高中數(shù)學2-2第一章導數(shù)及其應用導學案

1.1變化率與導數(shù)

1.1.1變化率問題1.1.2導數(shù)的概念

1?了解導數(shù)概念的實際背景.2.會求函數(shù)從XI到X2的平均變化率.

3.會利用導數(shù)的定義求函數(shù)在某點處的導數(shù).

預習案自主學習研讀?思考?裳試

新知提煉，

1.平均變化率

函數(shù)了=/&)從%,到x2的平均變化率

△y/(x?)—f(xi)

(1)定義式:

△x*2一一

(2)實質：函數(shù)值的改變量與自變量的改變量之比.

(3)作用：刻畫函數(shù)值在區(qū)間［為，融］上變化的快慢.

(4)幾何意義：已知PG”/')),22(X2,加2))是函數(shù)V=/。)的圖象上兩點，則平均變化

率￥=/(X2)―/(片)表示割線pR的斜率.

△XX2-X\

2.瞬時變化率

函數(shù)了=/*)在x=x。處的瞬時變化率

,.△Vf(Xo+△x)—f(Xo)

(1)定義式：limd=llim-!=----------=;-.

Ar--0AxAr-?0-Ax

(2)實質：瞬時變化率是當自變量的改變量趨近于0時，平均變化率趨近的值.

(3)作用：刻畫函數(shù)在某一點處變化的快慢.

3.導數(shù)的概念

..AV../~(Xo+Ax)(Xo)

定義式limA—Inn人

Ar—0△XAXTO

記法企?；虼╔f

實質函數(shù)y=/(x)在x=x0處的導數(shù)就是y=/a)在x=xo處的瞬時變化率

1.判斷(正確的打“J”，錯誤的打“X”)

Ay

(1)函數(shù)加)=c(c為常數(shù))在區(qū)間［X|,X2］上的平均變化率曾為0.()

(2)函數(shù)y=/(x)在x=xo處的導數(shù)值與值的正、負無關.()

(3)瞬時變化率是刻畫某函數(shù)在區(qū)間區(qū)，X2］上函數(shù)值的變化快慢的物理量.()

(4)在導數(shù)的定義中，Ax,Ay都不可能為零.()

答案：⑴J(2)V(3)V(4)X

2.如圖，函數(shù)y=/(x)在48兩點間的平均變化率是(

&…3—/(3)-/(I)1-3

解析：選氏d=^------------==一=一1.

△x3—12

3.已知;(x)=-2x+l,則/(0.5)=.答案:一2

4.函數(shù)y=/(x)=:在x=l處的瞬時變化率為.答案：—1

探究案講練互動，解惑?探究?突破

探究點1求函數(shù)的平均變化率

例1已知函數(shù)Xx)=2?+3x—5.

(1)當乃=4,且Ax=l時，求函數(shù)增量Ay和平均變化率曾；

(2)求(1)中的平均變化率的幾何意義.

【解】因為y(x)=2d+3x—5,所以Ay=/(xi+△X)—/1)

=2(xi+Ax)2+3(X|+Ax)-5-(2xf+3XI_5)=2[(AX)2+2XIAx]+3Ax

=2(AX)2+(4X]+3)AX.

(1)當為=4,Ax=l時，A^=2X12+(4X4+3)X1=21,則耗=?=21.

Avf(5)—f(4)

(2)在(1)中，仄5』----號----，它表示拋物線上點力(4,39)與點8(5,60)連線的斜率.

求函數(shù)平均變化率的步驟

(1)求自變量的改變量Ax=》2-Xi；

(2)求函數(shù)值的改變量A^=;(X2)-/(XI)；

(3)求平均變化率孩f(必)一/(Xi)

X2-X\

W跟蹤訓練1.(2017?寧波高二檢測)已知函數(shù)y=f+l的圖象上一點(1,2)及鄰近一點

Ay

(1+Ax，2+Ay),則曾等于()

A.2B.2x

C.2+AxD.2+(Ax)2

△y/(1+Ax)一/~⑴[(1+Ax)2+1]—2

解析：選C;=2+△%.

△x-AxAx

2.求函數(shù)歹=〃)=3工2+2在區(qū)間［xo，枇+△、］上的平均變化率，并求當x()=2,△、=

0.1時平均變化率的值.

解：函數(shù)y=/a)=3f+2在區(qū)間［沏，的+Ax］上的平均變化率為

2

/(x()+Ax)-f(劭)［3(x0+Ax)+2］—(3xo+2)6x()*Ax+3(△%)~

(xo+Ax)-xo=后=后=6x0+3Ax.

當％o=2,Ax=0.1時，

函數(shù)y=3f+2在區(qū)間［2,2.1］上的平均變化率為6X2+3X0.1=12.3.

探究點2實際問題中的瞬時速度

例2一質點的運動方程為s=8-3『，其中s表示位移(單位：m),/表示時間(單位：s).

(1)求質點在［1,1+A4這段時間內的平均速度；

(2)求質點在/=1時的瞬時速度.

【解】(1)質點在［1,1+△/］這段時間內的平均速度為巖=8-3+

=(—6—3Ar)(m/s).

(2)由(1)知名=一6—3當△/趨近于0時，差趨近于一6,

所以質點在t—1時的瞬時速度為一6m/s.

求運動物體瞬時速度的三個步驟

第一步：求時間改變量△t和位移改變量△s=S(Zo+AZ)-5(/o);

第二步：求平均速度3=￡;

第三步：求瞬時速度，當無限趨近于。時，荒無限趨近于的常數(shù)。即為瞬時速度，

即0=S"o).

G跟蹤訓練1.一物體的運動方程為s=7』一⑶+8,且在/=/0時的瞬時速度為1，則“=

解析：因為△s=7(/o+△。2—13d+A/)+8—73+13,0—8

=14歷?A/-13AZ+7(A?)2>

As

所以媽77=螞(I*13+7p=14gT3=l,所以.答案：1

2.一做直線運動的物體，其位移s與時間f的關系是s⑺=3/一』.

(1)求此物體在t=2時的瞬時速度;

⑵求/=0到1=2時的平均速度.

解：(1)取一時間段[2,2+Ar],As=s(2+A;)-s(2)=[3(2+A0-(2+^02]-(3X2-22)

—Af—(△1)2

=—AZ—(AZ)21-Az,

△「Ar

(一1一ZU)=-1,所以當f=2時，物體的瞬時速度為-1.

AJO△r△JO'

(2)因為當，e[O,2]時，△，=2—0=2.

,7—As=2=1

△S=S(2)—S(0)=(3X2—22)—(3X0-()2)=2.V2-

所以在0到2之間，物體的平均速度為1.

探究點3用定義求函數(shù)的導數(shù)

例3根據(jù)導數(shù)的定義，求下列函數(shù)的導數(shù)：

(1)求函數(shù)y=f+3在x=l處的導數(shù)；

4

(2)求函數(shù)y=7在x=2處的導數(shù).

【解】(l)Ay=[(l+AX)2+3]—(12+3)=2AX+QX)2,所以笠」)-=2+?x.

所以y[x=]=lim(2+△x)=2.

、444(Ax)2+4。

1

(2)因為△尸3+2)2-Q=(Ax+2)2—(Ax+2)2

所以FAx+4

△x(Ax+2)2,

b,,AyAx+4

所以㈣△X=一螞。(Ax+2)尸一L

求函數(shù)y=/(x)在點xo處的導數(shù)的三個步驟

求函數(shù)的增量)—<AEQo+A%)詼Q

1

求函數(shù)的Ay/(3+A*H(4O)

平均變化率AxAx

〔取極限:得導數(shù)〕1]小。即%吧

簡稱：一差、二比、三極限.

*跟蹤訓練1.設函數(shù)/(x)=ax+3,若八1)=3,則°等于()

A.2B,-2

C.3D.-3

f(l+Ax)—/(1)a(1+Ax)+3-(a+3)

解析：選C.因為/(l)=lim---------7---------=lim-------------:-------------

Ax—?0△X-Ax-*O△x

因為/(1)=3,所以。=3.故選C.

2.求函數(shù)y=x—/在x=l處的導數(shù).

解：因為Ay=(l+Ax)_R^_(l_g=AxT

Ax

AyAx+1+Ax1Av

所以丁=----7------=l+i_i_「當Ax-0時，—一--2,所以八1)=2,

△xAx1+AxAxJ

即函數(shù)y=x-(在x=l處的導數(shù)為2.

??imaiffl??

i.瞬時速度與平均速度的區(qū)別和聯(lián)系

區(qū)別：瞬時速度刻畫物體在某一時刻的運動狀態(tài)，而平均速度則是刻畫物體在一段時間

內的運動狀態(tài)，與該段時間內的某一時刻無關.

聯(lián)系：瞬時速度是平均速度的極限值.

2.函數(shù)人x)在X。處的導數(shù)

(1)當AxHO時，比值個的極限存在，則人外在點X。處可導；若含的極限不存在，則

/(x)在點X。處不可導或無導數(shù).

2

(2)在點x=x()處的導數(shù)的定義可變形為/Vo)-lim3"~絲)~~或/(x0)—

Ax—OdX

,.fQx)—f(x0)

lim---------------

△x—*x0X-Xo

??胤堂倒曼卜.

1.設函數(shù)y=/a)=f—1,當自變量X由1變?yōu)?.1時，函數(shù)的平均變化率為()

A.2.1B.1.1

C.2D.0

解析.選A4』(LD—/⑴=以=21

用牛忻?匹1,1-10.1

21

2.已知Xx)=;,且/(⑼=一］,則用的值等于()

A.-4B.2

C.-2D.±2

AgL3~fAX）—f（X）2

解析：選D/（加媽。7,

21

于是一M=-5'"0=%解得〃?=±2?

3.某物體做勻速運動，其運動方程是s="+"則該物體在運動過程中，其平均速度

與任何時刻的瞬時速度的關系是

As.S（/（）+△/）—S（而）V（而+△，）—Vto

解析:VQ=limV7=lim-=lim-

A/->0△tA/->0△tAiO△t

n-△/

=媽/7=>答案：相等

4.已知函數(shù)加)=x+%分別計算次x)在自變量x從1變到2和從3變到5時的平均變

化率，并判斷在哪個區(qū)間上函數(shù)值變化得較快.

解：自變量X從1變到2時，函數(shù)段)的平均變化率為‘⑵2工⑴=2+2J+D4

自變量x從3變到5時，函數(shù)/(x)的平均變化率總(3)_=_53空

1141

因為方卓，所以函數(shù)自變量X從3變到5時函數(shù)值變化得較快.

用案鞏固晡:?巧練?跟蹤?驗證

[A基礎達標]

1.若函數(shù)y=/a)=f—1,圖象上點P(2,3)及其鄰近點0(2+Ax,3+Ay),則￡[=()

A.4B.4Ax

C.4+AxD.△%

解析：選C.因為Ay=(2+AX)2-1-(22-1)=4AX+(AX)2,

g"Ay4A%+(Ax)2

所以=；=4+Ax.

△xAx

2.一質點運動的方程為s=5-3』，若一質點在時間段[1,1+Af]內相應的平均速度為

-3A/-6,則該質點在f=l時的瞬時速度是()

A.—3B.3

C.6D.16

解析：選D.由平均速度和瞬時速度的關系可知，v=s,(l)==lim(—3△6)=-6.

A/—>0

3.某物體的運動規(guī)律是s=s(。，則該物體在，至h+這段時間內的平均速度是()

—S([+△￡)—s(力一S(△，)

A'°="=晨B.°=——

—S(/)—S(/+△/)—s(△/)

C.v=-j—D.v=—

解析：選A.由平均速度的定義可知，物體在/到，+△/這段時間內的平均速度是其位

移改變量與時間改變量的比.

△sS(/+△f)—s(f)

所以。=

△「kt

4.若可導函數(shù)加)的圖象過原點，且滿足lim'=-1,則/(0)=()

A.V—>0dX

A.-2B.—1

C.1D.2

解析：選B.因為_/(x)圖象過原點，所以次0)=0,

%一/(0+Ax)~f(0)/(Ax)乂H

所以/(0)=lim---------7---------=lim-----=一1.故選B.

A.r->0AxAx-0

5.某物體做直線運動，其運動規(guī)律是S=f2+,(f的單位是秒，S的單位是米)，則它在4

秒末的瞬時速度為()

A?垮米/秒B.垮米/秒

C.8米/秒D.竽米/秒

(4+Ar)*2+7T^-16-T

△As4+A/4

解析：選B.因為覆=-------------------------

一3Af

(Az)2+8A/-F

4(4+Az)3A53125

所以媽

△/"A,+8—

2

6.已知函數(shù)y=f+3,當x由2變到1.5時，函數(shù)的增量Ay=

解析：△尸/(1.5)-/(2)=佶+3)-(|+3)=,-1=；.答案：|

7.如圖所示，函數(shù)y=/(x)在M，必］，民，卻，困，xj這幾個區(qū)間內，平均變化率最

大的一個區(qū)間是.

解析：由平均變化率的定乂可知，函數(shù)y=y(x)在區(qū)間［修，工2］，［》2，工3］，［%3，刈］上的平

均變化率分別為：八必)一…),/⑹一/⑴),/5)一/5),結合圖象可以發(fā)

X2~X\片―M

現(xiàn)函數(shù)y=/(x)的平均變化率最大的一個區(qū)間是次3,x4］.

答案：⑶，M

8.子彈在槍筒中的運動可以看作是勻加速直線運動，如果它的加速度是。=5xio5m/s2,

子彈從槍口射出所用的時間為1.6Xl()7s,則子彈射出槍口時的瞬時速度為m/s.

解析：運動方程為

因為As=5?o+△°2一53=必0A.所以At,

△s

所以0=lim4又因為u=5X10m/s?,/Q=1.6X10

A10△t

所以o=a/o=8Xio2=8oo(m/s).答案：800

9.若函數(shù)y=/(x)=-f+x在［2,2+△對(Ax>0)上的平均變化率不大于一1,求Ax的

取值范圍.

解：因為函數(shù)y=/(x)在［2,2+Ax］上的平均變化率為R="2+A?x:/>(2)=

-(2+Ax)2+(2+Ax)-(-4+2)-4Ax+Ax-(Ax)2

\=7=-3—△x,

△x

所以由一3—AxW—1,得2.又因為AQO,所以Ax>0,

即的取值范圍是(0,+°°).

10.已知質點A/按規(guī)律s=2『+3做直線運動.(位移單位：cm,時間單位：s)

△s

(1)當f=2,△￡=0.01時，求兀"；

△s

(2)當f=2,△￡=0.001時，求

(3)求質點M在f=2時的瞬時速度.

封Ass(/+△，)~s(/)2(/+△t)2+3-(2/2+3)

解：寸---------飛---------=--------------X-----------------=4—.

(1)當f=2,A/=0.010'b—=4X2+2X0.01=8.02(cm/s).

r,△S

(2)當Z=2,Ar=0.001—=4X2+2X0001=8-002(cm/s).

△s?

(3)y=JimJim(4z+2△E)=4z=4X2=8(cm/s).

［B能力提升］

11.已知點尸(必,則)是拋物線y=3，+6x+l上一點，且，(刖)=0,則點尸的坐標為()

A.(1,10)B.(-1,-2)

C.(1,-2)D.(-1,10)

缸打、，/byf(Xo+△%)-f(X。)

解析：選--------7——

△x

3(x()+Ax)」+6(x0+Ax)+1—3焉一6x()-1

—3△x+6x()+6,

△x

所以/(xo)=limlim(3△x+6x()+6)=6xo+6=O,所以x0=—1.

△x—*0△XAx—>0

把Xo=-1代入y=3/+6x+l,得y=-2.所以尸點坐標為（一1,—2）.

/（Xo—一/（劭）

12.（2017,泉州期中）設函數(shù)人工）在x=x（）處可導，則lim等于（）

Ax-0Ax

B./(—Xo)

C.-/(xo)D.一/（一刈）

/（劭一△4）一/（Xo）于（x（）—Ax）—f5）

解析：選C.limlim-/a。），故

△xAx—O-Ax

選C.

一〒，x>0,

13.已知函數(shù)/（x）=<山求/（4）八一1）的值.

」+工2,

11114+Ax-2

解:當x=4時，Ay=-,————,—-X-

、4+&x胃2、4+bx2^4+Ax

Ax??所以R

2d4+34+Ax+2)2d4+bx34+Ax+2)

所以lim~T^=lim11

AY—O△XAx—O244+bx(<4+Ax+2)-2XWX(5+2)-⑹

所以/（4）=表.當*=一1時,Ay/(—l+Ax)—/(一1)

△x-△x

1+(—1+Ax)2—1—(—1)2,口3/心…、，’口

---------------7----------------=Ax-2,由導數(shù)的定義，得/(-l)=lim(Ax-2)

八X-------------------------------------Ax—*0

=一2,所以八4）以-1）=專義（_2）=一/

14.（選做題）若--物體運動方程如下：（位移單位：m,時間單位：s）

29+3(f-3)2,0Wf<3,

s=N)=

3*+2,，23.

求：（1）物體在f￡[3,5]內的平均速度；

（2）物體的初速度u0;

（3）物體在t=\時的瞬時速度.

解：（1）因為物體在/￡[3,5]內的時間變化量為Zu=5—3=2,位移變化量為AS=3X52

+2-（3X32+2）=3X（52-32）=48,所以物體在，￡[3,5]內的平均速度為

巖=竽=24(m/s).

（2）求物體的初速度為，即求物體在/=0時的瞬時速度.

因為物體在f=o附近位移的平均變化率為管J(0+

29+3[(O+AZ)-3]2-29-3(0—3)2

=-L----------或------------------=3.18,

△s

所以物體在Z=0處位移的瞬時變化率為lim—=lim(3A/-18)=-18,

加一0△t加一o

即物體的初速度%=-18m/s.

(3)物體在t=\時的瞬時速度即為物體在t=\處位移的瞬時變化率.

因為物體在t=i附近位移的平均變化率為吊Ja+△[m

29+3F(1+Ar)-3]2-29-3(1-3)2

=-----L-----------E-----------------=3A/-12,

所以物體在E處位移的瞬時變化率為四原=媽(3AI2)=-⑵

即物體在/=1時的瞬時速度為-12m/s.

1.1.3導數(shù)的幾何意義

學習

目標1.理解曲線的切線的含義.2.理解導數(shù)的幾何意義.3.會求曲線在某點處的

切線方程.

4.理解導函數(shù)的定義，會用定義法求簡單函數(shù)的導函數(shù).

預習案自主學習研讀?思考?裳試

.獲知提煉.

1.導數(shù)的幾何意義

(1)切線的定義

如圖，對于割線PP”,當點P“趨近于點P時，割線PP“趨近于確定的位置，這個確定

位置的直綾"稱為點P處的切線.

(2)導數(shù)的幾何意義

導數(shù)的幾何意義：函數(shù)危)在x=x0處的導數(shù)就是切線PT的斜率k,即k=lim

Ax—?0

fCxo+Ax)-/(Xo)”

Av—f(xQ.

2.導函數(shù)的概念

(1)定義：當X變化時，713便是X的一個函數(shù)，我們稱它為負X)的導函數(shù)(簡稱導數(shù)).

f(x+AY)—f(%)

(2)記法：/(x)或了，即/(x)=/=lim.—1VT：一.

Ax—>0△X

1.判斷(正確的打“J”，錯誤的打“X”)

(I)導函數(shù)/(X)的定義域與函數(shù)Xx)的定義域相同.()

(2)函數(shù)在一點處的導數(shù)/(xo)是一個常數(shù).()

(3)函數(shù)y=/(x)在點沏處的導數(shù)/(xo)就是導函數(shù)/(x)在點x=xo處的函數(shù)值.()

(4)函數(shù)｛x)=0沒有導數(shù).()

(5)直線與曲線相切，則直線與已知曲線只有一個公共點.()

答案：⑴X(2)7(3)7(4)X(5)X

2.已知曲線y=/(x)=2?上一點/(2,8),則點/處的切線斜率為()

A.4B.16

C.8D.2

答案：C

3.已知y=/(x)的圖象如圖，則/'(h)與八XB)的大小關系是()

A.f(xQ歲(Xs)B.f(xA)<f(xB)C.f(xA)=f(xB)D.不能確定

解析：選B.由圖可知，曲線在點力處的切線的斜率比曲線在點B處的切線的斜率小,

結合導數(shù)的幾何意義知/(xA)<f(xB),選B.

4.曲線y=:在點P(l,1)處的切線的方程為.答案：x+y—2=0

、探究案講練互動，解惑?探究?突破卜

探究點1曲線在某點處的切線方程

例1求曲線產：在點從3,夕處的切線方程.

【解】因為J=lim1=lim2,\=~r>

AXTOADX-VX^Xx

所以曲線產拄點43,處的切線斜率為g,

所以曲線在點乂3,§處的切線方程為y—：=—3）,即x+9伊-6=0.

（1）求曲線〉=火》）在點P處的切線方程的步驟

①求出點P的坐標（xo,/（M）.

②求出函數(shù)在Xo處的變化率/（Xo）,從而得到曲線在點尸（X0,外0））處切線的斜率.

③利用點斜式寫出切線方程.

（2）求曲線過點尸的切線，點尸不一定是切點，也不一定在曲線上，即使點尸在曲線上

也不一定是切點.

口跟蹤訓練1.（2017?青島高二檢測）若函數(shù)Hx）=x-5則它與x軸交點處的切線的方

程為.

解析：由/（x）=x—1=0得x=±l,即與X軸交點坐標為（1,0）或（一1,0）.

（x+Ax）——J、—r1

x+Axx…11

因為/（x尸媽----------砥-----------=媽［1+x（x+V）卜1+聲

所以切線的斜率％=1+；=2,所以切線的方程為了=2（X—1）或y=2（x+l）.

即2x—y—2=0或2%一夕+2=0.答案：2%一夕一2=0或2x-y+2=0

2.試求過點尸（1,-3）且與曲線相切的直線的斜率以及切線方程.

解：設切點坐標為（Xo，泗），則有為=xW.因y'=limlim-----；-------2x.

Ax―0dXAx—?0dX

=,=

所以ky\x=XQ=2x（）.因切線方程為y—y（）2XQ（X—劭），

將點（1,一3）代入，得一3-'/=2x（）—2x：,所以孟一2x（）—3=0,所以劭=—1或x0=3.

當M=-1時，k=-2；當沏=3時，上=6.所以所求直線的斜率為-2或6.

當Xo=-1時，乂)=1,切線方程為y—1=-2(x+l),即2x+y+l=0；

當％o=3時，yo=9,切線方程為y—9=6（x—3）,即6x一歹一9=0.

探究點2利用導數(shù)的幾何意義求切點坐標［學生用書P5］

例2已知曲線危）=x?+6在點P處的切線平行于直線4x—y—3=0,求點P的坐標.

【解】設切點尸坐標為Qo,泗）.

于(x+—f(x)(x+Ax)2+6—(，+6)

lim媽QX+AX)

AxAr—O

=2x.所以點P在（xo,泗）處的切線的斜率為2xo.因為切線與直線4x—y—3=0平行，

所以2xo=4,x（）=2,為=/+6=10,即切點為（2,10）.

Q互動探究若本例中的“平行于直線4x一夕一3=0”變?yōu)椤按怪庇谥本€2x—y+5=

o”，其他條件不變，求點尸的坐標.

解：由本例解析知，點P(XO,州)處的切線的斜率為2xo.因為切線與直線2x—y+5=0垂

直，所以2x()X2=—l,得沏=一川=答，即切點為(一；，笥.

求滿足某條件的曲線的切點坐標的步驟

(1)先設切點坐標(X0,泗)；

(2)求導函數(shù)/(x)；

(3)求切線的斜率/你)；

(4)由斜率間的關系列出關于X。的方程，解方程求xo；

(5)點(X。，外)在曲線外)上，將(xo,則)代入求為得切點坐標.

處跟蹤訓練1.已知曲線夕=?的一條切線的斜率為:，則切點的橫坐標為()

A.1B.2

C.3D.4

解析：選A.因為尸/4￡=$=；,所以x=l,所以切點的橫坐標為1.

2.己知曲線人》)=一§在點P處的切線平行于直線2%+了-1=0,求切點P的坐標.

解：設切點P為(xo,yo)，則k=/(x0)=lim/(X。+―=)im

Ar_*0八XAx—>0

______1_____1(Xo+Ax)2—焉

Go+Ax)2/xj(xo+Ax)2.2xo+Ax2

Ax1}55)Axxo(xo+Ax)2Xo*

、.2

因為切線平行于直線2x+y—1=0,所以切線斜率為-2.所以嘉=-2.

所以即=—1.所以次沏)=/(—1)=—1.所以切點P的坐標為(一1,—1).

探究點3導數(shù)幾何意義的綜合應用[學生用書P6]

例3設函數(shù)/(幻=/+52-9*-13<0),若曲線y=/(x)的斜率最小的切線與直線12x

+y=6平行.求a的值.

3232

【解】因為Ax)—/(x)=a+Ax)+a(x+Ax)-9(x+Ax)-1-(x+ax-9x

-l)=(3x2+2ax-9)△x+(3x+a)(Ax)2+(Ax)3,

所以尹=3x2+2ax-9+(3x+a)Ax+(Ax)2,所以/(x)=lim尹=3f+2融一9

△XAx—>0△X

=3(5+削—9一會—9—專由題意知/(x)的最小值是一⑵所以-9號=-12,

即『=9,因為a<0,所以a=-3.

導數(shù)幾何意義的綜合應用問題的解題關鍵還是對函數(shù)進行求導，利用題目所提供的諸如

直線的位置關系、斜率最值范圍等關系求解相關問題，此處常與函數(shù)、方程、不等式等知識

相結合.

區(qū)跟蹤訓練若拋物線^=4x2上的點尸到直線y=4x—9的距離最短，求點P的坐標.

解：由點P到直線y=4x—9的距離最短知過點P的切線與直線y=4x—9平行.

,Ay4(x+Ax)2~4X2,

設尸(%o，yo)，y=hm~r~=1?-----------7-------------=lim(8x+4Ax)=8x,

'八'JAx—oAXA—OAXAX->O

所以點尸處的切線斜率為8%o，8x()=4,且澗=4xj,得劭=2，yo=1?

所以點P的坐標為R,1)

??HDSJffl??

i.曲線上某點處的導數(shù)與切線的關系

(1)函數(shù)道X)在XO處有導數(shù)，則在該點處函數(shù)兀0表示的曲線必有切線，且導數(shù)值是該切

線的斜率.

(2)函數(shù)｛x)表示的曲線在點。0，(卬))處有切線，但函數(shù)在該點處不一定可導，如.危0

=也在》=0處有切線，但不可導.

2.“函數(shù)危)在點X。處的導數(shù)人M”“導函數(shù)/(x)”“導數(shù)”之間的區(qū)別與聯(lián)系

(1)函數(shù)在一點處的導數(shù)/(xo),就是在該點處函數(shù)值的改變量與自變量的改變量之比的

極限值，它是一個常數(shù)，不是變數(shù).

(2)函數(shù)的導數(shù)是對某一區(qū)間內任意點x而言的，就是函數(shù)負x)的導函數(shù)/(x).

(3)函數(shù)道x)在點X。處的導數(shù)/(xo)就是導函數(shù)/(x)在x=x0處的函數(shù)值，即/。0)=訓尸％.

這也是求函數(shù)在點xo處的導數(shù)的方法之一.

3.(易誤防范)求曲線的切線要注意“過點尸的切線”與“在點尸處的切線”的差異.過

點P的切線，點P不一定是切點，也不一定在曲線上，即使點P在曲線上也不一定是切點；

在點尸處的切線，點P必為切點，且在曲線上.

??邕1堂倒測??

1.曲線>=-2x2+1在點(0,1)處的切線的斜率是()

A.-4B.0

C.4D.-2

解析：選B.因為Ay=-2(Ax)2,所以#=-2Ax,lim/=lim(-2Ax)=0,由導

△XAx-0△XAx—?0

數(shù)的幾何意義知切線的斜率為0.

2.設曲線卜=0?在點(1,0)處的切線與直線2x-y-6=0平行，則。等于()

A.1

C.-2D.-1

a(1+Ax)2-aX\2QAX+〃(Ax)2

解析:選A.因為y'\x=\=lim一=hm--------;---------=lim(2a

Ax-*OAxAx-0△XAr->0

+aAx)=2a,所以2a=2,所以a=l.

3.曲線3x的一條切線的斜率為1,則切點坐標為

解析：設兀。=y=x2—3x,切點坐標為(xo,澗)，

(x()+bx)2-3(x()+Ax)一/+3xo

f(x0)=lim

m—*0△x

2x()Ax-3Ax+(Ax)2

=lim—=2xo—3=1,故x()=2,泗=/一3xo=4—6二-2,

△x

故切點坐標為(2,-2).答案：(2,-2)

4.已知拋物線y=/(x)=f+3與直線y=2x+2相交，求它們交點處拋物線的切線方程.

y=f+3,

解：由方程組得f—2x+l=0,解得了=1,y=4,所以交點坐標為(1,4),

y=2x+2f

(Ax+1)2+3—(l2+3)

又?=Ax+2.當Ax趨于0時Ax+2趨于2.

Ax

所以在點(1,4)處的切線斜率％=2.所以切線方程為y—4=2(