2024-2025學年初中數學九年級上冊（華師版）教案 第23章圖形的相似23.4中位線

第23章圖形的相似23.4中位線教學目標1.理解三角形中位線的定義，掌握三角形中位線的性質定理，并能利用它解決簡單的問題.2.理解三角形重心的定義，掌握三角形重心的性質.教學重難點重點：掌握中位線及其性質定理.難點：能綜合運用已經學過的知識解決有關中位線的問題.教學過程復習鞏固三角形的中線：三角形的一個頂點與它對邊中心的連線叫做三角形的中線.導入新課【問題1】活動1（學生交流，教師點評）如圖，在池塘外選三點A、B、C，連結AB、AC、BC，分別找出AC和BC的中點D、E，并且連結，如果測量出DE的長度為10米，也就能知道AB的距離了.同學們知道AB是多少米嗎？為什么？教師引出課題：23.4中位線探究新知探究點一三角形的中位線【問題2】活動2（小組討論，師生互學）請同學們按要求畫圖：在任意△ABC中，取AB、AC的中點D、E，連結DE.總結：思考：1.一個三角形有幾條中位線？【答案】3條2.三角形中位線與三角形中線有什么區(qū)別？【答案】端點不同.探究點二三角形中位線的性質【問題3】 活動3（小組討論，師生互學）如圖，DE是△ABC的中位線，DE與BC有怎樣的關系？度量一下你手中的三角形，看看是否有同樣的結論？并用文字表述這一結論.猜想結論：位置關系是DE∥BC.數量關系是DE＝BC.結論：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.符號語言表示為：如圖，已知D、E分別是△ABC的邊AB、AC的中點.求證：DE∥BC，DE＝BC.如何證明你的猜想？【證明】如圖所示，延長DE到點F，使EF＝DE.連結AF、CF、DC.∵AE＝EC，DE＝EF，∴四邊形ADCF是平行四邊形.∴CF∥AD，CF＝AD.∴CF∥BD，CF＝BD.∴四邊形BCFD是平行四邊形.∴DF∥BC，DF＝BC，∴DE∥BC，DE＝BC.活動4典例講解（師生互動）例1如圖，D、E分別是△ABC的邊AB、AC的中點，如果△ADE的周長是10，求△ABC的周長.【探索思路】（引發(fā)學生思考）求△ABC的周長，就要求出△ABC三邊的長度，如何根據已知三角形的周長找到所求三角形的邊長？∵D、E分別是AB、AC的中點，∴AD＝eq\f(1,2)AB，AE＝eq\f(1,2)AC，DE＝eq\f(1,2)BC，∴△ABC的周長＝AB+AC+BC＝2AD+2AE+2DE＝2（AD+AE+DE）＝2×10＝20.【題后總結】（學生總結，老師點評）此題主要是利用根據線段的中點和三角形的中位線定理解決問題.方法總結：三角形中位線定理為證明平行關系提供了新的依據，并為證明一條線段是另一條線段的2倍或提供了一個新的方法.【即學即練】（師生互動）1.求證：順次連結四邊形四條邊的中點所得的四邊形是平行四邊形.已知：在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點.求證：四邊形EFGH是平行四邊形.【證明】連結AC.∵H，G分別是AD，CD的中點，∴HG是△ADC的中位線，∴HG∥AC，HG＝AC.同理EF∥AC，EF＝AC，∴HG∥EF，HG＝EF，∴四邊形EFGH是平行四邊形.探究點三三角形的重心及其性質【問題4】 活動5（教師引導，師生互學）例2如圖，在△ABC中，D、E分別是邊BC、AB的中點，AD、CE相交于點G.求證：.證明:連結ED.∵D、E分別是邊BC、AB的中點，∴DE∥AC，∴△ACG∽△DEG，∴∴提示：如果在上圖中，取AC的中點F，假設BC與AD交于G′，如圖，那么我們同理可得，所以有，即兩圖中的點G與G′是重合的.【總結】于是我們有以下結論：三角形三條邊上的中線交于一點，這個點就是三角形的重心，重心與一邊中點的連線的長是對應中線長的.活動6（小組討論，教師點評）典例講解（師生互動）例3【探索思路】（引發(fā)學生思考）BD＝DC，AE＝EB→確定點O是△ABC的重心→確定AO與已知DO的數量關系→得出結論.∵BD＝DC，AE＝EB，AD與CE相交于點O，∴O是△ABC的重心，∴AO＝2DO＝2×2＝4（cm）.【即學即練】2.如圖，在△ABC中，D是△ABC的重心，連結AD并延長交BC于點E，若BC＝6，則EC＝（）A.2B.2.5C.3D.3.5【解析】∵D是△ABC的重心，∴AE是BC邊的中線，即E是BC的中點.又∵BC＝6，∴EC＝BC＝3.【答案】C課堂練習1.如圖，點D，E，F分別是△ABC三條邊AB，AC，BC的中點，連結DE，DF，EF，則圖中平行四邊形的個數是（）A.0B.1C.2D.32.如圖，DE是△ABC的中位線，過點C作CF∥BD交DE的延長線于點F，則下列結論正確的是（）A.EF＝CFB.EF＝DEC.CF＜BDD.EF＞DE3.如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，DE垂直平分AC交AB于點E，則DE的長為（）A.6B.5C.4D.34.順次連結菱形四條邊的中點所得的四邊形一定是（）A.菱形B.矩形C.正方形D.梯形5.如圖，已知等邊△ABC的邊長為2，DE是它的中位線，則下面四個結論：①DE＝1；②△CDE∽△CAB；③△CDE的面積與四邊形ABED的面積之比為1∶3；④.其中正確的有（）A.1個B.2個C.3個D.4個6.如圖，在△ABC中，AB＝6，AC＝10，點D，E，F分別是AB，BC，AC的中點，則四邊形ADEF的周長為（）A.8B.10C.12D.16）A.3cmB.26C.24cmD.658.如圖，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，點N為BC的中點，AM平分∠BAC，CM⊥AM，垂足為點M，延長CM交AB于點D，求MN的長.9.如圖，點G是△ABC的重心，GE∥AB交BC于點E，GF∥AC交BC于點F，若△GEF的周長是2，求△ABC的周長.10.如圖，E為平行四邊形ABCD中DC邊的延長線上一點，且CE＝DC，連結AE，分別交BC、BD于點F、G，連結AC交BD于O，連結OF，判斷AB與OF的位置關系和大小關系，并證明你的結論.參考答案1.D【解析】利用“中位線平行于第三邊”并結合平行四邊形的判定定理即可得到DBFE，DFCE，DFEA，共3個.2.B【解析】：∵DE是△ABC的中位線，∴E為AC中點，∴AE＝EC.∵CF∥BD，∴∠ADE＝∠F.又∵∠AED＝∠CEF，∴△ADE≌△CFE（AAS），∴EF＝DE.3.D【解析】∵在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，∴BC＝＝＝6.又∵DE垂直平分AC，∴DE⊥AD，AD＝DC.又BC⊥AC，∴DE∥BC，∴AE＝EB，∴DE是△ACB的中位線，∴DE＝BC＝3.4.B【解析】如圖，四邊形ABCD是菱形，∵E，F，G，H分別是邊AB，AD，DC，CB的中點，∴EF∥BD，HG∥BD，EH∥AC，FG∥AC，∴四邊形EHGF是平行四邊形.又AC⊥BD，∴EH⊥HG，∴四邊形EHGF是矩形.5.D【解析】由三角形中位線定理得DE＝AB＝×2＝1，故結論①正確；又DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，故結論②正確；由相似三角形的性質得S△CDE∶S△CAB＝∴S△CDE∶S四邊形ABED＝1∶3又∵S△CDE∶S△ABC＝1∶4，∴6.D【解析】∵點D，E，F分別是AB，BC，AC的中點，∴DE∥AC，EF∥AB，DE＝AC＝5，EF＝AB＝3，∴四邊形ADEF是平行四邊形，∴AD＝EF，DE＝AF，∴四邊形ADEF的周長為2（DE+EF）＝2×（5+3）＝16，故選D.7.B【解析】如圖，∵點D，E，F分別是△ABC的三邊的中點，DE＝3cm，DF＝4cm，EF＝6cm，∴DE＝AC，DF＝BC，EF＝AB，∴AC+BC+AB＝2（DE+DF+EF）＝2×（3+4+6）＝26（cm），故選B.8.∵AM平分∠BAC，CM⊥AM，∴AD＝AC＝3，DM＝CM.∵N為BC的中點，∴BN＝CN，∴MN為△BCD的中位線，∴MN＝BD＝（AB-AD）＝（5-3）＝1.9.∵G是△ABC的重心，∴＝.∵GE∥AB，∴△DGE∽△DAB，∴eq\f(GE,AB)＝eq\f(DE,DB)＝eq\f(GD,DA)＝，∴AB＝3GE，DB＝3ED.同理可得AC＝3GF，DC＝3DF，∴△ABC的周長＝AB+AC+BC＝3GE+3GF+3EF＝3（GE+GF+EF）＝3×2＝6.10.【解】AB＝2OF，AB∥OF.證明如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，OA＝OC.∴∠BAF＝∠CEF，∠ABF＝∠ECF.∵CE＝DC，在ABCD中，CD＝AB，∴AB＝CE.在△ABF和△ECF中，∴△ABF≌△ECF（ASA），∴BF＝CF.∵OA＝OC，∴OF是△ABC的中位線，∴AB＝2OF，AB∥OF.課堂小結（學生總結，老師點評）1.三角形的中位線：連結三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線.2.三角形的中位線性質：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.3.三角形的重心：三角形三條邊上的中線交于一點，這個點就是三