立體幾何專(zhuān)題難點(diǎn)六大類(lèi)選填題型練習(xí)-2022屆北京市高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

立體幾何專(zhuān)題-選填能力提升

一輪復(fù)習(xí)?北京版

一、題型一：平行、垂直

1.（2021.北京昌平.高三二模）已知棱長(zhǎng)為1的正方體ABCO-44GA,例是B用的

中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在正方體內(nèi)部或表面上，且平面A8R,則動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡所形成區(qū)域

的面積是（）

歷

A."B.72C.1D.2

2

2.（2020?北京海淀?高三二模）如圖，正方體ABC。-A4GR的棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)。為底面

A8CD的中心，點(diǎn)尸在側(cè)面BBCC的邊界及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng).若。。，。尸，則面

積的最大值為（）

A.巫B.迫C.>/5D.2x/5

55

3.（2019?北京市陳經(jīng)綸中學(xué)高三月考）如圖，點(diǎn)尸在正方體ABCO-ABIGR的面對(duì)角

線8G上運(yùn)動(dòng)，則下列四個(gè)結(jié)論：

①三棱錐A-APC的體積不變；

②AP〃平面4c

③。PJ.g；

④平面z平面AC。.

其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)是（)

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

4.（2021?北京海淀?首都師大二附高三開(kāi)學(xué)考試）如圖正方體的棱長(zhǎng)為1,線段8a上

有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E,尸且￡尸=*,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

2

A.AC與8E所成角為45。

B.三棱錐A-BE尸的體積為定值

C.EF〃平面A8CD

D.二面角是定值

5.（2020?北京密云?高三一模）如圖，在正方體A88-A8CQ中，E是棱CG的中點(diǎn),

廠是側(cè)面BCG4內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且4尸與平面QAE的垂線垂直，則下列說(shuō)法不正確的是

A.A/與。E不可能平行B.4尸與BE是異面直線

C.點(diǎn)F的軌跡是一條線段D.三棱錐F-A8R的體積為定值

試卷第2頁(yè)，共14頁(yè)

6.（2021?北京海淀?高三模擬預(yù)測(cè)）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體A8CQ-A4CQ中，E

是側(cè)面B8CC內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不包含端點(diǎn)），則下列說(shuō)法中正確的是（）

A.三角形AER的面積無(wú)最大值、無(wú)最小值

B.存在點(diǎn)E,滿(mǎn)足REJ.BE

C.存在有限個(gè)點(diǎn)E,使得三角形4E0是等腰三角形

D.三棱錐B-AE。的體積有最大值、無(wú)最小值

7.（2021?北京門(mén)頭溝?高三一模）在邊長(zhǎng)為2的正方體AB8-ABCR中，點(diǎn)"是該

正方體表面及其內(nèi)部的一動(dòng)點(diǎn)，且3M//平面ARC,則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡所形成區(qū)域的面

積是?

8.（2021?北京海淀?高三模擬預(yù)測(cè)）已知邊長(zhǎng)為1的正方體A88-A8CR,M為BC

中點(diǎn)，N為平面OCG。上的動(dòng)點(diǎn)，若則三棱錐N-AAQ的體積最大值為

AB

二、題型二：應(yīng)用題

9.（2020?西城?北京鐵路二中高三期中）佩香囊是端午節(jié)傳統(tǒng)習(xí)俗之一，香囊內(nèi)通常填

充一些中草藥，有清香、驅(qū)蟲(chóng)、開(kāi)竅的功效.因地方習(xí)俗的差異，香囊常用絲布做成各

種不同的形狀，形形色色，玲瓏奪目.圖1的口A8C。由六個(gè)正三角形構(gòu)成，將它沿虛線

折起來(lái)，可得圖2所示的六面體形狀的香囊，那么在圖2這個(gè)六面體中，棱AB與CO

所在直線的位置關(guān)系為（）

圖1圖2

A.平行B.相交C.異面且垂直D.異面且不垂直

10.（2021.北京高考真題）某一時(shí)間段內(nèi)，從天空降落到地面上的雨水，未經(jīng)蒸發(fā)、滲

漏、流失而在水平面上積聚的深度，稱(chēng)為這個(gè)時(shí)段的降雨量（單位：mm）.24h降雨量

的等級(jí)劃分如下：

在綜合實(shí)踐活動(dòng)中，某小組自制了一個(gè)底面直徑為200mm,高為300mm的圓錐形雨

量器.若一次降雨過(guò)程中，該雨量器收集的24h的雨水高度是150mm（如圖所示），則這

24h降雨量的等級(jí)是

A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨

試卷第4頁(yè)，共14頁(yè)

11.（2020.首都師范大學(xué)附屬中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）有一改形塔幾何體由若干個(gè)正方體構(gòu)

成，構(gòu)成方式如圖所示，上層正方體下底面的四個(gè)頂點(diǎn)是下層正方體上底面各邊的中點(diǎn).

已知最底層正方體的棱長(zhǎng)為8,如果改形塔的最上層正方體的邊長(zhǎng)小于1,那么該塔形

中正方體的個(gè)數(shù)至少是（）

A.8B.7C.6D.4

12.（2020?北京高三專(zhuān)題練習(xí)）紫砂壺是中國(guó)特有的手工制造陶土工藝品，其制作始于明

朝正德年間.紫砂壺的壺型眾多，經(jīng)典的有西施壺、掇球壺、石瓢壺、潘壺等.其中，石瓢

壺的壺體可以近似看成一個(gè)圓臺(tái)（即圓錐用平行于底面的平面截去一個(gè)錐體得到的）.

下圖給出了一個(gè)石瓢壺的相關(guān)數(shù)據(jù)（單位:那么該壺的容量約為（）

C.300cm3D.400cM

13.（2021.北京人大附中高三開(kāi)學(xué)考試）北京大興國(guó)際機(jī)場(chǎng)的顯著特點(diǎn)之一是各種彎曲

空間的運(yùn)用.刻畫(huà)空間的彎曲性是兒何研究的重要內(nèi)容.用曲率刻畫(huà)空間彎曲性，規(guī)定：

多面體頂點(diǎn)的曲率等于2萬(wàn)與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫像多

面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點(diǎn)的曲率均為零，多面體的總曲率等于

該多面體各頂點(diǎn)的曲率之和.例如：正四面體在每個(gè)頂點(diǎn)有3個(gè)面角，每個(gè)面角是2，

所以正四面體在各頂點(diǎn)的曲率為2%-3x。%，故其總曲率為碗.給出下列三個(gè)結(jié)論：

①正方體各頂點(diǎn)的曲率為g；

2

②任意三棱錐的總曲率均為47；

③將棱長(zhǎng)為3的正方體正中心去掉一個(gè)棱長(zhǎng)為1的正方體所形成的幾何體的總曲率為

8萬(wàn).

其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

試卷第6頁(yè)，共14頁(yè)

三、題型三：折疊體

14.（2014?北京朝陽(yáng)?高三一模（文））如圖，梯形ABCD中，AD//BC,AD=AB=l,

ADYAB,288=45。，將A45Z）沿對(duì)角線5。折起.設(shè)折起后點(diǎn)A的位置為4,并

且平面A'BD1平面BCD.

給出下面四個(gè)命題：?A-DIBC；②三棱錐A-3C￡＞的體積為也；

2

③C￡）_L平面A5￡＞；④平面ABC_L平面AOC.其中正確命題的序號(hào)是（）

A.①②B.③④C.①③D.②④

15.（2020?北京八十中高三月考）如圖,在矩形ABCD中，他=4,A￡＞=2,E為邊A8的中

點(diǎn).將三角形ADE沿DE翻折，得到四棱錐A-OEBC.設(shè)線段4。的中點(diǎn)為M，在翻折過(guò)

程中，有下列三個(gè)命題：

①總有5///平面AQE；

②三棱錐C-AOE體積的最大值為意;

3

③存在某個(gè)位置，使OE與AC所成的角為90.

其中正確的命題是.（寫(xiě)出的有正確命題的序號(hào)）

AEB

16.（2020.北京北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三月考）如圖，定點(diǎn)A到平面。的距離為G，B,

為平面a內(nèi)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿(mǎn)足A8=2,AC=20給出下列四個(gè)結(jié)論:

①Bg2,4］；

TT

②NB4C可能為了；

③在平面a內(nèi)，所有滿(mǎn)足AB34P31C的點(diǎn)尸所構(gòu)成的區(qū)域的面積為9萬(wàn)；

④設(shè)點(diǎn)。為4在平面a內(nèi)的正射影，則三棱錐ABC。體積的最大值為6.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

試卷第8頁(yè)，共14頁(yè)

四、題型四：立體幾何與函數(shù)

17.（2020?北京高三專(zhuān)題練習(xí)）在邊長(zhǎng)為1的正方體中,E,F,G,H分別為43,CQi,

AB,的中點(diǎn)，點(diǎn)P從G出發(fā)，沿折線G8C”勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)。從H出發(fā)，沿折線

”D4G勻速運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)P與點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)的速度相等，記區(qū)F,P,Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱

錐的體積為V，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為x,在叱爛2時(shí)，V與x的圖象應(yīng)為（）

18.（2021?北京海淀?高三一模）我國(guó)魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)造了一個(gè)稱(chēng)為“牟合方蓋”

的立體圖形來(lái)推算球的體積.如圖1,在一個(gè)棱長(zhǎng)為2a的立方體內(nèi)作兩個(gè)互相垂直的內(nèi)

切圓柱，其相交的部分就是牟合方蓋，如圖2,設(shè)平行于水平面且與水平面距離為〃的

平面為a,記平面a截牟合方蓋所得截面的面積為S,則函數(shù)S=f（〃）的圖象是（）

圖1圖2

19.(2018,北京東城?東直門(mén)中學(xué)高三期中)如圖所示，正方體A8CD-A'3'CZ)'的棱長(zhǎng)

為1,E,尸分別是棱A4',CC'的中點(diǎn)，過(guò)直線E,尸的平面分別與棱88'，交

于M,N,設(shè)xe(0,l),給出以下四個(gè)命題：

①四邊形為平行四邊形；

②若四邊形面積S=f(x),xe(0,l),則f(x)有最小值；

③若四棱錐A—的體積V=p(x)，xe(0,l),則p(x)是常函數(shù)；

④若多面體ABCD-MENF的體積丫=心)，則〃(x)為單調(diào)函數(shù).

其中假命踵為().

A.①B.②C.③D.@

試卷第10頁(yè)，共14頁(yè)

五、題型五：距離問(wèn)題

20.（2013?北京高考真題（文））如圖，在正方體中，尸為對(duì)角線8。的

三等分點(diǎn)，戶(hù)到各頂點(diǎn)的距離的不同取值有（）

A.3個(gè)B.4個(gè)

C.5個(gè)D.6個(gè)

21.（2019?北京西城?高三三模）已知正方體ABCD-A4G。的棱長(zhǎng)為1,平面a與此

正方體相交.對(duì)于實(shí)數(shù)4（0＜八司，如果正方體MCD-ABCa的八個(gè)頂點(diǎn)中恰好有

“個(gè)點(diǎn)到平面a的距離等于d,那么下列結(jié)論中，一定正確的是

A.加工6B.加工5

C.D.加工3

22.（2019?北京房山?高三二模（理））在正方體中，動(dòng)點(diǎn)E在棱8用上，

動(dòng)點(diǎn)尸在線段AG上，。為底面A5C。的中心，若BE=x,=則四面體。-AEF

的體積（）

A.與x,y都有關(guān)B.與x,y都無(wú)關(guān)

C.與X有關(guān)，與y無(wú)關(guān)D.與y有關(guān)，與x無(wú)關(guān)

23.（2013?北京高考真題（理））如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-AIBIGDI中，E為

BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段DF上，點(diǎn)P到直線CG的距離的最小值為.

24.（2017?北京西城?高三一模（文））如圖，正方體ABC。-A4G。的棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)尸

在正方形ABCD的邊界及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，平面區(qū)域卬由所有滿(mǎn)足APN行的點(diǎn)P組成，則

W的面積是.

試卷第12頁(yè)，共14頁(yè)

六、題型六：截面問(wèn)題

25.（2021?北京朝陽(yáng)?高三一模）在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCO-ABCR中，P是線段

上的點(diǎn)，過(guò)A的平面a與直線垂直，當(dāng)尸在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，平面a截正方體

AB8-A8CR所得的截面面積的最小值是（）

A.1B.-C.為D.母

42

26.（2021?北京市十一學(xué)校高三月考）如圖所示，在正方體A38-A與GA中，過(guò)對(duì)

角線BR的一個(gè)平面交AA于E,交CC,于F,給出下面幾個(gè)命題：

①四邊形BFQE一定是平行四邊形；

②四邊形8尸。足有可能是正方形；

③平面BFRE有可能垂直于平面8用。；

④設(shè)。戶(hù)與0c的延長(zhǎng)線交于M,與D4的延長(zhǎng)線交于N,則M、N、B三點(diǎn)共線;

⑤四棱錐BFD.E的體積為定值.

以上命題中真命題的個(gè)數(shù)為（）

A.2B.3C.4D.5

27.（2020.北京高三模擬預(yù)測(cè)）如圖正方體AG中，M為A8中點(diǎn)，N為BC中點(diǎn)、,尸為

線段CG上一動(dòng)點(diǎn)（不含C）,過(guò)M、N、P與正方體的截面為a,則下列說(shuō)法正確的是

①當(dāng)霽時(shí)，a為五邊形

②截面a為四邊形時(shí)，a為等腰梯形

③截面a過(guò)。時(shí)，費(fèi)=；

④a為六邊形時(shí)在底面投影面積H，a為五邊形時(shí)在底面投影面積邑，則鳥(niǎo)>邑

試卷第14頁(yè)，共14頁(yè)

參考答案

1.A

【分析】

過(guò)點(diǎn)M做平面ABQ的平行截面，再求四邊形面積即可.

4G、8用的中點(diǎn),

則E/〃AR,EM//AB,所以EE〃平面A8R,〃平面ABR,且EFc￡M=E,

所以平面42。//平面EFGM,故點(diǎn)P的軌跡為矩形EFG用.

M4=4G=；,所以MG=4，所以SELIX烏=容

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查面面平行的判定和面面平行的性質(zhì)，以及正方體的截面問(wèn)題，屬綜合中檔題.

2.C

【分析】

取8片的中點(diǎn)F,由題意結(jié)合正方體的幾何特征及平面幾何的知識(shí)可得。A，OC,

ODtrOF,由線面垂直的判定與性質(zhì)可得ORLCF,進(jìn)而可得點(diǎn)尸的軌跡為線段CF,找

到C7的最大值即可得解.

【詳解】

取的中點(diǎn)尸，連接OF、D、F、CF、C.F,連接。。、BO、0C、。與、D,C,如圖:

因?yàn)檎襟wABC。-ABIGR的棱長(zhǎng)為2,

所以aF=BF=1,DO=BO=OC=&，A4=AC=20,平面ABC。，，平面

AAGR,G2,平面B8℃,

222

所以O(shè)D\=qOD2+DD；=R,OF=y/OB+BFDtF=DtB；+B.F=3,

22

所以0。；+0產(chǎn)="廣，OD^+0C=DfC,

所以O(shè)RLOC,ODt±OF,

由OCDOF=O可得O。_L平面OCF,

所以O(shè)RLCF,所以點(diǎn)P的軌跡為線段C尸，

又CF=yjB￡2+BF=石>GC=2,

所以△RCf面積的最大值S=gGF-RG=；x2xV^=石.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方體幾何特征的應(yīng)用，考查了線面垂直的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是找到點(diǎn)P的軌跡,

屬于中檔題.

3.C

【分析】

利用空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系求解.

【詳解】

答案第2頁(yè)，共23頁(yè)

對(duì)于①，由題意知AQJ/BG，從而B(niǎo)C"/平面ARC,

故BC?上任意一點(diǎn)到平面AD、C的距離均相等，

所以以P為頂點(diǎn)，平面A"C為底面，則三棱錐A-RPC的體積不變，故①正確;

對(duì)于②，連接AB,AG，AC/"a且相等，由于①知：AD\UBC\,

所以BAG〃面4C",從而由線面平行的定義可得，故②正確；

對(duì)于③，由于OCL平面8c4G，所以O(shè)CJ.BG，

若DPzBQ,則BC,1平面DCP,

BCJPC,則P為中點(diǎn)，與P為動(dòng)點(diǎn)矛盾，故③錯(cuò)誤;

DiC,

對(duì)于④，連接。4，由。旦LAC且。S_LAR,

可得。片，面ACQ,從而由面面垂直的判定知，故④正確.

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查命題真假的判斷，解題時(shí)要注意三棱錐體積求法中的等體積法、線面平行、垂直的

判定，要注意使用轉(zhuǎn)化的思想.

4.A

【分析】

利用線面平行和線面垂直的判定定理和棱錐的體積公式以及二面角的定義對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行逐個(gè)

判斷即可得到答案.

【詳解】

選項(xiàng)A,ACLBD,ACA.BB,,且BO八84=B,可得4C_L面?！辏镜觯吹肁C_LBE,此命

題錯(cuò)誤；

選項(xiàng)B,由幾何體的性質(zhì)及圖形知，三角形BEF的面積是定值，A點(diǎn)到面。。8/距離是定

值，故三棱錐A-BE尸的體積為定值，此命題正確；

選項(xiàng)C,由正方體488-4修€?|。的兩個(gè)底面平行，E尸在其一面上且EF與平面ABC。

無(wú)公共點(diǎn)，故EF〃平面A8CZ),此命題正確；

選項(xiàng)D,由于￡F為線段B0i上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，故二面角A-EP-8的平面角大小始終是

二面角A-Bi。1-B的平面角大小，為定值，故正確；

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題考查線面平行和線面垂直的判定定理的應(yīng)用，考查棱錐體積公式以及二面角定義的應(yīng)用,

屬于基礎(chǔ)題.

答案第4頁(yè)，共23頁(yè)

5.A

【分析】

設(shè)平面QAE與直線BC交于G,連接AG,EG,則G為BC的中點(diǎn)，分別取用8,4G的

中點(diǎn)M,N,連接AM,MN,AN,證明平面AMN//平面即可分析選項(xiàng)ABC

的正誤；再由MN//EG,得點(diǎn)/到平面RAE的距離為定值，可得三棱錐尸-AB?的體積

為定值判斷D.

【詳解】

解：設(shè)平面，AE與直線BC交于G,連接AG,EG,

則G為8c的中點(diǎn)，分別取的中點(diǎn)加，N,

連接AM,MN,AN,

如圖，AME平面RAE,"Eu平面

AM〃平面RAE,同理可得MN//平面RAE,

又AM、MN是平面內(nèi)的兩條相交直線，

二平面AM'〃平面RAE,而4尸〃平面RAE,A/u平面AMN,

得點(diǎn)F的軌跡為一條線段，故C正確；

并由此可知，當(dāng)F與加重合時(shí)，A尸與平行，故A錯(cuò)誤；

?.?平面〃平面。ME,BE和平面RAE相交，二A尸與8E是異面直線，故B正確；

■:MNHEG,則點(diǎn)尸到平面AAE的距離為定值，.?.三棱錐尸-A3。的體積為定值，故D

正確.

故選：A.

【分析】

結(jié)合點(diǎn)“到AR的距離有關(guān)，可判定A不正確；由點(diǎn)E在以8Q中點(diǎn)為球心，夜為半徑的

球面與側(cè)面BBC。交線，可判定B正確；由AE=RE時(shí)?，點(diǎn)E在的中垂面上，得到點(diǎn)

E的軌跡是線段8°,可判定C不正確；由匕一A碼=%一.。,=；5“班?〃，可判定D不正確.

【詳解】

選項(xiàng)A中，邊4。的長(zhǎng)度為定值，三角形AEQ面積與點(diǎn)E到AR的距離有關(guān)，

當(dāng)點(diǎn)E在線段BG上時(shí)，距離最小，此時(shí)面積取得最小值，在端點(diǎn)A，C處的距離最大，

此時(shí)面積取得最大值（舍去，端點(diǎn)不可?。?，所以A不正確；

選項(xiàng)8中，若RE工B]E,可得點(diǎn)￡在以BQ,中點(diǎn)為球心，血為半徑的球面上，

因?yàn)橐訠Q為直徑的球面與側(cè)面BBCC有交，所以存在點(diǎn)E,滿(mǎn)足

所以B正確；

選項(xiàng)C中，三角形AER是等腰三角形，當(dāng)AE=?E時(shí)，點(diǎn)E在4。的中垂面上，且E在側(cè)

面BBCC上，所以點(diǎn)E的軌跡是線段8。（不含端點(diǎn)），有無(wú)窮多，所以C不正確；

選項(xiàng)。中，由VB_AED1=匕-叫=；5M時(shí)?力，高〃不存在最大值（不包含端點(diǎn)）和最小值，

所以D不正確.

故選：B.

7.2G

【分析】

由題意，求出作出過(guò)8的平面與平面A"C平行，該平面即為動(dòng)點(diǎn)M的軌跡所形成區(qū)域，求

答案第6頁(yè)，共23頁(yè)

出該區(qū)域的面積即可.

【詳解】

如圖，邊長(zhǎng)為2的正方體ABCQ-ABC。中,

動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足//平面

MBMADtC,

由面面平行的性質(zhì)可得

當(dāng)始終在一個(gè)與平面AQC平行的面內(nèi)，即滿(mǎn)足題意，

過(guò)B作與平面平行的平面，

連接AB,BG，AG，平面A8CJ/平面ARC,

所以

S△a々“”5=-2x2>/2x—2x2>/2=2^.

故答案為：2G

8.-

6

【分析】

以。為原點(diǎn)，分別以D4,DC,DQ為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)

7V（O,?,Z7）,O<?<1,O<^<1,由麗_L/，得到a,b的關(guān)系，確定a的范圍，再由

%-伏"=丁5."*問(wèn)求解.

【詳解】

以。為原點(diǎn)，分別以D4,DC,為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系:

則A（1，O,1），C（O,1,O）,M（；,1，O],設(shè)N（0M,b）,04a41,0Mb41,

所以配=（1,0,1）,麻

因?yàn)辂恄L〃，

------------11

所以MN?4C=—+o—l—〃=0,即。一人二一，

22

yCb=a--,0<b<l

2f

所以《W“W1,

所以匕”=?.爐同屋4：,當(dāng)4=1/=；等號(hào)成立，

所以三棱錐N-AAQ的體積最大值為1

6

故答案為：—

6

9.B

【分析】

可將平面展開(kāi)圖還原為直觀圖，可得兩個(gè)三棱錐拼接的六面體，它們共一個(gè)底面，即可判斷

AB,CD的位置關(guān)系.

【詳解】

將平面展開(kāi)圖還原為直觀圖，可得兩個(gè)三棱錐拼接的六面體，它們共一個(gè)底面，

且BC兩點(diǎn)重合，所以A8與C。相交，

故選：B

答案第8頁(yè)，共23頁(yè)

【點(diǎn)睛】

本題考查平面展開(kāi)圖與其直觀圖的關(guān)系，考查空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.

10.B

【分析】

計(jì)算出圓錐體積，除以圓面的面積即可得降雨量，即可得解.

【詳解】

由題意，一個(gè)半徑為寸=100（mm）的圓面內(nèi)的降雨充滿(mǎn)一個(gè)底面半徑為

200150

--------X---------=50（mm）,高為150（mm）的圓錐,

2300

-^x502xl50

所以積水厚度4,屬于中雨.

3=12.5（mm）

/rxIO。？

故選：B.

’而視頻r:

11.A

【分析】

則從下往上第二層正方體的棱長(zhǎng)為：歷不二40，從下往上第三層正方體的棱長(zhǎng)為：

J（2可+（2可=4,從下往上第四層正方體的棱長(zhǎng)為：疹才=2&，以此類(lèi)推，能求

出改形塔的最上層正方體的邊長(zhǎng)小于1時(shí)該塔形中正方體的個(gè)數(shù)的最小值的求法.

【詳解】

最底層正方體的棱長(zhǎng)為8,

則從下往上第二層正方體的棱長(zhǎng)為：歷幣=4立，

從下往上第三層正方體的棱長(zhǎng)為：*2⑸+(20=4,

從下往上第四層正方體的棱長(zhǎng)為：亞f=20，

從下往上第五層正方體的棱長(zhǎng)為：小曲+曲=2,

從下往上第六層正方體的棱長(zhǎng)為：廬下=夜，

從下往上第七層正方體的棱長(zhǎng)為:

從下往上第八層正方體的棱長(zhǎng)為：

，改形塔的最上層正方體的邊長(zhǎng)小于1,那么該塔形中正方體的個(gè)數(shù)至少是&

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查正方體有關(guān)計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

12.B

【分析】

根據(jù)圓臺(tái)的體積等于兩個(gè)圓錐的體積之差，即可求出.

【詳解】

設(shè)大圓錐的高為a,所以解得力=io.

h10

j^V=l^x52xl0-1^x32x6=^y^-?200cm,.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查圓臺(tái)體積的求法以及數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

13.D

【分析】

根據(jù)幾何體頂點(diǎn)的曲率和幾何體總曲率的定義求解.

【詳解】

①因?yàn)檎襟w的每個(gè)頂點(diǎn)有3個(gè)面角，每個(gè)面角是1TT,所以正方體在各頂點(diǎn)的曲率為

7TTT

^-3x-=-,故正確；

222

答案第10頁(yè),共23頁(yè)

A

②如圖所示：/?,

C

A點(diǎn)的曲率為：2萬(wàn)-NBAC-NDAC-NBAD,

B點(diǎn)的曲率為：2兀-乙\BC-NABD-NCBD,

C點(diǎn)的曲率為：2兀—NACB-NACD—NBCD,

。點(diǎn)的曲率為：2TT—NADC—NADB—NBDC,

貝IJ三棱錐的總曲率均為8萬(wàn)一(ZA8C+Z4CB+NB4C)-(NZMB+ZABD+NBDA),

-(ZADC+ZACZ)-ZDAC)-(ZfiCD+ZfiDC+CBD)=4^,故正確；

rr-jr

③此幾何體有16個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)頂點(diǎn)的曲率為27-3x]=],所以該幾何體的總曲率為

16x3=8萬(wàn)，故正確.

2

故選：D

14.B

【分析】

利用折疊前四邊形A8C3中的性質(zhì)與數(shù)量關(guān)系，可證出3D_LOC,然后結(jié)合平面A'3D_1平

面88,可得平面A8D,從而可判斷①③：三棱錐A-88的體積為

LL應(yīng).0.也=也，可判斷②；因?yàn)?J_平面A'8E>,從而證明CD_LAB,再證明

3226

平面A'OC,然后利用線面垂直證明面面垂直.

【詳解】

①NBAD=90",AD=AB,

ZADB=ZABD=45°,

vAD//BC,ZBCD=45',

：.BDLDC,

???平面A'8/)_L平面BCD,且平面ABD。平面BC￡)=30,

\CDz平面ABD,

?.?A'￡>u平面A'Q,

：.CD±A'D,若AO_L8C則A'O_L面8c￡>,則A。，3。，顯然不成立，

故ADI.8C不成立，故①錯(cuò)誤；

②棱錐的體積為?也=亞，故②錯(cuò)誤；

3226

③由①知CDJ"平面故③正確；

④由①知CD_L平面A'BD,

又???A'Bu平面A'3。，

：.CD±AB,

又A'B_LA'O,且A。、COu平面A'OC,A'DC\CD=D,

.?.A3_L平面A'OC,又A3u平面ABC,

平面A8C_L平面AOC,故④正確.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題通過(guò)折疊性問(wèn)題，考查了面面垂直的性質(zhì)，面面垂直的判定，考查了體積的計(jì)算，關(guān)鍵

是利用好直線與平面、平面與平面垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化，也要注意利用折疊前后四邊形A8C。中

的性質(zhì)與數(shù)量關(guān)系.

15.@@

【分析】

利用直線與平面平行的判定定理判斷①的正誤；求出棱錐的體積的最大值，判斷②的正誤;

利用直線與平面垂直判斷③的正誤.

【詳解】

取DC的中點(diǎn)為F,連結(jié)FM,FB,可得MF〃AQ,FB〃DE,可得平面MBF〃平面AiDE,

所以BM〃平面AQE,所以①正確；

當(dāng)平面AQE與底面ABCD垂直時(shí)，三棱錐C-AQE體積取得最大值，最大值為：

1X|ADXA￡XEC=1X!X2X2X2V2=^X/2,所以②正確.

存在某個(gè)位置，使DE與AC所成的角為90。.因?yàn)镈ELEC,所以DEL平面A|EC,

可得DELAiE,即AEJ_DE,矛盾，所以③不正確；

故答案為①②

答案第12頁(yè)，共23頁(yè)

4

【點(diǎn)睛】

本題考查命題的真假的判斷，直線與平面平行，直線與平面垂直以及幾何體的體積的最值的

求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力.

16.@@

【分析】

先找到點(diǎn)A在面上的投影，然后逐項(xiàng)分析即可.

【詳解】

由題意，。是點(diǎn)A在面上的投影，又A到平面a的距離為G,B,C為平面a內(nèi)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),

滿(mǎn)足AB=2,4C=26，由勾股定理可得IDB\=1,|DC\=3

即點(diǎn)8是以點(diǎn)。為圓心，1為半徑的圓上的點(diǎn)

點(diǎn)C是以點(diǎn)力為圓心，3為半徑的圓上的點(diǎn)，

當(dāng)8、C、。共線且在點(diǎn)。的同側(cè)時(shí)，線段BC最短，長(zhǎng)度為半徑之差，為3-1=2

當(dāng)8、C、。共線且在點(diǎn)。的異側(cè)時(shí)，線段BC最長(zhǎng)，長(zhǎng)度為半徑之和，為3+1=4

故BCd[2,4]①正確；

因?yàn)锽C02,4],所以8C屋[4,16]

7T

若ZBAC:一在，成;中

4

AB^2,AC=2^,Z.BAC=/.BC2=AB2+AC2-2AB-ACcosZBAC

2故②正確；

fiC=4+12-2x2x2>/3x^-=16-4^e[4,16],

在平面a內(nèi)，所有滿(mǎn)足4c的點(diǎn)P所構(gòu)成的區(qū)域環(huán)形圓面，其面積是大圓面與小圓

面的面積之差

其值為乃x3?xF=8萬(wàn)，故③不正確；

當(dāng)8DJ.OC時(shí)，點(diǎn)B到邊0c的距離最長(zhǎng)，此時(shí)ABDC的面積最大，最大值是

113

-xB￡)xC￡>=-xlx3=|,又棱錐的高為也

故三棱錐體積的最大值是1x3x后=且，故④不正確.

322

綜上，①②正確.

故答案為：①②.

【點(diǎn)睛】

本題考查空間位置關(guān)系與距離,幾何體體積的求法，圓與圓的位置關(guān)系,涉及到的知識(shí)點(diǎn)多，

綜合性強(qiáng)，考查了空間想像能力，難度較大，解答的關(guān)鍵是判斷出8,C兩點(diǎn)在變化中的相

對(duì)位置.

17.C

【分析】

分情況表示出三棱錐的體積，根據(jù)分段函數(shù)解析式判定函數(shù)圖象.

【詳解】

（1）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)的速度相等根據(jù)下圖得出：面。E尸把幾何體PEFQ

分割為相等的幾何體，

???SA。.=gX1X1=；,p到面OEF的距離為X,

11xx

VPEFQ=2VP-OEF=2X-X-X=2--=-,

(2)當(dāng);時(shí)，P在AB上，Q在CQi上，P到OEF=1X1X1=1,

峰E垣=2%.0)=2乂!乂!乂!=!=定值.

3226

3ii

(3)當(dāng)2〈爛2時(shí)，SAOEF=-X1X1=-,尸至lj面0E尸的距離為2-x,

1121

VPEFQ=2VP-O￡F=2X-X—x(2-x)=-

答案第14頁(yè)，共23頁(yè)

故選：c.

【點(diǎn)睛】

此題考查求錐體體積，關(guān)鍵在于根據(jù)幾何體特征準(zhǔn)確分類(lèi)討論表示出錐體體積，結(jié)合分段函

數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象.

18.D

【分析】

首先由圖1得正方體的內(nèi)切球也是“牟合方蓋”內(nèi)切球，由圖2可知截面均為正方形，此正方

形是平面截內(nèi)切球的截面圓的外接正方形，由此計(jì)算得到函數(shù)解析式，判斷選項(xiàng).

【詳解】

正方體的內(nèi)切球也是“牟合方蓋''內(nèi)切球，用任意平行于水平平面的平面去截“牟合方蓋”，截

面均為正方形，并且此正方形是平面截內(nèi)切球的截面圓的外接正方形，

內(nèi)切球的半徑為。，設(shè)截面圓的半徑為小則(“-〃)2+產(chǎn)=〃，解得：產(chǎn)=一層+2"，

設(shè)截面圓的外接正方形的邊長(zhǎng)為6,則8=2r,正方形的面積S=6=4/=-4/?2+8a/7,

/ie[0,2a],由函數(shù)形式可知，圖象應(yīng)是開(kāi)口向下的拋物線.

故選：D

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是空間想象能力的考查，關(guān)鍵得到截面是一個(gè)正方形，以及與“牟

合方蓋“內(nèi)切球的關(guān)系.

19.D

【詳解】

對(duì)于①，：平面ADDA||平面BCC'B'，

：.EN//MF,

同理：FN||EM,

四邊形MENF為平行四邊形，故①正確；

對(duì)于②，四邊形MENF的面積S=/(x)=g(EFxMN),

當(dāng)M為BB'的中點(diǎn)時(shí)，即x時(shí)，MN最短,

此時(shí)面積最小，故②正確；

對(duì)于③，

連接AF,AM,AN,

則四棱錐分割為兩個(gè)小棱錐，它們是以用為底，以M,N為頂點(diǎn)的兩個(gè)小棱錐，

因?yàn)椤餍牡拿娣e是個(gè)常數(shù)，M,N到平面AEE的距離和是個(gè)常數(shù)，

所以四棱錐C-M￡NF的體積V=P(x)是常函數(shù)，故③正確；

對(duì)于④，多面體ABCD-MENF的體積V=h(x)=^VABCI)_A.?,C,D.=；為常數(shù)函數(shù)，故④錯(cuò)誤.

綜上所述，假命題為④.

故選D.

點(diǎn)睛：本題考查空間立體幾何中的面面平行關(guān)系以及空間幾何體的體積公式，本題把立體幾

何問(wèn)題和函數(shù)進(jìn)行的有機(jī)的結(jié)合，綜合性較強(qiáng)，設(shè)計(jì)巧妙，對(duì)學(xué)生的解題能力要求較高，對(duì)

于幾何體的體積的求解要會(huì)有體積分割法，或等價(jià)轉(zhuǎn)化.

20.B

【詳解】

如圖,取底面ABCD的中心O,連接PA,PC,PO.

答案第16頁(yè)，共23頁(yè)

：AC_L平面DDiB,

又POu平面DDiB,

；.AC_LPO.

又。是AC的中點(diǎn)，

APA=PC.

同理，取BiC與BG的交點(diǎn)H,易證BC，平面DiCiB,

.,.B,C±PH.

又H是BC的中點(diǎn)，

；.PBi=PC,

APA=PBI=PC.

同理可證PA產(chǎn)PC產(chǎn)PD.

又P是BDI的三等分點(diǎn)，

，PBrPD浮PBMPD,

故點(diǎn)P到正方體的頂點(diǎn)的不同距離有4個(gè).

21.B

【分析】

此題畫(huà)出正方體模型即可快速判斷m的取值.

【詳解】

如圖（1）恰好有3個(gè)點(diǎn)到平面a的距離為d；如圖（2）恰好有4個(gè)點(diǎn)到平面a的距離為d；

如圖（3）恰好有6個(gè)點(diǎn)到平面a的距離為小

所以本題答案為B.

【點(diǎn)睛】

本題以空間幾何體為載體考查點(diǎn)，面的位置關(guān)系，考查空間想象能力，考查了學(xué)生靈活應(yīng)用

知識(shí)分析解決問(wèn)題的能力和知識(shí)方法的遷移能力，屬于難題.

22.B

【分析】

連接A。，AE,AF,OE,OF,所，然后利用等積法說(shuō)明四面體O-AEF的體積是與*,

》無(wú)關(guān)的定值.

【詳解】

V88"/平面，E到平面MC.C的距離為定值，

???40〃AG，.?.下到直線A0的距離為定值，

的面積為定值.

^O-ABF=VJAOF,

四面體O-AEF的體積是與x,V無(wú)關(guān)的定值.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用等體積法求多面體的體積，考查空間想象能力與思維能力，屬于中檔題.

0a26

5

答案第18頁(yè)，共23頁(yè)

【詳解】

點(diǎn)P到直線CG的距離等于點(diǎn)P在平面ABCD上的射影到點(diǎn)C的距離，設(shè)點(diǎn)P在平面ABCD

上的射影為P',顯然點(diǎn)P到直線CG的距離的最小值為PC的長(zhǎng)度的最小值，當(dāng)P，C_LDE

2x12石

時(shí)，P'C的長(zhǎng)度最小，此時(shí)PC=

V22+l—

7C

24.4——

4

【詳解】

AP=歷二^?之^/^4=1,所以點(diǎn)平面區(qū)域W是底面ABC。內(nèi)以A為圓心，以1為半徑

的外面區(qū)域，貝的面積是2?-1T1=4—

44

25.C

【分析】

以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB.AD.AA所在直線分別為x、z軸建立所示的空間直角坐標(biāo)

系，設(shè)點(diǎn)P（1/#（OqW1）,分f=0、f=l、0</<1三種情況討論，確定截面a與各棱的交

點(diǎn)，求出截面面積關(guān)于f的表達(dá)式，由此可解得截面面積的最小值.

【詳解】

以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB.AD.AA所在直線分別為X、>、z軸建立如下圖所示的空間直

角坐標(biāo)系,

則4(0,0,0)、A(0,0,1)、8(1,0,0)、4(1,0,1)、c(l,l,o)、G(1,1,1)、儀0,1,0)、A(0,1,1),

設(shè)點(diǎn)其中04dl.

①當(dāng)f=0時(shí)，點(diǎn)尸與點(diǎn)B重合,麗=（一1,1,0）,而=（1,1,0）,麗=（0,0,1）,

所以，BDAC=0>而?麗=。，則BDJ_AC,BDLAAt,

?.?ACcAA=A,平面AAGC,此時(shí)平面a即為平面AAGC,

截面面積為S=A4,?AC=0；

②當(dāng)f=l時(shí)，同①可知截面面積為S=夜；

③當(dāng)0</<1時(shí)，DP=（\,t-\,t）,而=（1,1,一1）,

■.■DP-A^C=\+t-\-t=G,：.AtC±PD,則ACua,

設(shè)平面a交棱。。于點(diǎn)￡（0,1,z）,CE=（-l,0,z）,

DPCE=-l+tz=0,可得z=l>l,不合乎題意.

t

設(shè)平面a交棱A3于點(diǎn)”（x,0,0