高中數(shù)學(xué) 第一章 1.1.7柱、錐、臺(tái)和球的體積基礎(chǔ)過(guò)關(guān)訓(xùn)練 新人教B版必修2

1.1.7柱、錐、臺(tái)和球的體積一、基礎(chǔ)過(guò)關(guān)1．一個(gè)三棱錐的高和底面邊長(zhǎng)都縮小為原來(lái)的eq\f(1,2)時(shí)，它的體積是原來(lái)的 ()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,8) D.eq\f(\r(2),4)2．兩個(gè)球的半徑之比為1∶3，那么兩個(gè)球的表面積之比為 ()A．1∶9 B．1∶27C．1∶3 D．1∶13．已知直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)為a、b，分別以這兩條直角邊所在直線(xiàn)為軸，旋轉(zhuǎn)所形成的幾何體的體積之比為 ()A．a(chǎn)∶b B．b∶aC．a(chǎn)2∶b2 D．b2∶a24．若球的體積與表面積相等，則球的半徑是 ()A．1 B．2 C．3 D．45．已知一個(gè)球與一個(gè)正三棱柱的三個(gè)側(cè)面和兩個(gè)底面相切，若這個(gè)球的體積是eq\f(32π,3)，則這個(gè)三棱柱的體積是 ()A．96eq\r(3) B．16eq\r(3)C．24eq\r(3) D．48eq\r(3)6．將一鋼球放入底面半徑為3cm的圓柱形玻璃容器中，水面升高4cm，則鋼球的半徑是________cm.7．(1)表面積相等的正方體和球中，體積較大的幾何體是______；(2)體積相等的正方體和球中，表面積較小的幾何體是______．8．如圖所示，三棱柱ABC—A1B1C1中，若E、F分別為AB、AC的中點(diǎn)，平面EB1C1F將三棱柱分成體積為V1、V2(V1>V1∶V2.二、能力提升9．有一個(gè)幾何體的三視圖及其尺寸如圖(單位：cm)，則該幾何體的表面積和體積分別為 ()A．24πcm2,12πcm3 B．15πcm2,12πcm3C．24πcm2,36πcm3 D．以上都不正確10．圓柱的底面半徑為1，母線(xiàn)長(zhǎng)為2，則它的體積和表面積分別為 ()A．2π，6π B．3π，5πC．4π，6π D．2π，4π11．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(單位：m)，則該幾何體的體積為_(kāi)_______m3.12．有一個(gè)倒圓錐形容器，它的軸截面是一個(gè)正三角形，在容器內(nèi)放一個(gè)半徑為r的鐵球，并注入水，使水面與球正好相切，然后將球取出，求這時(shí)容器中水的深度．三、探究與拓展13．阿基米德在他的許許多多的科學(xué)發(fā)現(xiàn)當(dāng)中最為得意的一個(gè)發(fā)現(xiàn)是：圖中所示的圓及其外切正方形繞圖中由虛線(xiàn)表示的對(duì)稱(chēng)軸旋轉(zhuǎn)一周生成的幾何體稱(chēng)為圓柱容球．在圓柱容球中，球的體積是圓柱體積的eq\f(2,3)，球的表面積也是圓柱全面積的eq\f(2,3).請(qǐng)你試著證明．

答案1．C2.A3.B4．C5．D6．37．(1)球(2)球8．解設(shè)三棱柱的高為h，底面的面積為S，體積為V，則V＝V1＋V2＝Sh.因?yàn)镋、F分別為AB、AC的中點(diǎn)，所以S△AEF＝eq\f(1,4)S，V1＝eq\f(1,3)h(S＋eq\f(1,4)S＋eq\r(S·\f(S,4)))＝eq\f(7,12)Sh，V2＝Sh－V1＝eq\f(5,12)Sh，故V1∶V2＝7∶5.9．A10．A11．9π＋1812．解由題意知，圓錐的軸截面為正三角形，如圖所示為圓錐的軸截面．根據(jù)切線(xiàn)性質(zhì)知，當(dāng)球在容器內(nèi)時(shí)，水深為3r，水面的半徑為eq\r(3)r，則容器內(nèi)水的體積為V＝V圓錐－V球＝eq\f(1,3)π·(eq\r(3)r)2·3r－eq\f(4,3)πr3＝eq\f(5,3)πr3，而將球取出后，設(shè)容器內(nèi)水的深度為h，則水面圓的半徑為eq\f(\r(3),3)h，從而容器內(nèi)水的體積是V′＝eq\f(1,3)π·(eq\f(\r(3),3)h)2·h＝eq\f(1,9)πh3，由V＝V′，得h＝eq\r(3,15)r.即容器中水的深度為eq\r(3,15)r.13．證明設(shè)圓的半徑為R，球的體積與圓柱的體積分別為V球和V柱，球的表面積與圓柱的全面積分別為S球及S柱，則