專題06 全等模型-角平分線模型（原卷版）

專題06全等模型-角平分線模型角平分線在中考數(shù)學中都占據(jù)著重要的地位，角平分線常作為壓軸題中的?？贾R點，需要掌握其各類模型及相應的輔助線作法，且輔助線是大部分學生學習幾何內(nèi)容中的弱點，本專題就角平分線的幾類全等模型作相應的總結，需學生反復掌握。模型1.角平分線垂兩邊（角平分線+外垂直）【模型解讀與圖示】條件：如圖1，為的角平分線、于點A時，過點C作.結論：、≌.圖1圖2常見模型1（直角三角形型）條件：如圖2，在中，，為的角平分線，過點D作.結論：、≌.（當是等腰直角三角形時，還有.）圖3常見模型2（鄰等對補型）條件：如圖3，OC是∠COB的角平分線，AC=BC，過點C作CD⊥OA、CE⊥OB。結論：①；②；③.例1．（2023秋·山東菏澤·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，按以下步驟作圖：①以點B為圓心，任意長為半徑作弧，分別交于點D、E．②分別以點D、E為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于點F．③作射線交于點G．如果，，的面積為18，則的面積為（

）

A．20 B．36 C．27 D．例2．（2023春·山東泰安·七年級統(tǒng)考期末）如圖，的外角的平分線與內(nèi)角的平分線交與點P，若，則（

）

A． B． C． D．例3．（2023秋·浙江·八年級專題練習）如圖，四邊形中，，點O為的中點，且平分．(1)求證：平分；(2)求證：；(3)求證：．

例4．（2023春·浙江·八年級專題練習）已知點C是∠MAN平分線上一點，∠BCD的兩邊CB、CD分別與射線AM、AN相交于B，D兩點，且∠ABC+∠ADC＝180°．過點C作CE⊥AB，垂足為E．（1）如圖1，當點E在線段AB上時，求證：BC＝DC；（2）如圖2，當點E在線段AB的延長線上時，探究線段AB、AD與BE之間的等量關系；（3）如圖3，在（2）的條件下，若∠MAN＝60°，連接BD，作∠ABD的平分線BF交AD于點F，交AC于點O，連接DO并延長交AB于點G．若BG＝1，DF＝2，求線段DB的長．模型2.角平分線垂中間（角平分線+內(nèi)垂直）【模型解讀與圖示】條件：如圖1，為的角平分線，，結論：△AOC≌△BOC，是等腰三角形、是三線合一等。圖1圖2圖3條件：如圖2，為的角平分線，，延長BA，CE交于點F.結論：△BEC≌△BEF，是等腰三角形、BE是三線合一等。例1．（2023·浙江寧波·八年級?？计谥校┤鐖D，△ABC的面積為16，∠PBC與∠PAB互余，AP⊥BP，則△PBC的面積．例2．（2022·綿陽市·九年級期中）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90，BD平分∠ABC交AC于點D．（1）如圖1，點F為BC上一點，連接AF交BD于點E．若AB=BF，求證：BD垂直平分AF．（2）如圖2，CE⊥BD，垂足E在BD的延長線上．試判斷線段CE和BD的數(shù)量關系，并說明理由．（3）如圖3，點F為BC上一點，∠EFC=∠ABC，CE⊥EF，垂足為E，EF與AC交于點M．直接寫出線段CE與線段FM的數(shù)量關系．例3．（2022秋·河南信陽·八年級統(tǒng)考期末）情景觀察：如圖1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，CD⊥AB，AE⊥BC，垂足分別為D、E，CD與AE交于點F．①寫出圖1中所有的全等三角形；②線段AF與線段CE的數(shù)量關系是，并寫出證明過程．問題探究：如圖2，△ABC中，∠BAC=45°，AB=BC，AD平分∠BAC，AD⊥CD，垂足為D，AD與BC交于點E．求證：AE=2CD．模型3.角平分線構造軸對稱模型（角平分線+截線段相等）【模型解讀與圖示】條件：如圖，為的角平分線，A為任意一點，在上截取，連結.結論：≌，CB=CA。條件：如圖，分別為和的角平分線，，在上截取，連結.結論：≌，≌，AB+CD=BC。例1．（2022秋·江蘇·八年級專題練習）在△ABC中，AD為△ABC的角平分線，點E是直線BC上的動點．（1）如圖1，當點E在CB的延長線上時，連接AE，若∠E＝48°，AE＝AD＝DC，則∠ABC的度數(shù)為．（2）如圖2，AC＞AB，點P在線段AD延長線上，比較AC+BP與AB+CP之間的大小關系，并證明．（3）連接AE，若∠DAE＝90°，∠BAC＝24°，且滿足AB+AC＝EC，請求出∠ACB的度數(shù)（要求：畫圖，寫思路，求出度數(shù)）．例2．（2023·浙江·九年級專題練習）如圖，在中，，，是的平分線，延長至點，，試求的度數(shù)．例3．（2023秋·全國·八年級專題練習）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，且AE、BE交CD于點E．試說明AD＝AB﹣BC的理由．例4．（2022·山東煙臺·九年級期末）已知在中，滿足，(1)【問題解決】如圖1，當，為的角平分線時，在上取一點使得，連接，求證：．(2)【問題拓展】如圖2，當，為的角平分線時，在上取一點使得，連接，（1）中的結論還成立嗎？若成立，請你證明：若不成立，請說明理由．(3)【猜想證明】如圖3，當為的外角平分線時，在的延長線上取一點使得，連接，線段、、又有怎樣的數(shù)量關系？請寫出你的猜想，并對你的猜想給予證明．課后專項訓練1．（2022春·江蘇宿遷·七年級?？茧A段練習）如圖，中，，的角平分線、相交于點，過作交的延長線于點，交于點，則下列結論：①；②；③；④四邊形，其中正確的個數(shù)是（

）A．4 B．3 C．2 D．12．（2023春·廣東深圳·八年級統(tǒng)考開學考試）如圖，在中，，是邊上的高，是的平分線，交于點F，下面說法：①；②；③；④．其中正確的說法有（

）個．

A．1 B．2 C．3 D．43．（2023春·山東威?！て吣昙壗y(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，分別是和的角平分線，，交于點O，分別過點O作于點M，作于點N．下列結論：①；②；③；④．其中正確的有（

）

A．4個 B．3個 C．2個 D．1個4．（2023春·廣東惠州·八年級?？奸_學考試）如圖，在中，平分，，，則與之間的大小關系是（）

A． B． C． D．無法確定5．（2023春·陜西西安·七年級?？计谀┤鐖D，，和分別平分和，過點P且與垂直，若，，則的面積為（

）

A．15 B．20 C．30 D．806．（2023春·山東泰安·七年級校考開學考試）如圖，在中，交于點平分交于點的面積為20，則的長為．

7．（2023春·江蘇蘇州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，．以點為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交、邊于點、；再分別以、為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧交于點；作射線交邊于點．若的面積為，則的面積為．8．（2023春·山東棗莊·八年級校聯(lián)考階段練習）如圖所示，已知直線平分且，求與之間的關系并說明理由．

9．（2023·重慶·八年級專題練習）閱讀與思考下面是小明同學的數(shù)學學習筆記，請您仔細閱讀并完成相應的任務：構造全等三角形解決圖形與幾何問題在圖形與幾何的學習中，常常會遇到一些問題無法直接解答，需要添加輔助線才能解決．比如下面的題目中出現(xiàn)了角平分線和垂線段，我們可以通過延長垂線段與三角形的一邊相交構造全等三角形，運用全等三角形的性質(zhì)解決問題．例：如圖1，是內(nèi)一點，且平分，，連接，若的面積為10，求的面積．

該問題的解答過程如下：解：如圖2，過點作交延長線于點，、交于點，

平分，．，．在和中，，（依據(jù)1）（依據(jù)2），，，．……任務一：上述解答過程中的依據(jù)1，依據(jù)2分別是___________，___________；任務二：請將上述解答過程的剩余部分補充完整；應用：如圖3，在中，，，平分交于點，過點作交延長線于點．若，求的長．

10．（2022秋·江蘇·八年級專題練習）如圖，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延長線上．求證：BE＝CD．11．（2023春·江蘇·七年級專題練習）如圖，已知在四邊形ABCD中，BD是的平分線，．2求證：．12．（2022秋·浙江·八年級專題練習）如圖，已知B（-1，0），C（1，0），A為y軸正半軸上一點，點D為第二象限一動點，E在BD的延長線上，CD交AB于F，且∠BDC=∠BAC．（1）求證：∠ABD=∠ACD；（2）求證：AD平分∠CDE；（3）若在點D運動的過程中，始終有DC=DA+DB，在此過程中，∠BAC的度數(shù)是否變化？如果變化，請說明理由；如果不變，請求出∠BAC的度數(shù)．13．（2023秋·浙江·八年級專題練習）如圖，在四邊形中，，點E是的中點，平分．求證：是的平分線．14．（2023秋·浙江·八年級專題練習）如圖，四邊形中，，點E為的中點，且平分．(1)求證：平分；(2)求證：．15．（2022春·江西萍鄉(xiāng)·八年級統(tǒng)考期中）已知是的平分線，點P是射線上一點，，點C、D分別在射線、上，連接、．(1)如圖①，當，時，則與的數(shù)量關系是___________．(2)如圖②，點C、D在射線、上滑動，且，當時與在（1）中的數(shù)量關系還成立嗎?說明理由．(3)在問題（2）中，則四邊形的面積S是否會發(fā)生變化?若不會發(fā)生變化，請直接寫出面積S的值，若發(fā)生變化，請說明理由16．（2022·江蘇·一模）如