，，且，則A． B．5 C．6 D．7【解析】解：，，且，，解得．故選：．2．已知向量，，，若，，則A．14 B． C．10 D．6【解析】解：向量，，，，可得，解得，，，可得，解得，，則．故選：．3．已知向量，向量，且，則A．6 B．2 C． D．【解析】解：向量，向量，且，，則，故選：．4．已知向量，．若向量與垂直，則A．6 B．3 C．7 D．【解析】解：已知向量，，若向量與垂直，則，求得，故選：．5．設(shè)，，向量且，，則A． B． C． D．10【解析】解：；；；；；；；；．故選：．6．已知兩個(gè)單位向量，的夾角為，，若，則．【解析】解：兩個(gè)單位向量，的夾角為，．，，，，解得，故答案為：．第2講平面向量基本定理及三點(diǎn)共線定理一．選擇題（共4小題）1．如圖所示，已知點(diǎn)是的重心，過(guò)點(diǎn)作直線與，兩邊分別交于，兩點(diǎn)，且，，則的最小值為A．2 B． C． D．【解析】解：根據(jù)條件：，；又；；又，，三點(diǎn)共線；；，；；的最小值為．當(dāng)且僅當(dāng)．故選：．2．如圖所示，已知點(diǎn)是的重心，過(guò)點(diǎn)作直線與，兩邊分別交于，兩點(diǎn)，且，，則的最小值為A．2 B． C． D．【解析】解：，，三點(diǎn)共線，，，點(diǎn)是的重心，，，，解得，；結(jié)合圖象可知，；令，，，；故，，；故，（當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立），故的最小值為；故選：．3．如圖所示，已知點(diǎn)是的重心，過(guò)點(diǎn)作直線分別與，兩邊交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），設(shè)，，則的最小值為A．2 B． C． D．【解析】解：為的重心，又在線段上，故選：．4．已知是三角形的重心，過(guò)的直線分別交直線，于，兩點(diǎn)，，，，都是正數(shù)），的最小值是A．2 B．3 C．1 D．【解析】解：如圖所示，設(shè)是的中點(diǎn)．，，三點(diǎn)共線，存在實(shí)數(shù)使得，，，，都是正數(shù)），，是三角形的重心，．，化為．又，為正數(shù)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．的最小值是．故選：．二．填空題（共5小題）5．如圖，在中，是線段上的一點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)的直線分別交直線，于點(diǎn)，，若，，則的最小值是．【解析】解：若，，，，，三點(diǎn)共線，存在實(shí)數(shù)，使．，，，，，．設(shè)，，則，令得，，或．在上，；在，時(shí)，；時(shí)，取極小值，也是最小值；的最小值為3，即的最小值是3，故答案為：3．6．在中，，分別在，上，且，，交于點(diǎn)，若，則，．【解析】解：如圖：過(guò)點(diǎn)作交于；，，；；；，，．故答案為：，．7．如圖所示，已知點(diǎn)是的重心，過(guò)作直線與、兩邊分別交于、兩點(diǎn)，且，則的值為．【解析】解：根據(jù)題意為三角形的重心，，，，由于與共線，根據(jù)共線向量基本定理知，存在實(shí)數(shù)，使得，即，，消去得，，即．8．已知點(diǎn)為的重心，過(guò)作直線與，兩邊分別交于，兩點(diǎn)，且，，，則的最小值為．【解析】解：，，三點(diǎn)共線，存在，使，又是的重心，，，，，即．，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．故答案為：．9．點(diǎn)是的重心，過(guò)作直線與、兩邊分別交于、兩點(diǎn)，且，．若，則，若，則．【解析】解：根據(jù)條件：，；又；；又，，三點(diǎn)共線；；，；，，又，即，．故答案為：1，2．三．解答題（共3小題）10．已知點(diǎn)為的重心，過(guò)點(diǎn)作直線與、兩邊分別交于、兩點(diǎn)，且，求的值．【解析】解：根據(jù)題意為三角形的重心，，，，由于與共線，根據(jù)共線向量基本定理知，存在實(shí)數(shù)，使得，即，即即兩邊同除以整理得．11．若點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足：．（1）求與的面積之比．（2）若為中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，設(shè)，求，的值．【解析】解（1）由，根據(jù)三點(diǎn)共線的性質(zhì)，，且與不共線，可知、、三點(diǎn)共線．如圖令，，即面積之比為．（2）由，，由、、三點(diǎn)共線及、、三點(diǎn)共線12．在中，（Ⅰ）求與的面積之比（Ⅱ）若為中點(diǎn)，與交于點(diǎn)且，求的值．【解析】解：（Ⅰ）在中，，即點(diǎn)在線段上的靠近的四等分點(diǎn)，與的面積之比為．（Ⅱ），，，設(shè)；三點(diǎn)、、共線，，，．第3講平面向量中的范圍、最值問(wèn)題一．選擇題（共17小題）1．如圖，四邊形是邊長(zhǎng)為1的正方形，，點(diǎn)為內(nèi)（含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，則的最大值等于A． B． C． D．1【解析】解：以為原點(diǎn)，以所在直線為軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，，則，，，，．所以．由于點(diǎn)在內(nèi)（包含邊界），目標(biāo)函數(shù)為，如圖所示，當(dāng)點(diǎn)為點(diǎn)時(shí)，取得最大值，其最大值為，故選：．2．已知，若點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則的最大值等于A．13 B．15 C．19 D．21【解析】解：由題意建立如圖所示的坐標(biāo)系，可得，，，，，，，，，，由基本不等式可得，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，的最大值為13，故選：．3．已知，，，，；若是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則的取值范圍是A．， B．， C．， D．，【解析】解：由題意建立如圖所示的坐標(biāo)系，可得，，，，，，，，，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，，時(shí)，取等號(hào)，由可得，由可得，的最大值為13，最小值為．則的范圍是，．故選：．4．已知，是平面內(nèi)互不相等的兩個(gè)非零向量，且，與的夾角為，則的取值范圍是A．， B．， C．， D．，【解析】解：如圖所示，設(shè)，，則．由于，與的夾角為，可得中，，．由正弦定理可得：的外接圓的半徑．則點(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn)．由圖可令，則．．故選：．5．設(shè)向量，的夾角定義：若平面內(nèi)互不相等的兩個(gè)非零向量，滿足：，與的夾角為，的最大值為A．2 B． C． D．【解析】解：設(shè)，，則，，與的夾角為，中，，，由正弦定理可得：的半徑為1，則點(diǎn)為圓上與不重合的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，由正弦定理可得，，，則，當(dāng)時(shí)，取得最大值，且為．故選：．6．已知平面內(nèi)互不相等的非零向量，滿足，與的夾角為，則的最大值為A．2 B． C． D．【解析】解：如圖所示，設(shè)，．則．，與的夾角為，中，，．由正弦定理可得：的外接圓的半徑．則點(diǎn)為圓上與點(diǎn)重合的動(dòng)點(diǎn)．由圖可令：，．，當(dāng)時(shí)取等號(hào)．的最大值為．故選：．7．已知向量與的夾角為，，，，，在時(shí)取最小值，當(dāng)時(shí)，的取值范圍為A．， B．， C．， D．，【解析】解：由題意得：，，，由二次函數(shù)知，當(dāng)上式取最小值時(shí)，，，，解得．的取值范圍為．故選：．8．已知向量與的夾角為，，，，，在時(shí)取得最小值．當(dāng)時(shí)，夾角的取值范圍為A． B．， C．， D．【解析】解：由題意可得，，，由二次函數(shù)知，當(dāng)上式取最小值時(shí)，，由題意可得，求得，，故選：．9．設(shè)向量、滿足：，，的夾角是，若與的夾角為鈍角，則的取值范圍是A． B． C． D．【解析】解：向量、滿足：，，的夾角是，．若與的夾角為鈍角，則，且與不共線，即，且，即，且．求得，，即，，，故選：．10．在空間直角坐標(biāo)系中，已知，，，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為A． B． C． D．【解析】解：點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，存在實(shí)數(shù)使得，，，，．，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式取得最小值，．故選：．11．已知的面積為1，為直角頂點(diǎn)，設(shè)向量，，，則的最大值為A．1 B．2 C．3 D．4【解析】解：以為原點(diǎn)，所在直線為軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，，則，，，，，的面積為1，即有，則．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值1．故選：．12．已知向量，均為單位問(wèn)量，且．向量與向量的夾角為，則的最大值為A． B．1 C． D．2【解析】解：由，向量，為單位向量，可得，的夾角為．設(shè)，，．由向量，向量，均為單位問(wèn)量，，，．設(shè)，，．向量滿足與的夾角為，．由等邊三角形，點(diǎn)在外且為定值，可得的軌跡是兩段圓弧，是所對(duì)的圓周角．可知：當(dāng)時(shí)是弧所在圓（上述圓弧）的直徑時(shí)，取得最大值，在中，由正弦定理可得：．，取得最大值取得最大值是2．故選：．13．已知平面向量，，，滿足，．若，，則A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值【解析】解：的最大值為故選：．14．已知、是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量滿足，則的最大值是A．1 B．2 C． D．【解析】解：由題意可得，可得，，，即為，，當(dāng)，即，同向時(shí)，的最大值是．故選：．15．已知向量，向量，則的最大值，最小值分別是A．，0 B．4， C．16，0 D．4，0【解析】解：，，，最大值為4，最小值為0．故選：．已知是單位向量，，若向量滿足，則的取值范圍是A． B． C．， D．【解析】解：由是單位向量，且，則可設(shè)，，；向量滿足，，，即，它表示圓心為，半徑為的圓；又，，它表示圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離，如圖所示：且，；即的取值范圍是，．故選：．17．設(shè)，為單位向量，非零向量，，，若，的夾角為，則的最小值為A． B． C．1 D．4【解析】解：，為單位向量，非零向量，，，若，的夾角為，，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，故選：．二．填空題（共7小題）18．在邊長(zhǎng)為2的等邊三角形中，是的中點(diǎn)，為線段上一動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍為．【解析】解：由題意可得和的夾角為，設(shè)，，，，故當(dāng)時(shí)，取得最小值為，當(dāng)時(shí)，取得最大值為3，故的取值范圍為，19．已知向量滿足，與的夾角為，，則的最小值為．【解析】解：由向量，，與的夾角為，可設(shè)，，，，，由，得；化為，所以點(diǎn)在以為圓心，以1為半徑的圓的上；且表示圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離，如圖所示：由圖形知，的最小值為．故答案為：．20．已知平面向量，，滿足與的夾角為銳角，，，，且的最小值為，則實(shí)數(shù)的值是，向量的取值范圍是．【解析】解：（1）設(shè)與的夾角為，則，，當(dāng)，上式有最小值為，的最小值為，的最小值為3，，解得．又，，，此時(shí)．（2）由（1）可知，，與的夾角為，且，，，不妨設(shè)，，，，向量的取值范圍是．故答案為：；．21．已知，，且與的夾角為銳角，則的取值范圍是．【解析】解：，，且與的夾角為銳角，，解得，但當(dāng)，即時(shí)，兩向量同向，應(yīng)舍去，的取值范圍為：且，故答案為：且．22．在中，為中線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若，則的最小值是．【解析】解：以和做平行四邊形．則因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)所以且反向，設(shè)，，其對(duì)稱軸所以當(dāng)時(shí)有最小值故答案為23．設(shè)為單位向量，非零向量，若的夾角為，則的最大值等于．【解析】解：，只考慮，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．則的最大值等于．故答案為：．24．已知，是夾角為的兩個(gè)單位向量，非零向量，，，若，則的最小值為．【解析】解：．，．．當(dāng)時(shí)，取得最小值1．的最小值為1．故答案為：1．三．解答題（共1小題）25．設(shè)兩向量、滿足，，、的夾角為，若向量與向量的夾角為，，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】解：兩向量、滿足，，、的夾角為，不妨設(shè)，，則，，．向量與向量的夾角為，，向量，化為，解得或．實(shí)數(shù)的取值范圍是或．第4講極化恒等式一．選擇題（共3小題）1．已知是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，為平面內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值為A． B． C． D．【解析】解：以中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)，則，，，，所以則的最；所以當(dāng)，時(shí)，取得最小值為，故選：．2．在等腰直角中，，，，（不與，重合）為邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則的取值范圍為A．， B．， C．， D．，【解析】解：以等腰直角的直角邊為坐標(biāo)軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示；則，直線的方程為；設(shè)，則，由，得；，；．，當(dāng)時(shí)，取得最小值，且或1時(shí)，，無(wú)最大值；的取值范圍是，．故選：．3．正邊長(zhǎng)等于，點(diǎn)在其外接圓上運(yùn)動(dòng)，則的取值范圍是A． B． C． D．【解析】解：如圖所示．由正邊長(zhǎng)等于，點(diǎn)在其外接圓上運(yùn)動(dòng)．，．，，．故選：．二．填空題（共7小題）4．已知是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，是平面內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值為．【解析】解：建立平面坐標(biāo)系如圖所示：則，，，設(shè)，，，，，．當(dāng)，時(shí)，取得最小值為．故答案為：．5．如圖，扇形的圓心角為，半徑為1，點(diǎn)是圓弧上的動(dòng)點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于弦的對(duì)稱點(diǎn)，則的取值范圍為，．【解析】解：根據(jù)題意，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸建立坐標(biāo)系，如圖：設(shè)，則的坐標(biāo)為，，，，直線的方程為，設(shè)，由，，解得，，即，，令，由，，，，，，又，在，遞減，可得，取得最大值1，時(shí)，取得最小值，則的范圍是，．故答案為：，．6．在中，，是的中點(diǎn)，若，，在線段上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為．【解析】解：，，故，設(shè)，由余弦定理可得，整理得，解得或（舍去），故有，，由二次函數(shù)的知識(shí)可知當(dāng)時(shí)，取最小值故答案為：7．已知圓的直徑，是該圓上異于、的一點(diǎn)，是圓所在平面上任一點(diǎn)，則的最小值為．【解析】解：如圖所示，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，則．，，化為．．故答案為：．8．在中，，，，若是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則的最大值為．【解析】解：設(shè)為中點(diǎn)，則，由得，，當(dāng)與同向時(shí)最大，最大值為，最大值．故答案為：；9．若點(diǎn)和點(diǎn)分別是雙曲線的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線右支上的任意一點(diǎn)，則的取值范圍為．【解析】解：由題意可得，，故．設(shè)，，則，．，，關(guān)于對(duì)稱，故在，上是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)有最小值為，無(wú)最大值，故的取值范圍為，故答案為：．10．如圖：已知、是單位圓上的兩點(diǎn)，為圓心，且，是圓的一條直徑，點(diǎn)在圓內(nèi)，且滿足，則的取值范圍是，．【解析】解：，即，，，三點(diǎn)共線，，，在線段上，且，則的取值范圍是故答案為：第5講矩形大法一．選擇題（共6小題）1．已知，，，則的取值范圍是A．， B． C． D．【解析】解：如圖所示，設(shè)，，，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)，在圓上，則，，因此，即點(diǎn)在以為直徑的圓上．由于點(diǎn)同時(shí)在圓上，故兩圓有公共點(diǎn)．設(shè)圓的半徑為，則有，由于為的中點(diǎn)，所以，故，解得：，又，故有，．故選：．2．已知向量滿足：，若，的最大值和最小值分別為，，則等于A． B． C． D．【解析】解：由，，即，，設(shè)，則，且，，不妨取，．設(shè)，則，，，由題意，，化簡(jiǎn)得，，即．則點(diǎn)表示圓心在，，半徑為的圓上的點(diǎn)，如圖所示，則的最大值為，最小值為．．故選：．3．在中，，，點(diǎn)滿足，則的最大值為A．9 B．16 C．18 D．25【解析】解：，，，，，當(dāng)與方向相同時(shí)，取得最大值，的最大值為16．故選：．4．已知為單位向量，且，向量滿足，則的取值范圍為A． B． C． D．【解析】解：根據(jù)題意，設(shè)與的夾角為，又由為單位向量，且，即，則，即，則，則有，則有，即，即的取值范圍為，；故選：．5．已知，為單位向量，且，向量滿足，則的范圍為A．， B．， C． D．，【解析】解：由，是單位向量，，可設(shè)，，，由向量滿足，，，即，其圓心，半徑，．故選：．6．已知向量，滿足，，若，則的最小值是A． B． C．1 D．2【解析】解：根據(jù)條件，設(shè)，設(shè)，則：；；的終點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，如圖所示：的最小值為：．故選：．二．填空題（共1小題）7．已知，向量滿足，則的最大值為．【解析】解：設(shè)，，，如圖：的終點(diǎn)的幾何意義是以的終點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，則的最大值為，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，即的最大值為，方法，即，即．故答案為：．第6講五心問(wèn)題（奔馳定理）一．選擇題（共11小題）1．已知的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，為內(nèi)一點(diǎn)，若分別滿足下列四個(gè)條件：①②③④則點(diǎn)分別為的A．外心、內(nèi)心、垂心、重心 B．內(nèi)心、外心、垂心、重心 C．垂心、內(nèi)心、重心、外心 D．內(nèi)心、垂心、外心、重心【解析】解：先考慮直角三角形，可令，，，可得，，，設(shè)，①，即為，，，，，即有，，解得，即有到，軸的距離為1，在角的平分線上，且到的距離也為1，則為的內(nèi)心；③，即為，，，，，可得，，解得，，由，故為的外心；④，可得，，，，，即為，，解得，，由的中點(diǎn)為，，，即分中線比為，故為的重心；考慮等腰三角形，底角為，設(shè)，，，，②，即為，，，，，可得，，解得，，即，由，，即有，故為的垂心．故選：．2．已知，，在所在的平面內(nèi)，且，且，則，，分別是的A．重心外心垂心 B．重心外心內(nèi)心 C．外心重心垂心 D．外心重心內(nèi)心【解析】解：因?yàn)榍遥?到頂點(diǎn)，，的距離相等，所以為的外心．由得，即，所以．同理可證，所以為的垂心．若，則，取的中點(diǎn)，則，所以，所以是的重心．故選：．3．著名數(shù)學(xué)家歐拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半．此直線被稱為三角形的歐拉線，該定理則被稱為歐拉線定理．設(shè)點(diǎn)，分別是的外心、垂心，且為中點(diǎn)，則A． B． C． D．【解析】解：如圖所示的，其中角為直角，則垂心與重合，為的外心，，即為斜邊的中點(diǎn)，又為中點(diǎn)，，為中點(diǎn)，．故選：．4．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線被后人稱之為三角形的歐拉線．已知的頂點(diǎn)，，且，則的歐拉線方程為A． B． C． D．【解析】解：線段的中點(diǎn)為，，線段的垂直平分線為：，即，，三角形的外心、重心、垂心依次位于的垂直平分線上，因此的歐拉線方程為，故選：．5．在四面體中，，，點(diǎn)在面上的射影為點(diǎn)，則點(diǎn)為的A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心【解析】解：作出在底面的射影，連結(jié)，，，，分別為，在平面內(nèi)的射影，，，由三垂線逆定理得：，，為三角形的垂心．故選：．6．若點(diǎn)在平面內(nèi)射影為，且，，則點(diǎn)為的A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心【解析】解：點(diǎn)在平面內(nèi)射影為，連結(jié)，，則，，，，，面，面，．，，面，面，，則為三角形的垂心．故選：．7．設(shè)的角、、的對(duì)邊長(zhǎng)分別為，，，是所在平面上的一點(diǎn)，，則點(diǎn)是的A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心【解析】解：因?yàn)?，所以，，所以，，所以，所以，，所以是的平分線，是的平分線，所以點(diǎn)是的內(nèi)心，故選：．8．已知所在的平面上的動(dòng)點(diǎn)滿足，則直線一定經(jīng)過(guò)的A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心【解析】解：，根據(jù)平行四邊形法則知表示的向量在三角形角的平分線上，而向量與共線，點(diǎn)的軌跡過(guò)的內(nèi)心，故選：．9．在中，，，，則直線通過(guò)的A．垂心 B．外心 C．內(nèi)心 D．重心【解析】解：，，．即設(shè)，，則，．由向量加法的平行四邊形法則可知，四邊形為菱形．為菱形的對(duì)角線，平分．直線通過(guò)的內(nèi)心．故選：．10．已知在四面體中，對(duì)棱相互垂直，則點(diǎn)在平面上的射影為的A．重心 B．外心 C．垂心 D．內(nèi)心【解析】解：作出在底面的射影，連結(jié)，，，，，，分別為，，在平面內(nèi)的射影，，，由三垂線逆定理得：，，，為三角形的垂心．故選．11．已知點(diǎn)在所在平面內(nèi)，且，則點(diǎn)是的A．重心 B．外心 C．垂心 D．內(nèi)心【解析】解：，，即，，同理可得，，是的垂心．故選：．二．填空題（共10小題）12．點(diǎn)在則所在的平面外，點(diǎn)是點(diǎn)在平面內(nèi)的射影，、、兩兩垂直，則點(diǎn)是則的垂心．（填外心，內(nèi)心，垂心，重心）【解析】解：點(diǎn)在則所在的平面外，點(diǎn)是點(diǎn)在平面內(nèi)的射影，、、兩兩垂直，平面，，又底面，，平面，，同理可證，，是的垂心．故答案為：垂心．13．是平面上一定點(diǎn)，中，一動(dòng)點(diǎn)滿足：，，則直線通過(guò)的①②③④（請(qǐng)?jiān)跈M線上填入正確的編號(hào)）①外心②內(nèi)心③重心④垂心．【解析】解：設(shè)中點(diǎn)為，則為中邊上的中線，由向量的運(yùn)算法則可得，可得，可得、、三點(diǎn)共線，又，所以點(diǎn)一定過(guò)的重心、外心、內(nèi)心、垂心，答案為：①②③④．14．已知為三角形所在平面上一點(diǎn)，滿足，則點(diǎn)是的垂心