2024-2025學(xué)年初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)（華師版）教案 第23章圖形的相似23.3.4相似三角形的應(yīng)用

第23章圖形的相似23.3相似三角形4相似三角形的應(yīng)用教學(xué)目標(biāo)1.能夠利用相似三角形的知識(shí)，求出不能直接測(cè)量的物體的高度和寬度.2.進(jìn)一步了解數(shù)學(xué)建模思想，能夠?qū)?shí)際問題轉(zhuǎn)化為相似三角形的數(shù)學(xué)模型，提高分析問題、解決問題的能力.教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：運(yùn)用相似三角形的知識(shí)，解決實(shí)際問題.難點(diǎn)：將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為相似三角形的數(shù)學(xué)模型.教學(xué)過程復(fù)習(xí)鞏固1.判定三角形相似的方法：（1）平行于三角形一邊的直線，和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.（2）判定定理1：兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似.判定定理2：兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似.判定定理3：三邊成比例的兩個(gè)三角形相似.2.相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)角相等.相似三角形周長的比等于相似比.相似三角形面積的比等于相似比的平方.導(dǎo)入新課【問題】活動(dòng)1（學(xué)生交流，教師點(diǎn)評(píng)）思考：怎樣測(cè)量河寬？利用三角形相似可以解決一些不能直接測(cè)量的物體的高度及兩物之間的距離問題.教師引出課題：23.3相似三角形4相似三角形的應(yīng)用探究新知探究點(diǎn)一利用相似三角形測(cè)量高度活動(dòng)2（小組討論，師生互學(xué)）典例講解（師生互動(dòng)）例1古代一位數(shù)學(xué)家想出了一種測(cè)量金字塔高度的方法：如圖所示，為了測(cè)量金字塔的高度OB，先豎一根已知長度的木棒O′B′，比較木棒的影長A′B′與金字塔的影長AB，即可近似算出金字塔的高度OB.如果O′B′＝1米，A′B′＝2米，AB＝274米，求金字塔的高度OB.【探索思路】（引發(fā)學(xué)生思考）在太陽光線照射下，光線平行照射，得到平行線，由此得到同位角相等，由物高與地面垂直，得到直角，構(gòu)造相似三角形，物高與影長對(duì)應(yīng)成比例，列出比例式求解.∵太陽光是平行光線，∴∠OAB＝∠O′A′B′.又∵∠ABO＝∠A′B′O′＝90°.∴△OAB∽△O′A′B′，∴＝，∴OB＝（米）.答:該金字塔高度OB為137米.例2如圖是一位學(xué)生設(shè)計(jì)的用手電筒來測(cè)量某古城墻高度的示意圖.在點(diǎn)P處放一水平的平面鏡，光線從點(diǎn)A發(fā)出經(jīng)平面鏡反射后剛好到古城墻CD的頂端C處，已知AB⊥BD，測(cè)得AB＝2米，BP＝3米，PD＝12米，求該古城墻的高度.由反射角等于入射角，可得∠APB＝∠CPD，∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABP＝∠CDP＝90°，∴△ABP∽△CDP，∴.又∵AB＝2米，BP＝3米，PD＝12米，∴，解得CD＝8（米），答：該古城墻的高度為8米.【總結(jié)】測(cè)物體高度的方法（1）測(cè)量不能到達(dá)頂部的物體的高度，通常用“在同一時(shí)刻物高與影長對(duì)應(yīng)成比例”的原理解決.物1高∶物2高＝影1長∶影2長（2）利用鏡子的反射測(cè)物體的高度在觀測(cè)者與物體之間的地面上平放一平面鏡，在鏡面上做一標(biāo)記，觀測(cè)者看著鏡子來回走動(dòng)，直到看到物體的頂端在鏡中的像與鏡面上的標(biāo)記重合，測(cè)量觀測(cè)者與鏡面間的距離及觀測(cè)者眼睛距地面的高度，根據(jù)反射角等于入射角，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求解.【即學(xué)即練】（師生互動(dòng)）1.某同學(xué)想利用樹影測(cè)量樹高.他在某一時(shí)刻測(cè)得小樹高為1.5米時(shí)，其影長為1.2米，當(dāng)他測(cè)量教學(xué)樓旁的一棵大樹影長時(shí)，因大樹靠近教學(xué)樓，有一部分影子在墻上.經(jīng)測(cè)量，地面部分影長為6.4米，墻上影長為1.4米，那么這棵大樹高多少米?如圖所示，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，得，∴AE＝8.∴AB＝8+1.4＝9.4（米）.答：這棵大樹高9.4米.探究點(diǎn)二利用相似三角形測(cè)量河寬活動(dòng)3（學(xué)生交流，教師點(diǎn)評(píng)）典例講解（師生互動(dòng)）例3為測(cè)量某河的寬度，小軍在河對(duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)點(diǎn)A，再在他所在的這一側(cè)選點(diǎn)B、C、D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，然后找出AD與BC的交點(diǎn)E.如圖所示，若測(cè)得BE＝90m，EC＝45m，CD＝60m，則這條河的寬AB等于（）A.120m B.67.5mC.40m D.30m【探索思路】（引發(fā)學(xué)生思考）由兩角對(duì)應(yīng)相等可得△BAE∽△CDE，利用對(duì)應(yīng)邊成比例可得這條間的寬度AB.【解析】∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴∠ABE＝∠DCE＝90°.又∵∠AEB＝∠DEC，∴△BAE∽△CDE，∴＝.∵BE＝90m，CE＝45m，CD＝60m，∴＝，解得AB＝120m.即這條河的寬AB為120m.【答案】A【題后總結(jié)】（學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng)）考查相似三角形的應(yīng)用，用到的知識(shí)點(diǎn)為：兩角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似；相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例.【總結(jié)】測(cè)河寬的方法測(cè)量如河寬等不易直接測(cè)量的物體的寬度，常構(gòu)造相似三角形求解.【即學(xué)即練】（師生互動(dòng)）2.如圖，為了測(cè)量水塘邊A、B兩點(diǎn)之間的距離，在水塘外定一點(diǎn)E，取AE、BE延長線上的C、D兩點(diǎn)，使得CD∥AB.若測(cè)得CD＝5m，AD＝15m，ED＝3m，則A、B兩點(diǎn)間的距離為m.【解析】∵CD∥AB，∴△BAE∽△CDE，∴，解得AB＝20m，∴A，B兩點(diǎn)間的距離為20m.【答案】20課堂練習(xí)1.學(xué)校門口的欄桿如圖所示，欄桿從水平位置BD繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分別為B，D，AO＝4m，AB＝1.6m，CO＝1m，則欄桿D端應(yīng)下降的垂直距離CD為（）A.0.2mB.0.3mC.0.4mD.0.5m2.在某次活動(dòng)課中，甲、乙兩個(gè)學(xué)習(xí)小組于同一時(shí)刻在陽光下對(duì)校園中一些物體進(jìn)行了測(cè)量.下面是他們通過測(cè)量得到的一些信息：如圖，甲組測(cè)得一根直立于平地，長為80cm的竹竿的影長為60cm；乙組測(cè)得學(xué)校旗桿的影長為900cm，則旗桿的長為（）A.900cm B.1000cmC.1100cm D.1200cm3.如圖，為了估計(jì)河的寬度，在河的對(duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)點(diǎn)P，在近岸取點(diǎn)Q和S，使點(diǎn)P、Q、S在一條直線上，且直線PS與河垂直，在過點(diǎn)S且與PS垂直的直線a上選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)T，PT與過點(diǎn)Q且與PS垂直的直線b的交點(diǎn)為R.如果QS＝60m，ST＝120m，QR＝80m，則河的寬度大約為（）A.40m B.60mC.120m D.180m4.如圖，在高為4m的平房頂上A處望一幢樓的底部D時(shí)，視線恰好過一棵樹的頂端E，從平房底部B處望樓頂C時(shí)，視線也恰好經(jīng)過這棵樹的頂端E.如果測(cè)得這棵樹的高度為3m，求這幢樓的高度.5.如圖，學(xué)校的圍墻外有一旗桿AB，甲在操場(chǎng)C處直立一根3m高的竹竿CD，乙從C處退到E處恰好看到竹竿頂端D與旗桿頂端B重合，量得CE＝3m，乙的眼睛到地面的距離FE＝1.5m；丙在C1處也直立3m高的竹竿C1D1，乙從E處退后6m到E1處，恰好看到兩根竹竿和旗桿重合，且竹竿頂端D1與旗桿頂端B也重合，測(cè)得C1E1＝4m.求旗桿AB的長度.參考答案1.C2.D3.C4.∵EF∥AB，∴△DEF∽△DAB.∵EF＝3，AB＝4，∴，∴.∵EF∥CD，∴△BEF∽△BCD，∴，∴CD＝4EF＝12m.答：這幢樓的高度為12m.5.設(shè)BO＝xm，GO＝y(tǒng)m.∵GD∥OB，∴△DGF∽△BOF，∴.同理，解得經(jīng)檢驗(yàn)x＝9，y＝15均是原方程的解，∴旗桿AB的長度為9+1.5＝10.5m.課堂小結(jié)（學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng)）相似三角形的應(yīng)用（1）測(cè)量不能到達(dá)頂部的物體的高度；（2）測(cè)量不能到達(dá)兩點(diǎn)間的距離（寬度），常構(gòu)造相似三角形求解.布置作業(yè)教材第74頁練習(xí)題第1，2，3題.板書設(shè)計(jì)