2023-2024學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)單元速記·巧練（湘教版）第二章 整式的乘法（知識(shí)歸納+題型突破）（解析版）

第二章整式的乘法（知識(shí)歸納+題型突破）1、了解整數(shù)指數(shù)冪的意義和基本性質(zhì)；會(huì)用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)（包括在計(jì)算器上表示）．2、理解整式的概念，掌握合并同類項(xiàng)和去括號(hào)的法則；能進(jìn)行簡(jiǎn)單的整式加減運(yùn)算，能進(jìn)行簡(jiǎn)單的整式乘法運(yùn)算（多項(xiàng)式乘法僅限于一次式之間和一次式與二次式的乘法）．3、理解乘法公式a+ba?b=1、概念（1）單項(xiàng)式：像x、7、，這種數(shù)與字母的積叫做單項(xiàng)式。單獨(dú)一個(gè)數(shù)或字母也是單項(xiàng)式。單項(xiàng)式的次數(shù)：一個(gè)單項(xiàng)式中，所有字母的指數(shù)叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)。單項(xiàng)式的系數(shù)：?jiǎn)雾?xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫單項(xiàng)式的系數(shù)。（2）多項(xiàng)式：幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式。多項(xiàng)式的項(xiàng)：多項(xiàng)式中每一個(gè)單項(xiàng)式都叫多項(xiàng)式的項(xiàng)。一個(gè)多項(xiàng)式含有幾項(xiàng)，就叫幾項(xiàng)式。多項(xiàng)式的次數(shù):多項(xiàng)式里，次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)，就是這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)。不含字母的項(xiàng)叫常數(shù)項(xiàng)。升（降）冪排列：把一個(gè)多項(xiàng)式按某一個(gè)字母的指數(shù)從?。ù螅┑酱螅ㄐ。┑捻樞蚺帕衅饋?lái)，叫做把多項(xiàng)式按這個(gè)字母升（降）冪排列。（3）同類項(xiàng)：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也分別相同的項(xiàng)叫做同類項(xiàng)。2、運(yùn)算（1）整式的加減：合并同類項(xiàng)：把同類項(xiàng)的系數(shù)相加，所得結(jié)果作為系數(shù)，字母及字母的指數(shù)不變。去括號(hào)法則：括號(hào)前面是“+”號(hào)，把括號(hào)和它前面的“+”號(hào)去掉，括號(hào)里各項(xiàng)都不變；括號(hào)前面是“–”號(hào)，把括號(hào)和它前面的“–”號(hào)去掉，括號(hào)里的各項(xiàng)都變號(hào)。添括號(hào)法則：括號(hào)前面是“+”號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都不變；括號(hào)前面是“–”號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都變號(hào)。整式的加減實(shí)際上就是合并同類項(xiàng)，在運(yùn)算時(shí)，如果遇到括號(hào)，先去括號(hào)，再合并同類項(xiàng)。（2）整式的乘除：冪的運(yùn)算法則：其中m、n都是正整數(shù)同底數(shù)冪相乘：；同底數(shù)冪相除：；冪的乘方：積的乘方：。單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式：用它們系數(shù)的積作為積的系數(shù)，對(duì)于相同的字母，用它們的指數(shù)的和作為這個(gè)字母的指數(shù)；對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式。單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式：就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式：先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘以另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。單項(xiàng)除單項(xiàng)式：把系數(shù)，同底數(shù)冪分別相除，作為商的因式，對(duì)于只在被除式里含有字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式。多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式：把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)，再把所得的商相加。乘法公式：平方差公式：；完全平方公式：，題型一同底數(shù)冪的乘法【例1】（2024上·廣東廣州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算的結(jié)果是（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，掌握冪的運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．同底數(shù)冪的乘法法則：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加．據(jù)此計(jì)算即可．【詳解】解：．故選：A【例2】（2023上·海南?？凇ぐ四昙?jí)校考期中）在等式中，括號(hào)內(nèi)所填的代數(shù)式應(yīng)當(dāng)是（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查同底數(shù)冪的乘法的運(yùn)算及其性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵在于熟練掌握同底數(shù)冪的乘法性質(zhì)及靈活運(yùn)用．【詳解】解：由同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算法則可得，，∴∴括號(hào)內(nèi)所填的代數(shù)式應(yīng)當(dāng)是：．故選：C．【例3】（2024上·上海浦東新·七年級(jí)?？计谀┑挠?jì)算結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了含乘方的有理數(shù)混合計(jì)算，同底數(shù)冪的乘法，先把原式變形為，進(jìn)而得到．【詳解】解：，故選C．【例4】（2023上·河南周口·七年級(jí)周口市第四初級(jí)中學(xué)校考期中）在學(xué)習(xí)第一章有理數(shù)時(shí)，類比小學(xué)兩個(gè)正數(shù)的運(yùn)算法則學(xué)習(xí)了有理數(shù)的加減法、有理數(shù)的乘除法，在第二章整式的加減時(shí)，類比第一章有理數(shù)的學(xué)習(xí)過(guò)程學(xué)習(xí)了整式的加減，那么整式的乘法是否可以類比有理數(shù)的乘法進(jìn)行學(xué)習(xí)呢?我們從特殊情況入手對(duì)兩個(gè)同底數(shù)冪相乘進(jìn)行探究．（1）探究根據(jù)乘方的意義填空，觀察計(jì)算結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?①，②，③，（2）規(guī)律（都是正整數(shù)）．即______．（文字表達(dá)）（3）應(yīng)用①計(jì)算；②把看成一個(gè)整體，計(jì)算．【答案】（1）①8；②6；③（2）同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加（3）①；②【分析】本題考查了同底數(shù)冪的乘法公式的推導(dǎo)和應(yīng)用.掌握同底數(shù)冪的乘法公式的計(jì)算公式是關(guān)鍵；（1）根據(jù)同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加解答即可；（2）根據(jù)同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加解答即可；（3）根據(jù)同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加解答即可；【詳解】（1）①，②，③，故答案為：（2），即同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加；故答案為：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加；（3）①；②鞏固訓(xùn)練：1．（2023上·重慶江北·八年級(jí)?？计谥校┯?jì)算：的結(jié)果是（

）A． B． C． D．a(chǎn)【答案】A【分析】本題考查了同底數(shù)冪乘法，根據(jù)同底數(shù)冪相乘的法則：底數(shù)不變，指數(shù)相加，即可計(jì)算求值．【詳解】解：，故選：A．2．（2024上·上海浦東新·七年級(jí)?？计谀┮阎?，則下列給出之間的數(shù)量關(guān)系式中，錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了同底數(shù)冪乘法計(jì)算，根據(jù)已知條件式得到，進(jìn)而推出，則，據(jù)此逐一判斷即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∴，，∴，，∴四個(gè)選項(xiàng)中只有C選項(xiàng)的關(guān)系式錯(cuò)誤，符合題意；故選C．3．（2024上·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，，m，n為正整數(shù)，則為（

）.A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，熟練掌握冪的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．根據(jù)同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算法則即可得出答案．【詳解】解：，，m，n為正整數(shù)，，故選B．4．（2023上·甘肅武威·八年級(jí)?？计谀┮阎?，，求的值是（

）A．5 B．10 C．15 D．20【答案】B【分析】本題考查同底數(shù)冪的乘法的逆運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用同底數(shù)冪的運(yùn)算法則．根據(jù)同底數(shù)冪的運(yùn)算法則即可求出答案．【詳解】解：由題意可知：，，，．故選B5．（2024上·廣東廣州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）若，則．【答案】32【分析】本題考查同底數(shù)冪的乘法的逆用．掌握同底數(shù)冪的乘法法則，是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴；故答案為：32．6．（2023上·上海浦東新·七年級(jí)校聯(lián)考期末）已知：，那么．【答案】3【分析】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，熟練掌握同底數(shù)冪的基本法則是解題的關(guān)鍵．轉(zhuǎn)化成以2為底的冪的乘法，根據(jù)指數(shù)相等建立等式計(jì)算．【詳解】∵∴∴∴∴．故答案為：3．7．（2023上·內(nèi)蒙古呼和浩特·八年級(jí)呼市四中?？计谥校┤簦?，則；當(dāng)時(shí)，則．【答案】68【分析】本題主要考查了同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算，熟練掌握相應(yīng)的運(yùn)算法則和逆運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由，可得，由，可得，故答案為：6，．8．（2023上·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)統(tǒng)考期末）世界上最大的金字塔——胡夫金字塔高達(dá)米，底邊長(zhǎng)米，用了約塊大石塊，每塊重約千克，請(qǐng)問(wèn)：胡夫金字塔總重約為多少千克？【答案】胡夫金字塔總重約為千克【分析】本題考查的是同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算，科學(xué)記數(shù)法的含義，根據(jù)同底數(shù)冪的乘法進(jìn)行法則進(jìn)行計(jì)算，將最后的結(jié)果寫成科學(xué)記數(shù)法的形式即可得出答案．【詳解】解：由題意，得：（千克）答：胡夫金字塔總重約為千克．9．（2023上·四川涼山·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）請(qǐng)閱讀以下材料解決相關(guān)問(wèn)題：已知，，例如，．(1)①_____．②______________．③(2)，(3)若，求的值【答案】(1)①；②；③(2)；(3)10【分析】本題主要考查同底數(shù)在的乘法：（1）直接運(yùn)用同底數(shù)冪的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可；（2）分別把，當(dāng)作底數(shù)，再運(yùn)用同底數(shù)冪的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可；（3）根據(jù)逆用同底數(shù)冪運(yùn)算法則求出，再代入計(jì)算即可得到答案．【詳解】（1）①；②；③故答案為：①；②；③（2），，故答案為：；（3）∵，∴∴∴，∴題型二冪的乘方與積的乘方【例1】（2024上·湖北武漢·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知，，為正整數(shù)，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了同底數(shù)冪乘法的逆運(yùn)算，冪的乘方的逆運(yùn)算，通過(guò)同底數(shù)冪乘法的逆運(yùn)算及冪的乘方的逆運(yùn)算可將轉(zhuǎn)化為，代入已知條件運(yùn)算即可求解，掌握同底數(shù)冪乘法的逆運(yùn)算及冪的乘方的逆運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，又∵，，∴，故選：．【例2】（2023上·天津?yàn)I海新·八年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算的結(jié)果等于（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查積的乘方，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．利用積的乘方的法則進(jìn)行運(yùn)算即可．【詳解】解：故選：A．【例3】（2023上·內(nèi)蒙古通遼·八年級(jí)?？计谥校┮阎?，則的值為（

）A．16 B．25 C．32 D．64【答案】C【分析】此題考查了冪的乘方和同底數(shù)冪相乘的法則，熟練掌握法則是解題的關(guān)鍵．利用冪的乘方和同底數(shù)冪相乘的法則把進(jìn)行變形后，再整體代入即可．【詳解】解：∴，∴，故選：C．【例4】（2023上·河南洛陽(yáng)·八年級(jí)?？计谥校┮阎?，，則a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了冪的乘方，變形為同底數(shù)冪的形式，再比較大小是解題關(guān)鍵．先把81，27，9轉(zhuǎn)化為底數(shù)為3的冪，再根據(jù)冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘．然后根據(jù)指數(shù)的大小即可比較大?。驹斀狻拷猓骸?；；．則．故選：C．鞏固訓(xùn)練1．（2023上·內(nèi)蒙古烏蘭察布·八年級(jí)校考期末）（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了積的乘方的逆運(yùn)算，同底數(shù)冪乘法的逆運(yùn)算，先把原式變形為，進(jìn)一步變形得到，據(jù)此計(jì)算求解即可．【詳解】解：，故選：B．2．（2023上·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查冪的乘方與積的乘方，熟練掌握其運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．分別計(jì)算積的乘方和冪的乘方即可．【詳解】解：，故選：C．3．（2024上·河南南陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，，則，的大小關(guān)系是（請(qǐng)用字母表示，并用“＜”連接）．【答案】【分析】本題考查了冪的乘方．把和變成指數(shù)為11的兩個(gè)數(shù)，再對(duì)底數(shù)進(jìn)行比較即可．【詳解】解：，，，，故答案為：．4．（2023上·河南南陽(yáng)·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如果，，則．【答案】3【分析】本題主要考查了冪的乘方計(jì)算，同底數(shù)冪乘法的逆運(yùn)算，先根據(jù)冪的乘方計(jì)算法則得到，再根據(jù)同底數(shù)冪乘法的逆運(yùn)算法則得到，據(jù)此可得答案．【詳解】解：∵，∴，即，∵，∴，∴，∴，故答案為：3．5．（2024上·天津河西·八年級(jí)統(tǒng)考期末）若，則．【答案】/0.5【分析】本題考查冪的乘方，同底數(shù)冪的乘法的逆用．根據(jù)，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵，∴，即：，∴．故答案為：．6．（2024上·北京朝陽(yáng)·八年級(jí)北京市陳經(jīng)綸中學(xué)分校?？计谥校┍容^大小：．（填“”、“”或“”）【答案】【分析】本題主要考查積的乘方法則，將兩數(shù)進(jìn)行正確的變形是解題的關(guān)鍵．利用積的乘方將兩數(shù)變形后變形大?。驹斀狻拷猓?，，，，故．故答案為：．7．（2023上·陜西西安·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知，則之間的等量關(guān)系是．【答案】【分析】本題主要考查了冪的乘方，同底數(shù)冪乘法的逆運(yùn)算，冪的乘方的逆運(yùn)算，根據(jù)題意可得，進(jìn)而得到，則，由此即可得到．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：．8．（2023上·遼寧大連·八年級(jí)統(tǒng)考期末）“數(shù)與式大小的比較”一直是數(shù)學(xué)體系中的一個(gè)重要的研究課題．七年級(jí)的時(shí)候?qū)τ跀?shù)的大小比較，我們借助數(shù)軸獲取了“數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的總比左邊的大”進(jìn)而得出“正數(shù)大于零大于一切負(fù)數(shù)”．本學(xué)期我們研究了代數(shù)式大小比較，通?？梢钥紤]將兩個(gè)代數(shù)式作差和0比較或者作商和1比較．更是通過(guò)靈活運(yùn)用整式的乘除對(duì)于一些特殊的數(shù)與式進(jìn)行了大小比較，例如：比較和的大小．我們是這么做的“∵，∵∴∴”問(wèn)題得以解決，請(qǐng)同學(xué)們完成下面3個(gè)小題：(1)試比較和的大?。?2)若，，試比較a，b的大?。?3)若，且，試比較與的大小．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查了冪的運(yùn)算性質(zhì)，正確理解題意、靈活應(yīng)用冪的乘方逆運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．（1）可以將指數(shù)都化為2再進(jìn)行比較；（2）可以將指數(shù)都化為15再進(jìn)行比較．（3）根據(jù)整式的混合運(yùn)算求解即可．【詳解】（1）解：∵，∴∴．（2）解：∵∴∵∴∵∴∴（3）解：∵，，∴∴9．（2024上·北京朝陽(yáng)·八年級(jí)北京市陳經(jīng)綸中學(xué)分校?？计谥校┮阎?，求的值．【答案】/【分析】本題考查非負(fù)數(shù)性質(zhì)，絕對(duì)值定義，積的乘方．根據(jù)題意求出的值，再代入中即可求得本題結(jié)果．【詳解】解∶∵，∴，解得，∴，故答案為：．10．（2023上·廣東惠州·八年級(jí)校考期中）（1）若，，求的值；（2）已知，求的值．【答案】（1）；（2）【分析】本題考查的是同底數(shù)冪的乘法的逆用，冪的乘方的逆用．（1）先根據(jù)同底數(shù)冪的除法以及冪的乘方進(jìn)行變形，再代入求出即可；（2）原式變形為，再代入數(shù)據(jù)求出即可．【詳解】解：（1）∵，，∴；（2）∵，∴．題型三單項(xiàng)式、多項(xiàng)式的乘法【例1】（2024上·天津西青·八年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，根據(jù)單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】解：．故選：D【例2】（2023下·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算：．【答案】【分析】本題考查單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式，根據(jù)“單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式中只含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式”計(jì)算即可．【詳解】解：．故答案為：．【例3】（2023上·廣東廣州·八年級(jí)廣東廣雅中學(xué)?？计谥校┯?jì)算：．【答案】【分析】利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則展開(kāi)后再合并同類項(xiàng)即可．【詳解】解：鞏固訓(xùn)練1．（2023上·河南商丘·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）計(jì)算：．【答案】【分析】本題主要考查了積的乘方，單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式．先計(jì)算積的乘方，再計(jì)算單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式即可．【詳解】解：．2．（2023上·江西贛州·八年級(jí)校考階段練習(xí)）已知與的積與是同類項(xiàng)，求m，n的值．【答案】，【分析】本題考查了單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘的運(yùn)算法則，以及同類項(xiàng)的定義，先計(jì)算和的積，然后根據(jù)積與是同類項(xiàng)，即可求出m、n的值．解題的關(guān)鍵是熟練掌握運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)．【詳解】解：∵∴與是同類項(xiàng)．∴解得．所以3．（2024下·全國(guó)·七年級(jí)假期作業(yè)）已知單項(xiàng)式與的積與是同類項(xiàng)，求，的值．【答案】，【詳解】解：．因?yàn)榕c是同類項(xiàng)，所以，，解得，4．（2023上·吉林·八年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算：．【答案】【分析】本題考查了多項(xiàng)式和單項(xiàng)式之間的乘除運(yùn)算法則，掌握該法則是解答本題的關(guān)鍵．原式利用單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則計(jì)算即可得到結(jié)果．【詳解】解：．5．（2023上·福建龍巖·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方與積的乘方、多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，熟練掌握運(yùn)算法則是解此題的關(guān)鍵．（1）先計(jì)算同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方與積的乘方，再合并同類項(xiàng)即可；（2）先根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算，再合并同類項(xiàng)即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．6．（2024上·遼寧大連·八年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算：．【答案】【分析】本題考查多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，由多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則，單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的運(yùn)算法則，即可計(jì)算．【詳解】解：原式．7．（2023上·四川瀘州·八年級(jí)四川省瀘縣第一中學(xué)校考期中）計(jì)算：【答案】【分析】本題主要考查了整式的乘法，運(yùn)用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．【詳解】題型四不含某項(xiàng)求字母的值【例1】（2024上·湖北武漢·八年級(jí)校考階段練習(xí)）若的展開(kāi)式中不含x的二次項(xiàng)，則（）A．0 B．2 C．2.5 D．【答案】B【分析】本題主要考查多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則，熟悉掌握法則是關(guān)鍵．原式利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則計(jì)算，合并后根據(jù)結(jié)果不含項(xiàng)，求出m的值．【詳解】解：，∵的展開(kāi)式中不含x的二次項(xiàng)，∴，∴．故選：B．鞏固訓(xùn)練1．（2023上·湖北襄陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）若的結(jié)果不含x的一次項(xiàng)，則a的值為（

）A．0 B．1 C．2 D．【答案】D【分析】本題考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，解題的關(guān)鍵是注意當(dāng)要求多項(xiàng)式中不含有哪一項(xiàng)時(shí)，應(yīng)讓這一項(xiàng)的系數(shù)為0．【詳解】解：，∵積中不含x的一次項(xiàng)，∴，即，故選：D．2．（2023上·河南洛陽(yáng)·八年級(jí)校考期中）的乘積中不含和項(xiàng)，則的值為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】本題考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則先把要求的式子進(jìn)行整理，再根據(jù)多項(xiàng)式展開(kāi)后不含和的項(xiàng)，得出，求出的值即可．【詳解】解：∴，解得：故選：C．3．（2023上·江西南昌·八年級(jí)?？计谀┤舻某朔e中不含x二次項(xiàng)，則a的值為．【答案】1【分析】本題考查的是多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算，同時(shí)考查多項(xiàng)式的概念中的項(xiàng)的次數(shù)，及不含某項(xiàng)的條件，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：而上式不含x二次項(xiàng)，，故答案為：．4．（2024上·北京海淀·八年級(jí)北京市師達(dá)中學(xué)?？计谥校┤絷P(guān)于的多項(xiàng)式展開(kāi)后不含有一次項(xiàng)，則實(shí)數(shù)的值為．【答案】【分析】本題考查多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式不含某一項(xiàng)的問(wèn)題．利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則化簡(jiǎn)后，使一次項(xiàng)的系數(shù)為0，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵，∵乘積不含一次項(xiàng)，∴，∴；故答案為：．5．（2023上·河南南陽(yáng)·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若的展開(kāi)式中不含和項(xiàng)，求m，n的值．【答案】，【分析】本題考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式．解題的關(guān)鍵在于正確的運(yùn)算．先根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則展開(kāi)，合并同類項(xiàng)，根據(jù)已知得出關(guān)于m、n的方程，求出m、n即可．【詳解】∵的展開(kāi)式中不含和項(xiàng)，∴，解得，．題型五多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式與圖形面積【例1】（2023上·河南商丘·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，正方形卡片A類，B類和長(zhǎng)方形卡片C類若干張，如果要拼一個(gè)長(zhǎng)為，寬為的大長(zhǎng)方形，則需要B類卡片（

）A．2張 B．3張 C．5張 D．7張【答案】B【分析】本題考查多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則可求出長(zhǎng)方形的面積．【詳解】解：長(zhǎng)方形的面積為，類卡片的面積為，類卡片的面積為，類卡片的面積為，需要類卡片2張，類卡片3張，類卡片7張．故選：B．【例2】（2024上·黑龍江綏化·八年級(jí)統(tǒng)考期末）千年古鎮(zhèn)趙化開(kāi)發(fā)的鑫城小區(qū)的內(nèi)壩是一塊長(zhǎng)為米，寬為米的長(zhǎng)方形地，物業(yè)部門計(jì)劃將內(nèi)壩進(jìn)行綠化（如圖陰影部分），中間部分將修建一仿古小景點(diǎn)（如圖中間的長(zhǎng)方形），則綠化的面積是多少平方米？并求出當(dāng)，時(shí)的綠化面積．

【答案】綠化的面積是平方米，當(dāng)，時(shí)的綠化面積是【分析】本題考查了多項(xiàng)式成多項(xiàng)式，代數(shù)式求值．根據(jù)矩形的面積公式，可得內(nèi)壩、景點(diǎn)的面積，根據(jù)面積的和差，可得答案．【詳解】由題意，得當(dāng)，時(shí)，，答：綠化的面積是平方米，當(dāng)，時(shí)的綠化面積是．鞏固訓(xùn)練1．（2024上·北京大興·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，某小區(qū)規(guī)劃在邊長(zhǎng)為的正方形場(chǎng)地上，修建兩條寬為的甬道，其余部分種草，則甬道所占的面積（單位：）是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查整式表示幾何面積，按圖形列出代數(shù)式即可．【詳解】解：由圖知，甬道所占的面積正方形面積草坪面積，下面將甬道平移到兩邊便于理解：即甬道所占的面積，故選：D．2．（2023上·上海青浦·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，現(xiàn)有邊長(zhǎng)為a的正方形A、邊長(zhǎng)為b的正方形B和長(zhǎng)為2b寬為a的長(zhǎng)方形C的三類紙片（其中）．用這三類紙片拼一個(gè)長(zhǎng)為、寬為的長(zhǎng)方形（不重疊且不留縫隙），那么需要C類紙片張．【答案】10【分析】本題主要考查多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的應(yīng)用，熟練掌握多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式是解題的關(guān)鍵；根據(jù)大長(zhǎng)方形的面積及A、B、C三類紙片的面積可進(jìn)行求解．【詳解】解：長(zhǎng)為、寬為的長(zhǎng)方形的面積為，正方形A的面積為，正方形B的面積為，長(zhǎng)方形C的面積為，∴需要A、B類紙片各6張，C類紙片10張；故答案為10．3．（2023上·河南南陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）現(xiàn)有甲、乙、丙三種卡片各若干張，其中甲、丙為正方形卡片，乙為長(zhǎng)方形卡片，卡片的邊長(zhǎng)如圖1所示（）．某同學(xué)分別用6張卡片拼出了兩個(gè)長(zhǎng)方形（不重疊無(wú)縫隙），如圖2和圖3，其面積分別為．(1)①請(qǐng)用含的式子分別表示，即______，______；②當(dāng)時(shí)，求的值；(2)比較與的大小，并說(shuō)明理由．【答案】(1)①，；②；(2)，理由詳見(jiàn)解析．【分析】本題考查多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式與圖形面積問(wèn)題．（1）①根據(jù)已知圖形，確定長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，利用面積公式列式計(jì)算即可；②求出，將代入計(jì)算即可；（2）作差法比較與的大小即可．解題的關(guān)鍵是正確的識(shí)圖，列出代數(shù)式．【詳解】（1）解：①，，②當(dāng)時(shí)，；（2），理由：，，，，，．4．（2023上·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，某社區(qū)有兩塊相連的長(zhǎng)方形空地，一塊長(zhǎng)為，寬為；另一塊長(zhǎng)為，寬為．現(xiàn)將兩塊空地進(jìn)行改造，計(jì)劃在中間邊長(zhǎng)為的正方形（陰影部分）中種花，其余部分種植草坪．(1)求計(jì)劃種植草坪的面積；(2)已知，，若種植草坪的價(jià)格為30元/，求種植草坪應(yīng)投入的資金是多少元？【答案】(1)計(jì)劃種植草坪的面積為(2)種植草坪應(yīng)投入的資金是243000元【分析】本題考查了列代數(shù)式，多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，以及整式的混合運(yùn)算-化簡(jiǎn)求值，弄清楚題意是解答本題的關(guān)鍵．（1）計(jì)劃種植草坪的面積等于2個(gè)矩形的面積減去陰影部分的面積，利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則，平方差公式和完全平方公式化簡(jiǎn)，去括號(hào)合并得到最簡(jiǎn)結(jié)果即可；（2）將a與b的值代入（1）中求得的栽花面積和草坪面積，再根據(jù)總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量計(jì)算即可求解．【詳解】（1）解：（1）兩塊空地總面積：，，栽花面積：，草坪面積：．（2），，草坪價(jià)格為30元/，應(yīng)投入的資金元．題型六多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式：化簡(jiǎn)求值【例1】（2023上·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）化簡(jiǎn)，其中【答案】【分析】本題主要考查整式乘法，注意按照多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式運(yùn)算法則，不要漏乘，最后合并同類項(xiàng)，結(jié)果為最簡(jiǎn)．【詳解】解：原式當(dāng)時(shí)，原式．【例2】（2023上·北京海淀·八年級(jí)北大附中?？计谥校┮阎?，求的值．【答案】【分析】先利用整式的混合運(yùn)算化簡(jiǎn)代數(shù)式，再把已知條件變形，最后整體代入求值即可．【詳解】解：∵，∴，．鞏固訓(xùn)練1．（2023上·山東德州·八年級(jí)?？计谥校┫然?jiǎn)，再求值：，其中．【答案】，22【分析】本題主要考查整式的化簡(jiǎn)求值，掌握整式化簡(jiǎn)求值的方法是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，把代入，原式．2．（2023上·廣東廣州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【答案】，【分析】此題考查整式的化簡(jiǎn)求值，整式的混合運(yùn)算，先根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則及單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則去括號(hào)，合并同類項(xiàng)，再將字母的值代入計(jì)算即可，熟練掌握整式混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：原式當(dāng)時(shí)，原式．3．（2023上·廣西南寧·八年級(jí)南寧市天桃實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谥校┫然?jiǎn)，再求值：，其中．【答案】，【分析】本題考查的是整式的乘法及加減混合運(yùn)算，掌握整式的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式、單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式及整式的加減混合運(yùn)算法則把原式化簡(jiǎn)，代入計(jì)算即可．【詳解】解：原式=

當(dāng)時(shí)，原式4．（2023上·福建福州·八年級(jí)?？计谥校┗?jiǎn)求值：，其中，【答案】【分析】利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則分別展開(kāi)，合并同類項(xiàng)，最后把值代入計(jì)算即可．【詳解】解：，當(dāng)，時(shí)，原式．5．（2023上·北京海淀·八年級(jí)首都師范大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校┮阎?，求的值．【答案】【分析】根據(jù)題意可得，化簡(jiǎn)式子，整體代入即可求解．【詳解】解：∵，∴，即，∴．6．（2023上·北京海淀·八年級(jí)北京交通大學(xué)附屬中學(xué)校考期中）已知，求的值．【答案】【分析】由，可得，根據(jù)，代值求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∴的值為．7．（2023上·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)哈爾濱市第十七中學(xué)校?？计谥校┗?jiǎn)求值：，其中．【答案】，14【分析】先根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式以及單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的運(yùn)算法則運(yùn)算，再合并同類項(xiàng)，然后把字母的值代入求值即可．【詳解】解：，當(dāng)時(shí)，原式．題型七多項(xiàng)式乘法中的規(guī)律性問(wèn)題【例1】（2023上·廣東廣州·八年級(jí)廣州市真光中學(xué)校考階段練習(xí)）我國(guó)宋代數(shù)學(xué)家楊輝所著《詳解九章算法》中記載了用如圖所示的三角形解釋了二項(xiàng)和的乘方展開(kāi)式中的系數(shù)規(guī)律，我們把這種數(shù)字三角形叫做“楊輝三角”，請(qǐng)你利用楊輝三角，計(jì)算的展開(kāi)式中，含項(xiàng)的系數(shù)是（

）1…………1…………………1

1………1

2

1………………1

3

3

1……1

4

6

4

1A．15 B． C．6 D．【答案】B【分析】本題考查了二項(xiàng)和的乘方的展開(kāi)，運(yùn)用楊輝三角來(lái)確定展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．根據(jù)上面規(guī)律，先找出的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)，再確定展開(kāi)后的各項(xiàng)系數(shù)，即可確定展開(kāi)后的各項(xiàng)系數(shù)，從而得出答案．【詳解】解：根據(jù)上面的規(guī)律，得，各項(xiàng)系數(shù)為：1，5，10，10，5，1展開(kāi)后的各項(xiàng)系數(shù)為：1，6，15，20，15，6，1，展開(kāi)后的各項(xiàng)系數(shù)為：1，，15，，15，，1．含項(xiàng)的是奇數(shù)次方，含項(xiàng)的系數(shù)是．故選：B．【例2】（2023·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）觀察下列等式：，，，……，利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律回答：若，則的值是(

)A． B．0 C．1 D．【答案】A【分析】可得，從而可求，由即可求解．【詳解】解：由題意得，，，；故選：A．【例3】（2023上·北京東城·八年級(jí)匯文中學(xué)?？计谥校┮阎?，，根據(jù)前面各式的規(guī)律，可得：的值是．【答案】【分析】本題考查多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的規(guī)律探究，根據(jù)給定的等式，得到，將乘以，即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵，，，∴，∴；故答案為：．【例4】（2023下·湖南張家界·七年級(jí)統(tǒng)考期末）根據(jù)，，，…的規(guī)律，則可以得出的末位數(shù)字是．【答案】5【分析】根據(jù)前幾個(gè)等式的變化規(guī)律得到第n個(gè)等式為，進(jìn)而求解即可．【詳解】解：第1個(gè)等式為，第2個(gè)等式為，第3個(gè)等式為，第4個(gè)等式為，……第n個(gè)等式為，∴，∵，，，，，，，……，∴的末位數(shù)是以2、4、8、6每四個(gè)一個(gè)循環(huán)，又，∴即的末位數(shù)為5，故答案為：5．鞏固訓(xùn)練1．（2023上·甘肅定西·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算術(shù)》一書中，用如圖的三角形解釋二項(xiàng)式的展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)，此三角形稱為“楊輝三角”根據(jù)“楊輝三角”請(qǐng)計(jì)算的展開(kāi)式中第三項(xiàng)的系數(shù)為（

）A．45 B．55 C．2017 D．2018【答案】A【分析】本題考查數(shù)字變化規(guī)律．根據(jù)圖形中的規(guī)律即可求出的展開(kāi)式中第三項(xiàng)的系數(shù)．【詳解】解：找規(guī)律發(fā)現(xiàn)的第三項(xiàng)系數(shù)為；的第三項(xiàng)系數(shù)為；的第三項(xiàng)系數(shù)為；∴的第三項(xiàng)系數(shù)為，∴第三項(xiàng)系數(shù)為，故選：A．2．（2023上·山西臨汾·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）觀察下列等式：，，，……，利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律回答：若，則的值是．【答案】【分析】觀察題目中所給的一系列等式可得到規(guī)律：，結(jié)合規(guī)律可知，據(jù)此求解的值，從而計(jì)算的值．【詳解】解：觀察可得，，．則．故答案為：．3．（2023下·山東青島·七年級(jí)校考階段練習(xí)）數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)：利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律：求：．【答案】【分析】觀察題目所給的式子可以得到規(guī)律，然后把代入式子中進(jìn)行求解即可．【詳解】解：；；；∴可以得到規(guī)律，當(dāng)時(shí)：，．故答案為：．4．（2023上·河南許昌·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚談到，我國(guó)古代數(shù)學(xué)的許多成就和發(fā)展都居世界前列，“楊輝三角”就是一例。如下圖所示的“楊輝三角”告訴了我們二項(xiàng)式乘方展開(kāi)式的系數(shù)規(guī)律，如：第三行的三個(gè)數(shù)1，2，1，恰好對(duì)應(yīng)展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)；第四行的四個(gè)數(shù)1，3，3，1恰好對(duì)應(yīng)著的系數(shù)．根據(jù)數(shù)表中前四行的數(shù)字所反映的規(guī)律計(jì)算求值：．【答案】【分析】本題考查了整式的運(yùn)算規(guī)律的探究，以及“楊輝三角”的認(rèn)識(shí)，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．原式逆用“楊輝三角”系數(shù)規(guī)律變形，計(jì)算即可得到結(jié)果．【詳解】解：根據(jù)題意可得：．故答案為：．5．（2023上·四川宜賓·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）我國(guó)南宋時(shí)期杰出的數(shù)學(xué)家楊輝是錢塘人，下面的圖表是他在《詳解九章算術(shù)》中記載的“楊輝三角”．此圖揭示了為非負(fù)整數(shù)）、的展開(kāi)式的項(xiàng)數(shù)及各項(xiàng)系數(shù)的有關(guān)規(guī)律，由此規(guī)律可解決如下問(wèn)題：(1)展開(kāi)式共有_______項(xiàng)，第19項(xiàng)系數(shù)為_(kāi)______；(2)根據(jù)上面的規(guī)律，寫出的展開(kāi)式：_______；(3)利用上面的規(guī)律計(jì)算：；(4)假如今天是星期四，那么再過(guò)天是星期_______．【答案】(1)；(2)(3)(4)三【分析】本題主要考查了多項(xiàng)式乘法多的規(guī)律探索：（1）通過(guò)觀察式子可得規(guī)律展開(kāi)式共有項(xiàng)，當(dāng)時(shí)倒數(shù)第三項(xiàng)的系數(shù)為，據(jù)此代入求解即可；（2）先仿照題意求出的展開(kāi)式每一項(xiàng)的系數(shù)，進(jìn)而寫出對(duì)應(yīng)的展開(kāi)式即可；（3）當(dāng)時(shí)，令，可推出，則；（4）根據(jù)（a、b、c…是一列常數(shù)），得到除以7的結(jié)果余數(shù)為6，則假如今天是星期四，那么再過(guò)天是星期三．【詳解】（1）解：，展開(kāi)式有項(xiàng)，，展開(kāi)式有項(xiàng)，倒數(shù)第三項(xiàng)系數(shù)為，，展開(kāi)式有項(xiàng)，倒數(shù)第三項(xiàng)系數(shù)為，，展開(kāi)式有兩項(xiàng)，倒數(shù)第三項(xiàng)系數(shù)為，，展開(kāi)式有項(xiàng)，倒數(shù)第三項(xiàng)的性質(zhì)為……，以此類推，可知展開(kāi)式共有項(xiàng)，當(dāng)時(shí)倒數(shù)第三項(xiàng)的系數(shù)為，∴展開(kāi)式共有項(xiàng)，第19項(xiàng)系數(shù)為，故答案為：；；（2）解：如下圖所示，可知，故答案為：．（3）解：∵，∴當(dāng)時(shí)，，∴，∴；（4）解：（a、b、c…是一列常數(shù)），∵的值剛好是7的整倍數(shù)，∴除以7的結(jié)果余數(shù)為6，∴假如今天是星期四，那么再過(guò)天是星期三，故答案為：三．6．（2023上·新疆喀什·八年級(jí)期末）（1）計(jì)算并觀察下列各式：；；；（2）從上面的算式及計(jì)算結(jié)果，你發(fā)現(xiàn)了什么？請(qǐng)根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律直接寫下面的空格．；（3）利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算：．【答案】（1），，；（2）；（3）【分析】本題考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式、整式乘法的規(guī)律，正確發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則計(jì)算即可得；（2）根據(jù)（1）的規(guī)律即可得；（3）根據(jù)（1）和（2）發(fā)現(xiàn)的規(guī)律即可得．【詳解】解：（1），，，故答案為：，，；（2）觀察（1）可知，第1個(gè)式子為，第2個(gè)式子為，第3個(gè)式子為，則，故答案為：；（3）由上述規(guī)律可知，，故答案為：．7．（2023上·四川宜賓·八年級(jí)校考階段練習(xí)）閱讀下列解題過(guò)程：

．．．．．．(1)試求的值(2)判斷的值的個(gè)位數(shù)是幾？【答案】(1)(2)1【分析】（1）根據(jù)題意可得規(guī)律，令，代入求解即可；（2）先計(jì)算該代數(shù)式的值得到結(jié)果為，再探究得到個(gè)位數(shù)字的規(guī)律即可得到答案．【詳解】（1）解：，，，，……，依此類推可知，，∴當(dāng)時(shí)，，∴；（2）解：，∵的個(gè)位數(shù)是，的個(gè)位數(shù)是，的個(gè)位數(shù)是，的個(gè)位數(shù)是，的個(gè)位數(shù)是……，∴可得當(dāng)（k為正整數(shù)）時(shí)，個(gè)位數(shù)是，當(dāng)時(shí)，的個(gè)位數(shù)是，當(dāng)時(shí)，的個(gè)位數(shù)是，當(dāng)時(shí)，的個(gè)位數(shù)是，∵，∴的個(gè)位數(shù)是1．8．（2023上·四川內(nèi)江·八年級(jí)?？计谥校╅喿x下列材料，并解決有關(guān)問(wèn)題．我們知道展開(kāi)后等于，我們可以利用多項(xiàng)式乘法法則將展開(kāi)．如果進(jìn)一步，要展開(kāi)，，你一定發(fā)現(xiàn)解決上述問(wèn)題需要大量的計(jì)算，是否有簡(jiǎn)單的方法呢？我們不妨找找規(guī)律！如果將（n為非負(fù)整數(shù)）的每一項(xiàng)按字母a的次數(shù)由大到小排列，就可以得到下面的等式：計(jì)算

結(jié)果的項(xiàng)數(shù)

各項(xiàng)系數(shù)

1

1

2

1

1

3

1

2

1

4

1

3

3

1(1)你能根據(jù)上表的規(guī)律寫出，的結(jié)果嗎？=__________________；=_____________________；(2)請(qǐng)你利用上表的規(guī)律求出下式的計(jì)算結(jié)果：．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)材料中計(jì)算結(jié)果的項(xiàng)數(shù)和系數(shù)的規(guī)律直接寫出答案即可；（2）根據(jù)所給算式可得原式是的展開(kāi)式，然后進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：由材料可得：；；（2）解：原式．9．（2023上·四川宜賓·八年級(jí)校考階段練習(xí)）探索題：

……(1)當(dāng)時(shí)，＝．(2)試求：的值．(3)判斷的值個(gè)位數(shù)字是．【答案】(1)；(2)63(3)5【分析】（1）根據(jù)閱讀部分的提示利用規(guī)律求解即可；（2）根據(jù)題意可得：，即可求解；（3）先根據(jù)題意求得，找出個(gè)位數(shù)字的循環(huán)規(guī)律，即可求解．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，（2）根據(jù)題意可得：則；（3）根據(jù)題意可得：∵，，，，，，，則個(gè)位數(shù)字是按照、、、四個(gè)數(shù)依次循環(huán)，，∴的個(gè)位數(shù)字為6則的個(gè)位數(shù)字為5．題型八平方差公式【例1】（2024上·河北石家莊·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）計(jì)算的結(jié)果為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查平方差公式，掌握平方差公式的形式是解題的關(guān)鍵．兩次利用平方差公式計(jì)算即可．【詳解】解：，故選B．【例2】（2024上·天津河西·八年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算：．【答案】370000【分析】本題主要考查了應(yīng)用平方差公式進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握掌握平方差公式，準(zhǔn)確計(jì)算．【詳解】解：．【例3】（2023上·河北廊坊·八年級(jí)校考期末）認(rèn)真觀察下面這些等式，按其規(guī)律，完成下列各小題：①；②；③；④______；…(1)將橫線上的等式補(bǔ)充完整；(2)驗(yàn)證規(guī)律：設(shè)兩個(gè)連續(xù)的正偶數(shù)為，（n為正整數(shù)），則它們的平方差是4的倍數(shù)；(3)拓展延伸：判斷兩個(gè)連續(xù)的正奇數(shù)的平方差是8的倍數(shù)嗎？并說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)驗(yàn)證見(jiàn)解析(3)是，理由見(jiàn)解析【分析】此題主要考查了平方差公式的應(yīng)用，正確發(fā)現(xiàn)數(shù)字變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)已知算式寫出即可；（2）利用平方差公式計(jì)算得出答案；（3）這兩個(gè)偶數(shù)為為和，利用平方差公式計(jì)算得出答案．【詳解】（1）解：由題意得：；（2）解：．為正整數(shù)，為正整數(shù)，若兩個(gè)連續(xù)的正偶數(shù)為，（n為正整數(shù)），則它們的平方差是4的倍數(shù)；（3）解：是；理由：設(shè)兩個(gè)連續(xù)的正奇數(shù)為，（m為正數(shù)）．．為正整數(shù)，兩個(gè)連續(xù)的正奇數(shù)的平方差是8的倍數(shù)．鞏固訓(xùn)練1．（2023上·河南商丘·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）計(jì)算：．【答案】/【分析】本題考查平方差公式，運(yùn)用平方差公式求解即可．【詳解】．故答案為：2．（2023上·甘肅平?jīng)觥ぐ四昙?jí)統(tǒng)考期末）若，，則．【答案】2【分析】本題考查了平方差公式“”，熟記完全平方公式是解題關(guān)鍵．先根據(jù)平方差公式可得，再將代入計(jì)算即可得．【詳解】解：∵，，又∵，，，故答案為：2．3．（2023上·甘肅平?jīng)觥ぐ四昙?jí)統(tǒng)考期末）用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了平方差公式的應(yīng)用，熟記公式的形式是解題關(guān)鍵．（1）將原式寫成，利用平方差公式即可求解；（2）利用平方差公式即可求解．【詳解】（1）解：原式（2）解：原式4．（2024上·北京大興·八年級(jí)統(tǒng)考期末）求證：當(dāng)是整數(shù)時(shí)，兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差是這兩個(gè)奇數(shù)的和的倍．【答案】證明見(jiàn)解析【分析】本題考查了平方差公式的應(yīng)用，熟練掌握平方差公式是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)題意，得到是整數(shù)，與是兩個(gè)連續(xù)的奇數(shù)，則，，由此得到證明．【詳解】證明：根據(jù)題意得：是整數(shù)，與是兩個(gè)連續(xù)的奇數(shù)，，這兩個(gè)奇數(shù)和為：，，即當(dāng)是整數(shù)時(shí)，兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差是這兩個(gè)奇數(shù)的和的倍．5．（2023上·吉林·八年級(jí)?？计谥校倪呴L(zhǎng)為a的正方形減掉一個(gè)邊長(zhǎng)為b的正方形（如圖1），然后將剩余部分拼成一個(gè)長(zhǎng)方形（如圖2）．(1)上述過(guò)程所揭示的因式分解的等式是______；(2)若，，求的值；(3)．【答案】(1)(2)；(3)．【分析】本題考查了平方差公式與幾何圖形面積．（1）根據(jù)圖形面積相等即可求解；（2）根據(jù)平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可求解；（3）根據(jù)平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】（1）解：上述過(guò)程所揭示的乘法公式是，故答案為：；（2）解：，，，，∴；（3）解：．6．（2022上·湖南衡陽(yáng)·八年級(jí)衡陽(yáng)市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）實(shí)踐與探索：如圖1，在邊長(zhǎng)為的大正方形里挖去一個(gè)邊長(zhǎng)為的小正方形，再把圖1中的剩余部分（陰影部分）拼成一個(gè)長(zhǎng)方形（如圖2所示）．(1)上述操作能驗(yàn)證的等式是：______（請(qǐng)選擇正確的一個(gè)）A．B．C．(2)請(qǐng)應(yīng)用這個(gè)等式完成下列各題：①已知，則______．②計(jì)算：．【答案】(1)A(2)①4②【分析】本題主要考查了平方差公式的應(yīng)用，有理數(shù)的混合運(yùn)算．（1）觀察圖形，利用拼接前后的面積關(guān)系即可得出結(jié)論；（2）①利用平方差公式解答即可；②將1看成，利用平方差公式解答即可．【詳解】（1）圖1的面積為，圖2的面積為：，由于拼接前后的面積相等，∴，∴上述操作能驗(yàn)證的等式是A，故答案為：A；（2）①∵，∴，∴，故答案為：4；②∵，∴題型九求完全平方公式中的字母系數(shù)【例1】（2019上·四川宜賓·八年級(jí)統(tǒng)考期中）若是完全平方式，則m的值等于（

）A．8 B． C．16 D．8或【答案】D【分析】本題考查完全平方式，先根據(jù)兩平方項(xiàng)確定出這兩個(gè)數(shù)，中間一項(xiàng)為加上或減去x和4的積的2倍，即可確定m的值．【詳解】解：，是完全平方式，，或，故選D．鞏固訓(xùn)練1．（2024上·遼寧大連·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如果二次三項(xiàng)式是一個(gè)完全平方式，那么m的值是（

）A．1 B．2 C． D．【答案】C【分析】本題考查完全平方式，記住完全平方式的特征是解題的關(guān)鍵，形如這樣的式子是完全平方式，屬于中考?？碱}型．根據(jù)完全平方公式的特點(diǎn)，即可求出m的值【詳解】解：∵，∴．故選：C．2．（2023上·遼寧大連·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如果關(guān)于m的二次三項(xiàng)式是完全平方式，那么a的值為（

）A．1 B．4 C． D．【答案】A【分析】本題考查了完全平方式的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握，解答本題的關(guān)鍵是在理解的基礎(chǔ)上掌握完全平方公式．【詳解】解：∵是完全平方式，∴，∴，∴．故選：A．3．（天津市和平區(qū)2023-2024學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）已知是完全平方式，則．【答案】13或【分析】本題主要考查了完全平方式，根據(jù)平方項(xiàng)確定出這兩個(gè)數(shù)是解題的關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，熟記完全平方公式對(duì)解題非常重要．先根據(jù)兩平方項(xiàng)確定出這兩個(gè)數(shù)，再根據(jù)完全平方公式的乘積二倍項(xiàng)即可確定的值．【詳解】解：，，或，解得或．故答案為：13或．4．（2024下·全國(guó)·七年級(jí)假期作業(yè)）已知代數(shù)式是一個(gè)完全平方式，則有理數(shù)的值為．【答案】6或【分析】本題考查了完全平方式的特點(diǎn)，熟記完全平方式的特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)積的2倍項(xiàng)的特點(diǎn)可得答案．【詳解】解：∵代數(shù)式是一個(gè)完全平方式，∴，∴或，故答案為：6或．5．（2024上·北京豐臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如果關(guān)于的多項(xiàng)式是完全平方式，那么的值是．【答案】9【分析】本題是完全平方公式的運(yùn)用，兩數(shù)的平方和，再加上或減去它們積的2倍，就構(gòu)成了一個(gè)完全平方式．注意積的2倍的符號(hào)，避免漏解．根據(jù)兩數(shù)和的完全平方等于兩數(shù)的平方和，再加上或減去它們積的2倍，可得答案．【詳解】解：由是一個(gè)完全平方式，得，故答案為：9．6．（2024下·全國(guó)·八年級(jí)假期作業(yè)）已知關(guān)于的代數(shù)式是一個(gè)完全平方式，則的值為【答案】3或【分析】本題主要考查了完全平方式，根據(jù)平方項(xiàng)確定出這兩個(gè)數(shù)是解題的關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，熟記完全平方公式對(duì)解題非常重要．先根據(jù)兩平方項(xiàng)確定出這兩個(gè)數(shù)，再根據(jù)完全平方公式的乘積二倍項(xiàng)即可確定的值．【詳解】解：，，或，解得或．故答案為：3或.7．（2021上·遼寧鞍山·八年級(jí)校考期中）若是關(guān)于的完全平方式，則．【答案】或/或【分析】由是關(guān)于的完全平方式，得出，進(jìn)而得出，即可求出的值．【詳解】解：∵是關(guān)于的完全平方式，∴，∴，解得：或，故答案為：或8．（2012上·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）若多項(xiàng)式是完全平方式，請(qǐng)你寫出所有滿足條件的單項(xiàng)式Q是．【答案】±4x,4x4，-1，-4x2【分析】根據(jù)題意可知本題是考查完全平方式，設(shè)這個(gè)單項(xiàng)式為Q，①如果這里首末兩項(xiàng)是2x和1這兩個(gè)數(shù)的平方，那么中間一項(xiàng)為加上或減去2x和1積的2倍，故Q=±4x;②如果如果這里首末兩項(xiàng)是Q和1，則乘積項(xiàng)是4x2=2×2x2，所以Q=4x4.【詳解】解：∵4x2+1±4x=(2x±1)24x2+1+4x4=(2x2+1)2;∴加上的單項(xiàng)式可以是±4x,4x4,-1，-4x2中任意一個(gè),故答案為：±4x,4x4，-1，-4x2題型十完全平方公式與對(duì)稱式【例1】（2024上·天津?yàn)I海新·八年級(jí)?？计谀?）已知，，則的值為．（2）已知，，則的值為．（3）已知滿足，則的值為．【答案】【分析】（1）本題考查了完全平方公式，利用完全平方公式將代數(shù)式變形，再整體代入求值，即可解題．（2）本題解法與（1）類似，先利用完全平方公式將代數(shù)式變形，再整體代入求值，即可解題．（3）本題利用數(shù)學(xué)整體的思想，設(shè)，將等式變成含的方程，表示出的值，即可求解．【詳解】（1）解：，，，，．故答案為：．（2）解：，，，，．故答案為：．（3）解：設(shè)，則，，，，有，整理得，，故答案為：．【例2】（2023上·四川宜賓·八年級(jí)校考階段練習(xí)）（1）已知，求代數(shù)式的值．（2）若，求【答案】（1）；（2）【分析】本題主要考查了整式的化簡(jiǎn)求值，完全平方公式的變形求值，（1）先根據(jù)完全平方公式和平方差公式去括號(hào)，然后合并同類項(xiàng)化簡(jiǎn)，再由得到，最后利用整體代入法求解即可；（2）根據(jù)，把等式兩邊同時(shí)平方得到，則．【詳解】解：（1），∵，∴，∴原式；（2）∵，∴，∴，∴，∴．鞏固訓(xùn)練1．（天津市和平區(qū)2023-2024學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）已知，那么的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了完全平方公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握完全平方公式的各種變式，利用完全平方公式變形即可．【詳解】解：，，故選：C．2．（2024上·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，則代數(shù)式的值是（

）A．12 B．16 C．24 D．36【答案】D【分析】本題考查完全平方公式的應(yīng)用．根據(jù)題意先將代數(shù)式整理成，再將題干已知代入代數(shù)式即可得到本題答案．【詳解】解：∵，又∵，即，∴，故選：D．3．（2023上·四川攀枝花·八年級(jí)?？计谥校┮阎?，，求下列各式的值：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了完全平方公式及其變形公式的運(yùn)用，掌握公式形式是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)，整體代入，即可求解；（2）根據(jù)即可求解．【詳解】（1）解：∵，，，∴，∴；（2）解：∵，，，∴，∴．4．（重慶市合川區(qū)2023-2024學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題）解決下列問(wèn)題：(1)已知，分別求和的值；(2)若，，求的值．【答案】(1)；(2)【分析】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用．（1）根據(jù)得到①，根據(jù)得到②，兩式進(jìn)行加減即可求解；（2）根據(jù)得到，根據(jù)，得到，即可求出．【詳解】（1）解：，①，又，②，①+②得，，∴；①②得，，∴；（2）解：，∴，，∴，．5．（2024上·甘肅定西·八年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀材料：若滿足，求的值．解：設(shè)，，則，所以請(qǐng)仿照上例解決下面的問(wèn)題：(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：若x滿足，求：的值．(2)若，求：的值．【答案】(1)21(2)【分析】本題考查了利用完全平方公式變形求值，熟記完全平方公式是解題關(guān)鍵．（1）設(shè)，則，再利用完全平方公式變形求值即可得；（2）設(shè)，則，再利用完全平方公式變形求值即可得．【詳解】（1）解：設(shè)，則，所以．（2）解：設(shè)，則，所以．6．（2023上·湖北孝感·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)；(2)433．【分析】本題主要考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的化簡(jiǎn)求值，完全平方公式的變形求值，熟知多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的計(jì)算法則和完全平方公式是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的計(jì)算法則求出，再把已知條件整體代入計(jì)算求解即可；（2）根據(jù)完全平方公式得到，再根據(jù)進(jìn)行代值計(jì)算即可．【詳解】（1）解：∵，∴；（2）解：∵，，∴，∴．7．（2023上·四川宜賓·八年級(jí)四川省宜賓市第二中學(xué)校校考期中）解決下面的問(wèn)題：①，求和的值；②已知，求的值．【答案】①1，13

②119【分析】①利用公式變形計(jì)算即可；②利用公式變形計(jì)算即可．【詳解】①∵，∴；∵；∴；②∵，∴，∴，∴，∴．題型十一完全平方公式在幾何圖形中的應(yīng)用【例1】（2023上·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）圖①是一個(gè)長(zhǎng)為、寬為的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪刀分成四塊小長(zhǎng)方形，然后按圖②的形狀拼成一個(gè)正方形．(1)請(qǐng)用兩種不同的方法求圖②中陰影部分的面積．方法1：；方法2：；(2)觀察圖②請(qǐng)你寫出下列三個(gè)代數(shù)式；之間的等量關(guān)系；(3)根據(jù)（2）題中的等量關(guān)系，解決如下問(wèn)題：①已知：，求：的值；②已知：，求：的值．【答案】(1)；(2)(3)①1；②9【分析】本題考查對(duì)完全平方公式幾何意義的理解：（1）表示出陰影部分的邊長(zhǎng)，然后分別利用大正方形的面積減去四周四個(gè)矩形的面積列式；利用正方形的面積公式列式；（2）根據(jù)不同方法表示的陰影部分的面積相同解答；（3）①根據(jù)（2）的結(jié)論代入進(jìn)行計(jì)算即可得解；②根據(jù)（2）的結(jié)論代入進(jìn)行計(jì)算即可得解．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：圖②中陰影部分的面積：方法1：，方法2：；故答案為：；；（2）解：；（3）解：①∵，∴；②．【例2】（2023上·浙江臺(tái)州·八年級(jí)臺(tái)州市書生中學(xué)?？计谥校?shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師準(zhǔn)備了若干個(gè)如圖的三種紙片，種紙片是邊長(zhǎng)為的正方形，種紙片是邊長(zhǎng)為的正方形，種紙片是長(zhǎng)為、寬為的長(zhǎng)方形，并用種紙片一張，種紙片一張，種紙片兩張拼成如圖的大正方形．

(1)觀察圖，請(qǐng)你寫出下列三個(gè)代數(shù)式：，，之間的等量關(guān)系；(2)若要拼出一個(gè)面積為的矩形，則需要號(hào)卡片張，號(hào)卡片張，號(hào)卡片______張．(3)根據(jù)題中的等量關(guān)系，解決如下問(wèn)題：①已知：，，求的值；②已知，求的值．【答案】(1)(2)3(3)①的值為；②【分析】本題考查完全平方公式的意義和應(yīng)用；（1）用兩種方法表示拼成的大正方形的面積，即可得出，，三者的關(guān)系；（2）計(jì)算的結(jié)果為，因此需要A號(hào)卡片1張，B號(hào)卡片2張，C號(hào)卡片3張；（3）①根據(jù)題（1）公式計(jì)算即可；②令，從而得到，代入計(jì)算即可．【詳解】（1）解：大正方形的面積可以表示為：，或表示為：；因此有；（2）解：，需要A號(hào)卡片1張，B號(hào)卡片2張，C號(hào)卡片3張，故答案為：；（3）解：，，，，，即的值為；令，...，...，，，解得．．．鞏固訓(xùn)練1．（2023下·山東濰坊·七年級(jí)統(tǒng)考期末）圖1是一個(gè)長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪刀平均裁成四塊小長(zhǎng)方形，然后按如圖2所示的形狀拼成一個(gè)大正方形．

(1)圖2中的陰影部分正方形的邊長(zhǎng)是（用含a，b的代數(shù)式表示）；(2)觀察圖1，圖2，能驗(yàn)證的等式是：（請(qǐng)選擇正確的一個(gè)）；A．B．C．(3)如圖3，C是線段上的一點(diǎn)，以為邊向上分別作正方形和正方形，連接．若，求的面積．【答案】(1)(2)C(3)【分析】（1）根據(jù)圖2中的信息即可得出陰影部分正方形的邊長(zhǎng)；（2）根據(jù)大正方形的面積等于小正方形的面積加上4個(gè)長(zhǎng)方形的面積，進(jìn)行求解即可；（3）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，正方形的邊長(zhǎng)為y，根據(jù)圖形中的關(guān)系得出，再求解，最后利用三角形面積公式即可得出答案；另解：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，正方形的邊長(zhǎng)為y，根據(jù)圖形中的關(guān)系得出，利用（2）的結(jié)論直接代入即可，最后根據(jù)三角形面積公式即可得出答案．【詳解】（1）圖2中的陰影部分正方形的邊長(zhǎng)是；故答案為：（2）之間的等量關(guān)系是：，故選：C.（3）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，正方形的邊長(zhǎng)為y∴，解得，；

另解：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，正方形的邊長(zhǎng)為y，∴，

∴，∴，∴，

∴．2．（2023下·陜西西安·七年級(jí)陜西師大附中?？茧A段練習(xí)）兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為a和b的正方形如圖放置（圖①），其未疊合部分（陰影）面積為；若再在圖①中大正方形的右下角擺放一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形（如圖②），兩個(gè)小正方形疊合部分（陰影）面積為．

(1)用含a、b的代數(shù)式分別表示、；(2)若，，求的值；(3)用a、b的代數(shù)式表示，并當(dāng)時(shí)，求出圖③中陰影部分的面積．【答案】(1),=；(2)=77；(3)=18.【分析】（1）圖①中陰影部分的面積是邊長(zhǎng)為a、b的正方形的面積差，圖②中陰影部分的面積是邊長(zhǎng)為b的正方形面積減去邊長(zhǎng)為b和的矩形面積的差；（2）由（1）用a、b表示出，然后將其配方后把，代入即可得解；（3）由圖形中面積之間的關(guān)系可以用含有a、b的代數(shù)式表示，然后再代入計(jì)算即可．【詳解】（1）解：由題意可得：,==；（2）由（1）可得：===,∴當(dāng)，時(shí)，；（3）由題意可得：=，當(dāng)時(shí)，，∴.3．（2023下·遼寧丹東·七年級(jí)統(tǒng)考期中）完全平方公式：適當(dāng)?shù)淖冃危梢越鉀Q很多的數(shù)學(xué)問(wèn)題．例如：若，，求的值．解：因?yàn)?，所以，即：，又因，所以根?jù)上面的解題思路與方法，解決下列問(wèn)題：

(1)若，，則的值為_(kāi)_____；(2)拓展：若，則______．(3)應(yīng)用：如圖，在長(zhǎng)方形中，，，點(diǎn)E、F是、上的點(diǎn)，且，分別以、為邊在長(zhǎng)方形外側(cè)作正方形和正方形，若長(zhǎng)方形的面積為160，求圖中陰影部分的面積和．【答案】(1)12(2)10(3)384【分析】（1）利用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算，即可解答；（2）設(shè)，，則，，然后完全平方公式進(jìn)行計(jì)算，即可解答；（3）根據(jù)題意可得，，然后設(shè)，，則，，最后利用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【詳解】（1）解：，，，．（2）解：設(shè)，，，，，．（3）解：四邊形是長(zhǎng)方形，，，，，，設(shè)，，，長(zhǎng)方形的面積為160，，正方形的面積正方形的面積，圖中陰影部分的面積和為384．4．（2023上·山西朔州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）圖1是一個(gè)長(zhǎng)為、寬為的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長(zhǎng)方形，然后按圖2的形狀拼成一個(gè)正方形．

(1)圖2中陰影部分的正方形的周長(zhǎng)為；(2)觀察圖2，請(qǐng)寫出下列三個(gè)代數(shù)式，，之間的等量關(guān)系；(3)運(yùn)用你所得到的公式，計(jì)算：若為實(shí)數(shù)，且，，試求的值．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）由拼圖可得陰影正方形的邊長(zhǎng)，進(jìn)而表示周長(zhǎng)即可；（2）根據(jù)圖形中各個(gè)部分面積之間的關(guān)系即可得出答案；（3）由（2）的結(jié)論代入計(jì)算即可．【詳解】（1）解：由圖可得：陰影部分的正方形邊長(zhǎng)為，周長(zhǎng)為：，故答案為：；（2）解：由圖可得：大正方形面積可以看作四個(gè)矩形面積加陰影面積，故可表示為：，大正方形邊長(zhǎng)為，故面積也可表達(dá)為：，；（3）解：由（2）知：，，，，或．5．（2023下·廣東韶關(guān)·七年級(jí)校考期中）在學(xué)習(xí)“整式的乘除”這一章時(shí)，我們經(jīng)常構(gòu)造幾何圖形來(lái)對(duì)代數(shù)式的變形加以說(shuō)明，借助直觀，形象的幾何模型加深對(duì)乘法公式的認(rèn)識(shí)和理解．閱讀下列材料：材料1：如圖1，現(xiàn)有甲，乙，丙三種型號(hào)的卡片若干張，其中甲型號(hào)卡片是邊長(zhǎng)為的正方形，乙型號(hào)卡片邊長(zhǎng)為的正方形，丙型號(hào)卡片是長(zhǎng)為寬為的長(zhǎng)方形．

材料2：用張甲，張乙和張丙型號(hào)的卡片，拼成正方形，可以驗(yàn)證：，驗(yàn)證如下：從整體看是一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形，所以．從正方形的分割情況看，它的面積是由張甲，張乙和張丙卡片的面積之和，所以，比較兩種不同的計(jì)算方法，可得．根據(jù)以上材料，解答以下問(wèn)題(1)用圖中的卡片，拼成圖所示長(zhǎng)方形，可以驗(yàn)證的等式為：；

(2)用張丙型號(hào)的卡片拼成圖所示正方形框，中間的陰影部分是邊長(zhǎng)為的正方形，現(xiàn)用兩種不同的方法計(jì)算陰影部分的面積，可以驗(yàn)證的等式為：；(3)已知圖中的紙片(足夠多)，利用種卡片設(shè)計(jì)一個(gè)幾何圖形來(lái)計(jì)算畫出圖形，寫出驗(yàn)過(guò)程．【答案】(1)（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2(2)b﹣a；（b﹣a）2＝a2﹣2ab+b2(3)圖見(jiàn)解析，驗(yàn)證過(guò)程見(jiàn)解析【分析】(1)根據(jù)圖3，利用不同的方法分別表示出長(zhǎng)方形面積，即可確定出所求等式；(2)根據(jù)圖4，利用不同的方法分別表示出長(zhǎng)方形面積，即可確定出所求等式；(3)利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則對(duì)式子進(jìn)行運(yùn)算，從而可確定所需卡片的類型與張數(shù)，做出相應(yīng)圖形．【詳解】（1）大長(zhǎng)方形的面積為：或，∴，故答案為：；（2）（2）中間的陰影部分的邊長(zhǎng)為：，陰影部分的面積為：（b﹣a）2或；故答案為：；；（3）如圖，

，驗(yàn)證：＝，．題型十二利用配方法求最值、解方程【例1】（2023下·湖南郴州·七年級(jí)?？计谥校╅喿x下列材料：，我們把形如“”或“”的多項(xiàng)式叫做完全平方式，因?yàn)槭且粋€(gè)數(shù)的平方，具有非負(fù)性，我們常利用這一性質(zhì)解決問(wèn)題，這種解決問(wèn)題的思路方法叫做配方法．例如．可知當(dāng)，即時(shí)，有最小值，最小值是2，根據(jù)閱讀材料，用配方法解決下列問(wèn)題：(1)有最小值______．(2)當(dāng)a，b為何值時(shí)，多項(xiàng)式有最小值，并求出這個(gè)最小值．(3)已知a，b，c為的三邊，且滿足，試判斷此三角形的形狀．【答案】(1)3(2)當(dāng)，時(shí)，多項(xiàng)式有最小值5(3)是等邊三角形【分析】（1）將化為，即可求解；（2）將化為，即可求解；（3）可得，即可求解．【詳解】（1）解：，即時(shí)，有最小值，最小值是；故答案：．（2）解：由題意得，∴當(dāng)，時(shí)，多項(xiàng)式有最小值5；（3）解：由題意得，，，，，，，是等邊三角形．【例2】（2019·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)校聯(lián)考期末）閱讀下列解題過(guò)程，再解答后面的題目.例題：已知，求的值.解：由已知得即∵，∴有，解得∴.題目：已知，求的值.【答案】-【分析】先將左邊的式子寫成兩個(gè)完全平方的和的形式，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出x、y的值，再代入求出xy的值．【詳解】解：將，化簡(jiǎn)得，即．∵，，且它們的和為0，∴，，∴.鞏固訓(xùn)練1．（2023上·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)校聯(lián)考期中）我們定義：如果兩個(gè)多項(xiàng)式與的和為常數(shù)，則稱與互為“對(duì)消多項(xiàng)式”，這個(gè)常數(shù)稱為它們的“對(duì)消值”．如與互為“對(duì)消多項(xiàng)式”，它們的“對(duì)消值”為．(1)下列各組多項(xiàng)式互為“對(duì)消多項(xiàng)式”的是（填序號(hào)）；與；與；與(2)多項(xiàng)式與多項(xiàng)式（，為常數(shù)）互為“對(duì)消多項(xiàng)式”，求它們的“對(duì)消值”；(3)關(guān)于的多項(xiàng)式與互為“對(duì)消多項(xiàng)式”，“對(duì)消值”為．若，，求代數(shù)式的最小值．【答案】(1)；(2)它們的“對(duì)消值”為；(3)代數(shù)式的最小值是．【分析】此題考查了求代數(shù)式值的能力，()運(yùn)用題目中的定義進(jìn)行逐一計(jì)算、辨別；()先運(yùn)用題目中的定義求得，的值，再代入求解；()先求得，再將原式進(jìn)行配方變形進(jìn)行求解；解題的關(guān)鍵是能準(zhǔn)確運(yùn)用題目的新定義進(jìn)行求解．【詳解】（1）∵，,，∴組多項(xiàng)式不是互為“對(duì)消多項(xiàng)式”，組多項(xiàng)式是互為“對(duì)消多項(xiàng)式”，故答案為：；（2），，∵與互為“對(duì)消多項(xiàng)式”，，，，，∴它們的“對(duì)消值”為；（3），，，∵與互為“對(duì)消多項(xiàng)式”且“對(duì)消值”為，∴，∴，，，，，，，，∴代數(shù)式的最小值是．2．（2023上·湖北荊州·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）閱讀下列材料：利用完全平方公式，將多項(xiàng)式變形為的形式，然后由就可求出多項(xiàng)式的最小值．

例：求多項(xiàng)式的最小值．解：．因?yàn)樗援?dāng)時(shí)，，因此有最小值，最小值為1，即的最小值為1．通過(guò)閱讀，理解材料的解題思路，請(qǐng)解決以下問(wèn)題：(1)【理解探究】已知代數(shù)式，求A的最小值；(2)【類比應(yīng)用】張大爺家有甲、乙兩塊長(zhǎng)方形菜地，已知甲菜地的兩邊長(zhǎng)分別是米、米，乙菜地的兩邊長(zhǎng)分別是米、米，試比較這兩塊菜地的面積和的大小，并說(shuō)明理由；(3)【拓展升華】如圖，中，，cm，cm，點(diǎn)M，N分別是線段AC和BC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)以的速度向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)N從C點(diǎn)出發(fā)以的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，則當(dāng)t的值為多少時(shí)，的面積最大，最大值為多少？【答案】(1)(2)(3)當(dāng)t的值為4時(shí)，的面積最大，最大值為【分析】（1）直接利用完全平方公式可得答案；（2）先求出，再利用完全平方公式即可求解；（3）根據(jù)題意表示出，再利用完全平方公式即可求解．【詳解】（1）解：∵，∴，∴當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值為－9即A的最小值為－9；（2）解：∵，，∴∵，∴，∴（3）解：由題意得：，，∴∵，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為16．即當(dāng)t的值為4時(shí)，的面積最大，最大值為．3．（2023下·廣東佛山·七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）【閱讀材料】配方法是數(shù)學(xué)中重要的一種思想方法．它是指將一個(gè)式子的某一部分通過(guò)恒等變形化為完全平方式或幾個(gè)完全平方式的和的方法．這種方法常被用到代數(shù)式的變形中，并結(jié)合非負(fù)數(shù)的意義來(lái)解決一些問(wèn)題．我們定義：一個(gè)整數(shù)能表示成（、是整數(shù)）的形式，則稱這個(gè)數(shù)為“完美數(shù)”．例如，是“完美數(shù)”．理由：因?yàn)椋允恰巴昝罃?shù)”．【解決問(wèn)題】(1)數(shù)61“完美數(shù)”（填“是”或“不是”）；【探究問(wèn)題】(2)已知，則；(3)已知（、是整數(shù)，是常數(shù)），要使為“完美數(shù)”，試求出符合條件的值；【拓展結(jié)論】(4)已知、滿足，求的最小值．【答案】(1)是；(2)；(3)；(4)【分析】（1）根據(jù)新定義求解；（2）先把登上的左邊進(jìn)行配方，再根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出、的值，再求；（3）先根據(jù)的前四項(xiàng)進(jìn)行配方，再根據(jù)相等的條件求解；（4）根據(jù)條件求出的值，再進(jìn)行配方求解．【詳解】（1）解：∵，∴是“完美數(shù)”，故答案為：是；（2）解：∵，∴，，∴，故答案為：；（3）解：∵，為“完美數(shù)”，∴∴；（4）解：∵，∵，∴，∴，∴當(dāng)，時(shí)，的最小值為：．4．（2022上·四川巴中·八年級(jí)統(tǒng)考期中）圖1是一個(gè)長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長(zhǎng)方形，然后按圖2的形狀拼成一個(gè)正方形．

(1)圖2中的陰影部分的正方形的邊長(zhǎng)等于．(2)觀察圖2你能寫出下列三個(gè)代數(shù)式之間的等量關(guān)系．(3)運(yùn)用你所得到的公式，計(jì)算若，求：①的值．②的值．(4)用完全平方公式和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求代數(shù)式的最小值．【答案】(1)(2)(3)①

②(4)