專題10 相似三角形中的基本模型-半角模型（解析版）

專題10相似三角形中的基本模型--半角模型相似三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位。相似三角形與其它知識(shí)點(diǎn)結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，難度大，是中考的常考題型。如果大家平時(shí)注重解題方法，熟練掌握基本解題模型，再遇到該類問(wèn)題就信心更足了。本專題就半角模型進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。模型1.半角模型（相似模型）【常見(jiàn)模型及結(jié)論】1）半角模型（正方形中的半角相似模型）條件：已知，如圖，在正方形ABCD中，∠EAF的兩邊分別交BC、CD邊于M、N兩點(diǎn)，且∠EAF＝45°結(jié)論：如圖1，△AMN∽△AFE且．（思路提示：∠ANM=∠AEF，∠AMN=∠AFE）；圖1圖2結(jié)論：如圖2，△MAN∽△MDA，△NAM∽△NBA；結(jié)論：如圖3，連接AC，則△AMB∽△AFC，△AND∽△AEC．且；圖3圖4結(jié)論：如圖4，△BME∽△AMN∽△DFN.2）半角模型（特殊三角形中的半角相似模型）（1）含45°半角模型圖1圖2條件：如圖1，已知∠BAC＝90°，；結(jié)論：①△ABE∽△DAE∽△DCA；②；③（）（2）含60°半角模型條件：如圖1，已知∠BAC＝120°，；結(jié)論：①△ABD∽△CAE∽△CBA；②；③（）例1．（2023·山東濟(jì)南·九年級(jí)期中）如圖，在正方形中，點(diǎn)E、F分別是、邊上的兩點(diǎn)，且，、分別交于M，N．下列結(jié)論：①；②平分；③；④．其中正確的結(jié)論是（

）A．①②③④ B．①②③ C．①③ D．①②【答案】A【分析】①轉(zhuǎn)證AB:BN=DM:AB，因?yàn)锳B=AD，所以即證AB:BN=DM:AD．證明△ABN∽△MDA；②把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得△ADH證明△AFH≌△AFE（SAS)；③即證AM:AN=AF:AE，證明△AMN∽△AFE(兩角相等)；④由②得BE十DF=EF，當(dāng)E點(diǎn)與B點(diǎn)重合、F與C重合時(shí)，根據(jù)正方形的性質(zhì)，結(jié)論成立．【詳解】①∠BAN=∠BAM+∠MAN=∠BAM+45°，∠AMD=∠ABM+∠BAM=45°+∠BAM，∠BAN=∠AMD．又∠ABN=∠ADM=45°，△ABN∽△MDA，AB:BN＝DM:AD，AD=AB，．故①正確；②如圖，把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ADH，∠BAD=90°，∠EAF=45°，∠BAE+∠DAF=45°．∠EAF=∠HAF，AE=AH，AF=AF，△AEF≌△AHF，∠AFH=∠AFE，即AF平分∠DFE，故②正確；③AB∥CD，∠DFA=∠BAN，∠AFE=∠AFD，∠BAN=∠AMD，∠AFE=∠AMN，又∠MAN=∠FAE，△AMN∽△AFE，AM:AF=AN:AE，即AM·AE=AN·AF，故③正確；④由②得BE+DF=DH+DF=FH=FE，過(guò)A作AO⊥BD，作AG⊥EF，則△AFE與△AMN的相似比就是AG:AO，易證△ADF≌△AGF（AAS)，則可知，從而得證，故④正確，故選：A

．【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)、相似（包括全等)三角形的判定和性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，綜合性極強(qiáng)，難度較大．例2．（2023·山東濱州·統(tǒng)考中考模擬）如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，若AE=，∠EAF=45°，則AF的長(zhǎng)為．【答案】【分析】取AB的中點(diǎn)M，連接ME，在AD上截取ND=DF，設(shè)DF=DN=x，則NF=x，再利用矩形的性質(zhì)和已知條件證明△AME∽△FNA，利用相似三角形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)邊的比值相等可求出x的值，在直角三角形ADF中利用勾股定理即可求出AF的長(zhǎng)．【詳解】解：取AB的中點(diǎn)M，連接ME，在AD上截取ND=DF，設(shè)DF=DN=x，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D=∠BAD=∠B=90°，AD=BC=4，∴NF=x，AN=4﹣x，∵AB=2，∴AM=BM=1，∵AE=，AB=2，∴BE=1，∴ME=，∵∠EAF=45°，∴∠MAE+∠NAF=45°，∵∠MAE+∠AEM=45°，∴∠MEA=∠NAF，∴△AME∽△FNA，∴，∴，解得：x=∴AF=故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判斷和性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用，正確添加輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．例3．（2023·福建龍巖·統(tǒng)考一模）如圖，,,，如果，則的長(zhǎng)是(

)．A． B． C． D．【答案】C【詳解】分析：由于△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，設(shè)DE=x，則AB=7+x，可以得出△ACE∽△CDE∽△BDC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，列出關(guān)于x方程，解出x，再計(jì)算BC的長(zhǎng)．詳解：設(shè)DE=x，則AB=7+x．∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠DCE=∠CAE=∠DBC=45°∴△ACE∽△CDE∽△BDC，設(shè)CD=a，CE=b，則有以下等式：

x：b=b：3+x，x：a=a：4+x，x：a=b：AC，整理得：b2=x（x+3），a2=x（x+4），x?AC=ab，x2（x+3）（x+4）=a2b2=x2?AC2=，解得：x=5；∴AB=12，∴AC=BC=6．故選C．點(diǎn)睛：本題主要考查了三角形相似的性質(zhì)和判定、等腰直角三角形的性質(zhì)，以及列方程求解的能力．例4．（2023·廣東·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，中，，，點(diǎn)為邊上的點(diǎn)，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，且，，，則的長(zhǎng)為．【答案】【分析】利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)及圖形的相似可求DE的長(zhǎng)．【詳解】解：如圖，作于，作于．中，，．∴．在中，．，．．．．．．．．．，即．．由勾股定理得：．．．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查含30°角的直角三角形的性質(zhì)及相似三角形的判定，作輔助線構(gòu)造直角三角形是求解本題的關(guān)鍵．例5．（2023·遼寧沈陽(yáng)·統(tǒng)考二模）在菱形中，．點(diǎn)，分別在邊，上，且．連接，．（1）如圖1，連接，求證：是等邊三角形；（2）平分交于點(diǎn)．①如圖2，交于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．②如圖3，是的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)，點(diǎn)不重合）．當(dāng)，時(shí)，是否存在直線將分成三角形和四邊形兩部分，其中三角形的面積與四邊形的面積比為1∶3．若存在，請(qǐng)直接寫出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）①；②或【分析】（1）證，根據(jù)有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形證明即可；（2）①連接，證，列出比例式，根據(jù)相似比即可求解；②分點(diǎn)H為AG中點(diǎn)和點(diǎn)N為EC中點(diǎn)兩種情況，根據(jù)相似比，求出比值即可．【詳解】解：（1）四邊形是菱形，，∵，∴△ABC是等邊三角形，∴，，，；，，，是等邊三角形；（2）①連接，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，，由（1）知，是等邊三角形，，平分，，，，即，，，②如圖，當(dāng)點(diǎn)H為AG中點(diǎn)時(shí)，即；∵是的中點(diǎn)，∴OH∥EC，∴△AMO∽△AEC,∵，∴，即；同理，如圖所示，當(dāng)點(diǎn)N為EC中點(diǎn)時(shí)，ON∥AE，；連接FG，作FP⊥BC，交BC延長(zhǎng)線與點(diǎn)P，∵，，∴,∵CD∥AB，∴∠B=∠DCP=60°，∴∠CFP=30°，∴CP=2，，∵AE=AF，AG=AG，∠EAG=∠FAG，∴△EAG≌△FAG，∴EG=FG，設(shè)EG=x,CG=8-x，PG=10-x，，解得，，∵EN=CN=4，；綜上，的值為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用相關(guān)幾何知識(shí)，構(gòu)建幾何模型證明相似或全等．例6．（2023山東九年級(jí)期中）如圖，正方形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)M，N分別是邊BC，CD上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C，D重合），AM，AN分別交BD于點(diǎn)E，F(xiàn)，且∠MAN始終保持45°不變．（1）求證：；（2）求證：AF⊥FM；（3）請(qǐng)?zhí)剿鳎涸凇螹AN的旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)∠BAM等于多少度時(shí)，∠FMN=∠BAM？寫出你的探索結(jié)論，并加以證明．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）∠BAM=22.5．【分析】（1）先證明A、B、M、F四點(diǎn)共圓，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)即可證明∠AFM=90°，根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)即可解決問(wèn)題．（2）由（1）的結(jié)論即可證明．（3）由：A．B、M、F四點(diǎn)共圓，推出∠BAM=∠EFM，因?yàn)椤螧AM=∠FMN，所以∠EFM=∠FMN，推出MN∥BD，得到，推出BM=DN，再證明△ABM≌△ADN即可解決問(wèn)題．【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABD=∠CBD=45°，∠ABC=90°，∵∠MAN=45°，∴∠MAF=∠MBE，∴A、B、M、F四點(diǎn)共圓，∴∠ABM+∠AFM=180°，∴∠AFM=90°，∴∠FAM=∠FMA=45°，∴AM=AF，∴．（2）由（1）可知∠AFM=90°，∴AF⊥FM．（3）結(jié)論：∠BAM=22.5時(shí)，∠FMN=∠BAM理由：∵A、B、M、F四點(diǎn)共圓，∴∠BAM=∠EFM，∵∠BAM=∠FMN，∴∠EFM=∠FMN，∴MN∥BD，∴，∵CB=DC，∴CM=CN，∴MB=DN，在△ABM和△ADN中，∵AB=AD，∠ABM=∠ADN，BM=DN，∴△ABM≌△ADN，∴∠BAM=∠DAN，∵∠MAN=45°，∴∠BAM+∠DAN=45°，∴∠BAM=22.5°．例7．（2022·廣東深圳·統(tǒng)考二模）【教材呈現(xiàn)】（1）如圖1，在同一平面內(nèi)，將兩個(gè)全等的等腰直角三角形和擺放在一起，點(diǎn)為公共頂點(diǎn)，，若固定不動(dòng)，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，邊，與邊分別交于點(diǎn)，（點(diǎn)不與點(diǎn)重合，點(diǎn)不與點(diǎn)重合），則結(jié)論是否成立______（填“成立”或“不成立”）；【類比引申】（2）如圖2，在正方形中，為內(nèi)的一個(gè)動(dòng)角，兩邊分別與，交于點(diǎn)，，且滿足，求證：；【拓展延伸】（3）如圖3，菱形的邊長(zhǎng)為，，的兩邊分別與，相交于點(diǎn)，，且滿足，若，則線段的長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】（1）成立；（2）證明見(jiàn)解析；（3）．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出，再證即可；（2）根據(jù)正方形性質(zhì)得出即可；（3）如圖3，在上取一點(diǎn)，使，過(guò)作于，根據(jù)四邊形為菱形，且，證出，再證，求出，利用菱形的邊長(zhǎng)為，求出即可．【詳解】解：（1）結(jié)論成立理由：如圖1，∵和都是等腰直角三角形，∴∵，，∴又∵，∴，∴，∵，∴，故答案為：成立（2）證明：如圖2，∵四邊形是正方形，∴，∵，∴，∴，∴，又∵，∴；（3）線段的長(zhǎng)為理由：如圖3，在上取一點(diǎn)，使，過(guò)作于，又∵四邊形為菱形，且，∴，∴∴，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，，∴2AN=，2AN=AD，∴，∵，∴，∴，∵菱形的邊長(zhǎng)為，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴線段的長(zhǎng)為．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形性質(zhì)，正方形性質(zhì)，三角形相似判定與性質(zhì)，菱形性質(zhì)，銳角三角形函數(shù)，掌握等腰直角三角形性質(zhì)，正方形性質(zhì)，三角形相似判定與性質(zhì)，菱形性質(zhì)，銳角三角形函數(shù)是解題關(guān)鍵．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023·廣東深圳·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在正方形中，點(diǎn)，分別在邊，上，、分別交于點(diǎn)，，連接、，且．下列結(jié)論：①，；②；③；④．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，則，，，可證得，從而得到，，進(jìn)而得到，再由四邊形內(nèi)角和定理可得，故①正確；再證明，可得，故②正確；再由，可得，從而得到，故③正確；再證明，是等腰直角三角形，可得，從而得到，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，則，，證明，可得，再由勾股定理，可得故④正確，即可求解．【詳解】解：如圖，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，則，，，∵四邊形是正方形，∴，在和中，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故①正確；∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，故②正確；∵，∴，又∵，∴，故③正確；∵，∴，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴，如圖，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，則，，∴，即是直角三角形，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故④正確；故選A．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用旋轉(zhuǎn)法，添加輔助線構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題．2．（2022·廣東深圳·統(tǒng)考一模）如圖，正方形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)在CD上，，連接AE，AF與對(duì)角線BD交于點(diǎn)M，N，連接MF，EN．給出結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的是（

）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】A【分析】將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得AB與AD重合，此時(shí)得，將逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得AD與AB重合，此時(shí)得，根據(jù)，即可求得，①正確；根據(jù)可得，即可求，即可得③正確；根據(jù)如圖正方形構(gòu)造直角坐標(biāo)系，求出直線AE、AF、BD的解析式，再聯(lián)立解析式，即可求得M、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)坐標(biāo)求出DN、MN、BM、AN、NE，即可知，則有，則有，，②正確；根據(jù)DN、MN、BM長(zhǎng)度可知，④錯(cuò)誤．【詳解】將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得AB與AD重合，此時(shí)得，將逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得AD與AB重合，此時(shí)得，鏈接EF，如圖所示：為了方便計(jì)算，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為6，則有AB=BC=CD=AD=6，則有BE=EC=3=DG，CF=4，DF=2=BH，，則有：HE=5=FG，利用勾股定理，易求得：AH=AF=，AE=AG=，EF=5，BD=，根據(jù)圖形的旋轉(zhuǎn)，可知，，∴，∵AH=AF，HE=5=FG，AE=AE，∴，同理可證得，∴，又∵，∴，故①正確；∵，，∴，同理可證，∴，∴，故③正確；以B為坐標(biāo)原點(diǎn)O，AB所在的直線為y軸，以BC所在的直線為x軸，構(gòu)建直角坐標(biāo)系，則有A點(diǎn)坐標(biāo)為，B點(diǎn)坐標(biāo)為，C點(diǎn)坐標(biāo)為，D點(diǎn)坐標(biāo)為，F(xiàn)點(diǎn)坐標(biāo)為，E點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線AF的解析式為：，BD的解析式為，AE的解析式為，聯(lián)立：，得到N點(diǎn)坐標(biāo)為：，同理的M點(diǎn)坐標(biāo)為，過(guò)M點(diǎn)作MP垂直于BC，交BC于P點(diǎn)，過(guò)N點(diǎn)作NQ垂直于DC，交DC于Q點(diǎn)，則有MP=2，，則有，，則有，則有：，故④錯(cuò)誤；根據(jù)N點(diǎn)坐標(biāo)為：，A點(diǎn)坐標(biāo)為：，E點(diǎn)坐標(biāo)為：，可得，則在中，，∴，∴，故②正確；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了直角坐標(biāo)系的構(gòu)建、相似三角形以及坐標(biāo)系中求解兩點(diǎn)間距離等知識(shí)．準(zhǔn)確作出輔助線并構(gòu)建直角坐標(biāo)系是解答本題的關(guān)鍵．3．如圖，正方形中，繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，、分別交對(duì)角線于點(diǎn)、，若，則的值為（）A．4 B．6 C．8 D．16【答案】D【分析】先根據(jù)正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，再根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)即可得．【詳解】四邊形ABCD是正方形，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，即，在和中，，，，即，，故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．4．如圖，菱形的邊長(zhǎng)為4，，分別是，邊上的動(dòng)點(diǎn)，，，則下列結(jié)論：①；②為等邊三角形；③；④若，則．其中正確個(gè)數(shù)為（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】由SAS證明△BEC≌△AFC，①正確；由全等三角形的形狀得CE＝CF，∠BCE＝∠ACF，再由∠BCE＋∠ECA＝∠BCA＝60°，得∠ACF＋∠ECA＝60°，得△CEF是等邊三角形，②正確；由∠AGE＝∠CAF＋∠AFG＝60°＋∠AFG，∠AFC＝∠CFG＋∠AFG＝60°＋∠AFG，得∠AGE＝∠AFC，故③正確；④過(guò)點(diǎn)E作EM∥BC交AC下點(diǎn)M點(diǎn)，易證△AEM是等邊三角形，則EM＝AE，由AF∥EM，則△AFG∽△MEG，得④錯(cuò)誤．【詳解】解：①∵四邊形是菱形，∴，．∵，∴，∴和都是等邊三角形，∴，．∵，∴，故①正確．②∵，∴，．∵，∴，∴是等邊三角形，故②正確．③∵，，∴，故③正確．④過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，∴，，∴是等邊三角形，∴．∵，∴，∴．∵，∴，∴﹐故④錯(cuò)誤，正確個(gè)數(shù)為3．故選B．【點(diǎn)撥】本題考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2023·浙江紹興·校聯(lián)考三模）矩形中，，，連接，E，F(xiàn)分別在邊，上，連接，分別交于點(diǎn)M，N，若，，則的長(zhǎng)為．

【答案】【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)，由勾股定理得出，延長(zhǎng)至P，使，過(guò)P作的平行線交的延長(zhǎng)線于Q，得正方形，延長(zhǎng)交于H，連接，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)D與點(diǎn)P重合，得到，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，，，證出，得出，可證，得出，證出，設(shè)，則，利用勾股定理列出方程求出，然后由，得，所以，即可求出的長(zhǎng)．【詳解】解：在矩形中，∵，，，∴，如圖，延長(zhǎng)至P，使，過(guò)P作的平行線交的延長(zhǎng)線于Q，得正方形，延長(zhǎng)交于H，連接，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)D與點(diǎn)P重合，得到，

∵四邊形是正方形，∴，，由旋轉(zhuǎn)得：，∴，，，，∴，即，，，三點(diǎn)共線，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，設(shè)，則，∵，，∴，∴，∴，∴，，在中，由勾股定理得：，∴（，解得：，∴，∵，∴，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；證明三角形全等和由勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵．6．（2023·成都市·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜邊BC上兩點(diǎn)，且∠DAE＝45°，將△ADC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，得到△AFB，連接EF，下列結(jié)論：①△AED≌△AEF；②；③△ABC的面積等于四邊形AFBD的面積；④BE2+DC2＝DE2；⑤BE＝EF﹣DC；其中正確的選項(xiàng)是（填序號(hào)）【答案】①③④【分析】①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知∠CAD=∠BAF，AD=AF，因?yàn)椤螧AC=90°，∠DAE=45°，所以∠CAD+∠BAE=45°，可得∠EAF=45°=∠DAE，由此即可證明△AEF≌△AED；②當(dāng)△ABE∽△ACD時(shí)，該比例式成立；③根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，△ADC≌△ABF，進(jìn)而得出△ABC的面積等于四邊形AFBD的面積；④據(jù)①知BF=CD，EF=DE，∠FBE=90°，根據(jù)勾股定理判斷．⑤根據(jù)①知道△AEF≌△AED，得CD=BF，DE=EF；由此即可確定該說(shuō)法是否正確．【詳解】解：①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知∠CAD=∠BAF，AD=AF．∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，∴∠CAD+∠BAE=45°，∴∠EAF=45°，∴△AED≌△AEF；故本選項(xiàng)正確；②∵AB=AC，∴∠ABE=∠ACD；∴當(dāng)∠BAE=∠CAD時(shí)，△ABE∽△ACD，∴；當(dāng)∠BAE≠∠CAD時(shí)，△ABE與△ACD不相似，即；∴此比例式不一定成立，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；③根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知△ADC≌△AFB，∴S△ABC=S△ABD+S△ABF=S四邊形AFBD，即三角形ABC的面積等于四邊形AFBD的面積，故本選項(xiàng)正確；④∵∠FBE=45°+45°=90°，∴BE2+BF2=EF2．∵△ADC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，得到△AFB，∴△AFB≌△ADC，∴BF=CD．又∵EF=DE，∴BE2+DC2=DE2，故本選項(xiàng)正確；⑤根據(jù)①知道△AEF≌△AED，得CD=BF，DE=EF，∴BE+DC=BE+BF＞DE=EF，即BE+DC＞FE，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．綜上所述：正確的說(shuō)法是①③④．故答案為：①③④．【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)變換以及全等三角形的判定等知識(shí)，三角形三邊的關(guān)系，相似三角形的性質(zhì)與判定，解題時(shí)注意旋轉(zhuǎn)前后對(duì)應(yīng)的相等關(guān)系．7．（2023·上海寶山·?？家荒＃┤鐖D，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D、E在邊BC上，∠DAE=∠B=30°，且，那么的值是．【答案】．【分析】由已知可得，從而可知，，設(shè)AB=3x，則BE=2x，再利用勾股定理和等腰三角形性質(zhì)用x表示DE和BC，從而解答【詳解】解：∵∠BAE=∠DAE+∠BAD，∠ADE=∠B+∠BAD，又∵∠DAE=∠B=30°，∴∠BAE=∠ADE，∴，∴，，過(guò)A點(diǎn)作AH⊥BC，垂足為H，設(shè)AB=3x，則BE=2x，∵∠B=30°，∴，，∴，在中，，又∵，∴，∴，∵AB=AC，AH⊥BC，∴，∴，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理，利用三角形相似得到AB與BE的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．8．（2023春·遼寧沈陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）通過(guò)類比聯(lián)想、引申拓展研究典型題目，可達(dá)到解一題知一類的目的下面是一個(gè)案例，請(qǐng)補(bǔ)充完整．原題：如圖，點(diǎn)，分別在正方形的邊，上，，連接，則，試說(shuō)明理由．(1)思路梳理，把繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，可使與重合.，點(diǎn)，，共線根據(jù)______從“，，，”中選擇填寫，易證______，得．(2)類比引申如圖，四邊形中，，，點(diǎn)，分別在邊，上，若，都不是直角，則當(dāng)與滿足等量關(guān)系______時(shí)，仍有．(3)聯(lián)想拓展如圖，在中，，，點(diǎn)，均在邊上，且猜想，，應(yīng)滿足的等量關(guān)系，并寫出推理過(guò)程．(4)思維深化如圖，在中，，，點(diǎn)，均在直線上，點(diǎn)在點(diǎn)的左邊，且，當(dāng)，時(shí)，直接寫出的長(zhǎng)．【答案】(1)，(2)(3)，理由見(jiàn)解析(4)的長(zhǎng)為或【分析】（1）把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，可使與重合，再證明進(jìn)而得到，即可證明結(jié)論；（2）時(shí)，與（1）的證法類同；（3）把繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可知得到、、、，，根據(jù)中的，得到，所以，證，利用得到；（4）分兩種情況：點(diǎn)D在邊上或點(diǎn)D在的延長(zhǎng)線上，①當(dāng)點(diǎn)D在邊上時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)G，利用三角函數(shù)求出，再證明，運(yùn)用相似三角形性質(zhì)即可求出，再由可求得；②當(dāng)點(diǎn)D在的延長(zhǎng)線上時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)G，與①同理可求得，再由求出即可．【詳解】（1）解：，把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，可使與重合．，，，，，，，點(diǎn)、、共線，在和中，，，，即：．故答案為：，；（2）解：時(shí)，，理由如下：，如圖:把繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，可使與重合，，，，，，，，點(diǎn)、、共線，在和中，，，，即：．故答案為：；（3）解：猜想：．理由如下：如圖：把繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，，，，，，在中，，，，即，，又，，，即，在和中，，，，；（4）解：點(diǎn)，均在直線上，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，，分兩種情況：點(diǎn)在邊上或點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，①當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，；②當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由①知，，，，，，，，，，，∽，，，，．綜上所述，的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、三角函數(shù)定義、勾股定理的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理、相似三角形的判定和性質(zhì)，合理添加輔助線并靈活運(yùn)用分類討論思想是解題的關(guān)鍵．9．（2023·陜西西安·九年級(jí)?？计谥校﹩?wèn)題研究，如圖，在等腰中，，點(diǎn)、為底邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與、重合），且．（1）請(qǐng)?jiān)趫D中找出一個(gè)與相似的三角形，這個(gè)三角形是__________；（2）若，分別過(guò)點(diǎn)、作、的垂線，垂足分別為、，且、的反向延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，若，求四邊形的面積；問(wèn)題解決（3）如圖所示，有一個(gè)矩形倉(cāng)庫(kù)，其中米，米，現(xiàn)計(jì)劃在倉(cāng)庫(kù)的內(nèi)部的、兩處分別安裝監(jiān)控?cái)z像頭，其中點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上．設(shè)計(jì)要求且，則的長(zhǎng)應(yīng)為多少米？【答案】（1）；（2）四邊形的面積為；（3）CE的長(zhǎng)為米．【分析】（1）根據(jù)已知條件及相似三角形的判定可直接得出；（2）把繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接EH，根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得，利用三角形全等的性質(zhì)得出，，，利用角和邊之間的關(guān)系可得：為直角三角形，根據(jù)勾股定理及等量代換得出，根據(jù)全等三角形的判定得出?，得，再求出各三角形的面積確定，再根據(jù)圖形中三角形的關(guān)系得出，即可求得四邊形面積；（3）根據(jù)（2）中思路，作圖：延長(zhǎng)AD到S，延長(zhǎng)BC到G，使，連接SG，延長(zhǎng)AF交SG于點(diǎn)H，連接EH，延長(zhǎng)GS到T，使，連接AT，則四邊形ABGS為正方形，根據(jù)全等三角形的判定定理得出?，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及等量代換得出，再利用三角形全等的判定證明?，設(shè)，可得出，，，在根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)得出，將各邊代入得出，，，在中，利用勾股定理得出方程求解即可．【詳解】解：（1）∵，，∴，故答案為：；（2）如圖所示：把繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接EH，∴，，∴，，，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，在和中，，∴?，∴，∴，∵于點(diǎn)G，，∴，∴，∴，∵，∴，同理可得：，在中，，∴，同理可得：，∵，∴，∴，即，∵，∴，即四邊形的面積為；（3）如圖，延長(zhǎng)AD到S，延長(zhǎng)BC到G，使，連接SG，延長(zhǎng)AF交SG于點(diǎn)H，連接EH，延長(zhǎng)GS到T，使，連接AT，則四邊形ABGS為正方形，∴，，在和中，，∴，，∴，，∴，在和中，，∴?，∴，設(shè)，則，，，∵DFSH，∴，∴，即：，解得：，∴=，，∴在中，，解得：，（舍去），即CE的長(zhǎng)為米．【點(diǎn)睛】題目主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、一元二次方程的運(yùn)用求解等，根據(jù)題意作出相應(yīng)輔助線，融會(huì)貫通綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．10．（2023·陜西漢中·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，中，，，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)．(1)如圖1，若，．①求證：；②若，求的值．(2)如圖2，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，且，，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)①見(jiàn)解析，②(2)【分析】（1）①通過(guò)證明，即可求證；②由①可得，再根據(jù)等邊對(duì)等角求出和的度數(shù)，即可得出，最后根據(jù)直角三角形中角所對(duì)的邊是斜邊的一半即可求證；（2）過(guò)點(diǎn)E作于G，過(guò)A作于F，證明，可以求出，利用勾股定理可以求出的長(zhǎng)，從而可以求解．【詳解】（1）證明：①∵，，∴，即，在和中，，∴，∴；②∵，，∴，由①可得：，∴，∴，∵，∴在中，，∴，整理得：，由①可得，∴．（2）過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)G，∵，，∴，∵，，∴，在中，根據(jù)勾股定理可得：，∵，∴，∵，，∴，在中，根據(jù)勾股定理可得：，∴，∵，，，∴，∵，∴，即，∵，∴，∴，即，解得：，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等等，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解．11．（2023·遼寧沈陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）【教材呈現(xiàn)】（1）如圖1，在同一平面內(nèi)，將兩個(gè)全等的等腰直角三角形ABC和AFG擺放在一起，A為公共頂點(diǎn)，∠BAC＝∠G＝90°，BC＝6，若△ABC固定不動(dòng)，將△AFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，邊AF、AG與邊BC分別交于點(diǎn)D，E（點(diǎn)D不與點(diǎn)B重合，點(diǎn)E不與點(diǎn)C重合）①求證：AE2＝DE?BE；②求BE?CD的值；【拓展探究】（2）如圖2，在△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D，E在邊BC上，∠B＝∠DAE＝30°，且，請(qǐng)直接寫出的值．【答案】（1）①證明見(jiàn)解析；②18；（2）【分析】（1）①只需要證明△ABE∽△DAE，得到，即可推出；②先證明∠AEB=∠DAC，則可證△AEB∽△DAC，推出，然后利用勾股定理求出，即可得到；（2）設(shè)，，先證明△ADE∽△BDA，推出，設(shè)，，得到，求出，，則在直角△ACD中，，則，即可推出，由此求解即可．【詳解】解：（1）①∵△ABC和△AGF都是等腰直角三角形，∠BAC=∠G=90°，∴∠B=∠C=∠GAF=45°，又∵∠AED=∠NEA，∴△ABE∽△DAE，∴，∴；②∵∠DAC=∠DAE+∠CAE，∠AEB=∠C+∠CAE，∠C=∠DAE=45°，∴∠AEB=∠DAC，又∵∠B=∠C，∴△AEB∽△DAC，∴，∴，∵AB=AC，∠BAC=90°，BC=6，∴，即，∴，∴；（2）∵，∴可設(shè)，，∵∠B=∠DAE=30°，∠ADE=∠BDA，∴△ADE∽△BDA，∴，∴，可設(shè)，，∴，∵∠B=30°，∠ACB=90°，∴，∴，∴在直角△ACD中，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等等，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定條件是解題的關(guān)鍵．12．（2022秋·廣東·九年級(jí)深圳市福田區(qū)北環(huán)中學(xué)?？计谥校┤鐖D①，在正方形ABCD中，點(diǎn)N、M分別在邊BC、CD上，連接AM、AN、MN．∠MAN＝45°，將△AMD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，得到△ABE．易證：△ANM≌△ANE，從而得DM＋BN＝MN．【實(shí)踐探究】(1)在圖①條件下，若CN＝6，CM＝8，則正方形ABCD的邊長(zhǎng)是______．(2)如圖②，點(diǎn)M、N分別在邊CD、AB上，且BN＝DM．點(diǎn)E、F分別在BM、DN上，∠EAF＝45°，連接EF，猜想三條線段EF、BE、DF之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．(3)【拓展應(yīng)用】如圖③，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，點(diǎn)M、N分別在邊DC、BC上，連接AM，AN，已知∠MAN＝45°，BN＝2，求DM的長(zhǎng)．【答案】(1)12(2)猜想：，理由見(jiàn)解析(3)4【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△ABE≌△ADM，易證：△ANM≌△ANE，從而得DM＋BN＝MN．則可得MN+CM+CN=2BC，從而可求得正方形的邊長(zhǎng)；（2）過(guò)點(diǎn)D作DP⊥DF，且DP=BE，連接PF、AP，可證明△APD≌△AEB，則可得AP=AE，∠EAP=90°；再證明△APF≌△AEF，可得EF=FP，在Rt△PDF中，由勾股定理即可得三條線段EF、BE、DF之間滿足的數(shù)量關(guān)系；（3）把矩形ABCD補(bǔ)成正方形AEFD，延長(zhǎng)AN交EF于G，連接GN．由△ABN∽△AEG，可求得EG、FG的長(zhǎng)，設(shè)DM=x，則可得FM，由（1）的證明知，GM=EG+DM，由勾股定理建立方程即可求得x的值，即DM的長(zhǎng)．【詳解】（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠BAD=∠ABC=∠C=∠D=90°．由旋轉(zhuǎn)得：△ABE≌△ADM，∴AE=AM，BE=DM，∠ABE=∠D=90°，∠EAB=∠MAD．∴∠ABE+∠ABC=180°．∴E、B、N在同一直線上．∵∠MAN=45°，∠BAD=90°，∴∠BAN+∠MAD=45°．∴∠BAN+∠EAB=45°．即∠EAN=45°．∴∠EAN=∠MAN．在△ANM與△ANE中，∴△ANM≌△ANE．∴MN=EN．∵EN=BE+BN=DM+BN，∴MN=DM+BN．∴MN+CM+CN=DM+BN+CM+CN=CD+BC=2BC．在Rt△CMN中，由勾股定理得：，∴10+8+6=2BC．∴BC=12．故答案為：12．（2）三條線段EF、BE、DF之間滿足的數(shù)量關(guān)系為；理由如下：如圖②，過(guò)點(diǎn)D作DP⊥DF，且DP=BE，連接PF、AP．則∠PDA+∠ADF=∠ADF+∠NDM=90°．∴∠PDA=∠NDM．∵四邊形ABCD是正方形，∴BN∥DM．∵BN=DM，∴四邊形BNDM是平行四邊形．∴∠EBA=∠NDM．∴∠PDA=∠EBA．在△APD與△AEB中，

∴△APD≌△AEB．∴AP=AE，∠PAD=∠EAB．∵∠EAP=∠EAD+∠PAD=∠EAD+∠EAB=∠BAD=90°，∠EAF=45°，∴∠PAF=∠EAF=45°．在△APF與△AEF中，∴△APF≌△AEF．∴EF=FP．在Rt△PDF中，由勾股定理得：，即．（3）如圖③，把矩形ABCD補(bǔ)成正方形AEFD，延長(zhǎng)AN交EF于G，連接GN，則AE=EF=DF=AD=8．∵四邊形ABCD是矩形，∴BN∥EG．∴△ABN∽△AEG．∴．∴．∴．設(shè)DM=x，則FM=DF?DM=8?x，∵四邊形AEFD是正方形，∠GAM=45°，∴由（1）的證明知，．在Rt△GMF中，勾股定理得：，即，解得：x=4即DM的長(zhǎng)為4．【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合問(wèn)題，考查了正方形性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，證明三角形全等及由勾股定理得出方程是關(guān)鍵．13．（2023春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）問(wèn)題背景：如圖1，在正方形中，點(diǎn)分別在邊上，，求證：．洋洋同學(xué)給出了部分證明過(guò)程，請(qǐng)你接著完成剩余的證明過(guò)程．證明：延長(zhǎng)到點(diǎn)使，連接，正方形，，在和中，遷移應(yīng)用：如圖2，在正方形中，交于點(diǎn)，若，，求的長(zhǎng)．聯(lián)系拓展：如圖3，在矩形中，點(diǎn)分別在邊上，，若，探究與的數(shù)量關(guān)系，并給出證明．【答案】問(wèn)題背景：見(jiàn)解析；遷移應(yīng)用：；聯(lián)系拓展：BE=2EC，理由見(jiàn)解析【分析】問(wèn)題背景：在已證明的前提下，利用全等三角形的性質(zhì)，結(jié)合已知條件證明，可得到結(jié)論，遷移應(yīng)用：過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，得到，利用全等三角形的性質(zhì)與三角形內(nèi)角和定理得到，利用問(wèn)題背景的結(jié)論可得答案，聯(lián)系拓展：分別取的中點(diǎn)和，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，構(gòu)造出符合問(wèn)題背景中的圖形，利用問(wèn)題背景的結(jié)論，結(jié)合勾股定理可得答案．【詳解】問(wèn)題背景：證明：延長(zhǎng)到點(diǎn)使，連接，正方形，，在和中，．，，又，在和中，，，．又．遷移應(yīng)用：解：過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，正方形，，又，，由(1)知，．設(shè)，，又，，在