課時質量評價36　空間幾何體-2022屆高三數學一輪復習檢測（新高考）

課時質量評價(三十六)(建議用時：45分鐘)A組全考點鞏固練1．(多選題)下列命題中正確的是()A．由五個面圍成的多面體可能是四棱錐B．用一個平面去截棱錐便可得到棱臺C．僅有一組對面平行的五面體是棱臺D．正棱錐的側棱長都相等AD解析：由五個面圍成的多面體可以是四棱錐、三棱柱或三棱臺，故A正確；當平面與棱錐底面不平行時，截得的幾何體不是棱臺，故B錯誤；僅有一組對面平行的五面體也可能是三棱柱，故C錯誤；根據正棱錐的結構特征知，正棱錐的側棱長一定都相等，故D正確．2．(多選題)如圖，將裝有水的長方體水槽固定底面一邊后傾斜一個角度，則傾斜后水槽中的水形成的幾何體可以是()A．四棱柱 B．四棱臺C．三棱柱 D．三棱錐AC解析：根據題圖，因為有水的部分始終有兩個平面平行，而其余各面都易證是平行四邊形，因此形成的幾何體是四棱柱或三棱柱．第2題圖第3題圖3．(2020·全國卷Ⅰ)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個正四棱錐，以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側面三角形的面積，則其側面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為()A．eq\f(\r(5)－1,4) B．eq\f(\r(5)－1,2)C．eq\f(\r(5)＋1,4) D．eq\f(\r(5)＋1,2)C解析：如圖，設CD＝a，PE＝b，則PO＝eq\r(PE2－OE2)＝eq\r(b2－\f(a2,4)).由題意知PO2＝eq\f(1,2)ab，即b2－eq\f(a2,4)＝eq\f(1,2)ab，化簡得4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))eq\s\up12(2)－2×eq\f(b,a)－1＝0，解得eq\f(b,a)＝eq\f(1＋\r(5),4)(負值舍去)．4．(2020·聊城模擬)在《九章算術》中，將有三條棱互相平行且有一個面為梯形的五面體稱為“羨除”．現有一個羨除如圖所示，DA⊥平面ABFE，四邊形ABFE，CDEF均為等腰梯形，AB∥CD∥EF，AB＝AD＝4，EF＝8，點E到平面ABCD的距離為6，則這個羨除的體積是()A．96B．72C．64D．58C解析：如圖，將多面體分割為兩個三棱錐D-AGE，C-HBF和一個直三棱柱GAD-HBC．這個羨除的體積V＝2×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×6×4＋eq\f(1,2)×6×4×4＝64.故選C．5．在菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝60°，將△ABD沿對角線BD折起；使得二面角A-BD-C的大小為60°，則折疊后所得四面體ABCD的外接球的半徑為()A．eq\f(2\r(13),3) B．eq\f(\r(13),3)C．eq\f(4\r(3),3) D．eq\f(\r(39),3)A解析：如圖，取BD的中點為O，連接OC，OA．根據題意需要找到外接球的球心，取OC上離O點近的三等分點為E.同理取OA上離O點近的三等分點為F，自這兩點分別作平面BDC、平面ABD的垂線，交于點P，則P就是外接球的球心，連接OP，CP.由菱形的性質得∠AOC就是二面角A-BD-C的平面角．所以△AOC是邊長為4×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3)的等邊三角形，所以OE＝eq\f(2\r(3),3).在△POE中，∠POE＝30°，所以PE＝eq\f(2,3).又CE＝eq\f(4\r(3),3)，所以PC＝R＝eq\f(2\r(13),3).故選A．6．已知兩個圓錐有公共底面，且兩圓錐的頂點和底面的圓周都在同一個球面上．若圓錐底面面積是這個球面面積的eq\f(3,16)，則這兩個圓錐中，體積較小者的高與體積較大者的高的比值為________．eq\f(1,3)解析：如圖，設球的半徑為R，圓錐底面半徑為r.由題意得πr2＝eq\f(3,16)×4πR2，所以r2＝eq\f(3,4)R2.根據球的截面的性質可知兩圓錐的高必過球心O，且兩圓錐的頂點以及圓錐與球的交點是球的大圓上的點，且AB⊥O1C，所以OO1＝eq\r(R2－r2)＝eq\f(R,2).因此體積較小的圓錐的高為AO1＝R－eq\f(R,2)＝eq\f(R,2)，體積較大的圓錐的高為BO1＝R＋eq\f(R,2)＝eq\f(3,2)R.故這兩個圓錐中，體積較小者的高與體積較大者的高的比值為eq\f(1,3).7．如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D是CC1上一點．設四棱錐D-A1ABB1的體積為V1，三棱柱ABC-A1B1C1的體積為V2，則V1∶V2＝________.2∶3解析：三棱柱ABC-A1B1C1的體積V2＝Veq\s\do4(D-ABB1A1)＋Veq\s\do4(D-A1B1C1)＋VD-ABC．設三棱柱的高為h，三棱錐D-A1B1C1的高為h1，三棱錐D-ABC的高為h2，則h＝h1＋h2，所以V2＝Veq\s\do4(D-ABB1A1)＋eq\f(1,3)Seq\s\do4(△A1B1C1h1)＋eq\f(1,3)S△ABCh2＝Veq\s\do4(D-ABB1A1)＋eq\f(1,3)S△ABCh＝S△ABCh，則V1＝Veq\s\do4(D-ABB1A1)＝eq\f(2,3)S△ABCh＝eq\f(2,3)V2，故V1∶V2＝2∶3.8．已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有頂點都在球O的球面上，該三棱柱的五個面所在的平面截球面所得的圓大小相同．若球O的表面積為20π，則三棱柱的體積為________．6eq\r(3)解析：因為三棱柱ABC-A1B1C1的五個面所在的平面截球面所得的圓的大小相同，所以該三棱柱的底面是等邊三角形．設三棱柱底面邊長為a，高為h，截面圓的半徑為r，球半徑為R，所以r＝eq\f(a,\r(3)).因為球O的表面積為20π，所以4πR2＝20π，解得R＝eq\r(5).因為底面和側面截得的圓的大小相同，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(h,2)))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,\r(3))))eq\s\up12(2)，所以a＝eq\r(3)h.①又因為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(h,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,\r(3))))eq\s\up12(2)＝R2，②由①②得a＝2eq\r(3)，h＝2，所以三棱柱的體積為V＝eq\f(\r(3),4)×(2eq\r(3))2×2＝6eq\r(3).9．若圓錐的表面積是15π，側面展開圖的圓心角是60°，求圓錐的體積．解：設圓錐的底面半徑為r，母線為l，則2πr＝eq\f(π,3)l，得l＝6r.又S錐＝πr2＋πr·6r＝7πr2＝15π，得r＝eq\r(\f(15,7))，圓錐的高h＝eq\r(l2－r2)＝eq\r(36r2－r2)＝eq\r(35)r＝eq\r(35)×eq\r(\f(15,7))＝5eq\r(3)，圓錐的體積V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)π×eq\f(15,7)×5eq\r(3)＝eq\f(25\r(3),7)π.10．已知正三棱臺(上、下底面是正三角形，上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)的上、下底面邊長分別是2cm與4cm，側棱長是eq\r(6)cm，試求該幾何體的體積．解：如圖，O′，O分別是上、下底面的中心，連接OO′，O′B′，OB．在平面BOO′B′內作B′E⊥OB于點E.△A′B′C′是邊長為2的等邊三角形，O′是中心，所以O′B′＝eq\f(2,3)×2×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(2\r(3),3)(cm)．同理OB＝eq\f(4\r(3),3)cm，則BE＝OB－O′B′＝eq\f(2\r(3),3)(cm)．在Rt△B′EB中，BB′＝eq\r(6)cm，BE＝eq\f(2\r(3),3)cm，所以B′E＝eq\f(\r(42),3)cm，即棱臺高為eq\f(\r(42),3)cm，所以三棱臺的體積V＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(42),3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),4)×16＋\f(\r(3),4)×4＋\r(\f(\r(3),4)×16×\f(\r(3),4)×4)))＝eq\f(7\r(14),3)(cm3)．B組新高考培優(yōu)練11．(2020·全國卷Ⅰ)已知A，B，C為球O的球面上的三個點，⊙O1為△ABC的外接圓．若⊙O1的面積為4π，AB＝BC＝AC＝OO1，則球O的表面積為()A．64π B．48πC．36π D．32πA解析：設圓O1的半徑為r，球的半徑為R.依題意，得πr2＝4π，所以r＝2.由正弦定理可得AB＝2rsin60°＝2eq\r(3)，所以OO1＝AB＝2eq\r(3).根據圓截面性質OO1⊥平面ABC，所以OO1⊥O1A，R＝OA＝eq\r(OO\o\al(2,1)＋O1A2)＝eq\r(OO\o\al(2,1)＋r2)＝4，所以球O的表面積S＝4πR2＝64π.12．《算術書》竹簡于二十世紀八十年代在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國現存最早的有系統(tǒng)的數學典著，其中記載有求“囷蓋”的術：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一．該術相當于給出圓錐的底面周長l與高h，計算其體積V的近似公式V＝eq\f(1,36)l2h，它實際上是將圓錐體積公式中的圓周率π近似取3，那么，近似公式V≈eq\f(25,942)l2h相當于將圓錐體積公式中的π近似取()A．eq\f(22,7) B．eq\f(25,8)C．eq\f(157,50) D．eq\f(355,113)C解析：V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,2π)))eq\s\up12(2)h＝eq\f(1,12π)l2h.由eq\f(1,12π)≈eq\f(25,942)，得π≈eq\f(157,50).故選C．13．有一塊多邊形的菜地，它的水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形(如圖所示)，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，則這塊菜地的面積為________．2＋eq\f(\r(2),2)解析：如圖1，在直觀圖中，過點A作AE⊥BC，垂足為點E.圖1圖2在Rt△ABE中，AB＝1，∠ABE＝45°，所以BE＝eq\f(\r(2),2).又四邊形AECD為矩形，AD＝1，所以EC＝AD＝1，所以BC＝BE＋EC＝eq\f(\r(2),2)＋1.由此可還原原圖形如圖2.在原圖形中，A′D′＝1，A′B′＝2，B′C′＝eq\f(\r(2),2)＋1，且A′D′∥B′C′，A′B′⊥B′C′，所以這塊菜地的面積S＝eq\f(1,2)(A′D′＋B′C′)·A′B′＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋1＋\f(\r(2),2)))×2＝2＋eq\f(\r(2),2).14．某同學在參加《通用技術》實踐課時，制作了一個實心工藝品(如圖所示)．該工藝品可以看成是一個球體被一個棱長為8的正方體的6個面所截后剩余的部分(球心與正方體的中心重合)．若其中一個截面圓的周長為6π，則該球的半徑為________．現給出定義：球面被平面所截得的一部分叫做球冠．截得的圓叫做球冠的底，垂直于截面的直徑被截得的一段叫做球冠的高．如果球面的半徑是R，球冠的高是h，那么球冠的表面積計算公式是S＝2πRh.由此可知，該實心工藝品的表面積是________．594π解析：設截面圓半徑為r，球的半徑為R，則球心到某一截面的距離為正方體棱長的一半，即此距離為4.根據截面圓的周長可得6π＝2πr，得r＝3.故R2＝32＋42＝25，得R＝5.如圖，OA＝OB＝R＝5，且OO1＝4，則球冠的高h＝R－OO1＝1.所截的一個球冠表面積S＝2πRh＝2π×5×1＝10π，且截面圓面積為π×32＝9π.所以工藝品的表面積S′＝4πR2－6(S－9π)＝100π－6π＝94π.15．已知過球面上A，B，C三點的截面和球心的距離等于球半徑的一半，且AB＝18，BC＝24，AC＝30，求球的表面積和體積．解：因為AB∶BC∶AC＝18∶24∶30＝3∶4∶5，所以△ABC是直角三角形，∠B＝90°.又球心O在截面△ABC的投影O′為截面圓的圓心，也即是Rt△ABC的外接圓的圓心，所以斜邊AC為截面圓O′的直