專題02 勾股定理中的翻折模型（原卷版）

專題02.勾股定理中的翻折模型翻折問題屬于圖形變換中的實際問題，也是近些年中考試卷出題老師青睞的題型。在解決翻折問題的有關(guān)的題目中，要注意隱含的已知條件比較多。比如翻折前后的圖形全等，這樣就好出現(xiàn)相等的線段和相等的角；因為大部分翻折問題是對矩形進行翻折，所以翻折后由于線段交錯，出現(xiàn)的直角三角形也引起注意；因為翻折問題本身是軸對稱的問題，所以翻折前后對應(yīng)點所連線段會被折痕所在直線垂直平分；折痕還會平分翻折所形成的的兩個角?？傊蹎栴}并不復(fù)雜，只要要把隱含已知條件熟記于心，再結(jié)合其他有關(guān)知識就能讓此類問題迎刃而解了?！局R儲備】勾股定理在有關(guān)圖形折疊計算的問題中的共同方法是：在圖形中找到一個直角三角形，然后設(shè)圖形中某一未知數(shù)為x，將此三角形中的三邊長用具體數(shù)或含x的代數(shù)式表示，再利用勾股定理列出方程，從而得出要求的線段的長度。模型1.折痕過對角線模型【模型解讀】沿著矩形的對角線所在直線進行翻折。已知矩形ABCD中，以對角線AC為折痕，折疊ABC，點B的對應(yīng)點為B’.結(jié)論1：≌；結(jié)論2：折痕AC垂直平方BB’；結(jié)論3：AEC是等腰三角形。例1．（2023·成都市八年級課時練習）如圖，在矩形ABCD中，，將△ABD沿對角線BD對折，得到△EBD，DE與BC交于F，，則（

）A． B．3 C． D．6例2．（2022春·福建泉州·八年級?？计谥校┤鐖D，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，將矩形沿對角線AC折疊，點D落在處．(1)求CF的長；(2)求重疊部分△AFC的面積．例3．（2023·貴州黔東南·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，矩形的邊在軸上，邊在軸上，點的坐標為.將矩形沿對角線翻折，點落在點的位置，且交軸于點，那么點的坐標為.模型2.折痕過一頂點模型【模型解讀】沿著矩形的一個頂點和一邊上的點的線段所在直線進行翻折。已知矩形ABCD中，以AE為折痕，點B的對應(yīng)點為B’.折在矩形內(nèi)結(jié)論1：≌；結(jié)論2：折痕AC垂直平方BB’。折在矩形邊上結(jié)論1：≌；結(jié)論2：折痕AC垂直平方BB’。折在矩形外結(jié)論1：四邊形≌四邊形；結(jié)論2：折痕AC垂直平方BB’；結(jié)論3：AEF是等腰三角形。例1．（2023·浙江寧波·八年級?？计谀┤鐖D，矩形紙片中，，，折疊紙片使的對應(yīng)點落在對角線上，折痕為，則的長為______．例2．（2022·山東德州·八年級統(tǒng)考期末）如圖將矩形沿直線折疊，頂點D恰好落在邊上F處，已知，，則______．例3．（2023春·成都市·八年級專題練習）如圖，在矩形中，是的中點，將沿折疊后得到，延長交于點點，若，，則的長為______．例4．（2023·廣東·八年級專題練習）如圖，矩形中，點、在上，將，分別沿著，翻折，點的對應(yīng)點和點的對應(yīng)點恰好重合在點處，則的值是（

）A． B． C． D．例5．（2023·江西撫州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在矩形中，，，點在矩形的邊上由點向點運動.沿直線翻折，形成如下四種情形，設(shè)，和矩形重疊部分（陰影）的面積為.（1）如圖4，當點運動到與點重合時，求重疊部分的面積；（2）如圖2，當點運動到何處時，翻折后，點恰好落在邊上？這時重疊部分的面積等于多少？模型3.折痕任意兩點模型【模型解讀】沿著矩形邊上的任意兩點所在直線進行翻折。已知矩形ABCD中，以E，F(xiàn)為折痕，點B的對應(yīng)點為B’，點C的對應(yīng)點為C’.折在矩形內(nèi)結(jié)論1：≌；結(jié)論2：折痕EF垂直平方BB’。折在矩形邊上結(jié)論1：四邊形≌四邊形；結(jié)論2：折痕AC垂直平方BB’。折在矩形外結(jié)論1：四邊形≌四邊形；結(jié)論2：折痕AC垂直平方BB’；結(jié)論3：GC’F是直角三角形。例1．（2022春·河南駐馬店·八年級?？计谥校┤鐖D，在長方形紙片中，，，，點E是的中點，點F是邊上的一個動點，將沿所在直線翻折，得到，連接，則當是直角三角形時，的長是．例2．（2022·成都市八年級月考）如圖，將矩形紙片ABCD沿EF折疊，使D點與BC邊的中點D′重合．若BC=8，CD=6，則CF的長為_________________．例3．（2022秋·重慶沙坪壩·八年級校考期中）如圖所示，四邊形是一張長方形紙片，將該紙片沿著翻折，頂點B與頂點D重合，點A的對應(yīng)點為點，若，，則的面積為_________．例4．（2023春·廣西南寧·八年級統(tǒng)考期中）如圖，將矩形ABCD沿EF折疊，使頂點C恰好落在AB邊的中點C′上．若AB=6，BC=9，則BF的長為_______例5．（2022·上海楊浦·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在矩形中，，，點E在邊上，點A、D關(guān)于直線的對稱點分別是點M、N．如果直線恰好經(jīng)過點C，那么的長是__________．模型4.過一個頂點所在直線（落點在一邊上）翻折模型【模型解讀】1）沿過點A的直線翻折使得點B的對應(yīng)點為B’落在斜邊AC上，折痕為AD；2）沿過點C的直線翻折使得點B的對應(yīng)點為B’落在斜邊AC上，折痕為CD；3）沿過點B的直線翻折使得點A的對應(yīng)點為E落在BC邊上，折痕為BD。例1．（2023春·廣東陽江·八年級統(tǒng)考期中）如圖，中，，，．(1)的長為．(2)把沿著直線翻折，使得點C落在邊上E處，求的長．例2．（2023秋·重慶·八年級專題練習）如圖，在中，，，，為的平分線，將沿向上翻折得到，使點在射線上，則的長為（

）

A． B． C． D．例3．（2023秋·上海靜安·八年級?？计谀┤鐖D，在中，，，為邊上一點，將沿著直線翻折，點恰好落在邊上的點處，連接．如果，那么的長為．模型5.過斜邊中點所在直線翻折模型【模型解讀】1）沿直線MN（N為斜邊中點）翻折使得點A與點C重合；2）沿中線BE翻折，使得點A落在點F處，連結(jié)AF，F(xiàn)C，AF與BE交于點O.3）沿中線BE翻折，使得點C落在點D處，連結(jié)AD，CD.例1．（2023秋·廣東·八年級專題練習）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，將△ADE沿DE翻折，使點A與點B重合，則AE的長為（

）A． B．3 C． D．例2．（2023春·廣西·八年級專題練習）已知，如圖，在中，是上的中線，如果將沿翻折后，點的對應(yīng)點，那么的長為__________．例3．（2023秋·上海徐匯·八年級校聯(lián)考期末）如圖，點是的邊的中點，將沿直線翻折能與重合，若，，，則點到直線的距離為_______模型6.過任意兩點所在直線（落在其中一邊）翻折模型【模型解讀】1）沿直線MN翻折，使得點C落在點D處，連結(jié)CD.2）沿直線DE翻折使得點C與邊AB上的點F重合；例1．（2022·河南·八年級期末）如圖，中，，M，N分別是邊上的兩個動點．將沿直線折疊，使得點A的對應(yīng)點D落在邊的三等分點處，則線段的長為（

）A．3 B． C．3或 D．3或例2．（2022·重慶市七年級期中）如圖，在中，，點D，E分別在邊，上，且，將沿折疊，點C恰好落在邊上的F點，若，，，則的長為______．模型7其他三角形翻折模型例1．（2022·成都西川中學八年級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，點E是AB邊上一點．將△CEB沿直線CE折疊到△CEF，使點B與點F重合．當CF⊥AB時，線段EB的長為_____．例2．（2022·內(nèi)江九年級期中）如圖，在RtABC的紙片中，∠C＝90°，AC＝7，AB＝25．點D在邊BC上，以AD為折痕將ADB折疊得到，與邊BC交于點E．若為直角三角形，則BD的長是_____．例3．（2023春·北京·八年級?？茧A段練習）如圖，在△ABC中，AB＝BC＝5，AC＝，D是BC上一點，連接AD．把△ACD沿AD翻折得到△ADE，且DE⊥AB于點F，連接BE，則點E到BC的距離為（）A． B．3 C．2 D．例4．（2023·陜西西安·八年級?？计谥校┤鐖D，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝2，AB＝2，D、E分別是AB和BC上的點，若把△BDE沿DE翻折，B的對應(yīng)點恰好落在AC的中點處，則BD的長是．例5．（2023秋·廣東揭陽·八年級?？茧A段練習）如圖，在Rt△ABC中，，,，點E在線段AC上，D是線段BC上的一點，連接DE，將四邊形ABDE沿直線DE翻折，得到四邊形FGDE，當點G恰好落在線段AC上時，，則．例6．（2023春·四川達州·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在中，，，，將邊沿翻折，使點落在邊上的點處；再將邊沿翻折，使點落在的延長線上的點處，兩條折痕與斜邊分別交于點、，則的長為．課后專項訓練1．（2023·河北保定·八年級校考期末）如圖，已知中，，將它的銳角翻折，使得點落在邊的中點處，折痕交邊于點，交邊于點，則的值為（

）A． B． C． D．2．（2023春·重慶渝北·八年級校考階段練習）如圖，已知直角三角形，點D是邊上一點，連接，把沿著翻折，得到，連接交于點F．若，，則點E到的距離為（）A． B． C． D．3．（2023·遼寧沈陽·八年級?？计谥校┤鐖D，長方形ABCD中，，，P為AD上一點，將沿BP翻折至，PE與CD相交于點O，且，則AP的長為（

）A．4.8 B．4.6 C．5 D．4.54．（2023·山東菏澤·統(tǒng)考三模）如圖，將矩形ABCD沿EF翻折，使B點恰好與D點重合，已知AD＝8，CD＝4，則折痕EF的長為（

）A．4 B．5 C． D．5．（2023·廣東·八年級期末）如圖，在矩形中，，，先將矩形沿著直線翻折，使點落在邊上的點處，再將沿著直線翻折，點恰好落在邊上的點處，則線段的長為()A． B． C． D．6．（2023·浙江杭州·模擬預(yù)測）如圖，在矩形紙片中，，將矩形紙片翻折，使點C恰好落在對角線交點O處，折痕為，點E在邊上，則的長為（

）A． B． C． D．7．（2023·甘肅慶陽·九年級校考階段練習）如圖，把矩形紙片ABCD沿EF翻折，點A恰好落在BC的處，若，，，則四邊形的面積是（

）A． B． C． D．8．（2023·山東濟南·七年級期末）如圖，折疊直角三角形紙片，使得點與點重合，折痕為．若，，則的長是______．9．（2023春·重慶九龍坡·八年級校考期中）如圖，在中，，，，點D在邊上，連接．將沿翻折后得到，若，則線段的長為______．10．（2023春·北京東城·八年級?？计谥校┤鐖D，在長方形中，E為上一點，將沿翻折，點D恰好落在邊上的點F處．若，則的長為____________．11．（2023·湖北十堰·八年級統(tǒng)考期中）如圖，將一塊長方形紙片沿翻折后，點C與E重合，交于點H，若，，則的長度為．12．（2023春·浙江·八年級專題練習）綜合實踐課上，小聰用一張長方形紙ABCD對不同折法下的折痕進行了探究，已知AB＝12，∠CAB＝30°，點E，F(xiàn)分別在AB，CD上，且AE＝5，（1）把長方形紙片沿著直線EF翻折，使點A的對應(yīng)點A′恰好落在對角線AC上，點D的對應(yīng)點為D′，如圖①，則折痕EF長為；（2）在EF，A′D′上取點G，H，沿著直線GH繼續(xù)翻折，使點E與點F重合，如圖②，則折痕GH長為．13．（2022春·遼寧葫蘆島·八年級統(tǒng)考期末）在矩形中，，，點E在邊上，連接，將沿翻折，得到，交于點F，連接．若點F為的中點，則的長度為．14．（2022·河南駐馬店·統(tǒng)考三模）如圖，在矩形ABCD中，，，點E是AB邊上的動點（不與點A，B重合），連接CE，將沿直線CE翻折得到，連接．當點落在邊AD上，且點恰好是AD的三等分點時，的周長為．15．（2023春·重慶南岸·九年級校聯(lián)考）如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=5，點E，F(xiàn)分別為邊AB與BC上兩點，連接EF，將△BEF沿著EF翻折，使得B點落在AC邊上的D處，AD=2，則EO的值為．16．（2023·上海松江·八年級期末）如圖，長方形ABCD中，BC=5，AB=3，點E在邊BC上，將△DCE沿著DE翻折后，點C落在線段AE上的點F處，那么CE的長度是________．17．（2023·四川達州·八年級?？计谀┤鐖D所示，有一塊直角三角形紙片，，，將斜邊翻折使點B落在直角邊的延長線上的點E處，折痕為，則的長為18．（2022秋·山東濟南·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝5，將此三角形沿DE翻折，使得點A與點B重合，則AE長為．19．（2023春·湖南長沙·八年級?？计谥校┤鐖D、將長方形沿對角線翻折，點B落在點F處，交于E．(1)求證：是等腰三角形；(2)若，，求圖中的面積．21．（2022秋·福建漳州·八年級期末）在長方形ABCD中，AB＝8，BC＝10，P是邊AD上一點，將△ABP沿著直線BP翻折得到△A'BP．(1)如圖1，當A'在BC上時，連接AA'，求AA'的長；(2)如圖2，當AP＝6時，連接A'D，求A'D的長．22．（2023秋·山東濟南·九年級統(tǒng)考開學考試）在學完矩形的性質(zhì)后，老師組織同學們利用矩形的折疊開展數(shù)學活動．小亮發(fā)現(xiàn)矩形折疊后，會出現(xiàn)全等的圖形；小穎發(fā)現(xiàn)矩形折疊后會得到直角三角形，請利用同學們的發(fā)現(xiàn)解決下列問題．(1)如圖1，矩形，，，將延對角線翻折得到，點的對應(yīng)點為點，與