高考數(shù)學(xué)選填壓軸題型第17講解析幾何與平面向量相結(jié)合問題專題練習(xí)(原卷版+解析)

9/9第17講解析幾何與平面向量相結(jié)合問題一．方法綜述向量具有代數(shù)與幾何形式的雙重身份，平面向量與解析幾何的交匯是新課程高考命中的熱點(diǎn)問題。它們具體結(jié)合體現(xiàn)在夾角、平行、垂直、共線、軌跡等問題的處理，目標(biāo)是將向量語言坐標(biāo)化、符號(hào)化、數(shù)量化，從而將推理轉(zhuǎn)化為運(yùn)算，或者考慮向量運(yùn)算的幾何意義，利用其幾何意義解決有關(guān)問題.

二．解題策略類型一利用向量垂直的充要條件，化解解析幾何中的垂直問題【例1】已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)且斜率為的直線與雙曲線在第二象限的交點(diǎn)為，若，則雙曲線的漸近線方程是（）A． B． C． D．【來源】陜西省西安市長安區(qū)2021屆高三下學(xué)期二模理科數(shù)學(xué)試題【舉一反三】1.（2020南寧模擬）已知雙曲線的右頂點(diǎn)為，拋物線的焦點(diǎn)為．若在的漸近線上存在點(diǎn)，使得，則的離心率的取值范圍是（）A．B．C．D．2.（2020·四川高考模擬（理））已知圓：，：，動(dòng)圓滿足與外切且與內(nèi)切，若為上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為（）A． B． C． D．3．（2020·江西高考模擬（理））過雙曲線的左焦點(diǎn)，作傾斜角為的直線交該雙曲線右支于點(diǎn)，若，且，則雙曲線的離心率為__________．類型二利用向量平行的充要條件，靈活轉(zhuǎn)換解析幾何中的平行或共線問題【例2】若橢圓上的點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離為，過點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，且，則的斜率為A． B． C． D．【來源】江蘇省無錫市八校聯(lián)盟2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期第三次適應(yīng)性檢測數(shù)學(xué)試題【舉一反三】1．（2020·四川高考模擬）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)，直線與拋物線交于點(diǎn)（在第一象限內(nèi))，與其準(zhǔn)線交于點(diǎn)，若，則點(diǎn)到軸距離為（）A． B． C． D．2.（2020南充模擬）已知為雙曲線上不同三點(diǎn)，且滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)），直線的斜率記為，則的最小值為（）A．8B．4C．2D．13．（2020·江西高考模擬（理））雙曲線（，）的左右焦點(diǎn)為，，漸近線分別為，，過點(diǎn)且與垂直的直線分別交及于，兩點(diǎn)，若滿足，則雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．類型三將向量的坐標(biāo)表示和運(yùn)算轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)和曲線的方程【例3】已知過拋物線的焦點(diǎn)的直線與該拋物線相交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，以為直徑的圓與軸相交于，兩點(diǎn)，若，則（）A． B． C． D．【來源】山西省太原市2021屆高三一模數(shù)學(xué)（理）試題【舉一反三】1．（2020·武漢市實(shí)驗(yàn)學(xué)校高考模擬）以橢圓的頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的雙曲線，其左右焦點(diǎn)分別是，已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，雙曲線上的點(diǎn)，滿足，則（）A．2 B．4 C．1 D．2.直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)，，點(diǎn)滿足，其中，且．則點(diǎn)的軌跡方程為（）A． B． C． D．類型四利用向量夾角，化解解析幾何中的角度問題【例4】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，左、右頂點(diǎn)分別為，直線過A點(diǎn)且與x軸垂直，P為直線上的任意一點(diǎn)，若，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【來源】數(shù)學(xué)-學(xué)科網(wǎng)2021年高三5月大聯(lián)考（廣東卷）【舉一反三】1.（2020錦州一模）如圖，橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，為橢圓的頂點(diǎn)，為右焦點(diǎn)，延長與交于點(diǎn)，若為鈍角，則該橢圓的離心率的取值范圍是（）A．B．C．D．2.已知點(diǎn)是雙曲線的左焦點(diǎn)，點(diǎn)是該雙曲線的右頂點(diǎn)，過且垂直于軸的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，若是鈍角三角形，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（）A．B．C．D．類型五利用向量數(shù)量積，求解解析幾何中的數(shù)量關(guān)系問題【例6】如圖，橢圓，圓，橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，過橢圓上一點(diǎn)和原點(diǎn)作直線交圓于兩點(diǎn)，若，則的值為___________．【舉一反三】已知是以為焦點(diǎn)的拋物線上的兩點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限且，以為直徑的圓與準(zhǔn)線的公共點(diǎn)為，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（）A．1 B． C． D．【來源】四川省宜賓市2021屆高三二模（理科）試題三．強(qiáng)化訓(xùn)練一、選擇題1．已知過點(diǎn)的直線與圓相交于、兩點(diǎn)，若，則點(diǎn)的軌跡方程是（）A．B．C．D．2．（2020煙臺(tái)市屆高三高考一模）已知、分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為雙曲線右支上一點(diǎn)且滿足，若直線與雙曲線的另一個(gè)交點(diǎn)為，則的面積為（）A．12 B． C．24 D．3．（2020·河南高考模擬（理）），是雙曲線的左右焦點(diǎn)，若雙曲線上存在點(diǎn)滿足，則雙曲線離心率的取值范圍為（）A． B． C． D．4．（2020·山東高考模擬（理））已知直線過拋物線：的焦點(diǎn)，交于，兩點(diǎn)，交的準(zhǔn)線于點(diǎn)，若，則（）A．3 B．4 C．6 D．85.（2020莆田市高三）已知直線過拋物線：的焦點(diǎn)，交于兩點(diǎn)，交的準(zhǔn)線于點(diǎn).若，且，則（）A． B． C． D．6.已知雙曲線：（，）的左、右焦點(diǎn)分別為、，過點(diǎn)作圓：的切線，切點(diǎn)為，且直線與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)滿足，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則雙曲線的漸近線方程為（）A．B．C．D．7．（2020柳州市高考模擬）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)為、，雙曲線上的點(diǎn)滿足恒成立，則雙曲線的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．8．（2020葫蘆島市高三聯(lián)考）已知，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交雙曲線的右支于，兩點(diǎn)，且．過雙曲線的右頂點(diǎn)作平行于雙曲線的一條漸近線的直線，若直線交線段于點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率()A． B． C． D．9．（2020重慶市南開中學(xué)高三檢測）如圖，拋物線：，圓：，過焦點(diǎn)的直線從上至下依次交，于點(diǎn)，，，.若，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（）A．-2 B．1 C．4 D．10．（2020·遼寧高考模擬（理））已知雙曲線（a＞0，b＞0）的離心率為2，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M（-a，0），N（0，b），點(diǎn)P為線段MN上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取得最小值和最大值時(shí)，△PF1F2的面積分別為S1，S2，則=()A．2B．4C．4D．811．（2020·四川石室中學(xué)高考模擬）已知?jiǎng)又本€與圓相交于，兩點(diǎn)，且滿足，點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，且滿足，若為線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的值為（）A．3 B． C．2 D．-312.（2020桂林高三質(zhì)檢）已知為橢圓上三個(gè)不同的點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則的面積為（）A． B． C． D．13．已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別是，，點(diǎn)是雙曲線右支上異于頂點(diǎn)的點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且滿足，.若，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．【來源】四川省成都市蓉城名校聯(lián)盟2021屆高三第三次聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試題14．已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，左?右頂點(diǎn)分別為點(diǎn)是雙曲線上關(guān)于軸對稱的兩點(diǎn)，且直線經(jīng)過點(diǎn).如果是線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，在軸的正半軸上，且三點(diǎn)共線，三點(diǎn)共線，則雙曲線的離心率為（）A．5 B． C． D．6【來源】河南省安陽市2021屆高三一模數(shù)學(xué)（文）試題15．已知點(diǎn)F為雙曲線的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線l與曲線C的一條漸近線垂直，垂足為N，與C的另一條漸近線的交點(diǎn)為M，若，則雙曲線C的離心率e的值為（）A． B． C．2 D．【來源】貴州省畢節(jié)市2021屆高三三模數(shù)學(xué)（文）試題16．（2020上海市金山區(qū)高三）正方形ABCD的邊長為2，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，動(dòng)點(diǎn)P滿足，若，其中m、nR，則的最大值是________17．（2020·遼寧高考模擬（理））已知圓，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)向圓引兩條切線，其中為切點(diǎn)，則的取值范圍為__________．18．（2020·北京高考模擬（理））如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)O（0，0），M（-4，0），N（4，0），P（0，-2），Q（0，2），H（4，2）．線段OM上的動(dòng)點(diǎn)A滿足；線段HN上的動(dòng)點(diǎn)B滿足．直線PA與直線QB交于點(diǎn)L，設(shè)直線PA的斜率記為k，直線QB的斜率記為k'，則k?k'的值為______；當(dāng)λ變化時(shí)，動(dòng)點(diǎn)L一定在______（填“圓、橢圓、雙曲線、拋物線”之中的一個(gè)）上．19．（2020·江蘇高考模擬）已知點(diǎn)，若分別是和直線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_____.20．（2020·湖南長沙一中高考模擬（理））設(shè)為雙曲線（，）的右焦點(diǎn)，過且斜率為的直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為________.21．（2020·河南高考模擬（理））物線的焦點(diǎn)為，已知點(diǎn)為拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足，過弦的中點(diǎn)作該拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則的最小值為22．已知雙曲線：的左?右焦點(diǎn)分別為，，過作直線與雙曲線的一條漸近線交于點(diǎn)，且，若是等腰三角形，且，則雙曲線的離心率為___________.【來源】湖南省2021屆高三下學(xué)期4月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題23．已知雙曲線，以雙曲線的實(shí)軸和虛軸為對角線的四邊形的面積為，過雙曲線的右焦點(diǎn)作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為，與另一條漸近線交于點(diǎn)，若，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為___________．【來源】文科數(shù)學(xué)-學(xué)科網(wǎng)2021年高三5月大聯(lián)考（新課標(biāo)Ⅲ卷）24．已知拋物線，斜率小于0的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，過點(diǎn)作與軸垂直的直線，交拋物線于點(diǎn)，若點(diǎn)滿足，則直線的斜率的最大值為________．【來源】江西省重點(diǎn)中學(xué)盟校2021屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題25．如圖，已知拋物線：的焦點(diǎn)為，拋物線的準(zhǔn)線與軸相交于點(diǎn)，點(diǎn)（在第一象限）在拋物線上，射線與準(zhǔn)線相交于點(diǎn)，，直線與拋物線交于另一點(diǎn)，則________．【來源】甘肅省金昌市2021屆高三第二次聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試題第17講解析幾何與平面向量相結(jié)合問題第17講解析幾何與平面向量相結(jié)合問題一．方法綜述向量具有代數(shù)與幾何形式的雙重身份，平面向量與解析幾何的交匯是新課程高考命中的熱點(diǎn)問題。它們具體結(jié)合體現(xiàn)在夾角、平行、垂直、共線、軌跡等問題的處理，目標(biāo)是將向量語言坐標(biāo)化、符號(hào)化、數(shù)量化，從而將推理轉(zhuǎn)化為運(yùn)算，或者考慮向量運(yùn)算的幾何意義，利用其幾何意義解決有關(guān)問題.

二．解題策略類型一利用向量垂直的充要條件，化解解析幾何中的垂直問題【例1】已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)且斜率為的直線與雙曲線在第二象限的交點(diǎn)為，若，則雙曲線的漸近線方程是（）A． B． C． D．【來源】陜西省西安市長安區(qū)2021屆高三下學(xué)期二模理科數(shù)學(xué)試題【答案】A【解析】依題意，所以，，設(shè)直線的傾斜角為，則為鈍角，，結(jié)合解得，設(shè)，則，，將點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線方程得，而，所以，化簡得，，，，，所以雙曲線的漸近線方程為.故選：A【舉一反三】1.（2020南寧模擬）已知雙曲線的右頂點(diǎn)為，拋物線的焦點(diǎn)為．若在的漸近線上存在點(diǎn)，使得，則的離心率的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由題意得，，設(shè)，由，得，因?yàn)樵诘臐u近線上存在點(diǎn)，則，即，又因?yàn)闉殡p曲線，則，故選B．【指點(diǎn)迷津】本題主要考查了雙曲線的基本性質(zhì)的應(yīng)用，拋物線基本性質(zhì)的應(yīng)用，向量數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算以及一元二次方程根的判別式的運(yùn)用，屬于中檔題，首先可畫一張草圖，分析其中的幾何關(guān)系，然后將系用代數(shù)形式表示出來，即可得到一個(gè)一元二次方程，若要使得一元二次方程有實(shí)數(shù)解，，水到渠成，即可得到答案，因此將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化成方程是解題的關(guān)鍵．2.（2020·四川高考模擬（理））已知圓：，：，動(dòng)圓滿足與外切且與內(nèi)切，若為上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵圓：，圓：，

動(dòng)圓滿足與外切且與內(nèi)切，設(shè)圓的半徑為，

由題意得∴則的軌跡是以（為焦點(diǎn)，長軸長為16的橢圓，

∴其方程為因?yàn)?，即為圓的切線，要的最小，只要最小，設(shè)，則，選A.3．（2020·江西高考模擬（理））過雙曲線的左焦點(diǎn)，作傾斜角為的直線交該雙曲線右支于點(diǎn)，若，且，則雙曲線的離心率為__________．【答案】【解析】試題分析：因?yàn)椋?，由題意，故，∵，∴為的中點(diǎn)，令右焦點(diǎn)為，則為的中點(diǎn)，則，∵，所以，∴，∵，∴在中，，即，所以離心率．類型二利用向量平行的充要條件，靈活轉(zhuǎn)換解析幾何中的平行或共線問題【例2】若橢圓上的點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離為，過點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，且，則的斜率為A． B． C． D．【來源】江蘇省無錫市八校聯(lián)盟2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期第三次適應(yīng)性檢測數(shù)學(xué)試題【答案】B【解析】解：由題意可得，解得，所以橢圓，設(shè)：,設(shè)因?yàn)?，所以，由得則結(jié)合，聯(lián)立消去解得故選：B.【點(diǎn)睛】在運(yùn)用圓錐曲線問題中的設(shè)而不求方法技巧時(shí)，需要做到：①凡是不必直接計(jì)算就能更簡潔地解決問題的，都盡可能實(shí)施“設(shè)而不求”；②“設(shè)而不求”不可避免地要設(shè)參、消參，而設(shè)參的原則是宜少不宜多.【舉一反三】1．（2020·四川高考模擬）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)，直線與拋物線交于點(diǎn)（在第一象限內(nèi))，與其準(zhǔn)線交于點(diǎn)，若，則點(diǎn)到軸距離為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】過點(diǎn)作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為．根據(jù)三角形相似可得直線的傾斜角為，從而斜率為，進(jìn)而可求得，于是可求得點(diǎn)的縱坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)在曲線上可得其橫坐標(biāo)，即為所求．【詳解】由題意得拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，設(shè)準(zhǔn)線與y軸交于點(diǎn)．過點(diǎn)作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則，∴，∴,∴直線的傾斜角為，∴，解得．又由得，即，∴．設(shè)，則，∴，∴，又點(diǎn)在第一象限，∴，即點(diǎn)到軸距離為．故選B．2.（2020南充模擬）已知為雙曲線上不同三點(diǎn)，且滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)），直線的斜率記為，則的最小值為（）A．8B．4C．2D．1【答案】B【指點(diǎn)迷津】涉及到的知識(shí)點(diǎn)有平面向量共線定理，直線斜率的計(jì)算公式，基本不等式等．首先得出原點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn)，再求出直線PA，PB斜率的表達(dá)式，算出為定值，再由基本不等式求出最小值．3．（2020·江西高考模擬（理））雙曲線（，）的左右焦點(diǎn)為，，漸近線分別為，，過點(diǎn)且與垂直的直線分別交及于，兩點(diǎn)，若滿足，則雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．【答案】C【解析】【詳解】∵（a＞0，b＞0）的左右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，∴F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），雙曲線的兩條漸近線方程為yx，yx，∵過F1的直線分別交雙曲線的兩條漸近線于點(diǎn)P，Q．∵，∴點(diǎn)P是線段F1Q的中點(diǎn)，且PF1⊥OP，∴過F1的直線PQ的斜率kPQ，∴過F1的直線PQ的方程為：y（x+c），解方程組，得P（，），∴|PF1|＝|PQ|＝b，|PO|＝a，|OF1|＝|OF2|＝|OQ|＝c，|QF2|＝2a，∵tan∠QOF2，∴cos∠QOF2，由余弦定理，得cos∠QOF21，即e2﹣e﹣2＝0，解得e＝2，或e＝﹣1（舍）故選C．類型三將向量的坐標(biāo)表示和運(yùn)算轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)和曲線的方程【例3】已知過拋物線的焦點(diǎn)的直線與該拋物線相交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，以為直徑的圓與軸相交于，兩點(diǎn)，若，則（）A． B． C． D．【來源】山西省太原市2021屆高三一模數(shù)學(xué)（理）試題【答案】A【解析】如圖所示：法1：由拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)可得，所以，所以拋物線的方程為：，設(shè)直線的方程為：，設(shè)，，設(shè)A在軸上方，聯(lián)立，整理可得：，可得：①，由，即，可得，代入①可得：，所以，代入拋物線的方程可得：，，即，，所以的中點(diǎn)，所以，即圓的直徑為，所以圓的方程為，令，可得，所以，，所以，所以，法2．由法1可得的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，半徑，所以故選：A．【指點(diǎn)迷津】求軌跡方程是解析幾何中的重要內(nèi)容，是高考命題的熱點(diǎn)和重點(diǎn)．主要考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、邏輯推理能力、分類討論及創(chuàng)新思維，屬于較高的能力考查．求軌跡方程常用的方法有：直接法、定義法、幾何法、相關(guān)點(diǎn)法、參數(shù)法、交軌法、點(diǎn)差法等．本題主要是考查幾何法中的三角形重心的向量表示及重心坐標(biāo)公式，然后根據(jù)相關(guān)點(diǎn)法可以求出點(diǎn)的軌跡方程．【舉一反三】1．（2020·武漢市實(shí)驗(yàn)學(xué)校高考模擬）以橢圓的頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的雙曲線，其左右焦點(diǎn)分別是，已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，雙曲線上的點(diǎn)，滿足，則（）A．2 B．4 C．1 D．【答案】A【解析】作出簡圖如下∵橢圓，

∴其頂點(diǎn)坐標(biāo)為焦點(diǎn)坐標(biāo)為（，

∴雙曲線方程為由，可得在與方向上的投影相等，，∴直線的方程為．即：，

把它與雙曲線聯(lián)立可得，軸，又，所以，即是的內(nèi)切圓的圓心，故選A．2.直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)，，點(diǎn)滿足，其中，且．則點(diǎn)的軌跡方程為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，且λ+μ＝1，得＝，∴，即，則C、A、B三點(diǎn)共線．設(shè)C（x，y），則C在AB所在的直線上，∵A（2，1）、B（4，5），∴AB所在直線方程為，整理得：．故P的軌跡方程為：．故選：A.類型四利用向量夾角，化解解析幾何中的角度問題【例4】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，左、右頂點(diǎn)分別為，直線過A點(diǎn)且與x軸垂直，P為直線上的任意一點(diǎn)，若，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【來源】數(shù)學(xué)-學(xué)科網(wǎng)2021年高三5月大聯(lián)考（廣東卷）【答案】A【解析】由題意可知，，直線的方程為，設(shè)直線，的傾斜角分別為，由橢圓的對稱性，不妨設(shè)點(diǎn)P為第二象限的點(diǎn)，即，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).，，且滿足，則，，∴，則的最大值為，故的最大值是.當(dāng)P為第二或第四象限的點(diǎn)時(shí)，的取值范圍是；當(dāng)P為x軸負(fù)半軸上的點(diǎn)時(shí)，.綜上可知，的取值范圍為，故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查直線與橢圓中的根據(jù)向量間的線性關(guān)系求角的范圍的問題，關(guān)鍵在于設(shè)出橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)，由向量間的線性關(guān)系表示所求的角的三角函數(shù)，再運(yùn)用基本不等式求解范圍.【舉一反三】1.（2020錦州一模）如圖，橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，為橢圓的頂點(diǎn)，為右焦點(diǎn)，延長與交于點(diǎn)，若為鈍角，則該橢圓的離心率的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】如圖所示，為與的夾角，設(shè)橢圓長半軸、短半軸、半焦距分別為，，，向量的夾角為鈍角時(shí)，，又，兩邊除以得，即，解集，又，故選C．2.已知點(diǎn)是雙曲線的左焦點(diǎn)，點(diǎn)是該雙曲線的右頂點(diǎn)，過且垂直于軸的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，若是鈍角三角形，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】D類型五利用向量數(shù)量積，求解解析幾何中的數(shù)量關(guān)系問題【例6】如圖，橢圓，圓，橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，過橢圓上一點(diǎn)和原點(diǎn)作直線交圓于兩點(diǎn)，若，則的值為___________．【答案】【指點(diǎn)迷津】本題主要考查利用余弦定理、平面向量數(shù)量積公式及向量的幾何運(yùn)算、圓的性質(zhì)及橢圓的定義，性質(zhì)，屬于難題．求解與橢圓性質(zhì)有關(guān)的問題時(shí)要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，既使不畫出圖形，思考時(shí)也要聯(lián)想到圖形，當(dāng)涉及頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、實(shí)軸、虛軸、漸近線等雙曲線的基本量時(shí)，要理清它們之間的關(guān)系，挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系；同時(shí)，由于綜合性較強(qiáng)，不能為了追求速度而忽視隱含條件的挖掘．本題解題的關(guān)鍵點(diǎn)是利用向量這一工具將問題轉(zhuǎn)化后再利用橢圓定義及余弦定理解答．【舉一反三】已知是以為焦點(diǎn)的拋物線上的兩點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限且，以為直徑的圓與準(zhǔn)線的公共點(diǎn)為，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（）A．1 B． C． D．【來源】四川省宜賓市2021屆高三二模（理科）試題【答案】D【解析】

根據(jù)拋物線的定義，可得，∴，∴，∴，即直線的傾斜角為60°，∴，與拋物線聯(lián)立方程：解得：設(shè)，因?yàn)闉閳A上的點(diǎn)，故，，∴∴∴∴.故選：D.三．強(qiáng)化訓(xùn)練一、選擇題1．已知過點(diǎn)的直線與圓相交于、兩點(diǎn)，若，則點(diǎn)的軌跡方程是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】設(shè)，，過點(diǎn)的直線為，由得，直線代入得則，即，，所以，故選B2．（2020煙臺(tái)市屆高三高考一模）已知、分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為雙曲線右支上一點(diǎn)且滿足，若直線與雙曲線的另一個(gè)交點(diǎn)為，則的面積為（）A．12 B． C．24 D．【答案】C【解析】設(shè)，，∵、分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，∴，.∵，∴，∴，∴，即，∴，解得，，設(shè)，則，在中可得，解得，∴，∴的面積.故選：C．3．（2020·河南高考模擬（理）），是雙曲線的左右焦點(diǎn)，若雙曲線上存在點(diǎn)滿足，則雙曲線離心率的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題，取點(diǎn)P為右支上的點(diǎn)，設(shè)根據(jù)雙曲線的定義知：在三角形中，由余弦定理可得：又因?yàn)榭傻眉从忠驗(yàn)樗约?．（2020·山東高考模擬（理））已知直線過拋物線：的焦點(diǎn)，交于，兩點(diǎn)，交的準(zhǔn)線于點(diǎn)，若，則（）A．3 B．4 C．6 D．8【答案】B【解析】如下圖所示：不妨設(shè)A在第一象限，由拋物線：可得，準(zhǔn)線因?yàn)椋允堑闹悬c(diǎn)則.所以可得則，所以直線的方程為：聯(lián)立方程整理得：所以，則.選B.5.（2020莆田市高三）已知直線過拋物線：的焦點(diǎn)，交于兩點(diǎn)，交的準(zhǔn)線于點(diǎn).若，且，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】結(jié)合題意，繪制圖形，可知，結(jié)合，可知，所以設(shè)，所以，解得，故設(shè)F的坐標(biāo)為，則A的坐標(biāo)為，代入拋物線方程，得到，解得，故選B.拋物線方程，得到，解得，故選B.6.已知雙曲線：（，）的左、右焦點(diǎn)分別為、，過點(diǎn)作圓：的切線，切點(diǎn)為，且直線與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)滿足，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則雙曲線的漸近線方程為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，故，即，故點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，連接，則為的中位線，且，故，且，故點(diǎn)在雙曲線的右支上，，則在中，由勾股定理可得，，即，解得，故，故雙曲線的漸近線方程為，故選C．7．（2020柳州市高考模擬）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)為、，雙曲線上的點(diǎn)滿足恒成立，則雙曲線的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵是的邊上的中線，∴．∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立．又，，∴，∴，又，∴．故離心率的取值范圍為．故選C．8．（2020葫蘆島市高三聯(lián)考）已知，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交雙曲線的右支于，兩點(diǎn)，且．過雙曲線的右頂點(diǎn)作平行于雙曲線的一條漸近線的直線，若直線交線段于點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率()A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，．因?yàn)椋允蔷€段的中點(diǎn)．又直線過雙曲線的右頂點(diǎn)且平行于雙曲線的一條漸近線，，所以，化簡可得，所以，所以，結(jié)合解得．本題選擇C選項(xiàng).9．（2020重慶市南開中學(xué)高三檢測）如圖，拋物線：，圓：，過焦點(diǎn)的直線從上至下依次交，于點(diǎn)，，，.若，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（）A．-2 B．1 C．4 D．【答案】B【解析】由題可設(shè)A，其中a>0,d＜0.又焦點(diǎn)F(1,0)，所以|FD|=1+，所以|AB|=|FA|-|OB|=，由題得.所以，所以1.故選：B10．（2020·遼寧高考模擬（理））已知雙曲線（a＞0，b＞0）的離心率為2，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M（-a，0），N（0，b），點(diǎn)P為線段MN上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取得最小值和最大值時(shí)，△PF1F2的面積分別為S1，S2，則=()A．2B．4C．4D．8【答案】B【解析】由于雙曲線的離心率為，故.所以直線的方程為，設(shè)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，將坐標(biāo)代入并化簡得，由于，故當(dāng)時(shí)取得最小值，此時(shí)；當(dāng)時(shí)取得最大值，此時(shí).故.所以選B.11．（2020·四川石室中學(xué)高考模擬）已知?jiǎng)又本€與圓相交于，兩點(diǎn)，且滿足，點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，且滿足，若為線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的值為（）A．3 B． C．2 D．-3【答案】A【解析】動(dòng)直線與圓：相交于，兩點(diǎn)，且滿足，則為等邊三角形，于是可設(shè)動(dòng)直線為，根據(jù)題意可得，，∵是線段的中點(diǎn)，∴，設(shè)，∵，∴，∴，解得，∴，∴，故選A．12.（2020桂林高三質(zhì)檢）已知為橢圓上三個(gè)不同的點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則的面積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)直線，與橢圓方程聯(lián)立可得，，設(shè)，則，，代入得,，于是，,故選C.13．已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別是，，點(diǎn)是雙曲線右支上異于頂點(diǎn)的點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且滿足，.若，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．【來源】四川省成都市蓉城名校聯(lián)盟2021屆高三第三次聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試題【答案】C【解析】由，，則點(diǎn)在的角平分線上，由點(diǎn)在直線上，則是的內(nèi)心，由，由奔馳定理（已知P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，則有S△PBC·＋S△PAC·＋S△PAB·＝.）知，,即則，設(shè)，，，則，，則.故選：C14．已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，左?右頂點(diǎn)分別為點(diǎn)是雙曲線上關(guān)于軸對稱的兩點(diǎn)，且直線經(jīng)過點(diǎn).如果是線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，在軸的正半軸上，且三點(diǎn)共線，三點(diǎn)共線，則雙曲線的離心率為（）A．5 B． C． D．6【來源】河南省安陽市2021屆高三一模數(shù)學(xué)（文）試題【答案】A【解析】設(shè)，點(diǎn)是雙曲線上關(guān)于軸對稱的兩點(diǎn)，且直線經(jīng)過點(diǎn)F，可得軸，令可得，解得可設(shè)由是線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，可得，由在軸的正半軸上，可設(shè)，由三點(diǎn)共線，可得，即為①由三點(diǎn)共線，可得，即為，②由①②可得，即為，即，所以.故選：A.15．已知點(diǎn)F為雙曲線的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線l與曲線C的一條漸近線垂直，垂足為N，與C的另一條漸近線的交點(diǎn)為M，若，則雙曲線C的離心率e的值為（）A． B． C．2 D．【來源】貴州省畢節(jié)市2021屆高三三模數(shù)學(xué)（文）試題【答案】A【解析】如圖所示，，，，漸近線，即，焦點(diǎn)F到漸近線ON的距離，則，而，故.中，，中，.由漸近線對稱性可知，故，故，化簡得，所以.故選：A.16．（2020上海市金山區(qū)高三）正方形ABCD的邊長為2，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，動(dòng)點(diǎn)P滿足，若，其中m、nR，則的最大值是________【答案】【解析】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1），D（﹣1，1），P（，），所以（1，sinθ+1），（2，0），（0，2），又，所以，則，其幾何意義為過點(diǎn)E（﹣3，﹣2）與點(diǎn)P（sinθ，cosθ）的直線的斜率，設(shè)直線方程為y+2k（x+3），點(diǎn)P的軌跡方程為x2+y2＝1，由直線與圓的位置關(guān)系有：，解得：，即的最大值是1，故答案為：117．（2020·遼寧高考模擬（理））已知圓，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)向圓引兩條切線，其中為切點(diǎn)，則的取值范圍為__________．【答案】【解析】==因?yàn)閳A心到直線的距離，所以，，，當(dāng)時(shí)取最小值。所以填。18．（2020·北京高考模擬（理））如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)O（0，0），M（-4，0），N（4，0），P（0，-2），Q（0，2），H（4，2）．線段OM上的動(dòng)點(diǎn)A滿足；線段HN上的動(dòng)點(diǎn)B滿足．直線PA與直線QB交于點(diǎn)L，設(shè)直線PA的斜率記為k，直線QB的斜率記為k'，則k?k'的值為______；當(dāng)λ變化時(shí)，動(dòng)點(diǎn)L一定在______（填“圓、橢圓、雙曲線、拋物線”之中的一個(gè)）上．【答案】雙曲線【解析】∵；∴A（-4λ，0），又P（0，-2），∴；∵．∴B（4，2-2λ），∴，∴kk′=，設(shè)L（x，y），則，∴，即．故答案為，雙曲線．19．（2020·江蘇高考模擬）已知點(diǎn)，若分別是和直線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_____.【答案】6【解析】因?yàn)榉謩e是和直線上的動(dòng)點(diǎn)，所以設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)所以所以表示的是圓上一點(diǎn)與直線直線上一點(diǎn)距離的最小值，圓是圓心為(0,0)半徑為2的圓直線一般式：，最小值為：，故答案為620．（2020·湖南長沙一中高考模擬（理））設(shè)為雙曲線（，）的右焦點(diǎn)，過且斜率為的直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為________.【答案】2或【解析】若，則由圖1可知，漸近線的斜率為，，在中，由角平分線