2024-2025學(xué)年初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)（華師版）教案 第24章解直角三角形24.3.1銳角三角函數(shù)（第1課時(shí)）

第24章解直角三角形24.3銳角三角函數(shù)1銳角三角函數(shù)（第1課時(shí)）教學(xué)目標(biāo)1.理解銳角三角函數(shù)的定義.2.熟練運(yùn)用銳角三角函數(shù)的概念進(jìn)行有關(guān)計(jì)算.教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：理解銳角三角函數(shù)的定義.難點(diǎn)：掌握三角函數(shù)之間的關(guān)系并會(huì)計(jì)算.教學(xué)過(guò)程復(fù)習(xí)鞏固1.直角三角形兩銳角、三邊之間的關(guān)系：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°.兩銳角關(guān)系：∠A+∠B＝90°.三邊關(guān)系：AC2+BC2＝AB2.2.相似三角形的性質(zhì)：相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)角相等.導(dǎo)入新課活動(dòng)1（學(xué)生交流，教師點(diǎn)評(píng)）【探究】任意畫Rt△ABC和Rt△A′B′C′，使得∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′＝α，那么與有什么關(guān)系.能解釋一下嗎？教師引出課題：24.3銳角三角函數(shù)1銳角三角函數(shù)（第1課時(shí)）探究新知探究點(diǎn)一銳角的正弦、余弦、正切活動(dòng)2（學(xué)生交流，教師點(diǎn)評(píng)）接著探究上面的問(wèn)題，可得在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，因?yàn)椤螩＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′＝α，所以Rt△ABC∽R(shí)t△A′B′C′，.這就是說(shuō)，在Rt△ABC中，當(dāng)銳角∠A的度數(shù)一定時(shí)，不管三角形的大小如何，∠A的對(duì)邊與斜邊的比都是一個(gè)固定值.【總結(jié)】1.∠A的正弦的定義在Rt△ABC中，∠C＝90°，我們把銳角∠A的對(duì)邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作sinA，即sinA＝＝.活動(dòng)3（學(xué)生交流，教師點(diǎn)評(píng)）【思考】一般情況下，在Rt△ABC中，當(dāng)銳角∠A取其他確定的值時(shí)，∠A的對(duì)邊與鄰邊的比值還會(huì)是一個(gè)固定的值嗎？【探索】觀察下圖易知Rt△AB1C1∽R(shí)t△AB2C2∽R(shí)t△AB3C3則＝，＝＝.同樣可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于銳角∠A的每一個(gè)確定的值，其鄰邊與斜邊的比值、對(duì)邊與鄰邊的比值都是一個(gè)定值.【總結(jié)】2.∠A的余弦的定義在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的對(duì)邊為a，∠A的鄰邊為b，斜邊為c.∠A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦，記作cosA，即.3.∠A的正切的定義在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的對(duì)邊為a，∠A的鄰邊為b，斜邊為c.∠A的對(duì)邊與鄰邊的比叫做∠A的正切，記作tanA，即tanA＝＝.探究點(diǎn)二銳角三角函數(shù)的概念【歸納】在Rt△ABC中，∠C＝90°，對(duì)于銳角∠A的每一個(gè)確定的值，sinA有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng)，所以sinA是銳角∠A的函數(shù).同樣地，cosA，tanA也是銳角∠A的函數(shù).sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝，以上分別叫做銳角∠A的正弦、余弦、正切，統(tǒng)稱為銳角∠A的銳角三角函數(shù).銳角三角函數(shù)的取值范圍：0<sinA<1，0<cosA<1，tanA>0.活動(dòng)4合作探究解決問(wèn)題（小組交流，教師點(diǎn)評(píng)）典例講解(師生互動(dòng))例1在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，AB＝13，求∠A的三個(gè)三角函數(shù)值.【解】sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝.例2如圖，∠C＝90°，CD⊥AB.(1)sinB可以是哪兩條線段之比?(2)若AC＝5，CD＝3，求sinB的值.【解】（1）.（2）∵∠B＝∠ACD，∴sinB＝sin∠ACD.在Rt△ACD中，AD＝＝＝4，sin∠ACD＝，∴sinB.【題后總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))求一個(gè)角的正弦值，除了用定義直接求外，還可以轉(zhuǎn)化為求和它相等角的正弦值.【即學(xué)即練】（小組交流，教師點(diǎn)評(píng)）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，求cosA、sinB、tanB的值.【解】∵sinA＝＝，∴設(shè)AB＝13x，BC＝12x.由勾股定理，得AC＝＝＝5x.∴cosA＝＝，sinB＝＝，tanB＝＝.【題后總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))根據(jù)sinA＝能得到BC與AB的關(guān)系，進(jìn)而通過(guò)設(shè)未知數(shù)，根據(jù)勾股定理求出AC.課堂練習(xí)1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果sinA＝，那么sinB的值是()A. B.C. D.3△°3.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，tanA＝，求sinA、cosB的值.4.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，M是直角邊AC上一點(diǎn)，MN⊥AB于點(diǎn)N，AN＝3，AM＝4，求cosB的值.參考答案1.A2.【解】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，∴.由勾股定理，得，∴.3.【解】∵，AC＝8，.，.4.【解】∵∠C＝90°，MN⊥AB，∴∠C＝∠ANM＝90°.又∵∠A＝∠A，∴△AMN∽△ABC，∴＝＝.設(shè)AC＝3x，AB＝4x，由勾股定理，得BC＝＝x.在Rt△ABC中，cosB＝＝＝.課堂小結(jié)(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))銳角∠A的正弦，余弦，正切sinA＝＝；cosA＝＝；tanA＝＝.銳角∠A的正弦、余弦、正切，統(tǒng)稱為銳角∠A的銳角三角函數(shù).【注意】sinA、cosA、tanA的大小只與∠A的大小有關(guān)，而與直角三角形的邊長(zhǎng)無(wú)關(guān).布置作業(yè)教材第107頁(yè)練習(xí)題第1，2，3題.板書設(shè)計(jì)課題24.3銳角三角函數(shù)1銳角