數(shù)學(xué)學(xué)案：第三章獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精3。2獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)重點(diǎn)、難點(diǎn)1.能用等高條形圖反映兩個(gè)分類變量之間是否有關(guān)系．2．能夠根據(jù)條件列出列聯(lián)表并會(huì)由公式求K2.3．能知道獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想和方法.重點(diǎn):能夠根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)列出列聯(lián)表及求K2.難點(diǎn):獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想和方法。1．分類變量變量的不同“值”表示個(gè)體所屬的________，像這樣的變量稱為_(kāi)_____．2．2×2列聯(lián)表一般地,假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和Y，它們的取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為2×2列聯(lián)表)為：2×2列聯(lián)表y1y2總計(jì)x1aba＋bx2cdc＋d總計(jì)a＋cb＋da＋b＋c＋d預(yù)習(xí)交流1下面是2×2列聯(lián)表:y1y2總計(jì)x1a2173x222527總計(jì)b46則表中a,b的值分別為（)．A．94,96B．52,50 C．52，54 D．54，3．等高條形圖(1)等高條形圖與表格相比，更能直觀地反映出兩個(gè)分類變量間是否________，常用等高條形圖展示列聯(lián)表數(shù)據(jù)的________．(2)觀察等高條形圖發(fā)現(xiàn)____和______相差很大，就判斷兩個(gè)分類變量之間有關(guān)系．4．獨(dú)立性檢驗(yàn)(1)定義：利用隨機(jī)變量K2來(lái)判斷“兩個(gè)分類變量有關(guān)系"的方法稱為獨(dú)立性檢驗(yàn)．（2）公式K2＝__________________.其中n＝a＋b＋c＋d為樣本容量．預(yù)習(xí)交流2（1)怎樣理解獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想？(2）在研究吸煙與患肺癌的關(guān)系中，通過(guò)收集數(shù)據(jù)、整理分析數(shù)據(jù)得“吸煙與患肺癌有關(guān)”的結(jié)論,并且有99%以上的把握認(rèn)為這個(gè)結(jié)論是成立的．下列說(shuō)法中正確的是（）．A．100個(gè)吸煙者中至少有99人患肺癌B．1個(gè)人吸煙，那么這個(gè)人至少有99％的概率患有肺癌C．在100個(gè)吸煙者中一定有患肺癌的人D．在100個(gè)吸煙者中可能一個(gè)患肺癌的人也沒(méi)有答案：1．不同類別分類變量預(yù)習(xí)交流1：提示：C3．(1）相互影響頻率特征（2）eq\f(a,a＋b）eq\f(c，c＋d)4．（2）eq\f(nad－bc2，a＋bc＋da＋cb＋d)預(yù)習(xí)交流2：(1）提示:獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想類似于反證法，要判斷“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”，首先假設(shè)結(jié)論不成立，即H0：兩個(gè)分類變量沒(méi)有關(guān)系成立．在該假設(shè)下構(gòu)造的隨機(jī)變量K2應(yīng)該很?。绻捎^測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算得到的K2的觀測(cè)值k很大,則斷言H0不成立，即認(rèn)為“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”；如果觀測(cè)值k很小，則說(shuō)明在樣本數(shù)據(jù)中沒(méi)有發(fā)現(xiàn)足夠證據(jù)拒絕H0.（2）提示：D在預(yù)習(xí)中，還有哪些問(wèn)題需要你在聽(tīng)課時(shí)加以關(guān)注？請(qǐng)?jiān)谙铝斜砀裰凶鰝€(gè)備忘吧！我的學(xué)困點(diǎn)我的學(xué)疑點(diǎn)一、用列聯(lián)表和等高條形圖分析兩變量間的關(guān)系某生產(chǎn)線上，質(zhì)量監(jiān)督員甲在生產(chǎn)現(xiàn)場(chǎng)時(shí)，990件產(chǎn)品中有合格品982件，次品8件；不在生產(chǎn)現(xiàn)場(chǎng)時(shí)，510件產(chǎn)品中有合格品493件，次品17件．試?yán)脠D、表判斷監(jiān)督員甲在不在生產(chǎn)現(xiàn)場(chǎng)對(duì)產(chǎn)品質(zhì)量好壞有無(wú)影響．思路分析：由題目所給數(shù)據(jù)列出列聯(lián)表并畫(huà)出相應(yīng)的等高條形圖，直觀判斷兩個(gè)分類變量之間的關(guān)系．某學(xué)校對(duì)高三學(xué)生作了一項(xiàng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：在平時(shí)的模擬考試中，性格內(nèi)向的學(xué)生426人中有332人在考前心情緊張,性格外向的學(xué)生594人中有213人在考前心情緊張，作出等高條形圖，利用圖形判斷考前心情緊張與性格類別是否有關(guān)系．（1）利用列聯(lián)表直接計(jì)算eq\f(a,a＋b）和eq\f(c，c＋d)，如果兩者相差很大，就判斷兩個(gè)分類變量之間有關(guān)系．(2）在等高條形圖中展示列聯(lián)表數(shù)據(jù)的頻率特征,比較圖中兩個(gè)深色條的高可以發(fā)現(xiàn)兩者頻率不一樣而得出結(jié)論，這種直觀判斷的不足之處在于不能給出推斷“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”犯錯(cuò)誤的概率．二、獨(dú)立性檢驗(yàn)與應(yīng)用為調(diào)查某地區(qū)老年人是否需要志愿者提供幫助，用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法從該地區(qū)調(diào)查了500位老年人，結(jié)果如下:男女需要4030不需要160270（1)估計(jì)該地區(qū)老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例；（2）能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0。01的前提下認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)？附:P（K2≥k)0.0500。0100.001k3.8416。63510.828K2＝eq\f(nad－bc2，a＋bc＋da＋cb＋d）思路分析：(1)求出老年人需要幫助的共有多少人，再求比值．(2）利用公式計(jì)算出K2，再進(jìn)行判斷．某大型企業(yè)人力資源部為了研究企業(yè)員工工作積極性和對(duì)待企業(yè)改革態(tài)度的關(guān)系，經(jīng)過(guò)調(diào)查得到如下列聯(lián)表:積極支持企業(yè)改革不太支持企業(yè)改革總計(jì)工作積極544094工作一般326395總計(jì)86103189根據(jù)列聯(lián)表的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.005的前提下認(rèn)為工作態(tài)度與支持企業(yè)改革之間有關(guān)系？進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)時(shí),首先要根據(jù)題意列出兩個(gè)分類變量的列聯(lián)表，然后代入公式計(jì)算隨機(jī)變量K2的觀測(cè)值k，再對(duì)照相應(yīng)的臨界值給出結(jié)論，以決定兩個(gè)變量是否有關(guān)，還是在犯錯(cuò)誤概率不超過(guò)多少的前提下有關(guān)系．答案：活動(dòng)與探究1：解：根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)得如下2×2列聯(lián)表：合格品數(shù)次品數(shù)總計(jì)甲在生產(chǎn)現(xiàn)場(chǎng)9828990甲不在生產(chǎn)現(xiàn)場(chǎng)49317510總計(jì)1475251500∴ad－bc＝982×17－8×493＝12750，∴ad－bc比較大，說(shuō)明甲不在生產(chǎn)現(xiàn)場(chǎng)與產(chǎn)品質(zhì)量好壞有關(guān)系．相應(yīng)的等高條形圖如圖所示．圖中兩個(gè)深色條的高分別表示甲在生產(chǎn)現(xiàn)場(chǎng)和甲不在生產(chǎn)現(xiàn)場(chǎng)樣本中次品數(shù)的頻率．從圖中可以看出，甲不在生產(chǎn)現(xiàn)場(chǎng)樣本中次品數(shù)的頻率明顯高于甲在生產(chǎn)現(xiàn)場(chǎng)樣本中次品數(shù)的頻率．因此可以認(rèn)為質(zhì)量監(jiān)督員甲在不在生產(chǎn)現(xiàn)場(chǎng)與產(chǎn)品質(zhì)量好壞有關(guān)系．遷移與應(yīng)用：解：作列聯(lián)表如下：性格內(nèi)向性格外向總計(jì)考前心情緊張332213545考前心情不緊張94381475總計(jì)4265941020∴ad－bc＝332×381－213×94＝106470.∴ad－bc比較大，說(shuō)明考前緊張與性格類型有關(guān)．圖中陰影部分表示考前心情緊張與考前心情不緊張中性格內(nèi)向的比例,從圖中可以看出考前緊張的樣本中性格內(nèi)向占的比例比考前心情不緊張樣本中性格內(nèi)向占的比例高,可以認(rèn)為考前緊張與性格類型有關(guān)．活動(dòng)與探究2：解:（1）調(diào)查的500位老年人中有70位需要志愿者提供幫助，因此該地區(qū)老年人中，需要幫助的老年人的比例的估計(jì)值為eq\f（70，500)＝14%.（2)由列聯(lián)表中數(shù)據(jù),得K2觀測(cè)值為k＝eq\f(500×40×270－30×1602,200×300×70×430）≈9。967。由于9.967＞6.635,所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要幫助與性別有關(guān)．遷移與應(yīng)用：解:由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得K2的觀測(cè)值為k＝eq\f（189×54×63－40×322,94×95×86×103）≈10.759＞7.879,因此，在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.005的前提下，認(rèn)為工作態(tài)度與支持企業(yè)改革之間有關(guān)系．1．觀察下列各圖,其中兩個(gè)分類變量x，y之間關(guān)系最強(qiáng)的是(）．2．為調(diào)查中學(xué)生近視情況，某校男生150名中有80名近視,女生140名中有70名近視，在檢驗(yàn)這些中學(xué)生眼睛近視是否與性別有關(guān)時(shí)用什么方法最有說(shuō)服力（)．A．平均數(shù) B．方差 C．獨(dú)立性檢驗(yàn) D．概率3．某工廠為了調(diào)查工人文化程度與月收入的關(guān)系，隨機(jī)抽取了部分工人，得到如下列聯(lián)表:文化程度與月收入列聯(lián)表（單位：人）月收入2000元以下月收入2000元及以上總計(jì)高中文化以上104555高中文化及以下203050總計(jì)3075105由上表中數(shù)據(jù)計(jì)算得K2的觀測(cè)值k＝eq\f(105×10×30－20×452,55×50×30×75)≈6。109,請(qǐng)估計(jì)有多大把握認(rèn)為“文化程度與月收入有關(guān)系”（）．A．1％B．99％C．2。5％D．97。5％4．某班主任對(duì)全班50名學(xué)生作了一次調(diào)查，所得數(shù)據(jù)如表:認(rèn)為作業(yè)多認(rèn)為作業(yè)不多總計(jì)喜歡玩電腦游戲18927不喜歡玩電腦游戲81523總計(jì)262450由表中數(shù)據(jù)計(jì)算得到K2的觀測(cè)值k≈5。059,于是______（填“能”或“不能”）在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為喜歡玩電腦游戲與認(rèn)為作業(yè)多有關(guān)．5．某醫(yī)療研究所為了檢驗(yàn)?zāi)撤N血清預(yù)防感冒的作用，把500名使用血清的人與另外500名未使用血清的人一年中的感冒記錄作比較，提出假設(shè)H0：“這種血清不能起到預(yù)防感冒的作用"，利用2×2列聯(lián)表計(jì)算得K2≈3.918，經(jīng)查臨界值表知P(K2≥3。841）≈0.05。則下列結(jié)論中，正確結(jié)論的序號(hào)是______．①有95%的把握認(rèn)為“這種血清能起到預(yù)防感冒的作用”；②若某人未使用該血清,那么他在一年中有95%的可能性得感冒；③這種血清預(yù)防感冒的有效率為95％；④這種血清預(yù)防感冒的有效率為5％。答案：1．D解析:在四幅圖中，D圖中的兩個(gè)深色條的高相差最明顯，說(shuō)明兩個(gè)分類變量之間關(guān)系最強(qiáng)．2．C3．D解析：由于6。109＞5.024，故在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0。025的前提下，即有97。5％的把握認(rèn)為“文化程度與月收入有關(guān)系”．4．不能解析:查表知若要在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0。01的前提下認(rèn)為喜歡玩電腦游戲與認(rèn)為作業(yè)多有關(guān)，則臨界值k0＝6。635。本題中,k≈5。059＜6。635,所以