第二十三章旋轉(zhuǎn)（知識歸納題型突破）（八大題型134題）-九年級數(shù)學(xué)上冊單元速記巧練（人教版）

第二十三章旋轉(zhuǎn)(知識歸納+題型突破)調(diào)標要求重要題型重要題型應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心距離相等，兩組對應(yīng)點分別與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角相等.2.了解中心對稱、中心對稱圖形的概念，探索它們的基本性質(zhì)；過對稱中心，且被對稱中心平分.3.探索線段、平行四邊形、正多邊形、圓的中心對稱性質(zhì).把一個平面圖形繞著平面內(nèi)的一點O轉(zhuǎn)動一個角度。(旋轉(zhuǎn)中心：O點，旋轉(zhuǎn)角：轉(zhuǎn)動的角度)①對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等②對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角③旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等3、中心對稱把一個圖形繞著某一點O旋轉(zhuǎn)180度，如果它能夠與另一個圖形重合，這兩個圖形關(guān)于這個點對稱或中心4、性質(zhì)①對稱點所連線段都經(jīng)過對稱中心，且被對稱中心所平分②中心對稱的圖形是全等圖形把一個圖形繞著某一點o旋轉(zhuǎn)180度后能與原圖形重合，主體：一個圖形，而中心對稱指的是兩個4、關(guān)于原點對稱的坐標P(x,y)→P(-x,-y)題型一旋轉(zhuǎn)三要素題型一旋轉(zhuǎn)三要素【例1】如圖，△ABC和△ADC都是等邊三角形.(1)△ABC沿著所在的直線翻折能與△ADC重合；(2)如果△ABC旋轉(zhuǎn)后能與△ADC重合，則在圖形所在的平面上可以作為旋轉(zhuǎn)中心的點是;(3)請說出2中一種旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)【答案】(1)AC;(2).點A、點C或者線段AC的中點；(3)60°【分析】(1)因為△ABC和△ADC有公共邊AC,翻折后重合，所以沿著直線AC翻折即可；(2)將△ABC旋轉(zhuǎn)后與△ADC重合，可以以點A、點C或AC的中點為旋轉(zhuǎn)中心；(3)以點A、點C為旋轉(zhuǎn)中心時都旋轉(zhuǎn)60°,以AC中點旋轉(zhuǎn)時旋轉(zhuǎn)180°【詳解】(1)∵△ABC和△ADC都是等邊三角形，∴△ABC和△ADC是全等三角形，(2)將△ABC旋轉(zhuǎn)后與△ADC重合，則可以以點A為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)60°或以點C為旋轉(zhuǎn)中心順時針旋轉(zhuǎn)60°,或以AC的中點為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)180°即可；(3)以點A、點C為旋轉(zhuǎn)中心時都旋轉(zhuǎn)60°,以AC中點旋轉(zhuǎn)時旋轉(zhuǎn)180°.【點睛】此題考查平移的對稱軸確定的方法、旋轉(zhuǎn)中心確定的方法，依照平移、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)來確定即可鞏固訓(xùn)練：1.(2023·全國·九年級專題練習(xí))如圖，在正方形網(wǎng)格中，圖中陰影部分的兩個圖形是一個經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變換得到另一個的，其旋轉(zhuǎn)中心可能是()【答案】B【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，作兩組對應(yīng)點所連線段的垂直平分線，交點即為旋轉(zhuǎn)中心，即可得.【詳解】解：如圖所示，兩組對應(yīng)點所連線段的垂直平分線的交點B即為旋轉(zhuǎn)中心，【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).2.(2023春·福建漳州·八年級統(tǒng)考期末)如圖，在7×5方格紙中，格點三角形甲經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后得到格點三角形乙，則其旋轉(zhuǎn)中心是()A.點M則秋千旋轉(zhuǎn)的角度為()A.50°B.60°C.80°解題的關(guān)鍵.5.(2023-江蘇·八年級假期作業(yè))如圖，如果將正方形甲旋轉(zhuǎn)到正方形乙的位置，可以作為旋轉(zhuǎn)中心的點有乙甲【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，即可得出，分別以A,B,C為旋轉(zhuǎn)中心即可從正方形甲旋轉(zhuǎn)到正方形乙的位置.【詳解】解：如圖，繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)90°,可到正方乙的位置；繞C點順時針旋轉(zhuǎn)90°,可到正方乙的位置；繞AC的中點B旋轉(zhuǎn)180°,可到正方乙的位置；【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后的兩個圖形全等，對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；特別注意容易忽略點B.6.(2023春·江蘇·八年級專題練習(xí))如圖，若正方形EFGH由正方形ABCD繞某點旋轉(zhuǎn)得到，則可以作為旋轉(zhuǎn)中心的是()【答案】A【詳解】試題分析：若以M為旋轉(zhuǎn)中心，把正方形ABCD順時針旋轉(zhuǎn)90°,A點對應(yīng)點為H,B點對應(yīng)點為E,C點對應(yīng)點為F,D點對應(yīng)點為G,則可得到正方形EFGH;若以O(shè)為旋轉(zhuǎn)中心，把正方形ABCD旋轉(zhuǎn)180°,A點對應(yīng)點為G,B點對應(yīng)點為H,C點對應(yīng)點為E,D點對應(yīng)點為F,則可得到正方形EFGH;若以N為旋轉(zhuǎn)中心，把正方形ABCD逆時針旋轉(zhuǎn)90°,A點對應(yīng)點為F,B點對應(yīng)點為G,C點對應(yīng)點為H,D點對應(yīng)點為E,則可得到正方形EFGH.故選A.7.(2023春山東濱州·八年級統(tǒng)考期末)如圖，在正方形網(wǎng)格中，ABC繞某點旋轉(zhuǎn)一定的角度得到A'B'℃",則旋轉(zhuǎn)中心的坐標是.【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，則對應(yīng)點連線的垂直平分線的交點即為旋轉(zhuǎn)中心.旋轉(zhuǎn)中心)是解題的關(guān)鍵.【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，對應(yīng)點的連線的垂直平分線的交點即為旋轉(zhuǎn)中心，據(jù)此可求解.標為A(-3,4),B(-4,2),C(-2,1),ABC繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)90°,得到△A,BC,△AB?C向右平移6個單位，再向上平移2個單位得到△A?B?C?.(2)P(a,b)是ABC的AC上一點，ABC經(jīng)旋轉(zhuǎn)、平移后點P的對應(yīng)點為P,則點P?的坐標是.(3)對應(yīng)點連線的垂直平分線的交點即為旋轉(zhuǎn)中心.【詳解】(1)解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到△A?B?C,(2)解：由(1)坐標變換規(guī)律得：P(-b,a),P?(-b+6,a+2);(1)請寫出旋轉(zhuǎn)中心的坐標是,旋轉(zhuǎn)角是度；(2)以(1)中的旋轉(zhuǎn)中心為中心，分別畫出AA?C?逆時針旋轉(zhuǎn)90°、180°后的三角形；(3)設(shè)Rt△ABC兩直角邊BC=a,AC=b,斜邊AB=c,利用變換前后所形成的圖案證明勾股定理.(2)見解析(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出旋轉(zhuǎn)圖形即可求解；【詳解】(1)解：如圖所示，即旋轉(zhuǎn)角是90度.(2)畫出的圖形如圖所示.設(shè)Rt△ABC兩直角邊BC=a,AC=b,斜邊AB=c,【點睛】本題考查了勾股定理，找旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)角，畫旋轉(zhuǎn)圖形，勾股定理的證明，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性【例2】(2022秋湖北荊州·九年級統(tǒng)考期中)如圖，ABC中，∠B=15°,∠ACB=25°,AB=4cm,ABC逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度后與VADE重合，且點C恰好成為AD的中點.(1)指出能轉(zhuǎn)中心，并求出旋轉(zhuǎn)的度數(shù)；【答案】(1)旋轉(zhuǎn)中心為點A,旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為140°(2)∠BAE=80°,AE=2【分析】(1)根據(jù)圖形可得旋轉(zhuǎn)中心為點A,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠BAC,結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可得出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)；【詳解】(1)解：∠BAC=180°-∠B-∠ACB=180°-15°-25°=140°,即∠BAD=140°,所以旋轉(zhuǎn)中心為點A,旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為140°;(2)解：∵ABC逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度后與VADE重合，∵點C恰好成為AD的中點，【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)前后對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊連線的夾角等于旋轉(zhuǎn)角.【例3】如圖1,在等腰Rt△ABC中，AB=BC=8,∠B=90°,D、E分別為AB、BC上的點，且BD=BE=6,將DBE繞B點逆時針旋轉(zhuǎn)α(0°<α≤180°).(1)如圖2,當0°<α<90°時，求證：AD=CE;(2)若α=60°,求AD的長；(3)在DBE旋轉(zhuǎn)過程中，直接寫出CD的最大值.【分析】(1)利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出角度相等，再證明ABD≌CBE即可；(2)添加輔助線，構(gòu)造直角三角形，再由勾股定理即可求解；(3)判斷出點D在CB的延長線上時，CD最大，即可得出結(jié)論.【詳解】(1)證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，∠ABD=∠CBE,(2)過點D作DF⊥AB于點F,當α=60°,即∠ABD=60°,(3)如圖，∴當點D、點B、點C三點共線時，CD最大，最大值為BC+BD=8+6=14【點睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，判斷出ABD≌CBE是解本題的關(guān)鍵.鞏固訓(xùn)練B'在線段BC的延長線上，則∠B的度數(shù)為()A.40°【答案】A【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠BAB'=100°,AB=AB',由等邊對等角的性質(zhì)可得∠B=∠AB'B,即可求解.【詳解】解：∵將ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)100°,A.(0,2)B.(-2,0)c.(0,√2)D.(-2√2,0)旋轉(zhuǎn)，得到矩形AEFG.點B的對應(yīng)點E落在CD上，且DE=EF.則AB的長為()【答案】A【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到EF=AD=3,?D90,AB=AE,由DE=EF得到DE=3,根據(jù)勾股定理得【詳解】∵將矩形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到矩形AEFG,,AB=AE,故選：A【點睛】此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理等知識，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和勾股定理計算是解決本題的關(guān)鍵.繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到△A'B'℃,此時點A'恰好在邊AB上，AB'與BC交于點D,則BD長為()A.2【分析】首先證明ACA'是等邊三角形，再證明CDA'是直角三角形，求出A'D即可解決問題.【詳解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=1,∠B=30°,∵將ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到A'B'℃,∴ACA是等邊三角形，【點睛】本題考查直角三角形30度角的性質(zhì)、勾股定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用這些知識解決問題，屬于中考?？碱}型.5.(2023-寧夏·統(tǒng)考中考真題)如圖，在ABC中，∠BAC=90°,AB=AC,BC=2.點D在BC上，且BD:CD=1:3.連接AD,將線段AD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE,連接BE,DE.則BDE的面【答案】B【分析】證明△ADC≌△AEB,得到BE=CD,∠ABE=∠C,推出DBE為直角三角形，利用BDE的面積等于,進行求解即可【詳解】解：∵∠BAC=90°,AB=AC,∵將線段AD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE,在△ADC和△AEB中，∴BDE的面積等于【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì).熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得到三角形全等是解題的關(guān)鍵.本題蘊含手拉手全等模型，平時要多歸納，多總結(jié)，便于快速解題.6.(2023春-河北保定·八年級保定市第十七中學(xué)校聯(lián)考期末)在《數(shù)學(xué)知識PK賽》上，天逸同學(xué)給競爭對手拋出了一道旋轉(zhuǎn)題，做為觀賽選手，請大家都來挑戰(zhàn)一下：如圖，將ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)70°,得到VADE,若點D在線段BC的延長線上，則∠B的大小是()A.45°B.55°C【答案】B【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AB=AD,∠BAD=70°,再利用等邊對等角以及三角形內(nèi)角和定理即可求解.【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AB=AD,∠BAD=70°,【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊對等角，三角形內(nèi)角和定理，熟記各圖形的性質(zhì)并準確識圖是解題的關(guān)鍵.點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△QAC,則PQ的長等于()【答案】B【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)推出AC=AB,∠CAB=60°,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出CQA≌BPA,推出AQ=AP,∠CAQ=∠BAP,求出∠PAQ=60°,得出△APQ是等邊三角形，即可求出答案.【詳解】解：∵△ABC是等邊三角形，∵將PAB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△QAC∴CQ4≌BPA,【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識點，關(guān)鍵是每個角都等于60°.8.(2022秋廣東深圳九年級校考開學(xué)考試)如圖，正方形ABCD的邊長為6,點E、F分別在AB,AD上，【答案】A【分析】將CDF繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°到CBM,易證△CEF與CEM全等得到EF=EM,利用勾股定理求出BE=3,則AE=3,設(shè)DF=x,利用勾股定理建立方程求解x,再通過勾股定理求算CF.將CDF繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°到CBM,如圖∴E、B、M三點共線，∴CEF≌CEM(SAS),在Rt△CBE中，由勾股定理得BE=√CE2-BC2=3,設(shè)DF=BM=x,則EF=ME=x+3,AF=6-x,在RtAEF中，由勾股定理得：AE2+AF2=EF2,【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定、勾股定理等等.正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.【詳解】解：如圖，∵四邊形ABCD是菱形，∠DAB=60°,∵菱形ABCD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)30°得到菱形ABCD,∴A,DC,C三點共線，又∵∠ACB=30°【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，關(guān)鍵是靈活運用這些性質(zhì)解決問題10.(2023·全國·九年級專題練習(xí))如圖，將ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到VADE,點C和點E是對應(yīng)點，若【答案】A【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠EAC=∠DAB=90°,AD=AB,進而勾股定理即可求解.【詳解】解：將ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到VADE,∠CAE=90°,【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠EAC=∠DAB=90°,AD=AB,題的關(guān)鍵.11.(2023春·天津北辰·九年級校考階段練習(xí))如圖，將ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到DEC,是A.ABIEBB.CA=CDC.BC=CED.∠A=∠EBC【答案】A【分析】利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AC=CD,BC=EC,∠ACD=∠BCE,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得出∠A=∠EBC,再根據(jù)∠EBC=∠EBC+∠ABC=∠A+∠ABC=180°-∠ACB即可求解.【詳解】解：∵ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到DEC,;∴選項B、C正確，∵∠EBA=∠EBC+∠ABC=∠A+∠ABC=180°-∠ACB不一定等于90°,∴選項A不一定正確；【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.也考查了等腰三角形的性質(zhì).∠DAC=60°,∠BAE=100°,BC、DE相交于點F,BC、AD相交于點G,則∠DAB的度數(shù)為的關(guān)鍵.落在邊BC上的A處，再將四邊形CDEA繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到四邊形C?D?E?A則△EFC的面積為.【答案】2∴四邊形ABAE是正方形，∴AB=BA?=AE=AE=3,且A?BE是等腰直角三角形，∴四邊形ACDE是矩形，∵將四邊形CDEA繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到四邊形C?D?E?A,故答案為：2.【點睛】本題主要考查矩形與折疊，等腰三角形的性質(zhì)的綜合，掌握矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)的綜合運用是解題的關(guān)鍵.14.(2022秋-河北保定·九年級校聯(lián)考期中)如圖，將Rt△ABC繞點A按順時針旋轉(zhuǎn)一定角度得到Rt△ADE,點B的對應(yīng)點D恰好落在BC邊上.【分析】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，即可達到答案；(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AD=AB,由∠B=60°,于是可判斷ADB為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)【詳解】解：(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可知：AD=AB,故答案為：是；【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角.也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì).逆時針旋轉(zhuǎn)90°得△AEF,點D,C分別對應(yīng)點E,F,連接CF,若∠BAC=62°,則∠CFE的度數(shù)為°.【分析】由等腰三角形的性質(zhì)可得BD=CD,∠ACB=∠ABC=59°,ADIBC,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AF=AC,【詳解】解：∵AB=AC,D是BC的中點，∠BAC=62°,故答案為：14.則AC=.【分析】如圖，設(shè)CH=x,延長AB,交DC延長線與E,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及三角【詳解】如圖，延長AB,交DC延長線與E,設(shè)CH=x,∵ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)120°,點A,C的對應(yīng)點分別為A',C',∴BE=2BH=2x,HE=√BE2-BH2=√3x,【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及30°角所對直角邊等于斜邊一半的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.BE=2,DF=3,則AH的長為.【答案】6最后利用勾股定理解答即可.【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：ABG≌ADF,∵四邊形ABCD是正方形，∴EAG≌EAF(SAS),設(shè)正方形的邊長為x,則EC=x-2,FC=x-3,∴在RtEFC中，EF2=EC2+FC2,解得：x?=6,x?=-1(舍去),故答案為：6.【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，掌握正方形的性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.角度后得矩形A'BC'D',A'B交CD于點E,且CE=A'E,則CE的長為.【答案】3【分析】設(shè)CE=AE=x,則BE=8-x,在RtBCE中，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于x的方程，解方程即可得到答案.【詳解】解：設(shè)CE=A'E=x,∵AB=8,AD=4,將矩形ABCD繞點B旋轉(zhuǎn)一定角度后得矩形A'BC'D',∴CE的長為：3,故答案為：3.【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握矩形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵.(1)將兩三角形按圖1放置(點A,D,C在同一條直線上),連接線段BD,CE,求線段CE的長；(2)將VADE繞點A逆時針旋α,如圖2所示，直線BD,CE相交于點F,連接AF.求證：時，直接寫出線段CE的長度.(2)分別過點A作ANIBD于點N,AM⊥EC于點M,先證明△ABD≌△ACE,得到CE=BD,【詳解】(1)∵AC=6,AD=3,ABC和VADE是兩個等邊三角形，(2)如圖2,分別過點A作AN⊥BD于點N,AM⊥EC事分別求出事,在利用勾股定理∴AF平分∠BFE,如圖，當B,D,E共線時，過點A作AH⊥DE于點H,∵VADE為等邊三角形，AD=3,由(2)同理，△ABD≌△ACE,如圖，當B,D,E共線時，同理，可得，【點睛】本題是幾何旋轉(zhuǎn)變換綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形判定和性質(zhì)、勾股定理以及分類思想，解答關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合思想，找到條件之間關(guān)聯(lián).20.(2023秋山西陽泉·九年級?？计谀?把兩個全等的等腰直角三角板ABC和EFG(其直角邊均為4)疊放在一起(如圖1),且使三角板EFG的直角頂點G與三角板ABC的斜邊中點O重合，現(xiàn)將三角板EFG繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)角α滿足條件：0°<α<90°),四邊形CHGK是旋轉(zhuǎn)過程中兩三角形的重疊部分(如圖2).在上述旋轉(zhuǎn)過程中.(1)BH與CK有怎樣的數(shù)量關(guān)系?(2)四邊形CHGK的面積有何變化?請證明你的發(fā)現(xiàn)，【答案】(1)BH=CK(2)四邊形CHGK的面積在旋轉(zhuǎn)過程中沒有變化，始終為4,證明見解析【分析】(1)先由ASA證出△CGK≌△BGH,再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出BH=CK.(2)四邊形CHGK的面積不變，面積為4.利用全等三角形的性質(zhì)證明即可.【詳解】(1)解：結(jié)論：BH=CK.理由：∵點O是等腰直角三角板ABC斜邊中點，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，知∠BGH=∠CGK,(2)四邊形CHGK的面積不變，面積為4.【點睛】此題是幾何變換的綜合題，主要考查了全等三角形的判定，解答本題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，旋轉(zhuǎn)前后圖形的大小和形狀沒有改變.21.(2023秋山東濟南·八年級統(tǒng)考期末)如圖1,等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°,AC=BC,點D是AB邊上的一點，將線段CD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CE,連結(jié)BE,AE.圖1圖2(1)①填空：線段BD與AE的數(shù)量關(guān)系是,位置關(guān)系是②證明上述結(jié)論成立.(2)如圖2,F是AD的中點，連結(jié)CF交BE于H,若BC=4,BD=√2時，求CF的長.【答案】(1)①相等(或BD=AE);垂直(或BD⊥AE);②見解析此即可證明結(jié)論成立；∠CAF=∠FDT,,在Rt△CMT中，根據(jù)勾股定理求解即可.【詳解】(1)解：①相等(或BD=AE);垂直(或BD⊥AE)②證明上述結(jié)論成立.∴ACE≌BCD(SAS),即BD⊥AE;(2)解：如圖中，延長CF到T,使得FT=CF,連接DT并延長，與BC交于M.在△AFC和DFT中，在Rt△CMT中，根據(jù)勾股定理：【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題.22.(2023秋·陜西安康·九年級統(tǒng)考期末)如圖，四邊形ABCD是正方形，點F是BA延長線上一點，連接DF,將△ADF繞點A旋轉(zhuǎn)一定角度后得到ABE.【分析】(1)利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠ABE=∠ADF=20°,根據(jù)三角形外角和可求出結(jié)果；(2)根據(jù)勾股定理即可解得.【詳解】(1)解：∵ABE是由△ADF旋轉(zhuǎn)得到，【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形外角和以及勾股定理，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵.內(nèi)一點，連接AD,將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°,得到線段AE,連接BD、CE.求證：BD=CE.【答案】見解析【分析】首先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，判斷出∠DAE=90°,AD=AE,進而判斷出∠BAD=∠CAE;然后根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出△ABD≌△ACE,即可判斷出BD=CE.【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得：∠DAE=90°,AD=AE,在△ABD和△ACE中，【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等.②對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角.③旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.BC分別交于點0、F.(2)若∠BAC=72°,∠DAC=32°,求∠EFC的大小.【答案】(1)10【分析】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)分析求解；(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及對頂角相等分析求解.【詳解】(1)解：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得AB=AD=6,AC=AE=8,又∵ABC的周長為24,∴BC的長為24-AB-AC=24-6-8=10;(2)解：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得∠BAC=∠DAE=72°,∠E=∠C又∵∠AOE=∠COF,【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，理解旋轉(zhuǎn)前后圖形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等是解題關(guān)鍵.點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC,連接OD.(2)當α=150°時，試判斷△AOD的形狀，并說明理由；(3)直接寫出α為多少度時，△AOD是等腰三角形?【答案】(1)△COD是等邊三角形，詳見解析∴BOC≌ADC,∠OCD=60°,∴BOC≌ADC,∠OCD=60°,∴BOC≌ADC,∠OCD=60°,當∠DAO=∠DOA時，解得：α=140°,當∠AOD=∠ADO時，解得：α=125°,解得：α=110°,【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的判定，等腰三角形的判定，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及等邊三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.26.(江西省贛州市2022-2023學(xué)年九年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題)(1)觀察發(fā)現(xiàn)如圖1,ABC和CDE都是等邊三角形，且點B、C、E在一條直線上，連接BD和AE相交于點P填空：①線段BD與AE的數(shù)量關(guān)系是;②∠DPE的度數(shù)為(2)深入探究逆時針旋轉(zhuǎn)一定的角度，其他條件與(1)中相同，(1)中的結(jié)論是否仍然成立，請說明理由.(3)拓展應(yīng)用如圖3,四邊形ABCD中，AB=BC,∠ABC=60°,∠ADC=30°,AD=6,BD=10,求邊CD的長度.【答案】(1)①BD=AE;②60°;(2)(1)中結(jié)論仍然成立，理由見解析；(3)8ACE≌BCD,由此即可得到BD=AE;②由全等三角形的性質(zhì)可得∠AEC=∠BDC,再由三角形外角的②∵ACE≌BCD(2)(1)中的結(jié)論仍然成立，理由如下：∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD,即∠ACE=∠BCD.∴(1)中的結(jié)論仍然成立；DE=√DB2-BE2=√102-62=8,【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等等，熟練掌握手拉手模型證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.NMNM(1)將圖①中的直角三角板AOB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度得到圖②,使邊OA恰好平分∠NOD,問OB是否平分∠MOD?請說明理由.(2)如果將圖①中的直角三角板AOB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度得到圖③.①使邊OB在∠COD內(nèi)部，那么∠AOC與∠BOD之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系?請說明理由.②若繼續(xù)旋轉(zhuǎn)三角板AOB,直到OB與OM重合，請直接寫出∠COD與∠BOD之間的數(shù)量關(guān)系.【答案】(1)OB平分∠MOD,見解析(2)①∠AOC-∠BOD=45°,見解析；②∠AOC-∠BOD=45°或∠BOD-∠AOC=45°【分析】(1)根據(jù)平角的性質(zhì)可得，∠AOB=90°,∠MOB+∠AOB+∠AOC=180°,根據(jù)互余的性質(zhì)可得(2)①根據(jù)圖示可得，∠BOC=90°-∠AOC,∠BOC=45°-∠BOD由此即可求解；②OB與OM重合，分類討論：第一種情況：OB在MO的延長線上；第二種情況，OB在CO的延長線上；根據(jù)互余，互補的性質(zhì)，圖形結(jié)合分析即可求解.【詳解】(1)解：OB平分∠MOD,理由如下：∴OB平分∠MOD.(2)解：①∠AOC-∠BOD=45°,理由如下：∴90°-∠AOC=45°-∠BOD,②第一種情況：OB在MO的延長線上，如圖所示，第二種情況，OB在CO的延長線上，如圖所示，綜上所述，∠AOC-∠BOD=45°或∠BOD-∠AOC=45°.【點睛】本題主要考查幾何圖形的變換與角度的和差倍分關(guān)系，角平分線的性質(zhì)，互余，互補的性質(zhì)的綜合運用，掌握以上知識的綜合是解題的關(guān)鍵.繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到CDE.在旋轉(zhuǎn)過程中：(1)旋轉(zhuǎn)中心是什么,∠DCE為多少度?(2)與線段AC相等的線段是哪一條?(3)CDE的面積是多少?【分析】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)中心的定義、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可求得答案.(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等，即可直接求得答案.(3)根據(jù)旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等，即可求得答案.【詳解】(1)觀察圖形可知，旋轉(zhuǎn)中心為C.∵旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等，即DCE≌BCA,故答案為：C,45°;(2)∵旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等，即DCE≌BCA,(3)∵旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等，即DCE≌BCA,故答案為：2cm2.【點睛】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，即旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等，牢記旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.題型三題型三圖形旋轉(zhuǎn)的規(guī)律探究【例4】(1)(2022秋·全國·九年級專題練習(xí))等邊三角形(三條邊都相等的三角形是等邊三角形)紙板ABC在數(shù)軸上的位置如圖所示，點A、B對應(yīng)的數(shù)分別為2和1,若△ABC繞著頂點逆時針方向在數(shù)軸上連續(xù)翻轉(zhuǎn)，翻轉(zhuǎn)第1次后，點C所對應(yīng)的數(shù)為0,則翻轉(zhuǎn)2023次后，點C所對應(yīng)的數(shù)是()A.-2021B.-2022C.-2023【答案】B【分析】作出草圖，不難發(fā)現(xiàn)，每3次翻轉(zhuǎn)為一個循環(huán)組依次循環(huán)，用2023除以3,根據(jù)余數(shù)為1可知點C在數(shù)軸上，然后進行計算即可得解.【詳解】解：如圖，每3次翻轉(zhuǎn)為一個循環(huán)組依次循環(huán)，∴翻轉(zhuǎn)2023次后點C在數(shù)軸上，∴點C對應(yīng)的數(shù)是0-674×3=-2022.【點睛】本題考查了數(shù)軸，根據(jù)翻轉(zhuǎn)的變化規(guī)律確定出每3次翻轉(zhuǎn)為一個循環(huán)組依次循環(huán)是解題的關(guān)鍵.(2)(2023·全國·九年級專題練習(xí))如圖是一個裝飾連續(xù)旋轉(zhuǎn)閃爍所成的四個圖形，照此規(guī)律閃爍，第2021次閃爍呈現(xiàn)出來的圖形是()第一次第二次第三次第四次【答案】A【分析】觀察圖形的變化易得每旋轉(zhuǎn)一次的度數(shù)，根據(jù)陰影所處的位置可得相應(yīng)選項.【詳解】解：觀察圖形的變化可知：每旋轉(zhuǎn)一次，旋轉(zhuǎn)角為90°,即每4次旋轉(zhuǎn)一周，.2021÷4=505...1,即第2021次與第1次的圖案相同.【點睛】此題考查了圖形的變換規(guī)律問題，解題的關(guān)鍵是找到圖形旋轉(zhuǎn)的規(guī)律周期.鞏固訓(xùn)練規(guī)律從左向右第四個圖形是()【答案】D【分析】根據(jù)圖形規(guī)律可知，從左到右是依次順時針旋轉(zhuǎn)圖形，據(jù)此即可求解.【詳解】解：由圖形規(guī)律可得從左到右是依次順時針旋轉(zhuǎn)圖形，∴第四個圖形是D.【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，根據(jù)三個圖形找出旋轉(zhuǎn)的規(guī)律是解題關(guān)鍵.2.(2022秋·全國·九年級專題練習(xí))有兩個完全重合的矩形，將其中一個始終保持不動，另一個矩形繞其對稱中心O按逆時針方向進行旋轉(zhuǎn)，每次均旋轉(zhuǎn)45°,第1次旋轉(zhuǎn)后得到圖①,第2次旋轉(zhuǎn)后得到圖②,...則第2021次旋轉(zhuǎn)后得到的圖形與圖①-④中相同的是()圖②A.圖①B.圖②C.圖③D.圖④確定即可.3.(2023·全國·九年級專題練習(xí))如圖，矩形ABCD中AB是3cm,BC是2cm,一個邊長為1cm的小正方形正方形箭頭的方向是()次翻轉(zhuǎn)，而每翻轉(zhuǎn)4次，它的方向重復(fù)1次，故回到起始位置時它的方向是向下.【點睛】本題考查了圖形類規(guī)律題，關(guān)鍵是得出小正方形共翻轉(zhuǎn)10次回到起始位置.第四次：作點A,關(guān)于x軸的對稱點A?.,A.(-3,2)B.(-2,3)C.(-2,-3)知每4個點的坐標為一周期循環(huán)，據(jù)此可得.∵2021÷4=2020余1,定義和性質(zhì)，并找出規(guī)律.后，骰子朝下一面的點數(shù)是3;則連續(xù)完成2020次翻折后，骰子朝下一面的點數(shù)是()【詳解】由平面圖形可知：1與6是對面，2與5是對面，3與4是對面，這是一個正方體，完成1次翻轉(zhuǎn)時骰子朝下一面的點數(shù)是2,完成5次翻轉(zhuǎn)后朝下一面的點數(shù)還是2,故每形.在圖2中，若正方形的邊長為2,則所得正八邊形的面積為.【分析】根據(jù)題意，可以發(fā)現(xiàn)正n邊形繞其中心最少旋轉(zhuǎn)所得圖形與原圖的重疊部分是正2n邊形；旋轉(zhuǎn)后的正八變形相當于將正方形剪掉了的4個全等的等腰直角三角形，設(shè)等腰直角三角形的邊長為x,則的面積即可.【詳解】解：由題意得：正n邊形繞其中心最少旋轉(zhuǎn)所得圖形與原圖的重疊部分是正2n邊形；則將一個正六邊形繞其中心最少旋轉(zhuǎn)所得圖形與原圖的重疊部分是正多邊形；由題意得：旋轉(zhuǎn)后的正八變形相當于將正方形剪掉了的4個全等的等腰直角三角形，設(shè)等腰直角三角形的邊長為x,則正八邊形的邊長為√2x∴正八邊形的面積為：【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)變換、圖形規(guī)律以及勾股定理等知識，根據(jù)題意找到旋轉(zhuǎn)規(guī)律是解答本題的關(guān)鍵.后逆時針轉(zhuǎn)動一個角度，每次轉(zhuǎn)動的角度增加10°.第一次直走5m后轉(zhuǎn)動10°,第二次直走5m后轉(zhuǎn)動20°,第三次直走5m后轉(zhuǎn)動30°,如此下去.那么它在移動過程中第二次面向西方時一共走了米.南【答案】45【分析】根據(jù)走路規(guī)律，求出走的次數(shù)即可解得.【詳解】解：設(shè)第n次轉(zhuǎn)動面向西方，第二次面向西方時一共轉(zhuǎn)了360?90?450,一共走了9×5=45(米);故答案為：45.【點睛】此題考查了行程規(guī)律問題，解題的關(guān)鍵時根據(jù)規(guī)律列式求出走的次數(shù).點P依次落在點P,P,P…P2020的位置，【答案】(2020,0)【分析】根據(jù)圖形的翻轉(zhuǎn)，分別得出P、P、P…的橫坐標，再根據(jù)規(guī)律即可得出各個點的橫坐標，進一步得出答案即可.【詳解】解：由題意可知P、P?的橫坐標是1,P的橫坐標是，P、P的橫坐標是4,P的橫坐標是5.5..故答案為(2020,0).【點睛】本題考查翻折變換，等邊三角形的性質(zhì)及坐標與圖形性質(zhì)得出規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵.圖①位置，第二次旋轉(zhuǎn)至圖②位置，..,則正方形鐵片連續(xù)旋轉(zhuǎn)2019次后，則點P的坐標為.【答案】(6058,1)【分析】首先求出P?~P?的坐標，探究規(guī)律后，利用規(guī)律解決問題.【詳解】解：第一次P?(5,2),第二次P?(8,1),第三次P?(10,1),第四次P?(13,2),第五次P?(17,2),發(fā)現(xiàn)點P的位置4次一個循環(huán)，P2019的縱坐標與P?相同為1,橫坐標為12×504+10=6058,故答案為(6058,1).【點睛】本題考查坐標與圖形的變化、規(guī)律型：點的坐標等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會從特殊到一般的探究規(guī)律的方法，屬于中考?？碱}型.題型四坐標系內(nèi)的圖形旋轉(zhuǎn)題型四坐標系內(nèi)的圖形旋轉(zhuǎn)點坐標為()A.(6,2)B.(2,6)C.(2,4)【答案】A形的性質(zhì)可得OC=DA=4,OA=DB=2,結(jié)合點B在第一象限，即可獲得B點坐標.【詳解】解：過點B作BD⊥x軸于點D,如下圖，根據(jù)題意，將線段AC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°到AB,∴OAC≌DBA(AAS),∴B點坐標為(6,2).【點睛】本題主要考查了坐標與圖形、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，利用數(shù)形結(jié)合的思想分析問題是解題關(guān)鍵.【例6】(2023春·江蘇·八年級專題練習(xí))在平面直角坐標系中，點A,B的坐標分別是A(3,0),B(0,4),把線段AB繞點A旋轉(zhuǎn)后得到線段AB',使點B的對應(yīng)點B'落在x軸上，則點B'的坐標是()【分析】直接利用勾股定理得出AB的長，再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出OB的長，進而得出答案.注意題目中未說明點B'落在x軸正半軸還是負半軸，所以要分類求解.當點B'落在x軸的負半軸時，OB'=2,【點睛】本題主要考查了勾股定理以及坐標與圖形變換的性質(zhì)，正確得出AB'的長是解題的關(guān)鍵，同時要注意這類題的易錯點——忽略分類討論，導(dǎo)致漏解.鞏固訓(xùn)練P,再將點P繞原點旋轉(zhuǎn)90°得到點P,則點P的坐標是()【點睛】此題主要考查了坐標與圖形——平移和旋轉(zhuǎn)的變化，正確利用圖形分類討論是解題關(guān)鍵.交于點P,將平行四邊形AOBC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°,旋轉(zhuǎn)后點P的坐標為()【答案】C【分析】過點A作AD⊥OB于點D,過點P作PE⊥OB于點E,過點P'作P'E⊥OB'于點E',根據(jù)度角所對的直角邊等于斜邊一半，得到DO=1,利用勾股定理求得AD=√3,得到A(1,√3),再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，利用中點坐標公式，得到點P的坐標為然后利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，即可得到旋轉(zhuǎn)后點P的坐標.【詳解】解：如圖，平行四邊形AOBC旋轉(zhuǎn)后得到平行四邊形A'OB'℃',過點A作AD⊥OB于點D,過點P∵四邊形AOBC是平行四邊形，∴AP=BP,即點P為AB中點，事事**;由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，OP=OP',∠POP'=∠BOB'=90°,在△POE和P'OE'中，∴POE≌POE'(AAS),事,*事,*∵點P'在第四象限，∴P'的坐標為【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，中點坐標公式，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵.3.(2023.四川雅安·統(tǒng)考中考真題)在平面直角坐標系中.將函數(shù)y=x的圖象繞坐標原點逆時針旋轉(zhuǎn)90°,再向上平移1個單位長度，所得直線的函數(shù)表達式為()A.y=-x+1B.y=x+1【點睛】此題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)變換，解題關(guān)鍵是準確找出對應(yīng)點位置.【分析】先根據(jù)一次函數(shù)解析式求得點A,B的坐標，進而根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC=OA=2,CD=OB=3,∠OAC=90°,∠ACD=90°,進而得出CD//OA,結(jié)合坐標系，即可求解.∵將OAB繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到CAD,∴CD//OA,【點睛】本題考查了一次函數(shù)與坐標軸交點問題，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，坐標與圖形，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)坐標為()【點睛】本題主要考查了坐標與圖形變化——旋轉(zhuǎn)，正確找出旋轉(zhuǎn)后圖形點的坐標是解題的關(guān)鍵。逆時針旋轉(zhuǎn)，每秒旋轉(zhuǎn)45°,則第60秒時，菱形的對角線交點D的坐標為()A.(1,1)B.(-1,1)c.(-【答案】C【分析】轉(zhuǎn)動前根據(jù)菱形的性質(zhì)，可得D的坐標，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得轉(zhuǎn)動后D的坐標.每秒旋轉(zhuǎn)45°,則第60秒時一共轉(zhuǎn)了45°×60=2700°,∴OD與轉(zhuǎn)動前位置比，移動了半周，即相當于旋轉(zhuǎn)了180°【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，勾股定理，正確求出第60秒旋轉(zhuǎn)的總度數(shù)，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.7.(2023春廣東惠州·八年級?？计谥?如圖，將含有30°角的直角三角板OAB按如圖所示的方式放置在平面直角坐標系中，OB在x軸上，若OA=4,將三角板繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)，每秒旋轉(zhuǎn)60°,則第2023秒時，點B的對應(yīng)點B'的坐標為()【答案】A秒一循環(huán)，根據(jù)2023除以6的結(jié)果得到答案.【詳解】解：∵三角板每秒旋轉(zhuǎn)60°,∴點A的位置6秒一循環(huán).∴第2023秒時，點B的對應(yīng)點B'的位置與第1s時，位置相同，如圖所示：根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知，OA'=OA=4,∠A'OB′=∠AOB=30°,∠BOB'=60°,∴此時點A'在y軸上，∴B'的縱坐標為4,解得：負值舍去，∴此時點B'的坐標為【點睛】此題考查了坐標與圖形的變化中的旋轉(zhuǎn)以及規(guī)律型中點的坐標，勾股定理，含30度角直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)每秒旋轉(zhuǎn)的角度，找到點A的位置6秒一循環(huán)是解題的關(guān)鍵.的坐標是(0,4),頂點B的坐標是(2,0),對角線AC、BD的交點為M將正方形ABCD繞著原點O逆時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)45°,則第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點M的坐標為()A.(3,3)B.(-3,3)C.(0,3【答案】D7×45°=315°,,可知第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時和第7次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點M的位置在x軸正半軸上，勾股定理求得OM的長，即可求解.過點D作DN⊥y軸，垂足為N,如解圖所示，則∠DNA=∠AOB=90°∵四邊形ABCD為正方形，∴點D的坐標為(4,6).由題意，可知正方形ABCD繞著原點O逆時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)45°,點M也繞著原點0逆時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)45°,則點M旋轉(zhuǎn)一周需要旋轉(zhuǎn)360°÷45°=8(次).又∵2023÷8=252……7,7×45°=315°,∴第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時和第7次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點M的位置在x軸正半軸上，∴第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點M的坐標為(3故選：D.【點睛】本題考查坐標與旋轉(zhuǎn)規(guī)律，正方形性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時和第7次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點M的位置在x軸上.9.(2023·山東東營·校聯(lián)考一模)如圖，在直角坐標系中，邊長為2個單位長度的正方形ABCO繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)75°,再沿y軸方向向上平移1個單位長度，則點B”的坐標為()A.(-√2,√6)B.(-√2,√6+1)C.(√2,-√6)D.(-√2,√6-1)【分析】過B'作B'D⊥y軸于D,連接OB,OB',根據(jù)邊長為2個單位長度的正方形ABCO繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)75°,得∠BOB'=75;BOC=45,OBOB'22「,即知∠B'OD=30°,可得B'(-√2,√6),又再沿y軸方向向上平移1個單位長度，故點B”的坐標為(-√2,√6+1).【詳解】解：過B'作B'D⊥y軸于D,連接OB,OB',如圖，∵邊長為2個單位長度的正方形ABCO繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)75°∵再沿y軸方向向上平移1個單位長度，【點睛】此題考查了坐標與圖形變化-旋轉(zhuǎn)與平移，解題關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)性質(zhì)和坐標平移變化規(guī)律?！敬鸢浮?-4,-3)【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)中心為點0,旋轉(zhuǎn)方向逆時針，旋轉(zhuǎn)角度90°,作出點A的對應(yīng)點B,可得所求點的坐標.【詳解】解：由圖中可以看出點B的坐標為(-4,-3),【分析】首先根據(jù)題意畫出圖形得到A'(2,1),然后利用勾股定理求解.?？碱}型.△A'B'℃,設(shè)點A的坐標為(a,b),【詳解】解：根據(jù)題意，點A、A關(guān)于點C對稱，解得x=-a,y=-b-2,【點睛】本題考查了利用旋轉(zhuǎn)進行坐標與圖形的變化，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出點A、A關(guān)于點C成中心對稱是解題的關(guān)鍵，還需注意中點公式的利用，也是容易出錯的地方.13.(2023春·廣東梅州·九年級校考開學(xué)考試)如圖，在平面直角坐標系中，點C的坐標為(-1,0),點A的EC=BF,即可解決問題.【詳解】解：如圖，過點A作AE⊥x軸于E,過點B作BF⊥x軸于F.在AEC和CFB中，∴AEC≌CFB(AAS),【點睛】本題考查坐標與圖形變化-旋轉(zhuǎn)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題.14.(2022秋·甘肅金昌·九年級統(tǒng)考期末)如圖，在平面直角坐標系中，將邊長為1的正方形OABC繞點0逆時針旋轉(zhuǎn)45°后得到正方形OAB?C,繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至2019次得到正方形OA?019B?019C2019,則點B2019的坐標是.【分析】由題意依次寫出前幾個，找到規(guī)律，根據(jù)規(guī)律求即可.故周期為8,【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)找規(guī)律，準確計算出每個點變化之后的坐標是解題關(guān)鍵.個頂點坐標分別是A(-3,-3),B(-1,-2),C(-2,-1).坐標.(2)計算ABC的面積.(2)利用面積公式進行求解即可.【點睛】本題考查坐標與旋轉(zhuǎn).熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正確的作圖，是解題的關(guān)鍵.(3)直接寫出ABC的面積【分析】(1)結(jié)合直角坐標系可直接寫出A、B兩點的坐標；(2)旋轉(zhuǎn)180°也即是中心對稱，找到A、B、C三點關(guān)于C的中心對稱點，順次連接即可；(3)利用割補法求ABC的面積即可(3)解：故答案為：【點睛】此題考查了旋轉(zhuǎn)作圖，中心對稱的知識以及割補法求三角形面積，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)旋轉(zhuǎn)的三要素，中心對稱的性質(zhì)，得到各點的對應(yīng)點，難度一般.答下列問題：(1)拋物線y,的頂點坐標;(2)陰影部分的面積S=;(3)若再將拋物線y?繞原點O旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線y?,求拋物線y?的解析式.【分析】(1)根據(jù)拋物線的移動規(guī)律左加右減可直接得出拋物線y?的解析式，再根據(jù)y?的解析式求出頂點(3)先求出二次函數(shù)旋轉(zhuǎn)后的開口方向和頂點坐標，從而得出拋物線y?的解析式.【詳解】(1)解：解：∵拋物線y?=-x2+2向右平移1個單位得到的拋物線y?,∴拋物線y?的解析式是y?=-(x-1)2+2,頂點坐標為(1,2).(2)把陰影部分進行平移，可得到陰影部分的面積即為圖中兩個方格的面積=1×2=2;(3)由題意可得：拋物線y?的頂點與拋物線y?的頂點關(guān)于原O成中心對稱.【分析】(1)連接AD,CF,其交點就是對稱中心0;【詳解】(1)解；如圖所示，點O即為所求；(2)解：∵ABC和DEF關(guān)于點O成中心對稱，∴ABC≌DEF,∴DEF的周長=DE+DF+EF=6+5+4=15;答：DEF的周長為15.【點睛】本題主要考查了中心對稱，正確掌握中心對稱圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.A.OA=OBB.△AOD≌△COBC.AD=BCD.SACp=SBCD【分析】依據(jù)△AOD與BOC關(guān)于點O成中心對稱，即可得到△AOD≌△COB,進而得到正確結(jié)論.【詳解】解：∵△AOD與BOC關(guān)于點O成中心對稱，∴△AOD≌△COB,故選項B不符合題意；而OA和OB不是對應(yīng)邊，不一定相等，故選項A符合題意；【點睛】本題考查中心對稱，關(guān)于中心對稱的兩個圖形能夠完全重合；關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對應(yīng)點的連線都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平分.掌握中心對稱的概念和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.也考查了全等三角形的性質(zhì).2.(2023春·浙江·八年級專題練習(xí))如圖，已知圖形ABCD和圖形AEFG中關(guān)于點A中心對稱，AB,CD都是線段，BC是一段圓弧.嘉琪對其進行測量后得到以下四個結(jié)論，其中一定錯誤的是()A.∠BAD=75°B.圖形ABCD的內(nèi)角和是360°C.AB//CDD.∠D=∠G【答案】B【分析】根據(jù)中心對稱圖形的性質(zhì)和平行線的判定分別判斷即可.【詳解】解：A、∠BAD可以等于75°,故不符合題意；B、圖形ABCD不是四邊形，故內(nèi)角和不是360°,故符合題意；C、AB可以平行于CD,故不符合題意；D、∵圖形ABCD和圖形AEFG中關(guān)于點A中心對稱，∴∠D=∠G,故不符合題意.【點睛】本題考查了中心對稱圖形的性質(zhì)和平行線的判定，熟練掌握中心對稱圖形的性質(zhì)和平行線的判定是關(guān)鍵.B.BO=BO'【分析】根據(jù)中心對稱圖形的性質(zhì)，逐項進行判斷即可.【詳解】解：∵ABC與A'B'℃'關(guān)于點O成中心對稱，∴點A與A是一組對稱點，OB=OB,∠AOB=∠A'OB',故A,B,C都不合題意.【點睛】本題主要考查了中心對稱的性質(zhì)，熟練掌握成中心對稱的兩個圖形，對應(yīng)點的連線被對稱中心平分，對應(yīng)角相等，對應(yīng)線段相等，是解題的關(guān)鍵.關(guān)于點B中心對稱，若將點A往右平移4個單位，再往上10個單位，則與C重合，則點A的坐標是.【分析】根據(jù)對稱性得到點B為線段AC中點，由此得到將點B往左平移2個單位，再往下5個單位，則與A重合，即可得到點A的坐標.【詳解】解：∵點A,點C關(guān)于點B中心對稱，∴點B為線段AC中點，∵將點A往右平移4個單位，再往上10個單位，則與C重合，∴將點A往右平移2個單位，再往上5個單位，則與B重合，∴將點B往左平移2個單位，再往下5個單位，則與A重合，∴點A的坐標為(2-2,3-5),即(0,-2),【點睛】此題考查了中心對稱的性質(zhì)，點的平移規(guī)律，正確理解中心對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.是對稱點；②BO=BO;③AB//AB;④∠ACB=∠CA'B'.其中正確結(jié)論的個數(shù)為個.【答案】3【分析】根據(jù)中心對稱的性質(zhì)，逐項分析判斷即可求解.∴∠OBA=∠OB'A,點A與點A是對稱點，BO=BO,∠ACB=∠ACB故答案為：3.【點睛】本題考查了中心對稱的性質(zhì)，熟練掌握中心對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.DE=2,則AB的長為.【分析】由中心對稱的性質(zhì)推出△ABC≌△DBE,得到AB=BD,AC=DE=2,由銳角的正切求出AD的長，即可求出AB的長.【詳解】解：∵ABC與DBE關(guān)于點B成中心對稱，【點睛】本題考查中心對稱，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握中心對稱的性質(zhì).的中位線，已知BC=4,則E'D'=.【答案】2【分析】根據(jù)成中心對稱的兩個圖形全等可得△ABC≌△A'B'C,再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得B'℃′=BC,然后根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得【詳解】解：∵ABC與A'B'C'成中心∵E'D'是A'B'℃'的中位線，故答案為：2.【點睛】此題主要考查了中心對稱圖形的概念：在同一平面內(nèi)，如果把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180度，旋轉(zhuǎn)后的圖形能和原圖形完全重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，還考查了三角形的中位線定理.8.(2023春·江蘇泰州·八年級?？计谥?如圖，邊長為8的正方形ABCD和邊長為12的正方形BEFG排放在一起，O?和O?分別是兩個正方形的對稱中心，則陰影部分的面積為.【答案】24【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)求出BO、BO?,再根據(jù)正方形的中心在正方形對角線上可得∠O?BC=∠O?BC=45°,然后求出∠O?BO?=90°,然后利用直角三角形的面積公式列式計算即可得解.【詳解】解：∵O?和O?分別是兩個正方形的對稱中心，故答案是：24.【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，主要利用了正方形的中心在對角線上，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.則AE的長是.【答案】5【分析】根據(jù)中心對稱的性質(zhì)以及勾股定理即可求解AE的長.【詳解】解：∵DEC與ABC關(guān)于點C成中心對稱故答案為：5.【點睛】本題主要考查中心對稱的性質(zhì)以及勾股定理，熟練掌握成中心對稱的圖形對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等的性質(zhì)以及勾股定理是解決本題的關(guān)鍵.(1)畫出△BCD關(guān)于點D的中心對稱圖形；(2)求線段CD長的取值范圍.【分析】(1)由題知CD為中線，延長CD到E,只要使DE=CD,然后連接AE即可；(2)根據(jù)三角形三邊關(guān)系，先求出CE的取值范圍，即可求出CD的取值范圍.【詳解】(1)如圖，延長CD到E,使DE=CD,連接AE,VADE即為所求；AE-AC<CE<AE+AC,【點睛】本題主要考查了尺規(guī)作圖和三角形三邊關(guān)系，熟練掌握作一條線段等于已知線段，三角形任意兩邊的差小于第三邊，任意兩邊的和大于第三邊，是解決問題的關(guān)鍵.僅用無刻度的直尺畫出ABC關(guān)于點O的中心對稱圖形.(2)如圖②,正方形ABCD中，E、F分別為AB、BC的中點，連接AF、DE,△ABF按順時針方向旋轉(zhuǎn)后圖②【答案】(1)見解析；(2)見解析.【分析】(1)作直線AD,交O于點D,則點D為點A的對稱點，同理可作出點B的對稱點E,點C的對稱點F,依次連接點D,E,F,則DEF為所求；(2)連接AC,BD,相交于點O,則點O為所求.【詳解】(1)如圖，DEF為所求.(2)如圖，點O為所求.【點睛】本題考查作中心對稱圖形，掌握中心對稱圖形的概念是解題的關(guān)鍵.12.(2023春·河北滄州·八年級?？茧A段練習(xí))一次函數(shù)y=kx+b的兩組x、y的對應(yīng)值如圖，在平面直角坐標系中畫出了它的圖象為直線1(如圖14-1),王英為觀察k、b對圖象的影響，將上面函數(shù)中的k與b交換位置后得到另一個一次函數(shù)，設(shè)其圖象為直線I'.x1y4(1)求直線l的解析式；(2)直接寫出直線I'的表達式為,并在圖1中畫出直線I';(3)若P(m,0))是x軸上的一個動點，過點P作y軸的平行線，分別交直線1、I'于點M、N,當MN=3時，求m的值；其中兩點關(guān)于第三點對稱，直接寫出n的值V87V8765432f2【答案】(1)y=3x+1(2)y=x+3,圖見解析寸或7或【分析】(1)將變量對應(yīng)值代入解析式，構(gòu)造方程組，求出參數(shù)，確定解析式；(2)根據(jù)題意確定解析式，確定與坐標軸的交點，運用兩點法畫出圖象；;;(4)直線y=n與y=3x+1交點的橫坐標為與y=x+3交點的橫坐標為x=n-3;分三種情況：①當?shù)谌c在y軸上時，②當?shù)谌c在直線l上時，③當?shù)谌c在直線I'上時，根據(jù)中心對稱性質(zhì)，分別構(gòu)建方程求解，得n的值為或7或∴直線!的解析式為y=3x+1;X0y03畫出直線I'如圖：解得故答案為分三種情況：①當?shù)谌c在y軸上時，解得③當?shù)谌c在直線I'上時，,解得∴直線y=n與直線1,I'及y軸有三個不同的交點，且其中兩點關(guān)于第三點對稱，則n的值為或7或【點睛】本題考查待定系數(shù)法確定一次函數(shù)解析式，直角坐標系與點坐標，兩點法畫一次函數(shù)圖象，中心對稱的性質(zhì)，根據(jù)題意構(gòu)建方程是解題的關(guān)鍵.題型六中心對稱圖形題型六中心對稱圖形【例8】(2023秋山西大同·九年級統(tǒng)考期末)剪紙，作為中國傳統(tǒng)文化藝術(shù)，象征納福吉祥，寄托人們對美好生活的向往.下列剪紙圖案中，是中心對稱圖形的是()A.【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解.【詳解】解：選項A、B、D中的圖形都不是中心對稱圖形，選項C中的圖形是中心對稱圖形，【點睛】本題考查了中心對稱圖形的概念，一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°,如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形.鞏固訓(xùn)練：【分析】根據(jù)中心對稱圖形的定義：一個圖形繞著某一點旋轉(zhuǎn)180°后與原圖形完全重合，那么這個圖形是中心對稱圖形，進行判斷.【詳解】選項A、B、C均不能找到一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°后與原來的圖形重合，所以不是中選項D能找到一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°后與原來的圖形重合，所以是中心對稱圖形.【點睛】本題考查中心對稱圖形的定義，判斷是否是中心對稱圖形關(guān)鍵的是找到對稱中心.①三角形的一個外角大于它的任何一個內(nèi)角②若一個三角形的三個內(nèi)角度數(shù)的比為1:2:3,則這個三角形是直角三角③長方形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形【分析】根據(jù)三角形外角性質(zhì)，直角三角形的定義，中心對稱圖形以及軸對稱圖形的特點，進行判斷即可.【詳解】解：①三角形的一個外角大于它任何一個不相鄰的內(nèi)角，原說法錯誤；②若一個三角形的三個內(nèi)角度數(shù)的比為1:2:3,則這個三角形是直角三角形，原說法正確；③長方形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形，原說法正確；綜上，正確的有②③④,3.(2023年陜西省中考數(shù)學(xué)試卷(A卷))下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是()A.兩部分重合.故選A個部分，由黑白棋子擺成的圖案是中心對稱的是()D故選B.蝴蝶曲線蝴蝶曲線心對稱圖形的是()D.既不是軸對稱圖形，又不是中心對稱圖形，故該選項不符合題意，【點睛】本題考查軸對稱圖形及中心對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后能完全重合；中心對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱中心，圖形繞對稱中心旋轉(zhuǎn)180度后，兩部分能夠完全重合；熟練掌握定義是解題關(guān)鍵.都必須有對稱形式.”下面的圖形中，是中心對稱圖形的是()A.謝爾賓斯基三角形畢達盱拉斯樹【分析】根據(jù)中心對稱圖形的定義：把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°,如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形可得答案.【詳解】解：選項A、B、D均不能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°后與原來的圖形重合，所以不是中心對稱圖形，不符合題意；選項C能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°后與原來的圖形重合，所以是中心對稱圖形，符合題意，【點睛】本題主要考查了中心對稱圖形，關(guān)鍵是找出對稱中心.題型七坐標系內(nèi)的關(guān)于原點的對稱間題題型七坐標系內(nèi)的關(guān)于原點的對稱間題A.(3,5)B.(-3,-5)C.(-3,5)D.(5,-3)【答案】C【分析】先利用算術(shù)平方根的非負性、偶次冪非負性求出a、b,進而得出N點坐標，再利用關(guān)于原點對稱點的性質(zhì)得出答案.A.2則a=3,【分析】根據(jù)平移的規(guī)律可得到點T的坐標，根據(jù)關(guān)于原點對稱的點的坐標特征可得到點Q的坐標.【點睛】本題考查了坐標的平移、關(guān)于原點對稱的點的坐標，坐標的平移規(guī)律為：橫坐標，右移加，左移減，縱坐標，上移加，下移減；關(guān)于原點對稱的點的橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標互為相反數(shù)，熟練掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵.則y?=.【分析】直接利用關(guān)于原點對稱點的性質(zhì)得出x,y的值即可答案.故答案為：【點睛】此題主要考查了關(guān)于點對稱點的性質(zhì)，正確記憶橫縱坐標的符號是解題關(guān)鍵。【分析】根據(jù)A、B兩點的關(guān)系求出m和n,然后可以得解.【詳解】解：由題意可得：故答案為0.【點睛】本題考查冪的綜合應(yīng)用，熟練掌握冪的意義及關(guān)于原點對稱的點的坐標關(guān)系是解題關(guān)鍵.值為.【答案】【分析】根據(jù)關(guān)于原點對稱的點的橫縱坐標互為相反數(shù)，進而求得a,b的值，即可求解解得：故答案為：【點睛】本題考查了關(guān)于原點對稱的點的坐標特征，熟練掌握關(guān)于原點對稱的點的橫縱坐標互為相反數(shù)是解題的關(guān)鍵.10.(2023春·山東濱州·八年級統(tǒng)考期末)已知平行四邊形ABCD的兩條對角線相交于平面直角坐標系中的【答案】(-1,-2)【分析】因為平行四邊形ABCD兩條對角線相互平分，所以點A與點C、點B與點D關(guān)于原點對稱，由于已知點A,B的坐標，故可求得C,D的坐標.【詳解】解：由題意知：點A與點C、點B與點D關(guān)于原點對稱，∴點C,D的坐標分別是(1,-3),(-1,-2),故答案為：(-1,-2).【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，解題