高考真題+知識(shí)總結(jié)+方法總結(jié)+題型突破16解析幾何中的圓問題專題練習(xí)(學(xué)生版+解析)

第頁近年高考真題+優(yōu)質(zhì)模擬題匯編(全國通用)專題16解析幾何中的圓問題【高考真題】1．(2022·全國乙理)過四點(diǎn)中的三點(diǎn)的一個(gè)圓的方程為____________．1．答案或或或解析依題意設(shè)圓的方程為，若過，，，則，解得，所以圓的方程為，即；若過，，，則，解得，所以圓的方程為，即；若過，，，則，解得，所以圓的方程為，即；若過，，，則，解得，所以圓的方程為，即；故答案為：或或或；2．(2022·全國甲文)設(shè)點(diǎn)M在直線上，點(diǎn)和均在上，則的方程為_____________．2．答案解析∵點(diǎn)M在直線上，∴設(shè)點(diǎn)M為，又因?yàn)辄c(diǎn)和均在上，∴點(diǎn)M到兩點(diǎn)的距離相等且為半徑R，∴，，解得，∴，，的方程為．故答案為．3．(2022·北京)若直線是圓的一條對稱軸，則()A．BC．1D．3．答案A解析由題可知圓心為，因?yàn)橹本€是圓的對稱軸，所以圓心在直線上，即，解得．故選A．4．(2022·新高考Ⅰ)寫出與圓和都相切的一條直線的方程________________．4．答案或或解析圓的圓心為，半徑為1，圓的圓心為，半徑為4，兩圓圓心距為，等于兩圓半徑之和，故兩圓外切，如圖，當(dāng)切線為l時(shí)，因?yàn)椋?，設(shè)方程為，O到l的距離，解得，所以l的方程為，當(dāng)切線為m時(shí)，設(shè)直線方程為，其中，，由題意，解得，，當(dāng)切線為n時(shí)，易知切線方程為，故答案為或或．

5．(2022·新高考Ⅱ)設(shè)點(diǎn)，若直線關(guān)于對稱的直線與圓有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是________．5．答案解析關(guān)于對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，在直線上，所以所在直線即為直線l，所以直線l為，即；圓，圓心，半徑，依題意圓心到直線l的距離，即，解得，即；故答案為．【知識(shí)總結(jié)】1．圓的定義和圓的方程定義平面上到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合叫做圓方程標(biāo)準(zhǔn)(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)圓心C(a，b)半徑為r一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)圓心Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))半徑r＝eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)2．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系平面上的一點(diǎn)M(x0，y0)與圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之間存在著下列關(guān)系：(1)|MC|>r?M在圓外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2?M在圓外；(2)|MC|＝r?M在圓上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?M在圓上；(3)|MC|<r?M在圓內(nèi)，即(x0－a)2＋(y0－b)2<r2?M在圓內(nèi)．3．直線與圓的位置關(guān)系(圓心到直線的距離為d，圓的半徑為r)相離相切相交圖形量化方程觀點(diǎn)Δ<0Δ＝0Δ>0幾何觀點(diǎn)d>rd＝rd<r4．圓與圓的位置關(guān)系(⊙O1，⊙O2的半徑分別為r1，r2，d＝|O1O2|)圖形量的關(guān)系外離d>r1＋r2外切d＝r1＋r2相交|r1－r2|<d<r1＋r2內(nèi)切d＝|r1－r2|內(nèi)含d<|r1－r2|5．直線被圓截得的弦長(1)幾何法：弦心距d、半徑r和弦長|AB|的一半構(gòu)成直角三角形，弦長|AB|＝2eq\r(r2－d2)．(2)代數(shù)法：設(shè)直線y＝kx＋m與圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于點(diǎn)M，N，代入，消去y，得關(guān)于x的一元二次方程，則|MN|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(xM＋xN2－4xMxN)．【題型突破】題型一圓的方程1．已知圓M與直線3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圓心在直線y＝－x－4上，則圓M的方程為()A．(x＋3)2＋(y－1)2＝1B．(x－3)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋3)2＋(y＋1)2＝1D．(x－3)2＋(y－1)2＝11．答案C解析到兩直線3x－4y＝0,3x－4y＋10＝0的距離都相等的直線方程為3x－4y＋5＝0，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－4y＋5＝0，,y＝－x－4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝－1.))又兩平行線間的距離為2，所以圓M的半徑為1，從而圓M的方程為(x＋3)2＋(y＋1)2＝1．2．已知圓E經(jīng)過三點(diǎn)A(0,1)，B(2,0)，C(0，－1)，則圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))2＋y2＝eq\f(25,4)B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,4)))2＋y2＝eq\f(25,16)C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))2＋y2＝eq\f(25,16)D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))2＋y2＝eq\f(25,4)2．答案C解析方法一(待定系數(shù)法)設(shè)圓E的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，則由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋E＋F＝0，,4＋2D＋F＝0，,1－E＋F＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－\f(3,2)，,E＝0，,F＝－1.))所以圓E的一般方程為x2＋y2－eq\f(3,2)x－1＝0，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))2＋y2＝eq\f(25,16)．方法二(幾何法)因?yàn)閳AE經(jīng)過點(diǎn)A(0,1)，B(2,0)，所以圓E的圓心在線段AB的垂直平分線y－eq\f(1,2)＝2(x－1)上．由題意知圓E的圓心在x軸上，所以圓E的圓心坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，0))．則圓E的半徑為|EB|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(3,4)))2＋0－02)＝eq\f(5,4)，所以圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))2＋y2＝eq\f(25,16)．3．在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，以點(diǎn)(0,1)為圓心且與直線x－by＋2b＋1＝0相切的所有圓中，半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A．x2＋(y－1)2＝4B．x2＋(y－1)2＝2C．x2＋(y－1)2＝8D．x2＋(y－1)2＝163．答案B解析由直線x－by＋2b＋1＝0可得該直線過定點(diǎn)A(－1,2)，設(shè)圓心為B(0,1)，由題意可知要使所求圓的半徑最大，則rmax＝|AB|＝eq\r(－1－02＋2－12)＝eq\r(2)，所以半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋(y－1)2＝2．4．已知圓的圓心在直線x－2y－3＝0上，且過點(diǎn)A(2，－3)，B(－2，－5)，則圓的一般方程為________________．4．答案x2＋y2＋2x＋4y－5＝0解析方法一設(shè)所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－a2＋－3－b2＝r2，,－2－a2＋－5－b2＝r2，,a－2b－3＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝－2，,r2＝10，))故所求圓的方程為(x＋1)2＋(y＋2)2＝10，即x2＋y2＋2x＋4y－5＝0．方法二線段AB的垂直平分線方程為2x＋y＋4＝0，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y＋4＝0，,x－2y－3＝0，))得交點(diǎn)坐標(biāo)O(－1，－2)，又點(diǎn)O到點(diǎn)A的距離d＝eq\r(10)，所以圓的方程為(x＋1)2＋(y＋2)2＝10，即x2＋y2＋2x＋4y－5＝0．5．圓心在y軸上，半徑長為1，且過點(diǎn)A(1,2)的圓的方程是()A．x2＋(y－2)2＝1B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D．x2＋(y－3)2＝45．答案A解析根據(jù)題意可設(shè)圓的方程為x2＋(y－b)2＝1，因?yàn)閳A過點(diǎn)A(1,2)，所以12＋(2－b)2＝1，解得b＝2，所以所求圓的方程為x2＋(y－2)2＝1．6．若圓C的半徑為1，圓心在第一象限，且與直線4x－3y＝0和x軸都相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A．(x－3)2＋(y－1)2＝1B．(x－2)2＋(y－1)2＝1C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1D．(x－2)2＋(y＋1)2＝16．答案B解析設(shè)圓心坐標(biāo)為(a，b)(a>0，b>0)，由圓與直線4x－3y＝0相切，可得圓心到直線的距離d＝eq\f(|4a－3b|,5)＝r＝1，化簡得|4a－3b|＝5，①，又圓與x軸相切，可得|b|＝r＝1，解得b＝1或b＝－1(舍去)，把b＝1代入①得4a－3＝5或4a－3＝－5，解得a＝2或a＝－eq\f(1,2)(舍去)，所以圓心坐標(biāo)為(2,1)，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y－1)2＝1．7．圓(x－1)2＋(y－2)2＝1關(guān)于直線y＝x對稱的圓的方程為()A．(x－2)2＋(y－1)2＝1B．(x＋1)2＋(y－2)2＝1C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1D．(x－1)2＋(y＋2)2＝17．答案A解析已知圓的圓心C(1,2)關(guān)于直線y＝x對稱的點(diǎn)為C′(2,1)，所以圓(x－1)2＋(y－2)2＝1關(guān)于直線y＝x對稱的圓的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝1．8．已知圓C的半徑為2，圓心在x軸正半軸上，直線3x＋4y＋4＝0與圓C相切，則圓C的方程為()A．x2＋y2－2x－3＝0B．x2＋y2＋4x＝0C．x2＋y2＋2x－3＝0D．x2＋y2－4x＝08．答案D解析設(shè)圓心為(a，0)(a>0)，由題意知圓心到直線3x＋4y＋4＝0的距離d＝eq\f(|3a＋4|,\r(32＋42))＝eq\f(3a＋4,5)＝r＝2，解得a＝2，所以圓心坐標(biāo)為(2,0)，則圓C的方程為(x－2)2＋y2＝4，化簡得x2＋y2－4x＝0，故選D．9．(多選)已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為A(－1,2)，B(2,1)，C(3,4)，則下列關(guān)于△ABC的外接圓圓M的說法正確的是()A．圓M的圓心坐標(biāo)為(1,3)B．圓M的半徑為eq\r(5)C．圓M關(guān)于直線x＋y＝0對稱D．點(diǎn)(2,3)在圓M內(nèi)9．答案ABD解析設(shè)△ABC的外接圓圓M的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋4－D＋2E＋F＝0，,4＋1＋2D＋E＋F＝0，,9＋16＋3D＋4E＋F＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－2，,E＝－6，,F＝5.))所以△ABC的外接圓圓M的方程為x2＋y2－2x－6y＋5＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝5．故圓M的圓心坐標(biāo)為(1,3)，圓M的半徑為eq\r(5)，因?yàn)橹本€x＋y＝0不經(jīng)過圓M的圓心(1,3)，所以圓M不關(guān)于直線x＋y＝0對稱．因?yàn)?2－1)2＋(3－3)2＝1<5，故點(diǎn)(2,3)在圓M內(nèi)．10．(多選)設(shè)有一組圓Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，下列命題正確的是()A．不論k如何變化，圓心C始終在一條直線上B．所有圓Ck均不經(jīng)過點(diǎn)(3,0)C．經(jīng)過點(diǎn)(2,2)的圓Ck有且只有一個(gè)D．所有圓的面積均為4π10．答案ABD解析圓心坐標(biāo)為(k，k)，在直線y＝x上，A正確；令(3－k)2＋(0－k)2＝4，化簡得2k2－6k＋5＝0，∵Δ＝36－40＝－4<0，∴2k2－6k＋5＝0無實(shí)數(shù)根，∴B正確；由(2－k)2＋(2－k)2＝4，化簡得k2－4k＋2＝0，∵Δ＝16－8＝8>0，有兩個(gè)不相等實(shí)根，∴經(jīng)過點(diǎn)(2,2)的圓Ck有兩個(gè)，C錯(cuò)誤；由圓的半徑為2，得圓的面積為4π，D正確．題型二與圓有關(guān)的最值問題11．若點(diǎn)P為圓x2＋y2＝1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A(－1,0)，B(1,0)為兩個(gè)定點(diǎn)，則|PA|＋|PB|的最大值為()A．2B．2eq\r(2)C．4eq\r(2)D．411．答案B解析由已知得線段AB為圓的直徑．所以|PA|2＋|PB|2＝4，由基本不等式得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|PA|＋|PB|,2)))2≤eq\f(|PA|2＋|PB|2,2)＝2，所以|PA|＋|PB|≤2eq\r(2)，當(dāng)且僅當(dāng)|PA|＝|PB|＝eq\r(2)時(shí)，等號(hào)成立．12．已知A(－2,0)，B(2,0)，點(diǎn)P是圓C：(x－3)2＋(y－eq\r(7))2＝1上的動(dòng)點(diǎn)，則|AP|2＋|BP|2的最小值為()A．9B．14C．16D．2612．答案D解析設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P(x，y)，則|AP|2＋|BP|2＝(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2＝2(x2＋y2)＋8＝2|PO|2＋8．圓C的圓心為C(3，eq\r(7))，半徑為r＝1，OC＝4，所以|PO|2的最小值為(OC－r)2＝(4－1)2＝9，所以|AP|2＋|BP|2的最小值為26．13．已知圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和兩點(diǎn)A(－m，0)，B(m，0)(m>0)．若圓C上存在點(diǎn)P，使得∠APB＝90°，則m的最大值為()A．7B．6C．5D．413．答案B解析∵在Rt△APB中，原點(diǎn)O為斜邊中點(diǎn)，|AB|＝2m(m>0)，∴|OC|－r≤m＝|OP|≤|OC|＋r，又C(3,4)，r＝1，∴4≤|OP|≤6，即4≤m≤6．14．已知x，y滿足x2＋y2－4x－2y－4＝0，則eq\f(2x＋3y＋3,x＋3)的最大值為()A．2B．eq\f(17,4)C．eq\f(29,5)D．eq\f(13\r(13),4)14．答案B解析由x2＋y2－4x－2y－4＝0得(x－2)2＋(y－1)2＝9．eq\f(2x＋3y＋3,x＋3)＝2＋3×eq\f(y－1,x＋3)＝2＋3kPA，其中A(－3,1)為定點(diǎn)，點(diǎn)P(x，y)為圓上一點(diǎn)．設(shè)過定點(diǎn)A的直線l：y－1＝k(x＋3)與圓相切，則eq\f(|5k|,\r(1＋k2))＝3，解得k＝±eq\f(3,4)，所以－eq\f(3,4)≤kPA≤eq\f(3,4)，所以eq\f(2x＋3y＋3,x＋3)的最大值為2＋3×eq\f(3,4)＝eq\f(17,4)．15．已知A(0,2)，點(diǎn)P在直線x＋y＋2＝0上，點(diǎn)Q在圓C：x2＋y2－4x－2y＝0上，則|PA|＋|PQ|的最小值是________．15．答案2eq\r(5)解析因?yàn)閳AC：x2＋y2－4x－2y＝0，故圓C是以C(2,1)為圓心，半徑r＝eq\r(5)的圓．設(shè)點(diǎn)A(0,2)關(guān)于直線x＋y＋2＝0的對稱點(diǎn)為A′(m，n)，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(m＋0,2)＋\f(n＋2,2)＋2＝0，,\f(n－2,m－0)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－4，,n＝－2，))故A′(－4，－2)．連接A′C交圓C于Q(圖略)，由對稱性可知|PA|＋|PQ|＝|A′P|＋|PQ|≥|A′Q|＝|A′C|－r＝2eq\r(5)．16．設(shè)點(diǎn)P(x，y)是圓x2＋(y－3)2＝1上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)A(2,0)，B(－2,0)．則eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的最大值為________．16．答案12解析由題意，得eq\o(PA,\s\up6(→))＝(2－x，－y)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(－2－x，－y)，所以eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝x2＋y2－4，由于點(diǎn)P(x，y)是圓上的點(diǎn)，故其坐標(biāo)滿足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，所以eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12．易知2≤y≤4，所以當(dāng)y＝4時(shí)，eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的值最大，最大值為6×4－12＝12．17．等邊△ABC的面積為9eq\r(3)，且△ABC的內(nèi)心為M，若平面內(nèi)的點(diǎn)N滿足|MN|＝1，則eq\o(NA,\s\up6(→))·eq\o(NB,\s\up6(→))的最小值為()A．－5－2eq\r(3)B．－5－4eq\r(3)C．－6－2eq\r(3)D．－6－4eq\r(3)17．答案A解析設(shè)等邊△ABC的邊長為a，則面積S＝eq\f(\r(3),4)a2＝9eq\r(3)，解得a＝6．以AB所在直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．由M為△ABC的內(nèi)心，則M在OC上，且OM＝eq\f(1,3)OC，則A(－3,0)，B(3,0)，C(0,3eq\r(3))，M(0，eq\r(3))，由|MN|＝1，則點(diǎn)N在以M為圓心，1為半徑的圓上．設(shè)N(x，y)，則x2＋(y－eq\r(3))2＝1，即x2＋y2－2eq\r(3)y＋2＝0，且eq\r(3)－1≤y≤1＋eq\r(3)，又eq\o(NA,\s\up6(→))＝(－3－x，－y)，eq\o(NB,\s\up6(→))＝(3－x，－y)，所以eq\o(NA,\s\up6(→))·eq\o(NB,\s\up6(→))＝(x＋3)(x－3)＋y2＝x2＋y2－9＝2eq\r(3)y－11≥2eq\r(3)×(eq\r(3)－1)－11＝－5－2eq\r(3)．18．已知點(diǎn)P在直線x＋y＝4上，過點(diǎn)P作圓O：x2＋y2＝4的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則點(diǎn)M(3,2)到直線AB距離的最大值為()A．eq\r(2)B．eq\r(3)C．2D．eq\r(5)18．答案D解析設(shè)P(a，b)，則a＋b＝4，以O(shè)P為直徑的圓的方程是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(b,2)))2＝eq\f(1,4)(a2＋b2)，與圓O的方程x2＋y2＝4相減，得直線AB的方程為ax＋by＝4，即ax＋by－4＝0，因?yàn)閍＋b＝4，所以b＝4－a，代入直線AB的方程，得ax＋(4－a)y－4＝0，即a(x－y)＋4y－4＝0，當(dāng)x＝y(tǒng)且4y－4＝0，即x＝1，y＝1時(shí)該方程恒成立，所以直線AB過定點(diǎn)N(1,1)，點(diǎn)M到直線AB距離的最大值即為點(diǎn)M，N之間的距離，|MN|＝eq\r(5)，所以點(diǎn)M(3,2)到直線AB距離的最大值為eq\r(5)．19．若直線x＋ay－a－1＝0與圓C：(x－2)2＋y2＝4交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)|AB|最小時(shí)，劣弧AB的長為()A．eq\f(π,2)B．πC．2πD．3π19．答案B解析直線x＋ay－a－1＝0可化為(x－1)＋a(y－1)＝0，則當(dāng)x－1＝0且y－1＝0，即x＝1且y＝1時(shí)，等式恒成立，所以直線恒過定點(diǎn)M(1,1)，設(shè)圓的圓心為C(2,0)，半徑r＝2，當(dāng)MC⊥AB時(shí)，|AB|取得最小值，且最小值為2eq\r(r2－|MC|2)＝2eq\r(4－2)＝2eq\r(2)，此時(shí)弦長AB對的圓心角為eq\f(π,2)，所以劣弧AB的長為eq\f(π,2)×2＝π．題型三直線與圓的位置關(guān)系20．直線kx－y＋2－k＝0與圓x2＋y2－2x－8＝0的位置關(guān)系為()A．相交、相切或相離B．相交或相切C．相交D．相切20．答案C解析方法一直線kx－y＋2－k＝0的方程可化為k(x－1)－(y－2)＝0，該直線恒過定點(diǎn)(1,2)．因?yàn)?2＋22－2×1－8<0，所以點(diǎn)(1,2)在圓x2＋y2－2x－8＝0的內(nèi)部，所以直線kx－y＋2－k＝0與圓x2＋y2－2x－8＝0相交．方法二圓的方程可化為(x－1)2＋y2＝32，所以圓的圓心為(1,0)，半徑為3．圓心到直線kx－y＋2－k＝0的距離為eq\f(|k＋2－k|,\r(1＋k2))＝eq\f(2,\r(1＋k2))≤2<3，所以直線與圓相交．21．(多選)直線y＝kx－1與圓C：(x＋3)2＋(y－3)2＝36相交于A，B兩點(diǎn)，則AB的長度可能為()A．6B．8C．12D．1621．答案BC解析因?yàn)橹本€y＝kx－1過定點(diǎn)(0，－1)，故圓C的圓心C(－3,3)到直線y＝kx－1的距離的最大值為eq\r(－3－02＋3＋12)＝5．又圓C的半徑為6，故弦長AB的最小值為2eq\r(62－52)＝2eq\r(11)．又當(dāng)直線y＝kx－1過圓心時(shí)弦長AB取最大值，為直徑12，故|AB|∈[2eq\r(11)，12]．22．設(shè)圓x2＋y2－2x－2y－2＝0的圓心為C，直線l過(0,3)與圓C交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|＝2eq\r(3)，則直線l的方程為()A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0B．3x＋4y－12＝0或x＝0C．4x－3y＋9＝0或x＝0D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝022．答案B解析當(dāng)直線l的斜率不存在，即直線l的方程為x＝0時(shí)，弦長為2eq\r(3)，符合題意；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線l的方程為y＝kx＋3，由弦長為2eq\r(3)，半徑為2可知，圓心到該直線的距離為1，從而有eq\f(|k＋2|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝－eq\f(3,4)，綜上，直線l的方程為x＝0或3x＋4y－12＝0．23．(多選)(2021·新高考全國Ⅱ)已知直線l：ax＋by－r2＝0與圓C：x2＋y2＝r2，點(diǎn)A(a，b)，則下列說法正確的是()A．若點(diǎn)A在圓C上，則直線l與圓C相切B．若點(diǎn)A在圓C內(nèi)，則直線l與圓C相離C．若點(diǎn)A在圓C外，則直線l與圓C相離D．若點(diǎn)A在直線l上，則直線l與圓C相切23．答案ABD解析圓心C(0,0)到直線l的距離d＝eq\f(r2,\r(a2＋b2))，若點(diǎn)A(a，b)在圓C上，則a2＋b2＝r2，所以d＝eq\f(r2,\r(a2＋b2))＝|r|，則直線l與圓C相切，故A正確；若點(diǎn)A(a，b)在圓C內(nèi)，則a2＋b2<r2，所以d＝eq\f(r2,\r(a2＋b2))>|r|，則直線l與圓C相離，故B正確；若點(diǎn)A(a，b)在圓C外，則a2＋b2>r2，所以d＝eq\f(r2,\r(a2＋b2))<|r|，則直線l與圓C相交，故C錯(cuò)誤；若點(diǎn)A(a，b)在直線l上，則a2＋b2－r2＝0，即a2＋b2＝r2，所以d＝eq\f(r2,\r(a2＋b2))＝|r|，則直線l與圓C相切，故D正確．24．(2021·北京)已知圓C：x2＋y2＝4，直線l：y＝kx＋m，當(dāng)k變化時(shí)，l截得圓C弦長的最小值為2，則m等于()A．±2B．±eq\r(2)C．±eq\r(3)D．±eq\r(5)24．答案C解析由題可得圓心為(0,0)，半徑為2，則圓心到直線的距離d＝eq\f(|m|,\r(k2＋1))，則弦長為2eq\r(4－\f(m2,k2＋1))，則當(dāng)k＝0時(shí)，弦長取得最小值為2eq\r(4－m2)＝2，解得m＝±eq\r(3)．25．過點(diǎn)P(2,4)作圓(x－1)2＋(y－1)2＝1的切線，則切線方程為()A．3x＋4y－4＝0B．4x－3y＋4＝0C．x＝2或4x－3y＋4＝0D．y＝4或3x＋4y－4＝025．答案C解析當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線x＝2與圓相切；當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0，則eq\f(|k－1＋4－2k|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝eq\f(4,3)，得切線方程為4x－3y＋4＝0．綜上，得切線方程為x＝2或4x－3y＋4＝0．26．若直線x＋ay－a－1＝0與圓C：(x－2)2＋y2＝4交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)|AB|最小時(shí)，劣弧AB的長為()A．eq\f(π,2)B．πC．2πD．3π26．答案B解析直線x＋ay－a－1＝0可化為(x－1)＋a(y－1)＝0，則當(dāng)x－1＝0且y－1＝0，即x＝1且y＝1時(shí)，等式恒成立，所以直線恒過定點(diǎn)M(1,1)，設(shè)圓的圓心為C(2,0)，半徑r＝2，當(dāng)MC⊥AB時(shí)，|AB|取得最小值，且最小值為2eq\r(r2－|MC|2)＝2eq\r(4－2)＝2eq\r(2)，此時(shí)弦長AB對的圓心角為eq\f(π,2)，所以劣弧AB的長為eq\f(π,2)×2＝π．27．(多選)(2021·新高考全國Ⅰ)已知點(diǎn)P在圓(x－5)2＋(y－5)2＝16上，點(diǎn)A(4,0)，B(0,2)，則()A．點(diǎn)P到直線AB的距離小于10B．點(diǎn)P到直線AB的距離大于2C．當(dāng)∠PBA最小時(shí)，|PB|＝3eq\r(2)D．當(dāng)∠PBA最大時(shí)，|PB|＝3eq\r(2)27．答案ACD解析設(shè)圓(x－5)2＋(y－5)2＝16的圓心為M(5,5)，由題易知直線AB的方程為eq\f(x,4)＋eq\f(y,2)＝1，即x＋2y－4＝0，則圓心M到直線AB的距離d＝eq\f(|5＋2×5－4|,\r(5))＝eq\f(11,\r(5))>4，所以直線AB與圓M相離，所以點(diǎn)P到直線AB的距離的最大值為4＋d＝4＋eq\f(11,\r(5))，4＋eq\f(11,\r(5))<5＋eq\r(\f(125,5))＝10，故A正確．易知點(diǎn)P到直線AB的距離的最小值為d－4＝eq\f(11,\r(5))－4，eq\f(11,\r(5))－4<eq\r(\f(125,5))－4＝1，故B不正確．過點(diǎn)B作圓M的兩條切線，切點(diǎn)分別為N，Q，如圖所示，連接MB，MN，MQ，則當(dāng)∠PBA最小時(shí)，點(diǎn)P與N重合，|PB|＝eq\r(|MB|2－|MN|2)＝eq\r(52＋5－22－42)＝3eq\r(2)，當(dāng)∠PBA最大時(shí)，點(diǎn)P與Q重合，|PB|＝3eq\r(2)，故C，D都正確．28．在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，已知圓C：(x－2)2＋y2＝4，點(diǎn)A是直線x－y＋2＝0上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線AP，AQ分別切圓C于P，Q兩點(diǎn)，則線段PQ的長的取值范圍為________．28．答案[2eq\r(2)，4)解析由圓的方程知，圓心C(2,0)，半徑r＝2．連接AC，PC，QC(圖略)，設(shè)|AC|＝x，則x≥eq\f(|2－0＋2|,\r(2))＝2eq\r(2)．∵AP，AQ為圓C的切線，∴CP⊥AP，CQ⊥AQ，∴|AP|＝|AQ|＝eq\r(|AC|2－r2)＝eq\r(x2－4)．∵AC是PQ的垂直平分線，∴|PQ|＝2×eq\f(|AP|·|PC|,|AC|)＝eq\f(4\r(x2－4),x)＝4eq\r(1－\f(4,x2))．∵x≥2eq\r(2)，∴eq\f(1,2)≤1－eq\f(4,x2)<1，∴2eq\r(2)≤|PQ|<4，即線段PQ的長的取值范圍為[2eq\r(2)，4)．29．(多選)(2022·深圳模擬)設(shè)直線l：y＝kx＋1(k∈R)與圓C：x2＋y2＝5，則下列結(jié)論正確的為()A．l與C可能相離B．l不可能將C的周長平分C．當(dāng)k＝1時(shí)，l被C截得的弦長為eq\f(3\r(2),2)D．l被C截得的最短弦長為429．答案BD解析對于A選項(xiàng)，直線l過定點(diǎn)(0,1)，且點(diǎn)(0,1)在圓C內(nèi)，則直線l與圓C必相交，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于B選項(xiàng)，若直線l將圓C的周長平分，則直線l過原點(diǎn)，此時(shí)直線l的斜率不存在，B選項(xiàng)正確；對于C選項(xiàng)，當(dāng)k＝1時(shí)，直線l的方程為x－y＋1＝0，圓心C到直線l的距離為d＝eq\f(\r(2),2)，所以直線l被C截得的弦長為2eq\r(5－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2)＝3eq\r(2)，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于D選項(xiàng)，圓心C到直線l的距離為d＝eq\f(1,\r(k2＋1))≤1，所以直線l被C截得的弦長為2eq\r(5－d2)≥4，D選項(xiàng)正確．題型四圓與圓的位置關(guān)系30．圓C1：(x＋1)2＋(y－2)2＝4與圓C2：(x－3)2＋(y－2)2＝4的公切線的條數(shù)是()A．1B．2C．3D．430．答案C解析圓C1：(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圓心為C1(－1,2)，半徑為2，圓C2：(x－3)2＋(y－2)2＝4的圓心為C2(3,2)，半徑為2，兩圓的圓心距|C1C2|＝eq\r(－1－32＋2－22)＝4＝2＋2，即兩圓的圓心距等于兩圓的半徑之和，故兩圓外切，故公切線的條數(shù)為3．31．已知圓C1：x2＋y2＋4x－2y－4＝0，圓C2：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(3,2)))2＝eq\f(11,2)，則這兩圓的公共弦長為()A．5B．2eq\r(2)C．2D．131．答案C解析由題意知圓C1：x2＋y2＋4x－2y－4＝0，圓C2：x2＋y2＋3x－3y－1＝0，將兩圓的方程相減，得x＋y－3＝0，所以兩圓的公共弦所在直線的方程為x＋y－3＝0．又因?yàn)閳AC1的圓心為(－2,1)，半徑r＝3，所以圓C1的圓心到直線x＋y－3＝0的距離d＝eq\f(|－2＋1－3|,\r(2))＝2eq\r(2)．所以這兩圓的公共弦的弦長為2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(32－2\r(2)2)＝2．32．已知圓M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直線x＋y＝0所得線段的長度是2eq\r(2)，則圓M與圓N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置關(guān)系是()A．內(nèi)切B．相交C．外切D．相離32．答案B解析由題意得圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋(y－a)2＝a2，圓心(0，a)到直線x＋y＝0的距離d＝eq\f(a,\r(2))，所以2eq\r(a2－\f(a2,2))＝2eq\r(2)，解得a＝2，圓M，圓N的圓心距|MN|＝eq\r(2)小于兩圓半徑之和3，大于兩圓半徑之差1，故兩圓相交．33．若圓C1：(x－1)2＋(y－a)2＝4與圓C2：(x＋2)2＋(y＋1)2＝a2相交，則正實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A．(3，＋∞)B．(2，＋∞)C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))D．(3,4)33．答案A解析|C1C2|＝eq\r(9＋a＋12)，因?yàn)閳AC1：(x－1)2＋(y－a)2＝4與圓C2：(x＋2)2＋(y＋1)2＝a2相交，所以|a－2|<eq\r(9＋a＋12)<a＋2，解得a>3．34．圓C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0與圓C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的公共弦所在直線的方程為______________，公共弦長為________．34．答案x－2y＋4＝02eq\r(5)解析聯(lián)立兩圓的方程得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－2x＋10y－24＝0，,x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，))兩式相減并化簡，得x－2y＋4＝0，此即兩圓公共弦所在直線的方程．由x2＋y2－2x＋10y－24＝0，得(