高等數(shù)學(xué) 曲線積分與曲面積分

機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束積分學(xué)定積分二重積分三重積分積分域區(qū)間域平面域空間域曲線積分曲線域曲面域曲線積分曲面積分對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分對(duì)坐標(biāo)的曲線積分對(duì)面積的曲面積分對(duì)坐標(biāo)的曲面積分曲面積分曲線積分與曲面積分第一節(jié)一、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念與性質(zhì)二、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算法機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分

第十章一、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念與性質(zhì)假設(shè)曲線形細(xì)長(zhǎng)構(gòu)件在空間所占弧段為AB,其線密度為“大化小,常代變,近似和,求極限”

可得為計(jì)算此構(gòu)件的質(zhì)量,1.引例:

曲線形構(gòu)件的質(zhì)量采用機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束設(shè)

是空間中一條有限長(zhǎng)的光滑曲線,義在

上的一個(gè)有界函數(shù),都存在,

上對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分,記作若通過(guò)對(duì)

的任意分割局部的任意取點(diǎn),2.定義下列“乘積和式極限”則稱此極限為函數(shù)在曲線或第一類曲線積分.稱為被積函數(shù)，

稱為積分弧段.曲線形構(gòu)件的質(zhì)量和對(duì)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束如果L是xoy

面上的曲線弧,如果L

是閉曲線,則記為則定義對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束思考:(1)若在

L

上f(x,y)≡1,(2)定積分是否可看作對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的特例?否!

對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分要求ds0,但定積分中dx

可能為負(fù).3.性質(zhì)（k為常數(shù))(

由組成)(l為曲線弧

的長(zhǎng)度)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算法基本思路:計(jì)算定積分轉(zhuǎn)化定理:且上的連續(xù)函數(shù),證:是定義在光滑曲線弧則曲線積分求曲線積分根據(jù)定義機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束點(diǎn)設(shè)各分點(diǎn)對(duì)應(yīng)參數(shù)為對(duì)應(yīng)參數(shù)為則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束說(shuō)明:因此積分限必須滿足(2)注意到因此上述計(jì)算公式相當(dāng)于“換元法”.因此機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束如果曲線L的方程為則有如果方程為極坐標(biāo)形式:則推廣:

設(shè)空間曲線弧的參數(shù)方程為則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例1.

計(jì)算其中L是拋物線與點(diǎn)

B(1,1)之間的一段弧.解:上點(diǎn)O(0,0)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例2.計(jì)算半徑為R,中心角為的圓弧L

對(duì)于它的對(duì)稱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I(設(shè)線密度

=1).解:

建立坐標(biāo)系如圖,則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例3.計(jì)算其中L為雙紐線解:

在極坐標(biāo)系下它在第一象限部分為利用對(duì)稱性,得機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例4.計(jì)算曲線積分

其中

為螺旋的一段弧.解:

線機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例5.

計(jì)算其中

為球面被平面所截的圓周.解:由對(duì)稱性可知機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束思考:例5中

改為計(jì)算解:

令,則圓

的形心在原點(diǎn),故,如何機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例6.計(jì)算其中為球面解:化為參數(shù)方程則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例7.有一半圓弧其線密度解:故所求引力為求它對(duì)原點(diǎn)處單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力.

機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)1.定義2.性質(zhì)(l

曲線弧

的長(zhǎng)度)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束3.計(jì)算?對(duì)光滑曲線弧?對(duì)光滑曲線弧?對(duì)光滑曲線弧機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束思考與練習(xí)1.已知橢圓周長(zhǎng)為a,求提示:原式=利用對(duì)稱性分析:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.

設(shè)均勻螺旋形彈簧L的方程為(1)求它關(guān)于z

軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(2)求它的質(zhì)心.解:

設(shè)其密度為

ρ(常數(shù)).(2)L的質(zhì)量而(1)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束故重心坐標(biāo)為第二節(jié)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束P1903(3),(4),(6),(7),4第二節(jié)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束作業(yè)備用題1.

設(shè)

C

是由極坐標(biāo)系下曲線及所圍區(qū)域的邊界,求提示:

分段積分機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.

L為球面面的交線,求其形心.在第一卦限與三個(gè)坐標(biāo)解:

如圖所示,交線長(zhǎng)度為由對(duì)稱性,形心坐標(biāo)為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第二節(jié)一、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì)二、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算法三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束對(duì)坐標(biāo)的曲線積分

第十一章一、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì)1.

引例:

變力沿曲線所作的功.設(shè)一質(zhì)點(diǎn)受如下變力作用在xoy

平面內(nèi)從點(diǎn)A沿光滑曲線弧L

移動(dòng)到點(diǎn)B,求移“大化小”“常代變”“近似和”“取極限”變力沿直線所作的功解決辦法:動(dòng)過(guò)程中變力所作的功W.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束1)“大化小”.2)“常代變”把L分成n個(gè)小弧段,有向小弧段近似代替,則有所做的功為F

沿則用有向線段上任取一點(diǎn)在機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束3)“近似和”4)“取極限”(其中

為n

個(gè)小弧段的最大長(zhǎng)度)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.定義.設(shè)

L

為xoy

平面內(nèi)從A到B的一條有向光滑弧,若對(duì)L的任意分割和在局部弧段上任意取點(diǎn),都存在,在有向曲線弧L上對(duì)坐標(biāo)的曲線積分,則稱此極限為函數(shù)或第二類曲線積分.其中,L

稱為積分弧段或積分曲線.稱為被積函數(shù),在L上定義了一個(gè)向量函數(shù)極限記作機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束若

為空間曲線弧,記稱為對(duì)x的曲線積分;稱為對(duì)y的曲線積分.若記,對(duì)坐標(biāo)的曲線積分也可寫作類似地,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束3.性質(zhì)(1)若L

可分成k條有向光滑曲線弧(2)用L－

表示L的反向弧,則則

定積分是第二類曲線積分的特例.說(shuō)明:

對(duì)坐標(biāo)的曲線積分必須注意積分弧段的方向

!機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算法定理:在有向光滑弧L上L的參數(shù)方程為則曲線積分有定義且連續(xù),證明:

下面先證存在,且有機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束對(duì)應(yīng)參數(shù)設(shè)分點(diǎn)根據(jù)定義由于對(duì)應(yīng)參數(shù)因?yàn)長(zhǎng)為光滑弧,同理可證機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束特別是,如果L

的方程為則對(duì)空間光滑曲線弧

:類似有定理目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例1.計(jì)算其中L為沿拋物線解法1

取x

為參數(shù),則解法2取y

為參數(shù),則從點(diǎn)的一段.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例2.計(jì)算其中L為(1)半徑為a

圓心在原點(diǎn)的上半圓周,方向?yàn)槟鏁r(shí)針?lè)较?(2)從點(diǎn)A(a,0)沿x軸到點(diǎn)

B(–a,0).解:(1)取L的參數(shù)方程為(2)取L的方程為則則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例3.計(jì)算其中L為(1)拋物線(2)拋物線(3)有向折線

解:

(1)原式(2)原式(3)原式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例4.設(shè)在力場(chǎng)作用下,質(zhì)點(diǎn)由沿

移動(dòng)到解:(1)(2)

的參數(shù)方程為試求力場(chǎng)對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作的功.其中

為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例5.求其中從

z

軸正向看為順時(shí)針?lè)较?解:取的參數(shù)方程機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系設(shè)有向光滑弧L

以弧長(zhǎng)為參數(shù)

的參數(shù)方程為已知L切向量的方向余弦為則兩類曲線積分有如下聯(lián)系機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束類似地,在空間曲線

上的兩類曲線積分的聯(lián)系是令記A

在t

上的投影為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二者夾角為

例6.設(shè)曲線段L

的長(zhǎng)度為s,證明續(xù),證:設(shè)說(shuō)明:

上述證法可推廣到三維的第二類曲線積分.在L上連機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例7.將積分化為對(duì)弧長(zhǎng)的積分,解：其中L沿上半圓周機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束1.定義2.性質(zhì)(1)L可分成k

條有向光滑曲線弧(2)L－

表示L的反向弧對(duì)坐標(biāo)的曲線積分必須注意積分弧段的方向!內(nèi)容小結(jié)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束3.計(jì)算?對(duì)有向光滑弧?

對(duì)有向光滑弧機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束4.兩類曲線積分的聯(lián)系?

對(duì)空間有向光滑弧

:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束原點(diǎn)O

的距離成正比,思考與練習(xí)1.設(shè)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在處受恒指向原點(diǎn),沿橢圓此質(zhì)點(diǎn)由點(diǎn)沿逆時(shí)針移動(dòng)到提示:(解見(jiàn)P139例5)F

的大小與M到原F

的方向力F的作用,求力F

所作的功.思考:

若題中F的方向改為與OM垂直且與

y

軸夾銳角,則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.

已知為折線ABCOA(如圖),計(jì)算提示:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束作業(yè)P2003(2),(4),(6),(7);

4;5;7;8第三節(jié)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束備用題

1.解:線移動(dòng)到向坐標(biāo)原點(diǎn),其大小與作用點(diǎn)到xoy

面的距離成反比.沿直求F所作的功W.已知F

的方向指一質(zhì)點(diǎn)在力場(chǎng)F

作用下由點(diǎn)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.

設(shè)曲線C為曲面與曲面從ox

軸正向看去為逆時(shí)針?lè)较?(1)寫出曲線C

的參數(shù)方程;(2)計(jì)算曲線積分解:(1)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(2)原式=令利用“偶倍奇零”機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第三節(jié)一、格林公式

二、平面上曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的等價(jià)條件機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束格林公式及其應(yīng)用

第十一章區(qū)域D分類單連通區(qū)域(無(wú)“洞”區(qū)域)多連通區(qū)域(有“洞”區(qū)域)域D邊界L的正向:域的內(nèi)部靠左定理1.

設(shè)區(qū)域D

是由分段光滑正向曲線L圍成,則有(格林公式)函數(shù)在D上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),或一、格林公式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束證明:1)若D既是X-型區(qū)域,又是

Y-

型區(qū)域,且則定理1目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束即同理可證①②①、②兩式相加得:定理1目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2)若D不滿足以上條件,則可通過(guò)加輔助線將其分割為有限個(gè)上述形式的區(qū)域,如圖證畢定理1目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束推論:正向閉曲線L所圍區(qū)域D的面積格林公式例如,橢圓所圍面積定理1目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例1.設(shè)L是一條分段光滑的閉曲線,證明證:

令則利用格林公式,得機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例2.

計(jì)算其中D是以O(shè)(0,0),A(1,1),

B(0,1)為頂點(diǎn)的三角形閉域.解:

令,則利用格林公式,有機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例3.

計(jì)算其中L為一無(wú)重點(diǎn)且不過(guò)原點(diǎn)的分段光滑正向閉曲線.解:

令設(shè)L所圍區(qū)域?yàn)镈,由格林公式知機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束在D內(nèi)作圓周取逆時(shí)針?lè)较?,對(duì)區(qū)域記L和

lˉ

所圍的區(qū)域?yàn)閼?yīng)用格林公式,得機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、平面上曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的等價(jià)條件定理2.

設(shè)D是單連通域

,在D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),(1)沿D中任意光滑閉曲線

L,有(2)對(duì)D中任一分段光滑曲線

L,曲線積分(3)(4)在D內(nèi)每一點(diǎn)都有與路徑無(wú)關(guān),只與起止點(diǎn)有關(guān).函數(shù)則以下四個(gè)條件等價(jià):在D內(nèi)是某一函數(shù)的全微分,即機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束說(shuō)明:

積分與路徑無(wú)關(guān)時(shí),曲線積分可記為證明(1)(2)設(shè)為D內(nèi)任意兩條由A到B

的有向分段光滑曲線,則(根據(jù)條件(1))定理2目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束證明(2)(3)在D內(nèi)取定點(diǎn)因曲線積分則同理可證因此有和任一點(diǎn)B(x,y),與路徑無(wú)關(guān),有函數(shù)定理2目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束證明

(3)(4)設(shè)存在函數(shù)

u(x,y)使得則P,Q在D內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),從而在D內(nèi)每一點(diǎn)都有定理2目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束證明

(4)(1)設(shè)L為D中任一分段光滑閉曲線,(如圖),利用格林公式,得所圍區(qū)域?yàn)樽C畢定理2目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束說(shuō)明:根據(jù)定理2,若在某區(qū)域內(nèi)則2)求曲線積分時(shí),可利用格林公式簡(jiǎn)化計(jì)算,3)可用積分法求du=

Pdx+Qdy在域D內(nèi)的原函數(shù):及動(dòng)點(diǎn)或則原函數(shù)為若積分路徑不是閉曲線,可添加輔助線;取定點(diǎn)1)計(jì)算曲線積分時(shí),可選擇方便的積分路徑;定理2目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例4.

計(jì)算其中L為上半從O(0,0)到A(4,0).解:為了使用格林公式,添加輔助線段它與L

所圍原式圓周區(qū)域?yàn)镈,

則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例5.

驗(yàn)證是某個(gè)函數(shù)的全微分,并求出這個(gè)函數(shù).證:

設(shè)則由定理2可知,存在函數(shù)u(x,y)使。。機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例6.

驗(yàn)證在右半平面(x>0)內(nèi)存在原函數(shù),并求出它.證:

令則由定理2

可知存在原函數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束或機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例7.設(shè)質(zhì)點(diǎn)在力場(chǎng)作用下沿由移動(dòng)到求力場(chǎng)所作的功W解:令則有可見(jiàn),在不含原點(diǎn)的單連通區(qū)域內(nèi)積分與路徑無(wú)關(guān).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束曲線L:思考:積分路徑是否可以取取圓弧為什么？注意,本題只在不含原點(diǎn)的單連通區(qū)域內(nèi)積分與路徑無(wú)關(guān)!機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)1.格林公式2.等價(jià)條件在

D

內(nèi)與路徑無(wú)關(guān).在

D

內(nèi)有對(duì)D

內(nèi)任意閉曲線L有在D

內(nèi)有設(shè)P,Q

在D

內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則有機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束思考與練習(xí)1.設(shè)且都取正向,問(wèn)下列計(jì)算是否正確?提示:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.設(shè)提示:第四節(jié)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束P2142(1);3;4(3);5(1),(4);6(2),(5)第四節(jié)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束作業(yè)

備用題1.

設(shè)

C

為沿從點(diǎn)依逆時(shí)針的半圓,計(jì)算解:

添加輔助線如圖,利用格林公式.原式=到點(diǎn)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.

質(zhì)點(diǎn)M沿著以AB為直徑的半圓,從A(1,2)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B(3,4),到原點(diǎn)的距離,解:

由圖知故所求功為銳角,其方向垂直于OM,且與y

軸正向夾角為求變力F

對(duì)質(zhì)點(diǎn)M

所作的功.(90考研)

F

的大小等于點(diǎn)

M在此過(guò)程中受力F作用,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第四節(jié)一、對(duì)面積的曲面積分的概念與性質(zhì)二、對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算法機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束對(duì)面積的曲面積分

第十一章一、對(duì)面積的曲面積分的概念與性質(zhì)引例:設(shè)曲面形構(gòu)件具有連續(xù)面密度類似求平面薄板質(zhì)量的思想,采用可得求質(zhì)量M.

“大化小,常代變,近似和,求極限”

的方法,其中,

表示n

小塊曲面的直徑的最大值(曲面的直徑為其上任意兩點(diǎn)間距離的最大者).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定義:設(shè)為光滑曲面,局部區(qū)域任意取點(diǎn),“乘積和式極限”都存在,的曲面積分其中f(x,y,z)叫做被積據(jù)此定義,曲面形構(gòu)件的質(zhì)量為曲面面積為f(x,y,z)是定義在

上的一個(gè)有界函數(shù),記作或第一類曲面積分.若對(duì)做任意分割和則稱此極限為函數(shù)f(x,y,z)在曲面上對(duì)面積函數(shù),

叫做積分曲面.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束連續(xù),則對(duì)面積的曲面積分存在.?對(duì)積分域的可加性.則有?線性性質(zhì).在光滑曲面

上對(duì)面積的曲面積分與對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分性質(zhì)類似.?積分的存在性.若是分片光滑的,例如分成兩片光滑曲面機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定理:

設(shè)有光滑曲面f(x,y,z)在上連續(xù),存在,且有二、對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算法

則曲面積分證明:由定義知機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束而(光滑)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束說(shuō)明:可有類似的公式.1)如果曲面方程為2)若曲面為參數(shù)方程,只要求出在參數(shù)意義下dS的表達(dá)式,也可將對(duì)面積的曲面積分轉(zhuǎn)化為對(duì)參數(shù)的二重積分.(見(jiàn)本節(jié)后面的例4,例5)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例1.

計(jì)算曲面積分其中是球面被平面截出的頂部.解:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束思考:若是球面被平行平面z=±h

截出的上下兩部分,則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例2.

計(jì)算其中

是由平面坐標(biāo)面所圍成的四面體的表面.解:

設(shè)上的部分,則與

原式=分別表示

在平面機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例3.

設(shè)計(jì)算解:

錐面與上半球面交線為為上半球面夾于錐面間的部分,它在xoy面上的投影域?yàn)閯t機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束思考:

若例3中被積函數(shù)改為計(jì)算結(jié)果如何?例4.

求半徑為R

的均勻半球殼

的重心.解:

設(shè)的方程為利用對(duì)稱性可知重心的坐標(biāo)而用球坐標(biāo)思考題:

例3是否可用球面坐標(biāo)計(jì)算

?例3目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例5.計(jì)算解:取球面坐標(biāo)系,則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例6.計(jì)算其中

是球面利用對(duì)稱性可知解:

顯然球心為半徑為利用重心公式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例7.計(jì)算其中

是介之間的圓柱面分析:

若將曲面分為前后(或左右)則解:

取曲面面積元素兩片,則計(jì)算較繁.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束于平面例8.

求橢圓柱面位于xoy

面上方及平面

z=y

下方那部分柱面

的側(cè)面積S.解:取機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例9.

設(shè)有一顆地球同步軌道通訊衛(wèi)星,距地面高度

h=36000km,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束運(yùn)行的角速度與地球自轉(zhuǎn)角速度相同,

試計(jì)算該通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積的比.(地球半徑R=6400km)解:建立坐標(biāo)系如圖,覆蓋曲面的半頂角為

,利用球坐標(biāo)系,則衛(wèi)星覆蓋面積為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束故通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積的比為由以上結(jié)果可知,衛(wèi)星覆蓋了地球以上的面積,故使用三顆相隔角度的通訊衛(wèi)星就幾乎可以覆蓋地球全表面.說(shuō)明:

此題也可用二重積分求A

(見(jiàn)下冊(cè)P109例2).內(nèi)容小結(jié)1.定義:2.計(jì)算:設(shè)則(曲面的其他兩種情況類似)

注意利用球面坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、對(duì)稱性、重心公式簡(jiǎn)化計(jì)算的技巧.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束作業(yè)

P2194(3);5(2);6(1),(3),(4);8第五節(jié)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束備用題1.已知曲面殼求此曲面殼在平面z＝1以上的面密度部分

的質(zhì)量M.解:

在xoy

面上的投影為

故機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.

設(shè)是四面體面,計(jì)算解:

在四面體的四個(gè)面上同上平面方程投影域機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第五節(jié)一、有向曲面及曲面元素的投影二、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的概念與性質(zhì)

三、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算法四、兩類曲面積分的聯(lián)系機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束對(duì)坐標(biāo)的曲面積分

第十一章一、有向曲面及曲面元素的投影?曲面分類雙側(cè)曲面單側(cè)曲面莫比烏斯帶曲面分上側(cè)和下側(cè)曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè)曲面分左側(cè)和右側(cè)(單側(cè)曲面的典型)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束其方向用法向量指向方向余弦>0為前側(cè)<0為后側(cè)封閉曲面>0為右側(cè)<0為左側(cè)>0為上側(cè)<0為下側(cè)外側(cè)內(nèi)側(cè)?設(shè)

為有向曲面,側(cè)的規(guī)定

指定了側(cè)的曲面叫有向曲面,表示:其面元在xoy面上的投影記為的面積為則規(guī)定類似可規(guī)定機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的概念與性質(zhì)

1.引例設(shè)穩(wěn)定流動(dòng)的不可壓縮流體的速度場(chǎng)為:求單位時(shí)間流過(guò)有向曲面的流量.分析:若是面積為S

的平面,則流量法向量:

流速為常向量:

機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束對(duì)一般的有向曲面

,用“大化小,常代變,近似和,取極限”

對(duì)穩(wěn)定流動(dòng)的不可壓縮流體的速度場(chǎng)進(jìn)行分析可得,則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束設(shè)

為光滑的有向曲面,在

上定義了一個(gè)任意分割和在局部面元上任意取點(diǎn),分,記作P,Q,R

叫做被積函數(shù);

叫做積分曲面.或第二類曲面積分.下列極限都存在向量場(chǎng)若對(duì)

的則稱此極限為向量場(chǎng)A在有向曲面上對(duì)坐標(biāo)的曲面積2.定義.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束引例中,流過(guò)有向曲面的流體的流量為稱為Q

在有向曲面上對(duì)

z,x

的曲面積分;稱為R

在有向曲面上對(duì)

x,

y

的曲面積分.稱為P

在有向曲面上對(duì)

y,z

的曲面積分;若記

正側(cè)的單位法向量為令則對(duì)坐標(biāo)的曲面積分也常寫成如下向量形式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束3.性質(zhì)(1)若之間無(wú)公共內(nèi)點(diǎn),則(2)用

ˉ表示

的反向曲面,則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束三、對(duì)坐標(biāo)