數(shù)學導學案：向量加法運算及其幾何意義

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精2．2。1向量加法運算及其幾何意義1．通過位移、力的合成了解向量加法定義的由來．2．掌握向量加法的定義，會用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作兩個向量的和向量．3．掌握向量加法的交換律和結(jié)合律，并會用它們進行向量計算，初步掌握向量加法的實際應用．1．向量的加法（1）定義：求兩個向量____的運算,叫做向量的加法．兩個向量的和仍然是一個______．(2)三角形法則：如圖甲所示，已知非零向量a，b，在平面內(nèi)任取一點A，作eq\o(AB,\s\up6（→)）＝a，eq\o（BC，\s\up6（→)）＝b，則向量______叫做向量a與b的和，記作a＋b。這種求______的方法叫做向量加法的三角形法則．(3)平行四邊形法則：已知兩個不共線向量a，b(如圖乙所示),作eq\o(AB，\s\up6(→）)＝a，eq\o（AD，\s\up6(→)）＝b，則A，B，D三點不共線，以eq\o（AB,\s\up6(→)），eq\o(AD，\s\up6(→）)為鄰邊作平行四邊形ABCD，則向量______＝a＋b，這種作兩個向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則．①向量加法的多邊形法則:n個向量經(jīng)過平移,順次使前一個向量的終點與后一個向量的起點重合，組成一組向量折線，這n個向量的和等于折線起點到終點的向量．這個法則叫做向量加法的多邊形法則．多邊形法則實質(zhì)就是三角形法則的連續(xù)應用．②三角形法則和平行四邊形法則就是向量加法的幾何意義．（4)規(guī)定:a＋0＝0＋a＝a。（5）結(jié)論:|a＋b|≤|a|＋|b|.【做一做1－1】eq\o(AB,\s\up6(→）)＋eq\o(BD,\s\up6（→))等于（）A。eq\o(AB,\s\up6（→）） B。eq\o(BD，\s\up6（→)) C。eq\o（AD,\s\up6(→）) D。eq\o(DA,\s\up6（→）)【做一做1－2】在平行四邊形ABCD中，eq\o（AB,\s\up6（→）)＋eq\o(AD,\s\up6（→））等于(）A。eq\o(AC，\s\up6（→)） B。eq\o(BC，\s\up6（→）） C.eq\o（CD,\s\up6（→)) D.eq\o(BD，\s\up6（→)）【做一做1－3】在邊長為1的正方形ABCD中,｜eq\o（AB，\s\up6(→)）＋eq\o(BC，\s\up6(→）)＋eq\o(CD,\s\up6(→）)｜等于()A．0B．1C。eq\r（2）D．32．向量加法的運算律交換律a＋b＝________結(jié)合律（a＋b）＋c＝________【做一做2】化簡eq\o（PB,\s\up6（→))＋eq\o(OP,\s\up6（→）)＋eq\o（BO,\s\up6（→)）＝__________.答案：1．（1)和向量（2）eq\o（AC,\s\up6（→））向量和(3)eq\o(AC，\s\up6(→))【做一做1－1】C【做一做1－2】A【做一做1－3】B｜eq\o(AB,\s\up6（→)）＋eq\o(BC，\s\up6(→))＋eq\o（CD,\s\up6(→））|＝｜eq\o（AC,\s\up6(→）)＋eq\o（CD,\s\up6（→）)|＝｜eq\o(AD，\s\up6(→))|＝1。2．b＋aa＋（b＋c）【做一做2】0eq\o（PB，\s\up6（→））＋eq\o(OP，\s\up6（→)）＋eq\o（BO,\s\up6（→)）＝(eq\o（OP，\s\up6(→)）＋eq\o(PB，\s\up6（→）))＋eq\o(BO，\s\up6(→))＝eq\o（OB，\s\up6（→））＋eq\o（BO,\s\up6（→）)＝0.向量加法與實數(shù)加法的異同剖析：討論兩種運算的異同,主要從它們的運算結(jié)果、運算律、運算的意義來分析．(1）運算結(jié)果：向量的和還是向量,實數(shù)的和還是實數(shù)．（2)運算律:向量的加法與實數(shù)的加法都滿足交換律與結(jié)合律；向量加法的交換律可以用平行四邊形法則來驗證;向量加法的結(jié)合律可以用三角形法則驗證，如下：如圖,作eq\o(AB，\s\up6（→))=a,eq\o(BC，\s\up6（→)）=b,eq\o(CD,\s\up6(→)）=c,連接AC，AD，則eq\o（AC,\s\up6（→）)=a+b，eq\o（BD，\s\up6（→））=b+c。∵eq\o(AD,\s\up6(→))=eq\o(AB,\s\up6（→)）+eq\o(BD,\s\up6(→))=a+（b+c），eq\o(AD,\s\up6（→)）=eq\o(AC，\s\up6（→)）+eq\o(CD，\s\up6(→)）=（a+b）+c,∴（a+b)+c=a+(b+c）．（3）運算的意義：向量加法的幾何意義是向量加法的三角形法則和平行四邊形法則；實數(shù)加法的意義是實數(shù)的加法法則．由此可見，向量的加法與實數(shù)的加法不相同，其根本原因是向量不但有大小并且還有方向，而實數(shù)僅有大小，是數(shù)量,所以向量的運算不能按實數(shù)的運算來進行．題型一作向量的和【例1】如圖所示，已知向量a，b，c,試作出向量a＋b＋c。分析:本題是求作三個向量的和向量的問題,首先應作出兩個向量的和，由于這兩個向量的和仍為一個向量，然后再作出這個向量與另一個向量的和，方法是多次使用三角形法則或平行四邊形法則．反思:應用三角形法則、平行四邊形法則作向量和時需注意的問題:①三角形法則可以推廣到n個向量求和，作圖時要求“首尾相連"．即n個向量首尾相連的向量的和對應的向量是第一個向量的起點指向第n個向量的終點的向量．②平行四邊形法則只適用于不共線的向量求和，作圖時要求兩個向量的起點重合．③當兩個向量不共線時，兩個法則實質(zhì)上是一致的，三角形法則作出的圖形是平行四邊形法則作出的圖形的一半,在多個向量的加法中，利用三角形法則更為簡便．如本題作法1比作法2簡單．題型二化簡含有向量的關系式【例2】化簡下列各式：(1)eq\o（AB，\s\up6（→））＋eq\o(DF，\s\up6（→)）＋eq\o(CD,\s\up6（→))＋eq\o(BC,\s\up6（→）)＋eq\o（FA，\s\up6(→))；（2）（eq\o(AB，\s\up6（→)）＋eq\o（MB，\s\up6(→)))＋eq\o(BO，\s\up6（→））＋eq\o（OM,\s\up6（→)）。分析：首先根據(jù)向量加法的交換律變?yōu)楦飨蛄渴孜蚕噙B，然后利用向量加法的結(jié)合律求和．反思：化簡含有向量的關系式一般有兩種方法：①利用幾何方法通過作圖實現(xiàn)化簡；②利用代數(shù)方法通過向量加法的交換律，使各向量“首尾相接"，通過向量加法的結(jié)合律求和，有時也需將一個向量拆分成兩個或多個向量，如本題．題型三向量加法的實際應用【例3】如圖，在重300N的物體上拴兩根繩子，這兩根繩子在鉛垂線的兩側(cè)，與鉛垂線的夾角分別為30°，60°，求當整個系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)時,兩根繩子拉力的大?。此迹航鉀Q與向量有關的實際應用題，應本著如下步驟解題：eq\x（弄清實際問題)→eq\x(數(shù)學問題)→eq\x（正確畫出圖形）→eq\x（用向量表示實際量)→eq\x(向量運算)→eq\x（回扣實際問題)→eq\x（作出解答)題型四易錯辨析易錯點用平行四邊形法則作平行向量的和【例4】如圖，已知平行向量a,b，求作a＋b.錯解：作eq\o（OA，\s\up6(→）)＝a，eq\o(OB,\s\up6（→))＝b，則eq\o（AB，\s\up6（→))＝a＋b就是求作的向量．錯因分析：因為兩向量反向，和向量的長度應為｜b｜－|a｜，方向應與向量b的方向相同．答案:【例1】解：作法1：如圖1所示，首先在平面內(nèi)任取一點O,作向量eq\o（OA,\s\up6(→））＝a，接著作向量eq\o（AB,\s\up6(→))＝b,則得向量eq\o(OB,\s\up6（→)）＝a＋b;然后作向量eq\o(BC，\s\up6（→）)＝c，則向量eq\o(OC，\s\up6（→））＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即為所求．圖1作法2：如圖2所示，首先在平面內(nèi)任取一點O，作向量eq\o(OA,\s\up6（→)）＝a,eq\o(OB，\s\up6(→)）＝b,eq\o(OC，\s\up6(→)）＝c，以OA，OB為鄰邊作OADB，連接OD,則eq\o(OD，\s\up6（→）)＝eq\o（OA，\s\up6（→))＋eq\o（OB,\s\up6（→))＝a＋b.圖2再以OD，OC為鄰邊作ODEC，連接OE，則eq\o(OE,\s\up6(→））＝eq\o(OD,\s\up6（→）)＋eq\o（OC,\s\up6（→）)＝a＋b＋c即為所求．【例2】解:(1）eq\o(AB,\s\up6(→)）＋eq\o（DF，\s\up6(→））＋eq\o（CD,\s\up6(→))＋eq\o（BC,\s\up6(→)）＋eq\o（FA,\s\up6（→）)＝eq\o(AB,\s\up6（→)）＋eq\o（BC，\s\up6（→）)＋eq\o(CD,\s\up6（→））＋eq\o(DF,\s\up6(→））＋eq\o(FA，\s\up6(→))＝eq\o（AC,\s\up6（→）)＋eq\o（CD，\s\up6(→））＋eq\o（DF,\s\up6（→)）＋eq\o（FA，\s\up6(→)）＝eq\o（AD，\s\up6（→)）＋eq\o(DA，\s\up6(→))＝0.(2）（eq\o(AB，\s\up6(→))＋eq\o(MB，\s\up6(→))）＋eq\o(BO，\s\up6（→）)＋eq\o（OM，\s\up6（→)）＝（eq\o（AB,\s\up6（→）)＋eq\o（BO，\s\up6（→)））＋（eq\o（OM，\s\up6（→））＋eq\o(MB，\s\up6(→）))＝eq\o(AO,\s\up6(→））＋eq\o（OB，\s\up6(→）)＝eq\o（AB,\s\up6(→)).【例3】解：如圖,作OACB，使∠AOC＝30°，∠BOC＝60°，eq\o(OA，\s\up6（→））和eq\o（OB,\s\up6（→））分別表示兩根繩子的拉力，則eq\o（OC,\s\up6(→))表示這兩根繩子拉力的合力,則|eq\o（OC，\s\up6(→)）｜＝300N.在△OAC中，∠ACO＝∠BOC＝60°,∠OAC＝90°.則|eq\o（OA,\s\up6（→））|＝|eq\o（OC,\s\up6（→)）|cos30°＝300×eq\f（\r（3)，2)＝150eq\r（3)(N）,|eq\o(AC，\s\up6(→)）｜＝｜eq\o（OC,\s\up6(→）)｜sin30°＝300×eq\f(1，2)＝150(N)，即|eq\o(OB，\s\up6（→）)|＝｜eq\o(AC，\s\up6（→）)｜＝150(N)．則可得與鉛垂線成30°角的繩子的拉力是150eq\r(3）N，與鉛垂線成60°角的繩子的拉力是150N.【例4】正解：作eq\o（OA，\s\up6（→)）＝a，eq\o(AB，\s\up6(→））＝b，則eq\o（OB,\s\up6（→））＝a＋b就是求作的向量．1．四邊形ABCD中，＋＝，則四邊形ABCD是（)A．任意四邊形 B．矩形 C．正方形 D．平行四邊形2．如圖所示，四邊形ABCD是梯形，AD∥BC,則＋＋＝（）A。 B。 C。 D.3．化簡下列各式：（1）＋＋;(2)＋＋＋.4．已知向量a和向量b，如圖所示，分別用三角形法則和平行四邊形法則作出a＋b.5．如圖所示，兩個力F1和F2同時作用在一個質(zhì)點O上，且F1的大小為3N，F(xiàn)2的大小為4N,且∠AOB＝90°，試作出F1和F2的合力，并求出合力的大?。鸢?1．D2．B