數(shù)列基礎(chǔ)知識與解法歸類

照列某般知但易斛依忸類

（一）善克頹制

預(yù)測高考對數(shù)列的考查有如下特點(diǎn)：

（1）等差、等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、求和公式以及性質(zhì)仍是考查重點(diǎn)。命題時(shí)可能以

小題形式出現(xiàn)，中低檔難度，但解題方法靈活多樣。

（2）數(shù)列解答題通常與函數(shù)、方程、不等式、解幾等知識綜合在一起，一般屬中、高檔難

度題。對學(xué)生的思維水平提出較高的要求。有時(shí)會以壓軸題出現(xiàn)。

（二）：等差、等比數(shù)列主要知識：

等差數(shù)列等比數(shù)列

定義q—-=d&=貝"0)

an-\

通項(xiàng)

an=ai+(n-\)d推廣a'=+(〃一⑼d4=3推廣%

前n項(xiàng)和當(dāng)4=1時(shí)S“=M]

S=——5———=na,+--------當(dāng)3時(shí)s“=處心=無也

n”212

i-q\-q

=a

若加+〃=p+4則a,”+a〃=ap+aq若加+〃=p+q則“J/Pq

2

Sn,52n-Sn,S3n-52M,…組成公差為nd的SR，S2n-SntS%—S2“，…當(dāng)各項(xiàng)均不

簡單性質(zhì)等差數(shù)列為零時(shí)組成等比數(shù)列

an,an+nt,a“+2m，…組成公差為〃/的等差數(shù)%，4+m，%加，…組成公比為?！钡牡?/p>

列比數(shù)列

1、定義法：1、定義法：

2、等差中項(xiàng)法：若2a”+]=a“+a“+2=｛〃”｝成2、等比中項(xiàng)法:若片+]=anan+2o｛a”｝成

等差等比

3、通項(xiàng)法：若勺=4〃+80｛q｝成等差3、通項(xiàng)法：若/=cq〃（c,q均是不為零的

判定方法

4、前n項(xiàng)和法：若5“=4〃2+序?0｛4｝成等常數(shù)，〃END。｛q｝成等比

差4、前n項(xiàng)和法：若S”=Aq”一A（A,q

為常數(shù)，且AwO,gwO,gwl）=｛q｝成

等比（公比g"）

相關(guān)等差、等比數(shù)列的結(jié)論

1.等差數(shù)列｛/｝的任意連續(xù)〃z項(xiàng)的和構(gòu)成的數(shù)列-……仍為等差數(shù)列.

2.等差數(shù)列｛4｝中，若m+n=p+q,則

3.等比數(shù)列｛〃“｝中，若m+n=p+q,則4〃

4.設(shè)數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，S奇是奇數(shù)項(xiàng)的和，S偶是偶數(shù)項(xiàng)的和，S“是前n項(xiàng)的和，則有如下性質(zhì)：

前n項(xiàng)的和Sn=S'+S偶

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，S偶-S奇=￡d，其中d為公差；

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，則S奇-S偶=〃中，鼠=4打（即：$_=q），辿="1,（其中。中是等差數(shù)列的中

n2/w-lS偶H-1

間一項(xiàng)）

5.等比數(shù)歹Ij｛an｝的任意連續(xù)小項(xiàng)的和構(gòu)成的數(shù)列S叱Szm—S/SsM-Sz,”,…?一不一定為等比數(shù)列.

6.兩個(gè)等差數(shù)列｛%｝與｛bn｝的和差的數(shù)列｛為±bn｝仍為等差數(shù)列.

7.法個(gè)等比數(shù)列｛〃“｝與｛〃｝的積、商、倒數(shù)的數(shù)列｛q?〃｝、］—k仍為等比數(shù)列.

的Jl^J

8.S”是等比數(shù)列｛〃.｝的前n項(xiàng)和，

①當(dāng)干一1且女為偶數(shù)時(shí)，臬，5〃一臬，S軟一S?*不是等比數(shù)列.

②當(dāng)行:一1或4為奇數(shù)時(shí)，Sk,S2k-Sk,Syk-S2k仍成等比數(shù)列.

9.設(shè)數(shù)列｛%｝是公差為d等差數(shù)列，則由=/=常數(shù)，知數(shù)列｛0%｝(。>0,。，1)是等

比數(shù)列。

10.設(shè)數(shù)列｛%｝是公式為9的正項(xiàng)等比數(shù)列，則由log,%—logc/T=logc2=logc4=常數(shù)，知數(shù)列

an-\

｛log,4｝(C>0,C。1)是等差數(shù)列。

11.當(dāng)且僅當(dāng)數(shù)列是非零的常數(shù)列時(shí)，該數(shù)列既是等差又是等比數(shù)列

12.三數(shù)成等差，可設(shè)三數(shù)為a-dMM+d,四數(shù)成等差可設(shè)四數(shù)為?！?d,a—d,a+d,a+3d

三數(shù)成等比，可設(shè)三數(shù)為g,a,aq,但匹數(shù)成等比時(shí)，不一定能設(shè)成立,

qqq

13等差與等比的互變關(guān)系：

｛q｝成等差數(shù)列o｛b(,"｝(b>0,b/1)成等比數(shù)列

｛an｝成等差數(shù)列o｛can+d｝(c/0)成等差數(shù)列

%>o

｛〃”｝成等比數(shù)列O｛log〃q｝成等差數(shù)列

｛4｝成等比數(shù)列n忖｝成等比數(shù)列

14.等比、等差數(shù)列和的形式：

｛〃“｝成等差數(shù)歹ijoan=An+BoSn=A/+Bn

n

｛4｝(qW1)成等比數(shù)列OSn=A(q-\)(Aw0)

15.無窮遞縮等比數(shù)列的所有項(xiàng)和：

｛q-IqkD成等比數(shù)歹UoS=limS，=2

16.求數(shù)列｛0｝的最大、最小項(xiàng)的方法：

>0

2

①an+l-an=......0inan=-2n+29n-3

<0

>1

②智=???=1(〃.>0)如〃/窄工

"[<1

③an=f(n)研究函數(shù)f(n)的增減性如氏=一^—

n+156

(三)主要方法：

1.解決等差數(shù)列和等比數(shù)列的問題時(shí)，通?？紤]兩類方法：①基本量法：即使用條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于外和d(q)

的方程；②巧妙使用等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，一般地使用性質(zhì)能夠化繁為簡，減少運(yùn)算量.

2.深刻領(lǐng)會兩類數(shù)列的性質(zhì)，弄清通項(xiàng)?！昂颓啊?xiàng)和公式5“的內(nèi)在聯(lián)系是解題的關(guān)鍵.

(四)數(shù)列通項(xiàng)公式的求法：

1,等差、等比公式法

2、形如：4―《-=/(〃)用迭加法，形如：&=/(〃)用迭乘法。

an-\

例如：根據(jù)下面各個(gè)數(shù)列｛〃,｝的首項(xiàng)和遞推關(guān)系，求其通項(xiàng)公式

⑴6=I,—=an+2n(neN*)

⑵％=1,%+|=~17aN")

n+l

3^一階遞推：an=pan_x+q,其中〃,g為常數(shù)，通常將其轉(zhuǎn)化成%+x=+x)

例如：已知數(shù)列｛〃/滿足q=2，凡+—3%+2=0,(〃wN),求見

創(chuàng)新試題：已知數(shù)列｛〃”｝滿足q=2,4,川=3an+2〃-1,(〃wN),求an

[提示：設(shè)法將已知變形為+如+1)+y=3(4+m+y)]

4、利用換元法

5、歸納一猜想一證明

S.,w=1

6、先求出其前n項(xiàng)和S“，然后根據(jù)4二《二八八求出凡

卜〃』,"22

C

例已知數(shù)列｛%｝前n項(xiàng)和為S〃，且滿足q=2,S“="7求知

3sa一1+1

(五)數(shù)列前n項(xiàng)的求法：

1,等差、等比公式法

2、錯(cuò)位相減法：設(shè)數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列，數(shù)列仿〃｝是等差數(shù)列，則數(shù)列｛〃/“｝

的前〃項(xiàng)和S.求解，均可用錯(cuò)位相減法

例如設(shè)數(shù)列｛4｝為l,2x,3x2,4x3………(x00)求此數(shù)列前〃項(xiàng)的和.

3、倒序相加法：例設(shè)數(shù)列上｝是首項(xiàng)為q,公差為d的等差數(shù)列，求和：*+出。：+%比+???+。2禺

I1?37

又如：已知/(%)=-；—，則/(——)+/(——)+/(——)+???+/(——)=________。

4v+2八2008200820082CO8

4、分組求和：如求和：(x4—)+(x~H—^)+…+(X"H---)(其中產(chǎn)鈉，y^-1)

yy)/

5、合并求和：1002-992+982-972+962-952+-+22-I2

6、裂項(xiàng)相消法求和：例若數(shù)列｛%｝是各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列，求數(shù)列J—5—1的前n項(xiàng)和

q,an^\,

又如：數(shù)列｛%｝滿足%=/1/,求前n項(xiàng)和S“

\Jn+，〃+1

7、此外還有：歸納一猜想一證明法，奇偶法，導(dǎo)數(shù)法

8、常用求和公式：

1+2+―+/7=—〃(/升1)

2

]2+22+*"+//2=-//(//+1)(2//^1)

6

1"+2?+…+//=(1+2+?,?+〃)2~—n

4

等比數(shù)列中Si=S〃+qn?Sm=Sjq"-S〃

(六)分期付款模型：

分期付款購買售價(jià)為a的商品，分n次經(jīng)過m個(gè)年(月)還清貸款，每年(月)還款x,年(月)利率為

P,則每次應(yīng)付款：

m

“(1十〃尸(1十.)二一1

X=----------------------

(i+pr-i

模型推導(dǎo)過程：

例1：一般地，購買一件售價(jià)為a元的商品?采用分期付款時(shí)要求在m個(gè)月內(nèi)將款全部付清，月利率為p,

分n(n是m