專題52 圖形折疊中的等腰三角形存在性問題(原卷版)

專題52圖形折疊中的等腰三角形存在性問題【題型演練】一、解答題1．對(duì)于面積為S的三角形和直線l，將該三角形沿直線l折疊，重合部分的圖形面積記為，定義為該三角形關(guān)于直線l的對(duì)稱度．如圖，將面積為S的ABC沿直線l折疊，重合部分的圖形為，將的面積記為，則稱為ABC關(guān)于直線l的對(duì)稱度．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(0，3)，B(－3，0)，C(3，0)．（1）過點(diǎn)M(m，0)作垂直于x軸的直線，①當(dāng)時(shí)，ABC關(guān)于直線的對(duì)稱度的值是：②若ABC關(guān)于直線的對(duì)稱度為1，則m的值是．（2）過點(diǎn)N(0，n)作垂直于y軸的直線，求△ABC關(guān)于直線的對(duì)稱度的最大值．（3）點(diǎn)P(－4，0)滿足，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(t，0)，若存在直線，使得APQ關(guān)于該直線的對(duì)稱度為1，寫出所有滿足題意的整數(shù)t的值．2．如圖1，在中，，，D為AC的中點(diǎn)，E為邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接DE，將沿DE翻折，點(diǎn)A落在AC上方點(diǎn)F處，連接EF，CF．(1)判斷∠1與∠2是否相等并說明理由；(2)若與以點(diǎn)C，D，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形全等，求出的度數(shù)：(3)翻折后，當(dāng)和的重疊部分為等腰三角形時(shí)，直接寫出的度數(shù)．3．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組開展實(shí)踐探究活動(dòng)，將三角形ABC紙片沿某條直線折疊，使其中一個(gè)角的頂點(diǎn)落在一邊上．在△ABC中，AB＝9，BC＝6．(1)如圖1，若∠ACB＝90°，將△ABC沿CM折疊，使點(diǎn)B與邊AB上的點(diǎn)N重合，求BM的長(2)如圖2，若∠ACB＝2∠A，將△ABC沿CM折疊，使點(diǎn)B與邊AC上的點(diǎn)N重合，①求AC的長；②若O是AC的中點(diǎn)，P為線段ON上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將△APM沿PM折疊得到△A′PM，與相交于點(diǎn)，則的取值范圍為．4．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3．(1)如圖1，D為線段BC上一點(diǎn)，點(diǎn)C關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)C恰好落在AB邊上，求CD的長；(2)如圖2，E為線段AB上一點(diǎn)，沿CE翻折△CBE得到△CEB′，若EB′∥AC，求證：AE＝AC；(3)如圖3，D為線段BC上一點(diǎn)，點(diǎn)C關(guān)于AD的對(duì)稱為點(diǎn)C′，是否存在異于圖1的情況的C′、B、D為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形，若存在，請(qǐng)直接寫出BC′長；若不存在，請(qǐng)說明理由．5．如圖1，已知直線y=﹣2x+4與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、C，以O(shè)A、OC為邊在第一象限內(nèi)作長方形OABC．(1)求點(diǎn)A、C的坐標(biāo)；(2)將△ABC對(duì)折，使得點(diǎn)A的與點(diǎn)C重合，折痕交AB于點(diǎn)D，求直線CD的解析式（圖2）；(3)在y軸上是否存在一點(diǎn)P（不與C重合），使得是等腰三角形，若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．6．問題背景折紙是一種將紙張折成各種不同形狀的藝術(shù)活動(dòng)，折紙大約起源于公元1世紀(jì)或者2世紀(jì)時(shí)的中國，6世紀(jì)時(shí)傳入日本，再經(jīng)由日本傳到全世界，折紙與自然科學(xué)結(jié)合在一起，不僅成為建筑學(xué)院的教具，還發(fā)展出了折紙幾何學(xué)，成為現(xiàn)代幾何學(xué)的一個(gè)分支．今天折紙被應(yīng)用于世界各地，其中比較著名的是日本筑波大學(xué)的芳賀和夫發(fā)現(xiàn)的折紙幾何三定理，它已成為折紙幾何學(xué)的基本定理．芳賀折紙第一定理的操作過程及內(nèi)容如下：第一步：如圖1，將正方形紙片ABCD對(duì)折，使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，點(diǎn)B與點(diǎn)C重合．再將正方形ABCD展開，得到折痕EF；第二步：將正方形紙片的右下角向上翻折，使點(diǎn)C與點(diǎn)E重合，邊BC翻折至的位置，得到折痕MN，與AB交于點(diǎn)P．則點(diǎn)P為AB的三等分點(diǎn)，即．問題解決如圖1，若正方形ABCD的邊長是2．(1)CM的長為______；(2)請(qǐng)通過計(jì)算AP的長度，說明點(diǎn)P是AB的三等分點(diǎn)．類比探究(3)將長方形紙片按問題背景中的操作過程進(jìn)行折疊，如圖2，若折出的點(diǎn)P也為AB的三等分點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出的值．7．綜合與實(shí)踐在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們探究等腰直角三角形中的折疊問題．問題情境：如圖，在中，，，點(diǎn)D在邊AB上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E在邊BC上運(yùn)動(dòng)．探究發(fā)現(xiàn)：(1)如圖2，當(dāng)沿DE折疊，點(diǎn)B落在邊AC的點(diǎn)處，且時(shí)，發(fā)現(xiàn)四邊形是菱形．請(qǐng)證明；探究拓廣：(2)如圖3，奇異小組同學(xué)的折疊方法是沿DE折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)處，延長交AC于點(diǎn)F，，點(diǎn)G在邊BC上運(yùn)動(dòng)，沿FG折疊使點(diǎn)C落在線段的中點(diǎn)處，求線段DF的長；探究應(yīng)用：(3)沿DE折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在邊AC的三等分點(diǎn)處，請(qǐng)借助圖1探究，并直接寫出BD的長．8．在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，在四邊形OABC中，頂點(diǎn)A（0，2），，，且點(diǎn)B在第一象限，△OAB是等邊三角形．(1)如圖①，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)如圖②，將四邊形OABC沿直線EF折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，求點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)；(3)如圖③，若將四邊形OABC沿直線EF折疊，使，設(shè)點(diǎn)A對(duì)折后所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，△AEF與四邊形EOBF的重疊面積為S，設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，m）（0＜m＜1），請(qǐng)直接寫出S與m的函數(shù)關(guān)系式．9．如圖，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝OB＝4，點(diǎn)P在直線OA上運(yùn)動(dòng)，連接PB，將△OBP沿直線BP折疊，點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為O′．（1）若AP＝AB，則點(diǎn)P到直線AB的距離是；（2）若點(diǎn)O′恰好落在直線AB上，求△OBP的面積；（3）將線段PB繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到線段PC，直線PC與直線AB的交點(diǎn)為Q，在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某一位置，使得△PBQ為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出OP的長；若不存在，請(qǐng)說明理由．10．定義：若a，b，c是△ABC的三邊，且a2+b2＝2c2，則稱△ABC為“方倍三角形”．（1）對(duì)于①等邊三角形②直角三角形，下列說法一定正確的是．A．①一定是“方倍三角形”B．②一定是“方倍三角形”C．①②都一定是“方倍三角形”D．①②都一定不是“方倍三角形”（2）若Rt△ABC是“方倍三角形”，且斜邊AB＝，則該三角形的面積為；（3）如圖，△ABC中，∠ABC＝120°，∠ACB＝45°，P為AC邊上一點(diǎn)，將△ABP沿直線BP進(jìn)行折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)D處，連接CD，AD．若△ABD為“方倍三角形”，且AP＝，求△PDC的面積．11．如圖1，在中，，，為邊上的中線．（1）求的長；（2）動(dòng)點(diǎn)的速度為，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)移動(dòng)時(shí)，若是以為腰的等腰三角形，請(qǐng)你求出所有滿足條件的的值．②如圖3，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)移動(dòng)時(shí)，將沿直線對(duì)折，點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，當(dāng)與重疊部分為直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出的值為_________12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（5，0），以原點(diǎn)O為圓心、3為半徑作⊙O，⊙O與x軸交于點(diǎn)B、C．點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿y軸正半軸運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．連結(jié)AP，將△OAP沿AP翻折，得到△APQ．（1）當(dāng)△OAQ為等邊三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出P點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若△ABQ為直角三角形時(shí)，請(qǐng)求出t的值；（3）求△APQ有一邊所在直線與⊙O相切時(shí)，請(qǐng)直接寫出t的值．13．（1）操作發(fā)現(xiàn)：如圖①，在RtABC中，∠C＝2∠B＝90°，點(diǎn)D是BC上一點(diǎn)，沿AD折疊ADC，使得點(diǎn)C恰好落在AB上的點(diǎn)E處，請(qǐng)寫出AB、AC、CD之間的關(guān)系？并說明理由．（2）問題解決：如圖②，若（1）中∠C≠90°，其他條件不變，請(qǐng)猜想AB、AC、CD之間的關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）類比探究：如圖③，在四邊形ABCD中，∠B＝120°，∠D＝90°，AB＝BC，AD＝BC，連接AC，點(diǎn)E是CD上一點(diǎn)，沿AE折疊，使得點(diǎn)D正好落在AC上的點(diǎn)F處，若BC＝3，求出DE的長．14．我們知道平行四邊形有很多性質(zhì),現(xiàn)在如果我們把平行四邊形沿著它的一條對(duì)角線翻折，會(huì)發(fā)現(xiàn)這其中還有更多的結(jié)論．【發(fā)現(xiàn)與證明】中，，將沿翻折至，連結(jié)．結(jié)論1：與重疊部分的圖形是等腰三角形．結(jié)論2：；……(1)請(qǐng)利用圖1證明結(jié)論1或結(jié)論2；【應(yīng)用與探究】在中，已知，將沿翻折至，連結(jié)．(2)如圖，若，，則_____，_____；(3)已知，當(dāng)長為多少時(shí)，是直角三角形？請(qǐng)直接寫出答案15．如圖，在平行四邊形紙片ABCD中，AD＝6cm，將紙片沿對(duì)角線BD對(duì)折，邊AB的對(duì)應(yīng)邊BF與CD邊交于點(diǎn)E，此時(shí)△BCE恰為等邊三角形．（1）求AB的長度；（2）重疊部分的面積為；（3）將線段BC沿射線BA方向移動(dòng)，平移后的線段記作B'C'，請(qǐng)直接寫出B'F+C'F的最小值．16．定義：有三個(gè)角相等的四邊形叫做三等角四邊形．（1）在三等角四邊形中，，則的取值范圍為_______；（2）如圖，折疊平行四邊形，使得頂點(diǎn)分別落在邊上的點(diǎn)處，折痕為．求證：四邊形為三等角四邊形；（3）如圖，在三等角四邊形中，，若，，，則的長度為_______．17．綜合與實(shí)踐，問題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了一個(gè)問題：如圖①，在中，，垂足為，為的中點(diǎn)，連接，，試猜想與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；獨(dú)立思考：（1）請(qǐng)解答老師提出的問題；實(shí)踐探究：（2）希望小組受此問題的啟發(fā)，將沿著（為的中點(diǎn)）所在直線折疊，如圖②，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，連接并延長交于點(diǎn)，請(qǐng)判斷與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；問題解決：（3）智慧小組突發(fā)奇想，將沿過點(diǎn)的直線折疊，如圖③，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，使于點(diǎn)，折痕交于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)．該小組提出一個(gè)問題：若此的面積為20，邊長，，求圖中陰影部分（四邊形）的面積．請(qǐng)你思考此問題，直接寫出結(jié)果．18．綜合與實(shí)踐在一次綜合實(shí)踐活動(dòng)課上，數(shù)學(xué)王老師給每位同學(xué)各發(fā)了一張正方形紙片，要求同學(xué)們僅通過折紙的方法來確定該正方形一邊上的一個(gè)三等分點(diǎn)．“啟航”小組的同學(xué)在經(jīng)過一番思考和討論交流后，進(jìn)行了如下的操作：第一步：如圖1，將正方形紙片ABCD的一條邊AD對(duì)折，使點(diǎn)A和點(diǎn)D重合，得到AD的中點(diǎn)E，然后展開鋪平；第二步：如圖2，將CD邊沿CE翻折到CF的位置；第三步：如圖3，再將BC沿過點(diǎn)C的直線翻折，使點(diǎn)B和點(diǎn)F重合，折痕與AB邊交于點(diǎn)G．他們認(rèn)為：該點(diǎn)G就是AB邊的一個(gè)三等分點(diǎn)．(1)試證明上面的結(jié)