專題06平面直角坐標(biāo)系中的距離公式(原卷版+解析)

專題06平面直角坐標(biāo)系中的距離公式1．兩點間的距離公式類別圖示公式數(shù)軸上兩點間的距離公式|AB|＝|xB－xA|平面內(nèi)兩點間的距離式|AB|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2)2.點到直線的距離公式已知點P(x0，y0)，直線l：Ax＋By＋C＝0，則點P到直線l的距離為d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))．3．兩平行線間的距離公式兩條平行線l1：Ax＋By＋C1＝0，與l2：Ax＋By＋C2＝0之間的距離為d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))．題型一兩點間的距離公式1．已知點A(－3，4)和B(0，b)，且|AB|＝5，則b等于2．已知點A(－2，－1)，B(a,3)，且|AB|＝5，則a的值為________．3．已知點A(2k，－1)，B(k,1)，且|AB|＝eq\r(13)，則實數(shù)k等于4．若x軸上的點P到原點的距離等于到點M(3，－1)的距離，則點P的坐標(biāo)為5．已知點A(－1,2)，B(2，eq\r(7))，在x軸上求一點P，使|PA|＝|PB|，則|PA|的值為．6．已知點A(3,6)，在x軸上的點P與點A的距離等于10，則點P的坐標(biāo)為．7．點P與x軸及點A(－4,2)的距離都是10，則P的坐標(biāo)為________．8．直線l：y＝x被兩條平行直線x＋y－2＝0和x＋y－4＝0所截得的線段的長度為．9．光線從點A(－3,5)射到x軸上，經(jīng)反射后經(jīng)過點B(2,10)，則光線從A到B的距離為10．已知△ABC三頂點坐標(biāo)A(－3,1)、B(3，－3)、C(1,7)，則判斷△ABC的形狀是．11．已知x，y∈R，S＝eq\r(x＋12＋y2)＋eq\r(x－12＋y2)，則S的最小值是________．12．已知A(－3，8)，B(2，2)，在x軸上有一點M，使得|MA|＋|MB|最短，則點M的坐標(biāo)是題型二點到直線的距離1．求點P(3，－2)到下列直線的距離：(1)y＝eq\f(3,4)x＋eq\f(1,4)；(2)y＝6；(3)x＝4.2．求點P(1,2)到下列直線的距離：(1)l1：y＝x－3；(2)l2：y＝－1；(3)y軸．3．若點P(3，a)到直線x＋eq\r(3)y－4＝0的距離為1，則a值為4．已知點M(1,4)到直線l：mx＋y－1＝0的距離等于1，則實數(shù)m等于5．已知點(a,1)到直線x－y＋1＝0的距離為1，則a的值為6．若點(2，k)到直線5x－12y＋6＝0的距離是4，則k的值是________．7．已知點P(a，b)是第二象限的點，那么它到直線x－y＝0的距離是8．已知△ABC的三個頂點坐標(biāo)分別為A(2,6)、B(－4,3)、C(2，－3)，則點A到BC邊的距離為9．已知點A(0,0)，B(1,1)，C(2，－1)，則△ABC的面積為．10．已知點A(－3，－4)，B(6,3)到直線l：ax＋y＋1＝0的距離相等，則實數(shù)a的值等于11．點P(a,0)到直線3x＋4y－6＝0的距離大于3，則實數(shù)a的取值范圍為12．點P(4，a)到直線4x－3y＝1的距離不大于3，則a的取值范圍為13．已知點M(1,2)，點P(x，y)在直線2x＋y－1＝0上，則|MP|的最小值是14．已知定點A(0，1)，點B在直線x＋y＝0上運動，當(dāng)線段AB最短時，點B的坐標(biāo)為________．15．過點P(1,2)且與原點O的距離最大的直線l的方程為16．過點A(2,1)的所有直線中，距離原點最遠(yuǎn)的直線方程為17．點P(2,3)到直線：y＋1＝a(x－10)的距離d最大時，a的值為18．點P(2,3)到直線：ax＋(a－1)y＋3＝0的距離d為最大時，d與a的值依次為、題型三兩條平行直線間的距離1．直線3x－4y－6＝0與3x－4y＋7＝0之間的距離d為________．2．直線2x－y－1＝0與直線6x－3y＋10＝0的距離是____．3．兩直線3x＋4y－2＝0與6x＋8y－5＝0的距離等于4．兩條平行線l1：3x＋4y－2＝0，l2：9x＋12y－10＝0間的距離等于5．已知直線3x＋4y－3＝0與直線6x＋my＋14＝0平行，則它們之間的距離是6．已知直線3x＋my－3＝0與6x＋4y＋1＝0互相平行，則它們之間的距離是7．已知兩直線2x＋3y－3＝0與mx＋6y＋1＝0平行，則它們間的距離等于8．若兩條平行線3x－2y－1＝0和6x＋ay＋c＝0之間的距離為eq\f(2\r(13),13)，則eq\f(c＋2,a)的值為________．9．P，Q分別為直線3x＋4y－12＝0與6x＋8y＋6＝0上任意一點，則|PQ|的最小值為________．10．到直線2x＋y＋1＝0的距離等于eq\f(\r(5),5)的直線方程為11．與直線l1：x－2y－1＝0和l2：x－2y＋13＝0距離相等的直線的方程為．12．已知直線l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0與直線l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，則l1與l2間的距離為__13．兩平行線分別經(jīng)過點A(5,0)，B(0,12)，它們之間的距離d滿足的條件是14．兩平行直線l1，l2分別過點P(－1，3)，Q(2，－1)，它們分別繞P，Q旋轉(zhuǎn)，但始終保持平行，則l1，l2之間的距離的取值范圍是15．已知直線l經(jīng)過點P(－2，5)，且斜率為－eq\f(3,4).(1)求直線l的方程；(2)若直線m與l平行，且點P到直線m的距離為3，求直線m的方程．題型四距離公式的綜合應(yīng)用1．直線l過點A(3，4)，且與點B(－3，2)的距離最大，則l的方程為2．已知直線l過點P(3,4)且與點A(－2,2)，B(4，－2)等距離，則直線l的方程為________________．3．兩條互相平行的直線分別過點A(6，2)和B(－3，－1)，并且各自繞著A，B旋轉(zhuǎn)，如果兩條平行直線間的距離為d.求：(1)d的變化范圍；(2)當(dāng)d取最大值時，兩條直線的方程．4．求過點M(－1,2)，且與點A(2,3)，B(－4,5)距離相等的直線l的方程．5．已知直線l經(jīng)過直線l1：2x＋y－5＝0與l2：x－2y＝0的交點．(1)若點A(5，0)到l的距離為3，求l的方程；(2)求點A(5，0)到l的距離的最大值．6．已知點P(2，－1)，求：(1)過點P且與原點的距離為2的直線方程；(2)過點P且與原點的距離最大的直線方程，并求出最大值；(3)是否存在過點P且與原點的距離為6的直線？若存在，求出該直線的方程；若不存在，請說明理由．7．直線l經(jīng)過A(2,4)，且被平行直線x－y＋1＝0與x－y－1＝0所截得的線段的中點在直線x＋y－3＝0上，求直線l的方程．專題06平面直角坐標(biāo)系中的距離公式1．兩點間的距離公式類別圖示公式數(shù)軸上兩點間的距離公式|AB|＝|xB－xA|平面內(nèi)兩點間的距離式|AB|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2)2.點到直線的距離公式已知點P(x0，y0)，直線l：Ax＋By＋C＝0，則點P到直線l的距離為d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))．3．兩平行線間的距離公式兩條平行線l1：Ax＋By＋C1＝0，與l2：Ax＋By＋C2＝0之間的距離為d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))．題型一兩點間的距離公式1．已知點A(－3，4)和B(0，b)，且|AB|＝5，則b等于解析：因為|AB|＝5.得eq\r(（－3－0）2＋（4－b）2)＝5.整理得(4－b)2＝16，所以4－b＝±4，所以b＝0或b＝8.2．已知點A(－2，－1)，B(a,3)，且|AB|＝5，則a的值為________．解析：由題意得eq\r(a＋22＋3＋12)＝5，解得a＝1或a＝－5.3．已知點A(2k，－1)，B(k,1)，且|AB|＝eq\r(13)，則實數(shù)k等于解析：|AB|＝eq\r(2k－k2＋－1－12)＝eq\r(13)，即k2＋4＝13，所以k＝±3.4．若x軸上的點P到原點的距離等于到點M(3，－1)的距離，則點P的坐標(biāo)為解析：設(shè)P(x，0)，則|PO|＝|PM|，即eq\r(x2)＝eq\r(（x－3）2＋（0＋1）2)，整理得x2＝x2－6x＋9＋1，解得x＝eq\f(5,3)，故Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，0)).5．已知點A(－1,2)，B(2，eq\r(7))，在x軸上求一點P，使|PA|＝|PB|，則|PA|的值為．解析：設(shè)所求點P(x,0)，于是由|PA|＝|PB|得eq\r(x＋12＋0－22)＝eq\r(x－22＋0－\r(7)2)，即x2＋2x＋5＝x2－4x＋11，解得x＝1.所以，所求P點坐標(biāo)為(1,0)，|PA|＝eq\r(1＋12＋0－22)＝2eq\r(2).6．已知點A(3,6)，在x軸上的點P與點A的距離等于10，則點P的坐標(biāo)為．解析：設(shè)點P的坐標(biāo)為(x,0)，由|PA|＝10，得eq\r(x－32＋0－62)＝10，解得：x＝11或x＝－5.所以點P的坐標(biāo)為(－5,0)或(11,0).7．點P與x軸及點A(－4,2)的距離都是10，則P的坐標(biāo)為________．解析：(2,10)或(－10,10)[設(shè)P(x，y)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|y|＝10，,x＋42＋y－22＝100.))當(dāng)y＝10時，x＝2或－10；當(dāng)y＝－10時，無解．則P(2,10)或P(－10,10)．8．直線l：y＝x被兩條平行直線x＋y－2＝0和x＋y－4＝0所截得的線段的長度為．解析：先求兩直線的交點，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x，,x＋y－2＝0))解得交點為(1,1)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x，,x＋y－4＝0))解得交點為(2,2)．∴所求線段的長度為d＝eq\r(2－12＋2－12)＝eq\r(2).9．光線從點A(－3,5)射到x軸上，經(jīng)反射后經(jīng)過點B(2,10)，則光線從A到B的距離為解析：點A關(guān)于x軸的對稱點為A′(－3，－5)，則光線從A到B的距離為|A′B|＝5eq\r(10).10．已知△ABC三頂點坐標(biāo)A(－3,1)、B(3，－3)、C(1,7)，則判斷△ABC的形狀是．解析：解法一：∵|AB|＝eq\r(3＋32＋－3－12)＝2eq\r(13)，|AC|＝eq\r(1＋32＋7－12)＝2eq\r(13)，又|BC|＝eq\r(1－32＋7＋32)＝2eq\r(26)，∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|，∴△ABC是等腰直角三角形．解法二：∵kAC＝eq\f(7－1,1－－3)＝eq\f(3,2)，kAB＝eq\f(－3－1,3－－3)＝－eq\f(2,3)，則kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB.又|AC|＝eq\r(1＋32＋7－12)＝2eq\r(13)，|AB|＝eq\r(3＋32＋－3－12)＝2eq\r(13)，∴|AC|＝|AB|.∴△ABC是等腰直角三角形．11．已知x，y∈R，S＝eq\r(x＋12＋y2)＋eq\r(x－12＋y2)，則S的最小值是________．解析：S＝eq\r(x＋12＋y2)＋eq\r(x－12＋y2)可以看作是點(x，y)到點(－1,0)與點(1,0)的距離之和，數(shù)形結(jié)合易知最小值為2.12．已知A(－3，8)，B(2，2)，在x軸上有一點M，使得|MA|＋|MB|最短，則點M的坐標(biāo)是解析：A(－3，8)關(guān)于x軸對稱的點A′(－3，－8)，A′B與x軸的交點，就是|MA|＋|MB|最短的M點，直線A′B的方程為eq\f(y＋8,2＋8)＝eq\f(x＋3,2＋3)，當(dāng)y＝0時，得x＝1，即此時M的坐標(biāo)為(1，0)．題型二點到直線的距離1．求點P(3，－2)到下列直線的距離：(1)y＝eq\f(3,4)x＋eq\f(1,4)；(2)y＝6；(3)x＝4.解析：(1)直線y＝eq\f(3,4)x＋eq\f(1,4)化為一般式為3x－4y＋1＝0，由點到直線的距離公式可得d＝eq\f(|3×3－4×－2＋1|,\r(32＋－42))＝eq\f(18,5).(2)因為直線y＝6與y軸垂直，所以點P到它的距離d＝|－2－6|＝8.(3)因為直線x＝4與x軸垂直，所以點P到它的距離d＝|3－4|＝1.2．求點P(1,2)到下列直線的距離：(1)l1：y＝x－3；(2)l2：y＝－1；(3)y軸．解析：(1)將直線方程化為一般式為x－y－3＝0.由點到直線的距離公式，得d＝eq\f(|1－2－3|,\r(1＋－12))＝2eq\r(2).(2)法一：直線方程化為一般式為y＋1＝0，由點到直線的距離公式，得d＝eq\f(|2＋1|,\r(02＋12))＝3.法二：∵y＝－1平行于x軸，由圖知，d＝|2－(－1)|＝3.(3)法一：y軸的方程為x＝0，由點到直線的距離公式，得d＝eq\f(|1＋0＋0|,\r(12＋02))＝1.法二：由圖可知，d＝|1－0|＝1.3．若點P(3，a)到直線x＋eq\r(3)y－4＝0的距離為1，則a值為解析：由點到直線的距離公式可得，1＝eq\f(|3×1＋a×\r(3)－4|,\r(12＋（\r(3)）2))，解得a＝eq\r(3)或－eq\f(\r(3),3).4．已知點M(1,4)到直線l：mx＋y－1＝0的距離等于1，則實數(shù)m等于解析：依題意，d＝eq\f(|m＋4－1|,\r(m2＋1))＝eq\f(|m＋3|,\r(m2＋1))＝1，解得m＝－eq\f(4,3)5．已知點(a,1)到直線x－y＋1＝0的距離為1，則a的值為解析：由題意知eq\f(|a－1＋1|,\r(12＋12))＝1，即|a|＝eq\r(2)，∴a＝±eq\r(2).6．若點(2，k)到直線5x－12y＋6＝0的距離是4，則k的值是________．解析：－3或eq\f(17,3)[∵eq\f(|5×2－12k＋6|,\r(52＋122))＝4，∴|16－12k|＝52，∴k＝－3或k＝eq\f(17,3).7．已知點P(a，b)是第二象限的點，那么它到直線x－y＝0的距離是解析：∵P(a，b)是第二象限點，∴a<0，b>0.∴a－b<0．∴點P到直線x－y＝0的距離d＝eq\f(|a－b|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)(b－a)．8．已知△ABC的三個頂點坐標(biāo)分別為A(2,6)、B(－4,3)、C(2，－3)，則點A到BC邊的距離為解析：BC邊所在直線的方程為eq\f(y－3,－3－3)＝eq\f(x＋4,2＋4)，即x＋y＋1＝0；則d＝eq\f(|2×1＋6×1＋1|,\r(2))＝eq\f(9\r(2),2).9．已知點A(0,0)，B(1,1)，C(2，－1)，則△ABC的面積為．解析：直線AB的方程為x－y＝0，點C到AB的距離d＝eq\f(|2－－1|,\r(12＋－12))＝eq\f(3\r(2),2)，|AB|＝eq\r(1－02＋1－02)＝eq\r(2)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)|AB|d＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\f(3\r(2),2)＝eq\f(3,2).10．已知點A(－3，－4)，B(6,3)到直線l：ax＋y＋1＝0的距離相等，則實數(shù)a的值等于解析：由點到直線的距離公式可得eq\f(|－3a－4＋1|,\r(a2＋1))＝eq\f(|6a＋3＋1|,\r(a2＋1))，化簡得|3a＋3|＝|6a＋4|，解得實數(shù)a＝－eq\f(7,9)或－eq\f(1,3).11．點P(a,0)到直線3x＋4y－6＝0的距離大于3，則實數(shù)a的取值范圍為解析：根據(jù)題意，得eq\f(|3a－6|,\r(32＋42))>3，解得a>7或a<－3.12．點P(4，a)到直線4x－3y＝1的距離不大于3，則a的取值范圍為解析：點P(4，a)到直線4x－3y＝1的距離不大于3，則eq\f(|16－3a－1|,\r(42＋（－3）2))≤3.解得0≤a≤10.13．已知點M(1,2)，點P(x，y)在直線2x＋y－1＝0上，則|MP|的最小值是解析：點M到直線2x＋y－1＝0的距離，即為|MP|的最小值，所以|MP|的最小值為eq\f(|2＋2－1|,\r(22＋12))＝eq\f(3\r(5),5).14．已知定點A(0，1)，點B在直線x＋y＝0上運動，當(dāng)線段AB最短時，點B的坐標(biāo)為________．解析：設(shè)B點的坐標(biāo)為(x，y)，|AB|2＝x2＋(y－1)2，又y＝－x,則|AB|2＝x2＋(x＋1)2＝2x2＋2x＋1＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,2).當(dāng)x＝－eq\f(1,2)時，即在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))處|AB|取最小值．即點B的坐標(biāo)為(－eq\f(1,2)，eq\f(1,2))．15．過點P(1,2)且與原點O的距離最大的直線l的方程為解析：根據(jù)平面幾何知識得所求直線與OP垂直，因為直線OP的斜率為k＝eq\f(2－0,1－0)＝2，所以所求直線的斜率為k′＝－eq\f(1,2)，所以所求直線為y－2＝－eq\f(1,2)(x－1)，即x＋2y－5＝0.16．過點A(2,1)的所有直線中，距離原點最遠(yuǎn)的直線方程為解析：如圖所示，只有當(dāng)直線l與OA垂直時，原點到l的距離最大，此時kOA＝eq\f(1,2)，∴kl＝－2，∴方程為y－1＝－2(x－2)，即2x＋y－5＝0．17．點P(2,3)到直線：y＋1＝a(x－10)的距離d最大時，a的值為解析：直線y＋1＝a(x－10)恒過點(10，－1)，當(dāng)(10，－1)和P(2,3)兩點連線與y＋1＝a(x－10)垂直時d最大，所以a·eq\f(3－－1,2－10)＝－1，解得a＝2.18．點P(2,3)到直線：ax＋(a－1)y＋3＝0的距離d為最大時，d與a的值依次為、解析：直線恒過點A(－3,3)，根據(jù)已知條件可知當(dāng)直線ax＋(a－1)y＋3＝0與AP垂直時，距離最大，最大值為5，此時a＝1.題型三兩條平行直線間的距離1．直線3x－4y－6＝0與3x－4y＋7＝0之間的距離d為________．解析：d＝eq\f(|－6－7|,\r(32＋（－4）2))＝eq\f(13,5).2．直線2x－y－1＝0與直線6x－3y＋10＝0的距離是____．解析：方法一：在方程2x－y－1＝0中令x＝0，則y＝－1，即(0，－1)為直線上的一點．由點到直線的距離公式，得所求距離為eq\f(|6×0－3×－1＋10|,\r(62＋32))＝eq\f(13\r(5),15)．方法二：直線2x－y－1＝0可化為6x－3y－3＝0，則所求距離為eq\f(|－3－10|,\r(62＋32))＝eq\f(13,3\r(5))＝eq\f(13\r(5),15)．3．兩直線3x＋4y－2＝0與6x＋8y－5＝0的距離等于解析：在3x＋4y－2＝0上取一點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，其到6x＋8y－5＝0的距離即為兩平行線間的距離，d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(0＋8×\f(1,2)－5)),\r(62＋82))＝eq\f(1,10).4．兩條平行線l1：3x＋4y－2＝0，l2：9x＋12y－10＝0間的距離等于解析：l1的方程可化為9x＋12y－6＝0，由平行線間的距離公式得d＝eq\f(|－6＋10|,\r(92＋122))＝eq\f(4,15).5．已知直線3x＋4y－3＝0與直線6x＋my＋14＝0平行，則它們之間的距離是解析：∵eq\f(6,3)＝eq\f(m,4)≠eq\f(14,－3)，∴m＝8，直線6x＋my＋14＝0可化為3x＋4y＋7＝0，兩平行線之間的距離d＝eq\f(|－3－7|,\r(32＋42))＝2.6．已知直線3x＋my－3＝0與6x＋4y＋1＝0互相平行，則它們之間的距離是解析：∵直線3x＋my－3＝0與6x＋4y＋1＝0互相平行，∴m＝2，∴直線3x＋my－3＝0可化為6x＋4y－6＝0，∴兩平行直線之間的距離d＝eq\f(7,\r(36＋16))＝eq\f(7\r(13),26).7．已知兩直線2x＋3y－3＝0與mx＋6y＋1＝0平行，則它們間的距離等于解析：∵直線2x＋3y－3＝0的斜率k1＝－eq\f(2,3)，直線mx＋6y＋1＝0的斜率k2＝－eq\f(m,6)，∴－eq\f(2,3)＝－eq\f(m,6)，得m＝4．∴它們間的距離d＝eq\f(|－6－1|,\r(42＋62))＝eq\f(7\r(13),26)．8．若兩條平行線3x－2y－1＝0和6x＋ay＋c＝0之間的距離為eq\f(2\r(13),13)，則eq\f(c＋2,a)的值為________．解析：∵兩直線3x－2y－1＝0和6x＋ay＋c＝0平行，∴eq\f(3,6)＝eq\f(－2,a)≠eq\f(－1,c)，∴a＝－4，c≠－2.由兩平行線間的距離公式得eq\f(|c＋2|,\r(62＋－42))＝eq\f(2\r(13),13)，∴|c＋2|＝4.∴eq\f(c＋2,a)＝eq\f(±4,－4)＝±1.9．P，Q分別為直線3x＋4y－12＝0與6x＋8y＋6＝0上任意一點，則|PQ|的最小值為________．解析：直線6x＋8y＋6＝0可變?yōu)?x＋4y＋3＝0，由此可知兩條直線平行，它們的距離d＝eq\f(|－12－3|,\r(32＋42))＝3，|PQ|最小值為d＝3.10．到直線2x＋y＋1＝0的距離等于eq\f(\r(5),5)的直線方程為解析：根據(jù)題意可設(shè)所求直線方程為2x＋y＋c＝0，因為兩直線間的距離等于eq\f(\r(5),5)，所以d＝eq\f(|c－1|,\r(22＋12))＝eq\f(\r(5),5)，解得c＝0或c＝2，故所求直線方程為2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0.11．與直線l1：x－2y－1＝0和l2：x－2y＋13＝0距離相等的直線的方程為．解析：依題意設(shè)所求直線方程為x－2y＋C＝0，則有eq\f(|－1－C|,\r(12＋（－2）2))＝eq\f(|13－C|,\r(12＋（－2）2))，即|－1－C|＝|13－C|，解得C＝6，故所求直線方程為x－2y＋6＝0.12．已知直線l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0與直線l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，則l1與l2間的距離為__解析：∵l1∥l2，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k－3×－2－2k－34－k＝0，,－2×1－4－k×3≠0))解得k＝3或k＝5.當(dāng)k＝3時，l1：y＝－1，l2：y＝eq\f(3,2)，此時l1與l2間的距離為eq\f(5,2)；當(dāng)k＝5時，l1：2x－y＋1＝0，l2：4x－2y＋3＝0，此時l1與l2間的距離為eq\f(|3－2|,\r(42＋－22))＝eq\f(\r(5),10).13．兩平行線分別經(jīng)過點A(5,0)，B(0,12)，它們之間的距離d滿足的條件是解析：當(dāng)兩平行線與AB垂直時，兩平行線間的距離最大，為|AB|＝13，所以0<d≤13.14．兩平行直線l1，l2分別過點P(－1，3)，Q(2，－1)，它們分別繞P，Q旋轉(zhuǎn)，但始終保持平行，則l1，l2之間的距離的取值范圍是解析：設(shè)直線l1，l2之間的距離為d，當(dāng)兩直線重合時，距離最小d＝0，但兩直線平行，故d>0.當(dāng)l1和l2與PQ垂直時，兩直線距離d最大，d＝|PQ|＝eq\r(（－1－2）2＋（3＋1）2)＝5，所以0<d≤5.15．已知直線l經(jīng)過點P(－2，5)，且斜率為－eq\f(3,4).(1)求直線l的方程；(2)若直線m與l平行，且點P到直線m的距離為3，求直線m的方程．解析：(1)由點斜式方程得，y－5＝－eq\f(3,4)(x＋2)，所以l的方程為3x＋4y－14＝0.(2)設(shè)m的方程為3x＋4y＋C＝0，則由平行直線間的距離公式得，eq\f(|C＋14|,5)＝3，得C＝1或－29.所以直線m的方程為3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0.題型四距離公式的綜合應(yīng)用1．直線l過點A(3，4)，且與點B(－3，2)的距離最大，則l的方程為解析：當(dāng)l⊥AB時符合要求，因為kAB＝eq\f(4－2,3－（－3）)＝eq\f(1,3)，所以l的斜率為－3，又過A(3，4)，故l的方程為3x＋y－13＝0.2．已知直線l過點P(3,4)且與點A(－2,2)，B(4，－2)等距離，則直線l的方程為________________．解析：過點P(3,4)且斜率不存在時的直線x＝3與A、B兩點的距離不相等，故可設(shè)所求直線方程為y－4＝k(x－3)，即kx－y＋4－3k＝0，由已知得eq\f(|－2k－2＋4－3k|,\r(1＋k2))＝eq\f(|4k＋2＋4－3k|,\r(1＋k2))，∴k＝2或k＝－eq\f(2,3)，∴所求直線l的方程為2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0.3．兩條互相平行的直線分別過點A(6，2)和B(－3，－1)，并且各自繞著A，B旋轉(zhuǎn)，如果兩條平行直線間的距離為d.求：(1)d的變化范圍；(2)當(dāng)d取最大值時，兩條直線的方程．解析：(1)如圖，顯然有0<d≤|AB|.而|AB|＝eq\r(（6＋3）2＋（2＋1）2)＝3eq\r(10).故所求的d的變化范圍為(0，3eq\r(10)]．(2)由圖可知，當(dāng)d取最大值時，兩直線與AB垂直．而kAB＝eq\f(2－（－1）,6－（－3）)＝eq\f(1,3)，所以所求直線的斜率為－3.故所求的直線方程分別為y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)，即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.4．求過點M(－1,2)，且與點A(2,3)，B(－4,5)距離相等的直線l的方程．解析：解法一：當(dāng)過點M(－1,2)的直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x＝－1，恰好與A(2,3)，B(－4,5)兩點距離相等，故x＝－1滿足題意，當(dāng)過點M(－1,2)的直線l的斜率存在時，設(shè)l的方程為y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.由點A(2,3)與B(－4,5)到直線l的距離相等，得eq\f(|2k－3＋k＋2|,\r(k2＋1))＝eq\f(|－4k－5＋k＋2|,\r(k2＋1))，解得k＝－eq\f(1,3)，此時l的方程為y－2＝－eq\f(1,3)(x＋1)，即x＋3y－5＝0.綜上所述直線l的方程為x＝－1或x＋3y－5＝0.解法二：由題意得l∥AB或l過AB的中點，當(dāng)l∥AB時，設(shè)直線AB的斜率為kAB，直線l的斜率為kl，則kAB＝kl＝eq\f(5－3,－4－2)＝－eq\f(1,3)，此時直線l的方程為y－2＝－eq\f(1,3)(x＋1)，即x＋3y－5＝0.當(dāng)l過AB的中點(－1,4)時，直線l的方程為x＝－1.綜上所述，直線l的方程為x＝－1或x＋3y－5＝0.5．已知直線l經(jīng)過直線l1：2x＋y－5＝0與l2：x－2y＝0的交點．(1)若點A(5，0)到l的距離為3，求l的方程；(2)求點A(5，0)到l的距離的最大值．解析：(1)