新高考數(shù)學之圓錐曲線綜合講義第26講外接圓問題(原卷版+解析)

第26講外接圓問題一．解答題1．已知拋物線，是的準線上的動點，過作的兩條切線，切點分別為，．（1）當點在軸上時，求切線，的方程；（2）設圓是的外接圓，當圓的面積最小時，求圓的方程．2．已知定點，定直線，動圓過點，且與直線相切．（Ⅰ）求動圓的圓心軌跡的方程；（Ⅱ）過點的直線與曲線相交于，兩點，分別過點，作曲線的切線，，兩條切線相交于點，求外接圓面積的最小值．3．已知橢圓的兩個焦點分別為和，，、是橢圓短軸的兩端點，過點的直線與橢圓相交于另一點，且求橢圓的離心率；設直線上有一點，在△的外接圓上，求的值．4．已知橢圓經(jīng)過點，且其離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）若為橢圓的右焦點，橢圓與軸的正半軸相交于點，經(jīng)過點的直線與橢圓相交于另一點，且滿足，求外接圓的方程．5．已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，離心率為，且過拋物線的焦點．（1）求橢圓的方程；（2）設點關于軸的對稱點為，過作兩條直線和，其斜率分別為、，滿足，，它們分別是橢圓的上半部分相交于，兩點，與軸相交于，兩點，使得，求證：的外接圓過點；（3）設拋物線的準線為，，是拋物線上的兩個動點，且滿足，線段的中點為，點在上的投影為，求的最大值．6．如圖，在平面直角坐標系中，已知，，，直線與線段、分別交于點、．（Ⅰ）當時，求以，為焦點，且過中點的橢圓的標準方程；（Ⅱ）過點作直線交于點，記的外接圓為圓．①求證：圓心在定直線上；②圓是否恒過異于點的一個定點？若過，求出該點的坐標；若不過，請說明理由．7．已知的邊邊所在直線的方程為點關于點的對稱點為，點在邊所在直線上且滿足．求邊所在直線的方程；求的外接圓的方程；若點的坐標為，其中為正整數(shù)．試討論在的外接圓上是否存在點，使得成立？說明理由．8．過點作拋物線的兩條切線，切點分別為，，，．（Ⅰ）證明：為定值；（Ⅱ）記的外接圓的圓心為點，點是拋物線的焦點，對任意實數(shù)，試判斷以為直徑的圓是否恒過點？并說明理由．9．已知拋物線，為直線上任意一點，過點作拋物線的兩條切線，，切點分別為，．（1）當?shù)淖鴺藶闀r，求過，，三點的圓的方程；（2）若，是上的任意點，求證：點處的切線的斜率為；（3）證明：以為直徑的圓恒過點．10．（2020?廣州一模）已知點是拋物線的頂點，，是上的兩個動點，且．（1）判斷點是否在直線上？說明理由；（2）設點是的外接圓的圓心，求點的軌跡方程．第26講外接圓問題一．解答題1．已知拋物線，是的準線上的動點，過作的兩條切線，切點分別為，．（1）當點在軸上時，求切線，的方程；（2）設圓是的外接圓，當圓的面積最小時，求圓的方程．【解答】解：（1）拋物線，準線的方程，點在軸上，，設，，，，且，由，求導，，解得，切線的方程為，即，同理可得切線的方程為，（2）如圖：設點，設過點與拋物線相切的直線方程為，由△．，即切線，互相垂直．即是直角三角形，的外接圓直徑為弦．當圓的面積最小時，即是最短時，，此時垂直軸，的外接圓圓心為，圓的方程為．2．已知定點，定直線，動圓過點，且與直線相切．（Ⅰ）求動圓的圓心軌跡的方程；（Ⅱ）過點的直線與曲線相交于，兩點，分別過點，作曲線的切線，，兩條切線相交于點，求外接圓面積的最小值．【解答】解：（Ⅰ）設點到直線的距離為，依題意．設，則有．化簡得．所以點的軌跡的方程為．（Ⅱ）設，代入中，得．設，，，，則，．所以．因為，即，所以．所以直線的斜率為，直線的斜率為．因為，所以，即為直角三角形．所以的外接圓的圓心為線段的中點，線段是直徑．因為，所以當時線段最短，最短長度為4，此時圓的面積最小，最小面積為．3．已知橢圓的兩個焦點分別為和，，、是橢圓短軸的兩端點，過點的直線與橢圓相交于另一點，且求橢圓的離心率；設直線上有一點，在△的外接圓上，求的值．【解答】解：（Ⅰ），且，是和的中點，不妨設，由，，代入得：，，即橢圓的離心率；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，得，，橢圓的方程可設為．若，則，線段的垂直平分線的方程為，直線與軸的交點是△外接圓的圓心．因此，外接圓的方程為．直線的方程為，于是點的坐標滿足方程組：，由，解得．故；若，則，同理可得．．4．已知橢圓經(jīng)過點，且其離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）若為橢圓的右焦點，橢圓與軸的正半軸相交于點，經(jīng)過點的直線與橢圓相交于另一點，且滿足，求外接圓的方程．【解答】解：（1）橢圓經(jīng)過點，，①橢圓的離心率為，，即②聯(lián)立①②解得：，，橢圓的方程為；（2）橢圓的方程為，，．設，，則，③，且，，即，④聯(lián)立③④解得：，或，，或，當為時，，的外接圓是以為圓心，1為半徑的圓，此時外接圓的方程為：；當為時，設的外接圓方程為：，則，解得，此時外接圓的方程為：，綜上所述，的外接圓的方程為：或．5．已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，離心率為，且過拋物線的焦點．（1）求橢圓的方程；（2）設點關于軸的對稱點為，過作兩條直線和，其斜率分別為、，滿足，，它們分別是橢圓的上半部分相交于，兩點，與軸相交于，兩點，使得，求證：的外接圓過點；（3）設拋物線的準線為，，是拋物線上的兩個動點，且滿足，線段的中點為，點在上的投影為，求的最大值．【解答】（1）解：由已知，設橢圓的方程為，則，離心率為，，，橢圓的方程為；（2）證明：由題意，，并且和，關于軸對稱，與，與也分別關于軸對稱，的方程代入橢圓方程，可得，或，，或，直線是橢圓的上半部分相交，，，和的方程分別為或，令，可得，，，，，，四點共圓，的外接圓過點；（3）設，則，，由拋物線的定義及梯形的中位線定理可得，時，的最大值為．6．如圖，在平面直角坐標系中，已知，，，直線與線段、分別交于點、．（Ⅰ）當時，求以，為焦點，且過中點的橢圓的標準方程；（Ⅱ）過點作直線交于點，記的外接圓為圓．①求證：圓心在定直線上；②圓是否恒過異于點的一個定點？若過，求出該點的坐標；若不過，請說明理由．【解答】解：（Ⅰ）設橢圓的方程為，當時，中點為，所以，橢圓的標準方程為；（Ⅱ）①證明：直線；；所以可得，，，直線交于點，設的外接圓的方程為，則圓心坐標為圓心在定直線上；②由①可得圓的方程為：整理可得，且聯(lián)立此兩方程解得，或，圓恒過異于點的一個定點，該點的坐標為，．7．已知的邊邊所在直線的方程為點關于點的對稱點為，點在邊所在直線上且滿足．求邊所在直線的方程；求的外接圓的方程；若點的坐標為，其中為正整數(shù)．試討論在的外接圓上是否存在點，使得成立？說明理由．【解答】解：，又在上，為，（1分）又邊所在直線的方程為，所以直線的斜率為．（2分）又因為點在直線上，所以邊所在直線的方程為．即．（3分）與的交點為，所以由解得點的坐標為，（5分）（6分）又．（7分）從外接圓的方程為：．（8分）若在的外接圓圓上存在點，使得成立，則為線段的垂直平分線與圓的公共點．所以當與圓相離時，不存在滿足條件的點；當與圓相交或相切時則存在滿足條件的點．由，，知的斜率為，線段的中點為線段的垂直平分線為（10分）圓的圓心到直線的距離為（11分）當時，，此時直線與圓相交，存在滿足條件的點當時，此時直線與圓相交，存在滿足條件的點當時，此時直線與圓相離，不存在滿足條件的點．（14分）8．過點作拋物線的兩條切線，切點分別為，，，．（Ⅰ）證明：為定值；（Ⅱ）記的外接圓的圓心為點，點是拋物線的焦點，對任意實數(shù)，試判斷以為直徑的圓是否恒過點？并說明理由．【解答】解：（Ⅰ）證明：法1：由，得，所以．所以直線的斜率為．因為點，和，在拋物線上，所以，．所以直線的方程為．（1分）因為點在直線上，所以，即．（2分）同理，．（3分）所以，是方程的兩個根．所以．（4分）又，（5分）所以為定值．（6分）法2：設過點且與拋物線相切的切線方程為，（1分），消去得，由△，化簡得．（2分）所以．（3分）由，得，所以．所以直線的斜率為，直線的斜率為．所以，即．（4分）又，（5分）所以為定值．（6分）（Ⅱ）法1：直線的垂直平分線方程為，（7分）由于，，所以直線的垂直平分線方程為．①（8分）同理直線的垂直平分線方程為．②（9分）由①②解得，，所以點．（10分）拋物線的焦點為，則．由于，（11分）所以．所以以為直徑的圓恒過點．（12分）另法：以為直徑的圓的方程為．（11分）把點代入上方程，知點的坐標是方程的解．所以以為直徑的圓恒過點．（12分）法2：設點的坐標為，則的外接圓方程為，由于點，，，在該圓上，則，．兩式相減得，①（7分）由（Ⅰ）知，代入上式得，（8分）當時，得，②假設以為直徑的圓恒過點，則，即，，，得，③（9分）由②③解得，（10分）所以點．（11分）當時，則，點．所以以為直徑的圓恒過點．（12分）9．已知拋物線，為直線上任意一點，過點作拋物線的兩條切線，，切點分別為，．（1）當?shù)淖鴺藶闀r，求過，，三點的圓的方程；（2）若，是上的任意點，求證：點處的切線的斜率為；（3）證明：以為直徑的圓恒過點．【解答】解：（1）當?shù)淖鴺藶闀r，設過點的切線方程為，代入，整理得，令△，解得，代入方程得，故得，，因為到的中點的距離為2，從而過，，三點的圓的方程為．（2）證明：拋物線，導數(shù)為，可得，是上的任意點，點處的切線的斜率為；（3）證明：設切點分別為，，，，，，切線的方程為，即，切線的方程為，即，又因為切線過點，，所以得，①又因為切線也過點，，所以得，②所以，是方程的兩實根，由韋達定理得，，因為，，，，所以，將，代入，得，則以為直徑的圓恒過點．10．（2020?廣州一模）已知點是拋物線的頂點，，是上的兩個動點，且．（1）判斷點是否在直線上？說明理由；（2）設點是的外接圓的圓心，求點的軌跡方程．【解答】解：（1）由拋物線的方程可得頂點，由題意可得直線的斜率存在，設直線的方程為：，設，，，聯(lián)立直線與拋物線的方程：，整