專題03立體幾何中的動點問題和最值問題(原卷版+解析)

1/3專題03立體幾何中的動點和最值問題題型一立體幾何中的動點問題1．如圖，在棱長為2的正方體中，為棱的中點，下列說法正確的是A．直線直線 B．過點的的平面，則平面截正方體所得的截面周長為 C．若線段上有一動點，則到直線的距離的最小值為 D．動點在側(cè)面及其邊界上運動，且，則與平面成角正切的取值范圍是2．如圖，在正方體中，是棱上的動點，下列說法正確的是A．對任意動點，在平面內(nèi)不存在與平面平行的直線 B．對任意動點，在平面內(nèi)存在與平面垂直的直線 C．當(dāng)點從運動到的過程中，二面角的大小不變 D．當(dāng)點從運動到的過程中，點到平面的距離逐漸變大3．如圖，正方體的棱長為1，線段上有兩個動點，，且，則下列結(jié)論中正確的有A．當(dāng)點運動時，總成立 B．當(dāng)向運動時，二面角逐漸變小 C．二面角的最小值為 D．三棱錐的體積為定值4．如圖，在棱長為6的正方體中，為棱上一點，且，為棱的中點，點是線段上的動點，則A．無論點在線段上如何移動，都有異面直線，的夾角為 B．三棱錐的體積為108 C．直線與所成角的余弦值 D．直線與平面所成最大角的余弦值為5．在棱長為1的正方體中，是線段上一個動點，則下列結(jié)論正確的有A．存在點使得異面直線與所成角為 B．存在點使得異面直線與所成角為 C．存在點使得二面角的平面角為 D．當(dāng)時，平面截正方體所得的截面面積為6．已知正方體的棱長為4，是棱上的一條線段，且，點是棱的中點，點是棱上的動點，則下面結(jié)論中正確的是A．與一定不垂直 B．二面角的正弦值是 C．的面積是 D．點到平面的距離是常量7．在長方體中，，點為棱上靠近點的三等分點，點是長方形內(nèi)一動點（含邊界），且直線，與平面所成角的大小相等，則A．平面 B．三棱錐的體積為4 C．存在點，使得 D．線段的長度的取值范圍為，8．已知正方體棱長為2，如圖，為上的動點，平面．下面說法正確的是A．直線與平面所成角的正弦值范圍為 B．點與點重合時，平面截正方體所得的截面，其面積越大，周長就越大 C．點為的中點時，若平面經(jīng)過點，則平面截正方體所得截面圖形是等腰梯形 D．已知為中點，當(dāng)?shù)暮妥钚r，為的中點9．如圖，在正四棱柱中，，，是側(cè)面內(nèi)的動點，且，記與平面所成的角為，則的最大值為A． B． C．2 D．10．在正三棱柱中，，點滿足，其中，，，，則A．當(dāng)時，△的周長為定值 B．當(dāng)時，三棱錐的體積為定值 C．當(dāng)時，有且僅有一個點，使得 D．當(dāng)時，有且僅有一個點，使得平面11．如圖，已知四邊形為直角梯形，為矩形，平面平面，，，，．（1）若點為中點，求證：平面；（2）若點為線段上一動點，求與平面所成角的取值范圍．12．如圖，在棱長為2的正方體中，，分別是棱，上的動點，且．（1）求證：；（2）當(dāng)取得最大值時，求二面角的余弦值．題型二立體幾何中的最值問題13．在四面體中，是邊長為2的正三角形，，二面角的大小為，則下列說法正確的是A． B．四面體的體積的最大值為 C．棱的長的最小值為 D．四面體的外接球的表面積為14．已知長方體的高，，，，則當(dāng)最大時，二面角的余弦值為A． B． C． D．15．如圖，在棱長為4的正方體中，是棱上的動點，是棱的中點．當(dāng)平面與底面所成的銳二面角最小時，．16．四棱錐的底面是邊長為的菱形，面，，，分別是，的中點．（1）求證：平面平面；（2）是上的動點，與平面所成的最大角為，求二面角的余弦值．17．如圖，在直三棱柱中，底面三角形為直角三角形，其中，，，，，分別為和的中點．（1）求證：平面；（2）當(dāng)點在線段上移動時，求直線與平面所成角正弦的最大值．18．如圖，矩形所在的平面與半圓弧所在的平面垂直，，，是上異于，的動點．（1）證明：平面平面；（2）設(shè)和平面所成角為，求的最大值．19．已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，，分別為和的中點，為棱上的點，．（1）證明：；（2）當(dāng)為何值時，面與面所成的二面角的正弦值最??？20．如圖，邊長為2的正方形所在的平面與半圓弧所在平面垂直，是上異于，的點．（1）證明：平面平面；（2）當(dāng)三棱錐體積最大時，求面與面所成二面角的正弦值．21．如圖，在四棱錐中，四邊形為矩形，平面，，與平面所成角為，為上一點且．（1）證明：；（2）設(shè)平面與平面的交線為，在上取點使，為線段上一動點，求平面與平面所成二面角的余弦值的最大值．22．如圖，四邊形為直角梯形，其中，，，為腰上的一個動點．為等腰直角三角形，，平面平面．（1）求證：；（2）當(dāng)直線與平面所成角最大時，求平面與平面所成銳二面角的余弦值．1/31專題03立體幾何中的動點和最值問題題型一立體幾何中的動點問題1．如圖，在棱長為2的正方體中，為棱的中點，下列說法正確的是A．直線直線 B．過點的的平面，則平面截正方體所得的截面周長為 C．若線段上有一動點，則到直線的距離的最小值為 D．動點在側(cè)面及其邊界上運動，且，則與平面成角正切的取值范圍是【解答】解：對于，，，，、平面，平面，平面，直線與直線不垂直，故錯誤；對于，如圖1，取，的中點、，連接、、．因為，，由三垂線定理得，，所以平面，所以截正方體所得的截面為，故周長為，故錯誤；對于，如圖過構(gòu)造平面與平行，即到直線的距離的最小值，，故正確；對于，如圖3，取的中點，因為，，所以平面，故點軌跡為．在正方形中，當(dāng)與重合時，最大，當(dāng)時，最?。砸驗槠矫?，所以為與平面所成角，則與平面成角正切的取值范圍是，故正確．故選：．2．如圖，在正方體中，是棱上的動點，下列說法正確的是A．對任意動點，在平面內(nèi)不存在與平面平行的直線 B．對任意動點，在平面內(nèi)存在與平面垂直的直線 C．當(dāng)點從運動到的過程中，二面角的大小不變 D．當(dāng)點從運動到的過程中，點到平面的距離逐漸變大【解答】解：對任意動點，在平面內(nèi)只要與平行的直線，即可與平面平行，所以不正確；對任意動點，在平面內(nèi)存在與平面垂直的直線，不正確；因為二面角的大小不變是銳角，所以不正確；當(dāng)點從運動到的過程中，二面角的大小不變，由二面角的定義可知，命題是真命題，正確；當(dāng)點從運動到的過程中，點到平面的距離逐漸變大，不正確；因為是定值，三角形的面積是定值，所以點到平面的距離不變，所以不正確；故選：．3．如圖，正方體的棱長為1，線段上有兩個動點，，且，則下列結(jié)論中正確的有A．當(dāng)點運動時，總成立 B．當(dāng)向運動時，二面角逐漸變小 C．二面角的最小值為 D．三棱錐的體積為定值【解答】解：對于，易證平面，所以，同理可證，從而平面，所以恒成立，正確；對于，平面即平面，而平面即平面，所以當(dāng)向運動時，二面角的大小不變，錯誤；對于，當(dāng)點從的中點向點運動時，平面逐漸向底面靠攏，這個過程中，二面角越來越小，所以二面角的最小值為，正確；對于，因為，點到平面的距離為，所以體積為，即體積為定值，正確．故選：．4．如圖，在棱長為6的正方體中，為棱上一點，且，為棱的中點，點是線段上的動點，則A．無論點在線段上如何移動，都有異面直線，的夾角為 B．三棱錐的體積為108 C．直線與所成角的余弦值 D．直線與平面所成最大角的余弦值為【解答】解：在正方體中，易證面，又平面，所以，所以異面直線，的夾角為，則正確；，則錯誤；在棱上取點，使，連結(jié)，，（如圖），則易知為直線與所成角或其補角，可得，，，則，則直線與所成角的余弦值為，則正確；由題意知三棱錐為棱長為的正四面體，作平面，為垂足，則為正的中心，且為直線與平面所成角，所以，當(dāng)點移動到的中點時，最短，如圖，此時最小，最大，此時，則正確．故選：．5．在棱長為1的正方體中，是線段上一個動點，則下列結(jié)論正確的有A．存在點使得異面直線與所成角為 B．存在點使得異面直線與所成角為 C．存在點使得二面角的平面角為 D．當(dāng)時，平面截正方體所得的截面面積為【解答】解：對于，連接、，交于，連接，取點為時，連接，因為、，所以平面，又因為平面，所以，所以對；對于，因為，所以異面直線與所成角就是，因為，所以錯；對于，因為二面角的平面角為，因為，所以錯；對于，取中點，連接，過作，交于，交于，連接、，，，，．所以對．故選：．6．已知正方體的棱長為4，是棱上的一條線段，且，點是棱的中點，點是棱上的動點，則下面結(jié)論中正確的是A．與一定不垂直 B．二面角的正弦值是 C．的面積是 D．點到平面的距離是常量【解答】解：對于，當(dāng)與點重合時，，故選項錯誤；對于，由于點是棱上的動點，是棱上的一條線段，所以平面即平面，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，0，，，4，，所以，平面即平面，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，同理可求得平面的法向量為，設(shè)二面角為，所以，故，故選項正確；對于，由于平面，又平面，所以，所以，所以是的高，所以，故選項正確；對于，由于，且平面，平面，所以平面，又點在上，所以點到平面的距離為常量，故選項正確．故選：．7．在長方體中，，點為棱上靠近點的三等分點，點是長方形內(nèi)一動點（含邊界），且直線，與平面所成角的大小相等，則A．平面 B．三棱錐的體積為4 C．存在點，使得 D．線段的長度的取值范圍為，【解答】解：平面平面，平面，平面，故正確；，故錯誤；連接，作交于，連接，平面，為與平面所成的角，平面，為與平面所成角．直線，與平面所成角的大小相等，，則，又，，則點在的中垂線上，即點在線段上運動，當(dāng)點與點重合時，，故正確；，為棱上靠近的三等分點，，，則，，，當(dāng)點在點或點處時，線段的長度取得最大值，最大值為，當(dāng)點在點處時，線段的線段取得最小值，最小值為，線段的長度的取值范圍為，，故正確．故選：．8．已知正方體棱長為2，如圖，為上的動點，平面．下面說法正確的是A．直線與平面所成角的正弦值范圍為 B．點與點重合時，平面截正方體所得的截面，其面積越大，周長就越大 C．點為的中點時，若平面經(jīng)過點，則平面截正方體所得截面圖形是等腰梯形 D．已知為中點，當(dāng)?shù)暮妥钚r，為的中點【解答】解：對于選項，以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則點，0，、，2，，設(shè)點，2，，平面，則為平面的一個法向量，且，，，所以，直線與平面所成角的正弦值范圍為，選項正確；對于選項，當(dāng)與重合時，連接、、、，在正方體中，平面，平面，，四邊形是正方形，則，，平面，平面，，同理可證，，平面，易知△是邊長為的等邊三角形，其面積為，周長為．設(shè)、、、、、分別為棱、、、、、的中點，易知六邊形是邊長為的正六邊形，且平面平面，正六邊形的周長為，面積為，則△的面積小于正六邊形的面積，它們的周長相等，選項錯誤；對于選項，設(shè)平面交棱于點，0，，點，2，，，平面，平面，，即，得，，0，，所以，點為棱的中點，同理可知，點為棱的中點，則，1，，，而，，且，由空間中兩點間的距離公式可得，，，所以，四邊形為等腰梯形，選項正確；對于選項，將矩形與矩形延展為一個平面，如下圖所示：若最短，則、、三點共線，，，，所以，點不是棱的中點，選項錯誤．故選：．9．如圖，在正四棱柱中，，，是側(cè)面內(nèi)的動點，且，記與平面所成的角為，則的最大值為A． B． C．2 D．【解答】解：以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，3，，，則，0，，，3，，，0，，，3，，，，，平面的法向量，1，，，，解得，，3，，與平面所成的角為，，當(dāng)時，取最大值為．此時，的最大值為：．故選：．10．在正三棱柱中，，點滿足，其中，，，，則A．當(dāng)時，△的周長為定值 B．當(dāng)時，三棱錐的體積為定值 C．當(dāng)時，有且僅有一個點，使得 D．當(dāng)時，有且僅有一個點，使得平面【解答】解：對于，當(dāng)時，，即，所以，故點在線段上，此時△的周長為，當(dāng)點為的中點時，△的周長為，當(dāng)點在點處時，△的周長為，故周長不為定值，故選項錯誤；對于，當(dāng)時，，即，所以，故點在線段上，因為平面，所以直線上的點到平面的距離相等，又△的面積為定值，所以三棱錐的體積為定值，故選項正確；對于，當(dāng)時，取線段，的中點分別為，，連結(jié)，因為，即，所以，則點在線段上，當(dāng)點在處時，，，又，所以平面，又平面，所以，即，同理，當(dāng)點在處，，故選項錯誤；對于，當(dāng)時，取的中點，的中點，因為，即，所以，則點在線的上，當(dāng)點在點處時，取的中點，連結(jié)，，因為平面，又平面，所以，在正方形中，，又，，平面，故平面，又平面，所以，在正方體形中，，又，，平面，所以平面，因為過定點與定直線垂直的平面有且只有一個，故有且僅有一個點，使得平面，故選項正確．故選：．11．如圖，已知四邊形為直角梯形，為矩形，平面平面，，，，．（1）若點為中點，求證：平面；（2）若點為線段上一動點，求與平面所成角的取值范圍．【解答】證明：（1）平面平面，平面平面，面且，面．建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則，0，，，1，，，0，，，1，，，0，，，1，，，，．，，，故，．，，又，，面，故面；解：（2）由（1）知，，設(shè)，則，，，，設(shè)平面的法向量為，由，取，則，故平面的一個法向量為．設(shè)與平面所成角為，．當(dāng)時取最大值，當(dāng)時取最小值．故與平面所成角的取值范圍為，．12．如圖，在棱長為2的正方體中，，分別是棱，上的動點，且．（1）求證：；（2）當(dāng)取得最大值時，求二面角的余弦值．【解答】解：（1）證明：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，則，0，，，2，，，2，，，，，，2，，，，，，．（2）由（1）得，，當(dāng)或時，取得最大值為2，當(dāng)時，點與點重合，即，0，，點與點重合，即，2，，，2，，，0，，，，，設(shè)平面的一個法向量為，，，則，取，得，1，，設(shè)平面的一個法向量，，，則，取，得，1，，設(shè)二面角的平面角為，則，二面角的余弦值為．當(dāng)時，點與點重合，點與點重合，同理可得二面角的余弦值為．綜上，當(dāng)取得最大值時，二面角的余弦值為．題型二立體幾何中的最值問題13．在四面體中，是邊長為2的正三角形，，二面角的大小為，則下列說法正確的是A． B．四面體的體積的最大值為 C．棱的長的最小值為 D．四面體的外接球的表面積為【解答】解：對于，假設(shè)，設(shè)的中點為，因為三角形為正三角形，則，又，，平面，故平面，又平面，故，而題中并不能得到，故假設(shè)不成立，所以不垂直，故選項錯誤；對于，要使的最大，只需高最大，故的最大值為，故選項正確；對于，由選項中可知，此時也最小，故的最小值為，故選項正確；對于，設(shè)的外心為，為的中點，，設(shè)過與平面垂直的直線為，過作于點，則外接球球心在上，只需，又，，設(shè)，由，可得，解得，所以，所以四面體的外接球的表面積為，故選項正確．故選：．14．已知長方體的高，，，，則當(dāng)最大時，二面角的余弦值為A． B． C． D．【解答】解：長方體的高，，，，當(dāng)最大時，，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，，，0，，，，，，，，，，設(shè)平面的法向量，，，則，取，得，，，平面的法向量，0，，設(shè)二面角的平面角為，結(jié)合圖形得為鈍角，則．二面角的余弦值為．故選：．15．如圖，在棱長為4的正方體中，是棱上的動點，是棱的中點．當(dāng)平面與底面所成的銳二面角最小時，．【解答】解：以為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)，則，0，，，4，，，3，，，0，，所以，設(shè)平面的法向量為，則有，即，令，則，，故，平面的一個法向量為，設(shè)平面與底面所成的銳二面角為，則，銳二面角越小，則越大，所以求的最小值，令，所以當(dāng)時，有最小值，此時．故答案為：．16．四棱錐的底面是邊長為的菱形，面，，，分別是，的中點．（1）求證：平面平面；（2）是上的動點，與平面所成的最大角為，求二面角的余弦值．【解答】解：（1）證明：底面是邊長為的菱形，，故，，，由，所以，故，，又，所以，又平面，平面，所以，又，所以平面，又平面，故平面平面；（2）連接，則由（1）知，平面，則為直線與平面所成的角，在中，，當(dāng)最小時，即時，取得最大值，此時，設(shè)，則由得，，解得，根據(jù)題意，以，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，，，，，，，0，，，，，設(shè)平面的法向量為，由，得，又平面的法向量為，由，因為二面角為鈍角，所以二面角的余弦值為．17．如圖，在直三棱柱中，底面三角形為直角三角形，其中，，，，，分別為和的中點．（1）求證：平面；（2）當(dāng)點在線段上移動時，求直線與平面所成角正弦的最大值．【解答】解：依題意可得，，兩兩垂直，故以為原點建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），，0，，，0，，，4，，，0，，，0，，，4，，（1），0，，，0，，，，，，，，，且，面．（2）設(shè)，，，0，，4，，，，，，0，，設(shè)面的法向量為，，，由，可取，3，，則直線與平面所成角正弦值為，當(dāng)時，取得最小值1，此時的值最大為．即直線與平面所成角正弦的最大值為．18．如圖，矩形所在的平面與半圓弧所在的平面垂直，，，是上異于，的動點．（1）證明：平面平面；（2）設(shè)和平面所成角為，求的最大值．【解答】（1）證明：由題意可知，平面平面，且平面平面，又，平面，故平面，又平面，所以，因為是上異于，的動點，且為直徑，所以，又，，平面，所以平面，又平面，故平面平面；（2）解：過點作，交于點，連接，，由平面平面，且平面平面，所以平面，則為與平面所成角，即，不妨設(shè)，，所以，則由射影定理可得，，又，所以，故，令，故，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最大值為．19．已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，，分別為和的中點，為棱上的點，．（1）證明：；（2）當(dāng)為何值時，面與面所成的二面角的正弦值最?。俊窘獯稹浚?）證明：連接，，分別為直三棱柱的棱和的中點，且，，，，，，，，即，故以為原點，，，所在直線分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，0，，，2，，，1，，，2，，設(shè)，則，0，，，2，，，1，，，即．（2）解：平面，平面的一個法向量為，0，，由（1）知，，1，，，1，，設(shè)平面的法向量為，，，則，即，令，則，，，，，，，當(dāng)時，面與面所成的二面角的余弦值最大，此時