第14講數列大題的考法研究(原卷版+解析)

第14講數列大題的考法研究【題型精講】題型一：等差數列、等比數列的判定與證明1．（2021·山東省青島第十七中學高三期中）已知數列中，，前項和為，且滿足.證明：數列是等差數列，并求的通項公式；2．（2021·吉林吉林·高三月考（理））已知數列滿足：，.設，證明：數列是等差數列；3．（2021·全國·高三專題練習（文））已知數列的前項和滿足.證明：對任意的正整數，集合中的三個元素可以排成一個遞增的等差數列題型二：分組轉化法求和1．（2021·江蘇·高二單元測試）已知數列滿足，．（1）求，；（2）設，求證：數列是等比數列，并求其通項公式；（3）已知，求證：．2．（2021·江蘇·海安高級中學高三月考）已知數列的前n項和為，且（1）求的通項公式；（2）設，求數列的前20項和．3．（2021·山東棗莊·高二期末）已知數列滿足，（1）求，，，并求；（2）求的前100項和．4．（2021·山西臨汾·二模（理））山西面食歷史悠久，源遠流長，稱為“世界面食之根”．臨汾牛肉丸子面、饸饹面是我們臨汾人喜愛吃的面食．調查資料表明，某學校在每周一有1000名學生選擇面食，餐廳的面食窗口在每周一提供牛肉丸子面和饸饹面兩種面食．凡是在本周一選擇牛肉丸子面的學生，下周一會有改選饸饹面；而選擇饸饹面的學生，下周一會有改選牛肉丸子面．用分別表示在第個周一選擇牛肉丸子面和饸饹面的人數，且．（1）證明：數列是常數列；（2）若，求數列的前項和．題型三：裂項相消法求和1．（2021·廣東·清遠市博愛學校高三月考）已知數列滿足（1）求數列的通項公式；（2）若數列滿足，是數列的前項和，求.2．（2021·江西·贛州市贛縣第三中學高二月考（理））已知數列滿足.（1）求數列的通項公式；（2）設，求數列的前項和.3．（2021·上海市第三女子中學高三期中）已知數列的前項和為，且；（1）求的通項公式；（2）設，是數列的前項和，求；（3）設，是數列的前項和，若對任意均有恒成立，求的最小值；題型四：錯位相減法求和1．（2021·四川資陽·高三月考（文））已知數列的前項和為，且，（，）（1）求的通項公式；（2）記，求數列的前項和．2．（2021·河南南陽·高二期中）若數列的前項和為，且；數列滿足，.（1）求數列，的通項公式；（2）求數列的前項和.3．（2021·安徽·六安一中高三月考（文））已知數列的前項和為，且，．（1）證明數列為等差數列，并求的通項公式；（2）已知，求數列的前項和，并證明．【課后精練】1．（2021·全國·高二課時練習）已知函數，數列的前項和為，點均在函數的圖象上．（1）求數列的通項公式；（2）若函數，令，求數列的前2020項和．2．（2021·全國·高三專題練習）已知數列的前項和，函數對一切實數總有，數列滿足分別求數列、的通項公式.3．（2021·陜西·銅川市第一中學高二期中（理））在公差不為0的等差數列中，，，，成等比數列．（1）求數列的通項公式；（2）若，求的前項和．4．（2021·安徽·六安一中高三月考（文））已知是等比數列，，且，．（1）求數列的通項公式；（2）設，求數列的前項和．5．（2021·江西·贛州市贛縣第三中學高二月考（文））已知數列的前項和．（1）求數列的通項公式；（2）求數列的前項和．6．（2021·浙江·模擬預測）已知數列的前項和為，，數列滿足，．（1）求數列、的通項公式；（2）若數列滿足，求證：．7．（2021·湖南·臨澧縣第一中學高三月考）已知數列滿足.（1）證明：數列為等比數列，并求；（2）求數列的前項和.8．（2021·貴州師大附中高二月考（理））已知數列滿足，且.（1）若數列滿足，求數列的通項公式；（2）求數列的前n項和.9．（2021·全國·高二專題練習）已知數列，滿足，，.（1）證明為等比數列，并求的通項公式；（2）求.10．（2021·全國·高二課時練習）已知數列的前n項和為.（1）求數列的通項公式；（2）求數列的前n項和.第14講數列大題的考法研究【題型精講】題型一：等差數列、等比數列的判定與證明1．（2021·山東省青島第十七中學高三期中）已知數列中，，前項和為，且滿足.證明：數列是等差數列，并求的通項公式；【答案】證明見解析，證明：因為，所以，所以，，所以數列是以1為首項，為公差的等差數列，，所以，當時，，當時，等式也成立，所以；2．（2021·吉林吉林·高三月考（理））已知數列滿足：，.設，證明：數列是等差數列；【詳解】證明：由，可得，所以，由于，可得，又，所以為首項為，公差為的等差數列.3．（2021·全國·高三專題練習（文））已知數列的前項和滿足.證明：對任意的正整數，集合中的三個元素可以排成一個遞增的等差數列；【詳解】由題意，數列的前項和滿足，當時，，兩式相減，可得，即，即，令，可得，解得，所以數列是首項為，公比為的等比數列，所以，所以，，，又由，所以，，構成一個遞增的等差數列.證明（判斷）數列是等差（比）數列的4種基本方法定義法(常數)()是等差數列；(是非零常數)是等比數列等差（比）中項法()是等差數列；（，）是等比數列。通項公式法（是常數）是等差數列；（其中為非零常數，）是等比數列.前項和公式法（為常數）是等差數列；（為非零常數）是等比數列.題型二：分組轉化法求和1．（2021·江蘇·高二單元測試）已知數列滿足，．（1）求，；（2）設，求證：數列是等比數列，并求其通項公式；（3）已知，求證：．【答案】（1），（2）證明見解析，（3）證明見解析（1）因為數列滿足，，所以，．即，（2）．∵，∴數列的各項均不為0，∴，即數列是首項為，公比為的等比數列，∴．（3）由（2）知．∴．2．（2021·江蘇·海安高級中學高三月考）已知數列的前n項和為，且（1）求的通項公式；（2）設，求數列的前20項和．【答案】（1）；（2）．【詳解】解：（1）當時，當n為奇數，且時，，顯然滿足；當n為偶數時，所以（2）．3．（2021·山東棗莊·高二期末）已知數列滿足，（1）求，，，并求；（2）求的前100項和．【答案】（1），，，；（2）2600.【詳解】解：（1），，．當時，由題意，得，．于是，即．所以，是以1為首項，1為公差的等差數列，所以，即為奇數時，．當為偶數時，．所以，；（2）法1：法2：由（1），當時，，．令，則．．4．（2021·山西臨汾·二模（理））山西面食歷史悠久，源遠流長，稱為“世界面食之根”．臨汾牛肉丸子面、饸饹面是我們臨汾人喜愛吃的面食．調查資料表明，某學校在每周一有1000名學生選擇面食，餐廳的面食窗口在每周一提供牛肉丸子面和饸饹面兩種面食．凡是在本周一選擇牛肉丸子面的學生，下周一會有改選饸饹面；而選擇饸饹面的學生，下周一會有改選牛肉丸子面．用分別表示在第個周一選擇牛肉丸子面和饸饹面的人數，且．（1）證明：數列是常數列；（2）若，求數列的前項和．【答案】（1）證明見解析；（2）.【詳解】解：（1）證明：，，，由題意，可得，解得，，，即數列是常數列.（2）由（1）可得，，，．分組轉化法求和的常見類型(1)若,且,為等差或等比數列,可采用分組求和法求的前項和(2)通項公式為的數列,其中數列是等比數列或等差數列,可采用分組轉化法求和。題型三：裂項相消法求和1．（2021·廣東·清遠市博愛學校高三月考）已知數列滿足（1）求數列的通項公式；（2）若數列滿足，是數列的前項和，求.【答案】（1）（2）（1）由題意知，()，所以，故，對也成立.綜上所述，數列的通項公式為：；（2）由(1)得，，所以，即數列的前n項和2．（2021·江西·贛州市贛縣第三中學高二月考（理））已知數列滿足.（1）求數列的通項公式；（2）設，求數列的前項和.【答案】（1）（2）（1）因為，當時，可得；當時，可得，兩式相減得，即，所以數列的通項公式為（2）當時，，當時，，則.3．（2021·上海市第三女子中學高三期中）已知數列的前項和為，且；（1）求的通項公式；（2）設，是數列的前項和，求；（3）設，是數列的前項和，若對任意均有恒成立，求的最小值；【答案】（1）（2）（3）（1）由題意，數列的前項和為，且，當時，可得，解得，當時，，兩式相減可得，可得，即，所以數列是以2為首項，以2為公比的等比數列，所以.（2）解：由，可得，所以數列的前項和：.（3）解：由，可得，所以數列的前項和：，因為對任意均有，所以，所以實數的最小值為.裂項相消法求和的幾種常見類型(1)(2)(3)(4)若是公差為的等差數列則題型四：錯位相減法求和1．（2021·四川資陽·高三月考（文））已知數列的前項和為，且，（，）（1）求的通項公式；（2）記，求數列的前項和．【答案】（1）（2）（1）解：由題，時，，，則，即有，又，則，于是，所以數列是以為首項，為公比的等比數列，所以；（2）由（1），則，所以，則，兩式相減，得，所以．2．（2021·河南南陽·高二期中）若數列的前項和為，且；數列滿足，.（1）求數列，的通項公式；（2）求數列的前項和.【答案】（1），（2）（1）由，得，.又，，兩式相減，得，.，.∴數列是首項為1，公比為2的等比數列..由，得，又，數列是首項為1，公差為1的等差數列..；（2），.兩式相減，得.3．（2021·安徽·六安一中高三月考（文））已知數列的前項和為，且，．（1）證明數列為等差數列，并求的通項公式；（2）已知，求數列的前項和，并證明．【答案】（1）證明見解析；（2）；證明見解析（1）當時，由，得或（舍去），由，得，①，當時，，②，由①－②，得，整理得，因為，所以．所以是首項為1，公差為1的等差數列，故數列的通項公式為．（2），，①，②，由①②可得，，，，.【課后精練】1．（2021·全國·高二課時練習）已知函數，數列的前項和為，點均在函數的圖象上．（1）求數列的通項公式；（2）若函數，令，求數列的前2020項和．【答案】（1）；（2）．【詳解】（1）∵點均在函數的圖象上，∴．當時，；當時，，適合上式，∴．（2）∵，∴．又由（1）知，∴．∴，①又，②①+②，，∴．2．（2021·全國·高三專題練習）已知數列的前項和，函數對一切實數總有，數列滿足分別求數列、的通項公式.【答案】；【詳解】當當時滿足上式，故；∵=1∴∵①∴②∴①②，得3．（2021·陜西·銅川市第一中學高二期中（理））在公差不為0的等差數列中，，，，成等比數列．（1）求數列的通項公式；（2）若，求的前項和．【答案】（1）（2）（1）設等差數列的公差是d，則，解得．所以．（2）由（1）知．所以4．（2021·安徽·六安一中高三月考（文））已知是等比數列，，且，．（1）求數列的通項公式；（2）設，求數列的前項和．【答案】（1）（2）（1），，，，，.（2），.5．（2021·江西·贛州市贛縣第三中學高二月考（文））已知數列的前項和．（1）求數列的通項公式；（2）求數列的前項和．【答案】（1）（2）（1）當時，；當時，，同樣適合上式，所以數列的通項公式為．（2）由（1）得，，6．（2021·浙江·模擬預測）已知數列的前項和為，，數列滿足，．（1）求數列、的通項公式；（2）若數列滿足，求證：．【答案】（1）；（2）證明見解析（1）解：由，得，所以又由，得，滿足，所以，而，所以，所以；（2）證明：因為，所以.7．（2021·湖南·臨澧縣第一中學高三月考）已知數列滿足.（1）證明：數列為等比數列，并求；（2）求數列的前項和.【答案】（1）證明見解析，；（2）.【詳解】（1）由已知得：，又，所以數列是首項為1，公比為2的等比數列，所以，即；（2）由（1）知，，則兩式相減得：所以.8．（2021·貴州師大附中高二月考（理））已知數列滿足，且.（1）若數列滿足，求數列的通項公式；（2）求數列的前n項和.【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）由知數列是公差為1的等差數列故，所以，所以所以所以所以又滿足上式，所以；（2）由（1）可得所以①；②；