第06講等式與不等式(原卷版+解析)

第06講等式與不等式一、單選題1．（2021·陜西省子洲中學高二開學考試（理））數學里有一種證明方法叫做Proofswithoutwords，也稱之為無字證明，一般是指僅用圖象語言而無需文字解釋就能不證自明的數學命題，由于這種證明方法的特殊性，無字證明被認為比嚴格的數學證明更為優(yōu)雅．現有如圖所示圖形，在等腰直角三角形中，點為斜邊的中點，點為斜邊上異于頂點的一個動點，設，，則該圖形可以完成的無字證明為（）A． B．C． D．2．（2021·廣東高三月考）在西方，人們把寬與長之比為的矩形稱為黃金矩形，這個比例被稱為黃金分制比例．如圖，名畫《蒙娜麗莎的微笑》的整個畫面的主體部分便很好地體現了黃金分割比例，其中矩形，矩形，矩形，矩形，矩形為黃金矩形．若畫中點G與點K間的距離超過，點C與點F間的距離不超過，則該名畫中，A與B間的距離可能為（）（參考數據：）A． B． C． D．3．（2022·全國高三專題練習（理））數學中有些優(yōu)美的曲線顯示了數學形象美?對稱美?和諧美，曲線：就是四葉玫瑰線，則不等式表示區(qū)域所含的整點(即橫?縱坐標均為整數的點)個數為（）A．1 B．4 C．5 D．94．（2021·寶山區(qū)·上海交大附中高一開學考試）古希臘科學家阿基米德在《論平面圖形的平衡》一書中提出了杠桿原理，它是使用天平秤物品的理論基礎，當天平平衡時，左臂長與左盤物品質量的乘積等于右臀長與右盤物品質量的乘積，某金店用一桿不準確的天平（兩邊臂不等長）稱黃金，某顧客要購買黃金，售貨員先將的砝碼放在左盤，將黃金放于右盤使之平衡后給顧客；然后又將的砝碼放入右盤，將另一黃金放于左盤使之平衡后又給顧客，則顧客實際所得黃金（）A．大于 B．小于 C．大于等于 D．小于等于5．（2022·上海）《九章算術》是中國傳統(tǒng)數學最重要的著作，奠定了中國傳統(tǒng)數學的基本框架，其中卷第九勾股中記載：“今有邑，東西七里，南北九里，各中開門．出東門一十五里有木．問出南門幾何步而見木?”其算法為：東門南到城角的步數，乘南門東到城角的步數，乘積作被除數，以樹距離東門的步數作除數，被除數除以除數得結果，即出南門里見到樹，則．若一小城，如圖所示，出東門1200步有樹，出南門750步能見到此樹，則該小城的周長的最小值為（注：1里=300步）（）A．里 B．里 C．里 D．里6．（2021·安徽高三月考（理））不定方程的整數解問題是數論中一個古老的分支，其內容極為豐富，西方最早研究不定方程的人是希臘數學家丟番圖．請研究下面一道不定方程整數解的問題：已知則該方程的整數解有（）組．A．1 B．2 C．3 D．47．（2021·云南昆明市·（文））十六世紀中葉，英國數學家雷科德在《礪智石》一書中首先把“=”作為等號使用，后來英國數學家哈利奧特首次使用“<”和“>”符號，并逐漸被數學界接受，不等號的引入對不等式的發(fā)展影響深遠.若，則下列結論錯誤的是（）A． B．C． D．8．（2021·河北張家口市·高三期末）太極圖被稱為“中華第一圖”.從孔廟大成殿梁柱，到老子樓觀臺?三茅宮?白云觀的標記物；到中醫(yī)?氣功?武術及中國傳統(tǒng)文化的書刊封面?會徽?會標這種廣為人知的太極圖，其形狀如陰陽兩魚互糾在一起，因而被習稱為“陰陽魚太極圖”.已知函數，則以下圖形中，陰影部分可以用不等式組表示的是（）A． B．C． D．二、多選題9．（2020·江蘇省海頭高級中學）生活經驗告訴我們，a克糖水中有b克糖（a>0，b>0，且a>b），若再添加c克糖（c>0）后，糖水會更甜，于是得出一個不等式：.趣稱之為“糖水不等式”.根據生活經驗和不等式的性質判斷下列命題一定正確的是（）A．若，則與的大小關系隨m的變化而變化B．若，則C．若，則D．若，則一定有10．（2021·全國高一專題練習）早在古巴比倫時期，人們就會解一元二次方程.16世紀上半葉，數學家們得到了一元三次方程、一元四次方程的解法.研究過程中得到一個代數基本定理：任何一元次復系數多項式方程至少有一個復數根請借助代數基本定理解決下面問題：設實系數一元四次方程，在復數集內的根為，，，，則下列結論正確的是（）A．B．C．D．11．（2021·江蘇宿遷·高一期末）公元3世紀末，古希臘亞歷山大時期的一位幾何學家帕普斯發(fā)現了一個半圓模型（如圖所示），以線段為直徑作半圓，，垂足為，以的中點為圓心，為半徑再作半圓，過作，交半圓于，連接，設，，則下列不等式一定正確的是（）．A． B．C． D．12．（2020·江蘇省東臺中學）《九章算術》中“勾股容方”問題：“今有勾五步，股十二步，問勾中容方幾何？”魏晉時期數學家劉徽在其《九章算術注》中利用出入相補原理給出了這個問題的一般解法：如圖1，用對角線將長和寬分別為和的矩形分成兩個直角三角形，每個直角三角形再分成一個內接正方形（黃）和兩個小直角三角形（朱、青）.將三種顏色的圖形進行重組，得到如圖2所示的矩形，該矩形長為，寬為內接正方形的邊長.由劉徽構造的圖形可以得到許多重要的結論，如圖3.設為斜邊的中點，作直角三角形的內接正方形對角線，過點作于點，則下列推理正確的是（）①由圖1和圖2面積相等得；②由可得；③由可得；④由可得.A．① B．② C．③ D．④三、填空題13．（2021·全國）《九章算術》是中國傳統(tǒng)數學最重要的著作，奠定了中國傳統(tǒng)數學的基本框架，其中卷第九勾股中記載：“今有邑，東西七里，南北九里，各中開門．出東門一十五里有木．問出南門幾何步而見木?”其算法為：東門南到城角的步數，乘南門東到城角的步數，乘積作被除數，以樹距離東門的步數作除數，被除數除以除數得結果，即出南門里見到樹，則．若一小城，如圖所示，出東門步有樹，出南門步能見到此樹，則該小城的周長的最小值為（注：里步）________里.14．（2021·江蘇）我國南北朝數學家何承天發(fā)明的“調日法”是程序化尋求精確分數來表示數值的算法，其理論依據是：設實數的不足近似值和過剩近似值分別為和，，則是的更為精確的近似值．已知，試以上述的不足近似值和過剩近似值為依據，那么使用兩次“調日法”后可得的近似分數為________．15．（2020·江蘇揚州·高二期中）一元線性同余方程組問題最早可見于中國南北朝時期(公元5世紀)的數學著作《孫子算經》卷下第二十六題，叫做“物不知數”問題，原文如下：有物不知數，三三數之剩二，五五數之剩三，問物幾何？即，一個整數除以三余二，除以五余三，求這個整數.設這個整數為，當時，符合條件的a共有_________個.16．我國南北朝數學家何承天發(fā)明的“調日法”是程序化尋求精確分數來表示數值的算法，其理論依據是：設實數的不足近似值和過剩近似值分別為和，則是的更為精確的近似值.我們知道，我國早在《周髀算經》中就有“周三徑一”的古率記載，《隋書?律歷志》有如下記載：“南徐州從事史祖沖之更開密法，以圓徑一億為丈，圓周盈數三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，肭數三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正數在盈肭二限之間．密率：圓徑一百一十三，圓周三百五十五．約率，圓徑七，周二十二”，這一記錄指出了祖沖之關于圓周率的兩大貢獻：其一是求得圓周率；其二是得到的兩個近似分數即：約率為22/7，密率為355/113，他算出的的8位可靠數字，不但在當時是最精密的圓周率，而且保持世界紀錄一千多年，他對的研究真可謂“運籌于帷幄之中，決勝于千年之外”，祖沖之是我國古代最有影響的數學家之一，莫斯科大學走廊里有其塑像，1959年10月，原蘇聯通過“月球3”號衛(wèi)星首次拍下月球背面照片后，就以祖沖之命名一個環(huán)形山，其月面坐標是：東經148度，北緯17度.縱橫古今，關于值的研究，經歷了古代試驗法時期、幾何法時期、分析法時期、蒲豐或然性試驗方法時期、計算機時期，已知，試以上述的不足近似值和過剩近似值為依據，那么使用兩次“調日法”后可得的近似分數為____________第06講等式與不等式一、單選題1．（2021·陜西省子洲中學高二開學考試（理））數學里有一種證明方法叫做Proofswithoutwords，也稱之為無字證明，一般是指僅用圖象語言而無需文字解釋就能不證自明的數學命題，由于這種證明方法的特殊性，無字證明被認為比嚴格的數學證明更為優(yōu)雅．現有如圖所示圖形，在等腰直角三角形中，點為斜邊的中點，點為斜邊上異于頂點的一個動點，設，，則該圖形可以完成的無字證明為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據等腰直角三角形的性質，分別表示和，根據長度關系，判斷選項．【詳解】由圖可知，，，在中，，顯然，即．故選：B.2．（2021·廣東高三月考）在西方，人們把寬與長之比為的矩形稱為黃金矩形，這個比例被稱為黃金分制比例．如圖，名畫《蒙娜麗莎的微笑》的整個畫面的主體部分便很好地體現了黃金分割比例，其中矩形，矩形，矩形，矩形，矩形為黃金矩形．若畫中點G與點K間的距離超過，點C與點F間的距離不超過，則該名畫中，A與B間的距離可能為（）（參考數據：）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據黃金矩形的定義，列式后表示，，根據題中的條件，表示的范圍.【詳解】由黃金矩形的定義可知，所以，所以．，所以，即，對照各選項，只有B符合．故選：B．3．（2022·全國高三專題練習（理））數學中有些優(yōu)美的曲線顯示了數學形象美?對稱美?和諧美，曲線：就是四葉玫瑰線，則不等式表示區(qū)域所含的整點(即橫?縱坐標均為整數的點)個數為（）A．1 B．4 C．5 D．9【答案】C【分析】由于，所以轉化為，化簡得，從而可求得整點的個數【詳解】解：因為，所以可化為，得，圓含9個整點，經檢驗，只有和共5個整點滿足.故選：C4．（2021·寶山區(qū)·上海交大附中高一開學考試）古希臘科學家阿基米德在《論平面圖形的平衡》一書中提出了杠桿原理，它是使用天平秤物品的理論基礎，當天平平衡時，左臂長與左盤物品質量的乘積等于右臀長與右盤物品質量的乘積，某金店用一桿不準確的天平（兩邊臂不等長）稱黃金，某顧客要購買黃金，售貨員先將的砝碼放在左盤，將黃金放于右盤使之平衡后給顧客；然后又將的砝碼放入右盤，將另一黃金放于左盤使之平衡后又給顧客，則顧客實際所得黃金（）A．大于 B．小于 C．大于等于 D．小于等于【答案】A【分析】設天平左臂長為，右臂長為（不妨設），先稱得的黃金的實際質量為，后稱得的黃金的實際質量為.根據天平平衡，列出等式，可得表達式，利用作差法比較與10的大小，即可得答案.【詳解】解：由于天平的兩臂不相等，故可設天平左臂長為，右臂長為（不妨設），先稱得的黃金的實際質量為，后稱得的黃金的實際質量為.由杠桿的平衡原理：，．解得，，則.下面比較與10的大?。海ㄗ鞑畋容^法）因為，因為，所以，即.所以這樣可知稱出的黃金質量大于.故選：A5．（2022·上海）《九章算術》是中國傳統(tǒng)數學最重要的著作，奠定了中國傳統(tǒng)數學的基本框架，其中卷第九勾股中記載：“今有邑，東西七里，南北九里，各中開門．出東門一十五里有木．問出南門幾何步而見木?”其算法為：東門南到城角的步數，乘南門東到城角的步數，乘積作被除數，以樹距離東門的步數作除數，被除數除以除數得結果，即出南門里見到樹，則．若一小城，如圖所示，出東門1200步有樹，出南門750步能見到此樹，則該小城的周長的最小值為（注：1里=300步）（）A．里 B．里 C．里 D．里【答案】D【分析】根據題意得，進而得，再結合基本不等式求的最小值即可.【詳解】因為1里=300步，則由圖知步=4里，步=2.5里．由題意，得，則，所以該小城的周長為，當且僅當時等號成立.故選:D．【點睛】本題以數學文化為背景考查基本不等式，解題的關鍵在于根據題意，得出對應的邊長關系，即：，再代入數據，結合基本不等式求解，同時，在應用基本不等式時，還需要注意“一正”、“二定”、“三相等”.6．（2021·安徽高三月考（理））不定方程的整數解問題是數論中一個古老的分支，其內容極為豐富，西方最早研究不定方程的人是希臘數學家丟番圖．請研究下面一道不定方程整數解的問題：已知則該方程的整數解有（）組．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】原方程可化為，所以即，再列舉每種情況即可.【詳解】設此方程的解為有序數對，因為所以當或時，等號是不能成立的，所以即，（1）當時，即（2）當時，即或（3）當時，即綜上所述，共有四組解故選：D7．（2021·云南昆明市·（文））十六世紀中葉，英國數學家雷科德在《礪智石》一書中首先把“=”作為等號使用，后來英國數學家哈利奧特首次使用“<”和“>”符號，并逐漸被數學界接受，不等號的引入對不等式的發(fā)展影響深遠.若，則下列結論錯誤的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】對ABCD一一驗證或證明.【詳解】對于A：，即，故A正確；對于B：記在上為減函數，∵，∴，故B正確；對于C：記在上為增函數，∵，∴，故C正確；對于D：，可以取，則，故D錯誤.故選：D【點睛】四個選項互不相關的選擇題，需要對各個選項一一驗證.8．（2021·河北張家口市·高三期末）太極圖被稱為“中華第一圖”.從孔廟大成殿梁柱，到老子樓觀臺?三茅宮?白云觀的標記物；到中醫(yī)?氣功?武術及中國傳統(tǒng)文化的書刊封面?會徽?會標這種廣為人知的太極圖，其形狀如陰陽兩魚互糾在一起，因而被習稱為“陰陽魚太極圖”.已知函數，則以下圖形中，陰影部分可以用不等式組表示的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據題意化簡即可得出.【詳解】題中的不等式組表示的平面區(qū)域為或.故選：B.二、多選題9．（2020·江蘇省海頭高級中學）生活經驗告訴我們，a克糖水中有b克糖（a>0，b>0，且a>b），若再添加c克糖（c>0）后，糖水會更甜，于是得出一個不等式：.趣稱之為“糖水不等式”.根據生活經驗和不等式的性質判斷下列命題一定正確的是（）A．若，則與的大小關系隨m的變化而變化B．若，則C．若，則D．若，則一定有【答案】CD【分析】根據“糖水不等式”，即可判斷A；舉反例，如，即可判斷B；若，則，再根據“糖水不等式”即可判斷C；利用不等式的性質即可判斷D.【詳解】解：對于A，根據“糖水不等式”，若，則，故A錯誤；對于B，當時，，與題設矛盾，故B錯誤；對于C，若，則，根據“糖水不等式”，，即，故C正確；對于D，若，則，所以，所以，故D正確.10．（2021·全國高一專題練習）早在古巴比倫時期，人們就會解一元二次方程.16世紀上半葉，數學家們得到了一元三次方程、一元四次方程的解法.研究過程中得到一個代數基本定理：任何一元次復系數多項式方程至少有一個復數根請借助代數基本定理解決下面問題：設實系數一元四次方程，在復數集內的根為，，，，則下列結論正確的是（）A．B．C．D．【答案】AC【分析】由，并展開右式即可判斷各選項的正誤.【詳解】由題設知：，∴，∴，∴，，，.故選：AC11．（2021·江蘇宿遷·高一期末）公元3世紀末，古希臘亞歷山大時期的一位幾何學家帕普斯發(fā)現了一個半圓模型（如圖所示），以線段為直徑作半圓，，垂足為，以的中點為圓心，為半徑再作半圓，過作，交半圓于，連接，設，，則下列不等式一定正確的是（）．A． B．C． D．【答案】AD【分析】先結合圖象，利用垂直關系和相似關系得到大圓半徑，小圓半徑，，，，再通過線段大小判斷選項正誤即可.【詳解】因為是圓O的直徑，則，因為，則，所以，故，易有，故，即，大圓半徑，小圓半徑，，，故，同理.選項A中，，顯然當時是鈍角，在上可截取，故，即大圓半徑，故，正確；選項B中，當時，大圓半徑，有，故錯誤；選項C中，中，，故，故錯誤；選項D中，大圓半徑，小圓半徑，則，而，故，故正確.故選：AD.【點睛】本題解題關鍵在于將選項中出現的數式均與圖中線段長度對應相等，才能通過線段的長短比較反饋到數式的大小關系，突破難點.12．（2020·江蘇省東臺中學）《九章算術》中“勾股容方”問題：“今有勾五步，股十二步，問勾中容方幾何？”魏晉時期數學家劉徽在其《九章算術注》中利用出入相補原理給出了這個問題的一般解法：如圖1，用對角線將長和寬分別為和的矩形分成兩個直角三角形，每個直角三角形再分成一個內接正方形（黃）和兩個小直角三角形（朱、青）.將三種顏色的圖形進行重組，得到如圖2所示的矩形，該矩形長為，寬為內接正方形的邊長.由劉徽構造的圖形可以得到許多重要的結論，如圖3.設為斜邊的中點，作直角三角形的內接正方形對角線，過點作于點，則下列推理正確的是（）①由圖1和圖2面積相等得；②由可得；③由可得；④由可得.A．① B．② C．③ D．④【答案】ABCD【分析】根據圖1，圖2面積相等，可求得d的表達式，可判斷A選項正誤，由題意可求得圖3中的表達式，逐一分析B、C、D選項，即可得答案.【詳解】對于①：由圖1和圖2面積相等得，所以，故①正確；對于②：因為，所以，所以，設圖3中內接正方形邊長為t，根據三角形相似可得，解得，所以，因為，所以，整理可得，故②正確；對于③：因為為斜邊的中點，所以，因為，所以，整理得，故③正確；對于④：因為，所以，整理得：，故④正確；故選：ABCD【點睛】解題的關鍵是根據題意及三角形的性質，利用幾何法證明基本不等式，求得的表達式，根據圖形及題意，得到的大小關系，即可求得答案，考查分析理解，計算化簡的能力.三、填空題13．（2021·全國）《九章算術》是中國傳統(tǒng)數學最重要的著作，奠定了中國傳統(tǒng)數學的基本框架，其中卷第九勾股中記載：“今有邑，東西七里，南北九里，各中開門．出東門一十五里有木．問出南門幾何步而見木?”其算法為：東門南到城角的步數，乘南門東到城角的步數，乘積作被除數，以樹距離東門的步數作除數，被除數除以除數得結果，即出南門里見到樹，則．若一小城，如圖所示，出東門步有樹，出南門步能見到此樹，則該小城的周長的最小值為（注：里步）________里.【答案】【分析】根據題意得出，進而可得出，結合基本不等式求的最小值即可.【詳解】因為里步，由圖可知，步里，步里，，則，且，所以，，所以，，則，所以，該小城的周長為（里）.故答案為：.【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構成和的二項之積轉化成定值；要求積的最大值，則必須把構成積的因式的和轉化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.14．（2021·江蘇）我國南北朝數學家何承天發(fā)明的“調日法”是程序化尋求精確分數來表示數值的算法，其理論依據是：設實數的不足近似值和過剩近似值分別為和，，則是的更為精確的近似值．已知，試以上述的不足近似值和過剩近似值為依據，那么使用兩次“調日法”后可得的近似分數為________．【答案】【分析】根據題中所給定義及數據，可得第一次使用“調日法”可得近似分數，與比較，進行第二次運算，即可得答案.【詳解】因為，所以第一次使用“調日法”可得近似分數為，所以，所以，所以第二次使用“調日法”可得近似分數為.故答案為：15．（2020·江蘇揚州·高二期中）一元線性同余方程組問題最早可見于中國南北朝時期(公元