專題09線段上的動點問題-2022-2023學(xué)年七年級數(shù)學(xué)上冊壓軸題（北師大版成都專用）

專題09線段上的動點問題類型一、求線段長度問題例1．?dāng)?shù)軸上有A，B，C三點，A，B表示的數(shù)分別為m，n，點C在B的右側(cè)，．(1)如圖1，若多項式是關(guān)于x的二次三項式，請直接寫出m，n的值：(2)如圖2，在（1）的條件下，長度為1的線段（E在F的左側(cè)）在A，B之間沿數(shù)軸水平滑動（不與A，B重合），點M是的中點，N是的中點，在滑動過程中，線段的長度是否發(fā)生變化，請判斷并說明理由；(3)若點D是的中點．①直接寫出點D表示的數(shù)____________（用含m，n的式子表示）；②若，試求線段的長．【答案】(1)，；(2)不變化，理由見解析；(3)①；②【解析】(1)解：由題可知，n1=0，7+m=2，∴，故答案為：，(2)解：MN的長不發(fā)生變化，理由如下：由題意，得點C表示的數(shù)為3，設(shè)點E表示的數(shù)為x，則點F表示的數(shù)為∴，，，，，，∵點M是的中點，N是的中點∴，，即(3)解：①∵A，B表示的數(shù)分別為m，n又點C在B的右側(cè)，∴AB=nm∵，∴AC=nm+2∵點D是的中點，∴AD=AC=（nm+2）∴D表示的數(shù)為：m+（nm+2）=②依題意，點C表示的數(shù)分別為∴，∴，∵，即當(dāng)時．，∵，∴不符合題意，舍去當(dāng)時．，綜上所述，線段的長為.例2．已知在數(shù)軸上點A、B、C對應(yīng)的數(shù)分別為a、b、c．(1)如圖1是一個正方體的表面展開圖，已知正方體的每一個面都有一個有理數(shù)，其相對面上的兩個數(shù)互為相反數(shù)，并且圖2中，點C為線段AB的中點，則a=_____，b=____，c=______；(2)如圖3，若a，b，c滿足，①=_____，b=_____，c=_____；②若點A、B沿數(shù)軸同時出發(fā)向右勻速運動，點A速度為2個單位長度/秒，點B速度為1個單位長度/秒．設(shè)運動時間為t秒，運動過程中，當(dāng)A為BC的中點時，求t的值．【答案】(1)7，3，2；(2)①5，4，3，②當(dāng)A為BC的中點時，t=3【解析】(1)解：“a”與“7”相對，“b”與“3”相對，∵相對面上的兩個數(shù)互為相反數(shù)，∴a=7，b=3，∵點C為線段AB的中點，∴c==2，故答案為：7，3，2；(2)解：①∵|a+5|≥0，2|b+4|≥0，（c3）2≥0，∴a+5=0，b+4=0，c3=0，∴a=5，b=4，c=3，故答案為：5，4，3；②當(dāng)點A與點C重合時，則2t=3（5），解得t=4，當(dāng)點B與點C重合時，則t=3（5），解得t=8，可見點A先到達(dá)點C，只存在AB=AC，且點A在點B右側(cè)而在點C左側(cè)的情況，∴=5+2t，解得：t=3．∴當(dāng)A為BC的中點時，t=3．例3.已知：如圖1，M是定長線段AB上一定點，C、D兩點分別從M、B出發(fā)以1cm/s、3cm/s的速度沿直線BA向左運動，運動方向如箭頭所示（C在線段AM上，D在線段BM上）(1)若AB＝11cm，當(dāng)點C、D運動了1s，求AC+MD的值．(2)若點C、D運動時，總有MD＝3AC，直接填空：AM＝BM．(3)在（2）的條件下，N是直線AB上一點，且AN﹣BN＝MN，求的值．【答案】(1)；(2)；(3)或【解析】(1)解：當(dāng)點C、D運動了1s時，CM＝1cm，BD＝3cm∵AB＝11cm，CM＝1cm，BD＝3cm∴AC+MD＝AB﹣CM﹣BD＝11﹣1﹣3＝7cm．(2)解：設(shè)運動時間為t，則CM＝t，BD＝3t，∵AC＝AM﹣t，MD＝BM﹣3t，又MD＝3AC，∴BM﹣3t＝3AM﹣3t，即BM＝3AM，∴AM=BM故答案為：．(3)解：由（2）可得：∵BM＝AB﹣AM∴AB﹣AM＝3AM，∴AM＝AB，①當(dāng)點N在線段AB上時，如圖∵AN﹣BN＝MN，又∵AN﹣AM＝MN，∴BN＝AM＝AB，∴MN＝AB，即=．②當(dāng)點N在線段AB的延長線上時，如圖∵AN﹣BN＝MN，又∵AN﹣BN＝AB，∴MN＝AB，∴=1,即=．綜上所述＝或【變式訓(xùn)練1】【新知理解】如圖①，點M在線段AB上，圖中共有三條線段AB、AM和BM，若其中有一條線段的長度是另外一條線段長度的2倍，則稱點M是線段AB的“和諧點”．(1)線段的中點（）這條線段的“和諧點”（填“是”或“不是”）；(2)【初步應(yīng)用】如圖②，若CD＝12cm，點N是線段CD的和諧點，則CN＝（）cm；(3)【解決問題】如圖③，已知AB＝15cm，動點P從點A出發(fā)，以1cm/s速度沿AB向點B勻速移動：點Q從點B出發(fā)，以2m/s的速度沿BA向點A勻速移動，點P、Q同時出發(fā)，當(dāng)其中一點到達(dá)終點時，運動停止，設(shè)移動的時間為t，請直接寫出t為何值時，A、P、Q三點中其中一點恰好是另外兩點為端點的線段的和諧點．【答案】(1)是；(2)6或4或8c；(3)t為3或或或或或6【解析】(1)解：若點M是線段AB的中點時，滿足AB＝2AM＝2BM，∴線段的中點是這條線段的“和諧點”，故答案為：是；(2)解：①當(dāng)N為中點時，CN＝＝6cm；②N為CD的三等分點，且N靠近C時，CN＝＝4cm；③N為CD的三等分點且N靠近D時，CN＝＝8cm．故答案為：6cm或4cm或8cm；(3)解：∵AB＝15cm，∴t秒后，AP＝t，AQ＝15﹣2t（0≤t≤7.5），由題意可知，A不可能為P、Q的和諧點，此情況排除；①P為A、Q的和諧點，有三種情況：1）P為中點，AP＝AQ，即t＝（15﹣2t），解得t＝；2）P為AQ的三等分點，且P靠近A，AP＝AQ，即t＝（15﹣2t），解得t＝3；3）P為AQ的三等分點，且P靠近Q，AP＝AQ，即t＝（15﹣2t），解得t＝；②Q為A、P的和諧點，有三種情況：1）Q為中點，AP＝AQ，即15﹣2t＝t，解得t＝6；2）Q為AP的三等分點，且P靠近A，AP＝AQ，即15﹣2t＝t，解得t＝；3）Q為AP的三等分點，且P靠近Q，AP＝AQ，即15﹣2t＝t，解得t＝．綜上所述，t為3或或或或或6時，A、P、Q三點中其中一點恰好是另外兩點為端點的線段的和諧點．【變式訓(xùn)練2】已知：如圖1，M是定長線段AB上一定點，C、D兩點分別從M、B出發(fā)以1cm/s、3cm/s的速度沿直線BA向左運動，運動方向如箭頭所示（C在線段AM上，D在線段BM上）(1)若AB＝11cm，當(dāng)點C、D運動了1s，求AC+MD的值．(2)若點C、D運動時，總有MD＝3AC，直接填空：AM＝BM．(3)在（2）的條件下，N是直線AB上一點，且AN﹣BN＝MN，求的值．【答案】(1)；(2)；(3)或【解析】(1)解：當(dāng)點C、D運動了1s時，CM＝1cm，BD＝3cm∵AB＝11cm，CM＝1cm，BD＝3cm∴AC+MD＝AB﹣CM﹣BD＝11﹣1﹣3＝7cm．(2)解：設(shè)運動時間為t，則CM＝t，BD＝3t，∵AC＝AM﹣t，MD＝BM﹣3t，又MD＝3AC，∴BM﹣3t＝3AM﹣3t，即BM＝3AM，∴AM=BM，故答案為：．(3)解：由（2）可得：∵BM＝AB﹣AM，∴AB﹣AM＝3AM，∴AM＝AB，①當(dāng)點N在線段AB上時，如圖∵AN﹣BN＝MN，又∵AN﹣AM＝MN，∴BN＝AM＝AB，∴MN＝AB，即=．②當(dāng)點N在線段AB的延長線上時，如圖∵AN﹣BN＝MN，又∵AN﹣BN＝AB，∴MN＝AB，，∴=1,即=．綜上所述＝或【變式訓(xùn)練3】已知點在線段上，，點、在直線上，點在點的左側(cè)．若，，線段在線段上移動．(1)如圖1，當(dāng)為中點時，求的長；(2)點（異于，，點）在線段上，，，求的長．【答案】(1)7；(2)3或5【解析】(1)，，，，如圖1，為中點，，，∴，∴，(2)Ⅰ、當(dāng)點在點的左側(cè)，如圖2，或∵，，點是的中點，∴，∴，∴，∵，故圖2（b）這種情況求不出；Ⅱ、如圖3，當(dāng)點在點的右側(cè)，或，，∴，∴，．∵，故圖3（b）這種情況求不出；綜上所述：的長為3或5．類型二、定值問題例．如圖1，線段AB長為24個單位長度，動點P從A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿射線AB運動，M為AP的中點，設(shè)P的運動時間為x秒．(1)P在線段AB上運動，當(dāng)時，求x的值．(2)當(dāng)P在線段AB上運動時，求的值．(3)如圖2，當(dāng)P在AB延長線上運動時，N為BP的中點，MN的長度是否發(fā)生變化?如不變，求出MN的長度．如變化，請說明理由．【答案】(1)；(2)為定值24；(3)．【解析】(1)解：∵M(jìn)是線段AP的中點，∴，，∵，∴，解得．(2)解：∵，，，∴，即為定值24．(3)解：當(dāng)P在AB延長線上運動時，點P在B點的右側(cè)．∵，，，，∴，所以MN的長度無變化是定值．【變式訓(xùn)練1】如圖，數(shù)軸上點，表示的有理數(shù)分別為，3，點是射線上的一個動點（不與點，重合），是線段靠近點的三等分點，是線段靠近點的三等分點．（1）若點表示的有理數(shù)是0，那么的長為________；若點表示的有理數(shù)是6，那么的長為________；（2）點在射線上運動（不與點，重合）的過程中，的長是否發(fā)生改變？若不改變，請寫出求的長的過程；若改變，請說明理由．【答案】（1）6；6；（2）不發(fā)生改變，MN為定值6，過程見解析【詳解】解：（1）若點P表示的有理數(shù)是0（如圖1），則AP=6，BP=3．∵M(jìn)是線段AP靠近點A的三等分點，N是線段BP靠近點B的三等分點．∴MP=AP=4，NP=BP=2，∴MN=MP+NP=6；若點P表示的有理數(shù)是6（如圖2），則AP=12，BP=3．∵M(jìn)是線段AP靠近點A的三等分點，N是線段BP靠近點B的三等分點．∴MP=AP=8，NP=BP=2，∴MN=MPNP=6．故答案為：6；6．（2）MN的長不會發(fā)生改變，理由如下：設(shè)點P表示的有理數(shù)是a（a＞6且a≠3）．當(dāng)6＜a＜3時（如圖1），AP=a+6，BP=3a．∵M(jìn)是線段AP靠近點A的三等分點，N是線段BP靠近點B的三等分點．∴MP=AP=（a+6），NP=BP=（3a），∴MN=MP+NP=6；當(dāng)a＞3時（如圖2），AP=a+6，BP=a3．∵M(jìn)是線段AP靠近點A的三等分點，N是線段BP靠近點B的三等分點．∴MP=AP=（a+6），NP=BP=（a3），∴MN=MPNP=6．綜上所述：點P在射線AB上運動（不與點A，B重合）的過程中，MN的長為定值6．【變式訓(xùn)練2】如圖，點是定長線段上一點，、兩點分別從點、出發(fā)以1厘米/秒，2厘米/秒的速度沿直線向左運動（點在線段上，點在線段上）．（1）若點、運動到任一時刻時，總有，請說明點在線段上的位置；（2）在（1）的條件下，點是直線上一點，且，求的值；（3）在（1）的條件下，若點、運動5秒后，恰好有，此時點停止運動，點繼續(xù)運動（點在線段上），點、分別是、的中點，下列結(jié)論：①的值不變；②的值不變．可以說明，只有一個結(jié)論是正確的，請你找出正確的結(jié)論并求值．【答案】（1）點P在線段AB的處；（2）或；（3）結(jié)論②的值不變正確，.【詳解】解：（1）設(shè)運動時間為t秒，則，由得，即，，，即，所以點P在線段AB的處；（2）①如圖，當(dāng)點Q在線段AB上時，由可知，，，②如圖，當(dāng)點Q在線段AB的延長線上時，，，，綜合上述，的值為或；（3）②的值不變.由點、運動5秒可得，如圖，當(dāng)點M、N在點P同側(cè)時，點停止運動時，，點、分別是、的中點，，，，當(dāng)點C停止運動，點D繼續(xù)運動時，MN的值不變，所以；如圖，當(dāng)點M、N在點P異側(cè)時，點停止運動時，，點、分別是、的中點，，，，當(dāng)點C停止運動，點D繼續(xù)運動時，MN的值不變，所以；所以②的值不變正確，.【變式訓(xùn)練3】(1)如圖1，在直線上，點在、兩點之間，點為線段PB的中點，點為線段的中點，若，且使關(guān)于的方程無解.①求線段的長；②線段的長與點在線段上的位置有關(guān)嗎？請說明理由；(2)如圖2，點為線段的中點，點在線段的延長線上，試說明的值不變.【答案】（1）①AB=4；②線段的長與點在線段上的位置無關(guān)，理由見解析；（2）見解析.【詳解】解：（1）①∵關(guān)于的方程無解．∴=0，解得：n=4．故AB=4．②線段的長與點在線段上的位置無關(guān)，理由如下：∵M(jìn)為線段PB的中點，∴PM=PB．同理：PN=AP．．∴MN=PN+PM=（PB+AP）=AB=×4=2．∴線段MN的長與點P在線段AB上的位置無關(guān)．（2）設(shè)AB=a，BP=b，則PA+PB=a+b+b=a+2b．∵C是AB的中點，，，所以的值不變.類型三、數(shù)量關(guān)系例．已知線段AB，點C在直線AB上，D為線段BC的中點．(1)若，，求線段CD的長．(2)若點E是線段AC的中點，請寫出線段DE和AB的數(shù)量關(guān)系并說明理由．【答案】(1)或5(2)，理由見解析【解析】(1)解：如圖1，當(dāng)C在點A右側(cè)時，∵，，∴，∵D是線段BC的中點，：∴；如圖2，當(dāng)C在點A左側(cè)時，∵，，∴，∵D是線段BC的中點，∴；綜上所述，或5；(2)解：．理由是：如圖3，當(dāng)C在點A和點B之間時，∵E是AC的中點，D是BC的中點，∴，，∴；如圖4，當(dāng)C在點A左側(cè)時，同理可得：；如圖5，當(dāng)C在點B右側(cè)時，同理可得：．【變式訓(xùn)練1】如圖，已知線段AB，延長線段BA至C，使CB＝AB．（1）請根據(jù)題意將圖形補充完整．直接寫出＝_______；（2）設(shè)AB＝9cm，點D從點B出發(fā)，點E從點A出發(fā)，分別以3cm/s，1cm/s的速度沿直線AB向左運動．①當(dāng)點D在線段AB上運動，求的值；②在點D，E沿直線AB向左運動的過程中，M，N分別是線段DE、AB的中點．當(dāng)點C恰好為線段BD的三等分點時，求MN的長．【答案】（1），（2）3，（3）12cm或24cm．【詳解】解：（1）圖形補充完整如圖，∵CB＝AB，∴CA＝，，故答案為：；（2）①AB＝9cm，由（1）得，（cm），設(shè)運動的時間為t秒，cm，cm，，②當(dāng)時，∵AB＝9cm，cm，∴cm，∴cm，cm，運動時間為：18÷3=6（秒），則cm，cm，cm，∵M(jìn)，N分別是線段DE、AB的中點．∴cm，cm，cm，當(dāng)時，∵AB＝9cm，cm，∴cm，∴cm，運動時間為：36÷3=12（秒），則cm，cm，cm，∵M(jìn)，N分別是線段DE、AB的中點．∴cm，cm，cm，綜上，MN的長是12cm或24cm．【變式訓(xùn)練2】已知代數(shù)式M＝（a﹣16）x3+20x2+10x+9是關(guān)于x的二次多項式，且二次項系數(shù)為b．如圖，在數(shù)軸上有A、B、C三個點，且A、B、C三點所表示的數(shù)分別是a、b、c，已知AC＝6AB．（1）直接依次寫出a、b、c的值：，，；（2）若動點P、Q分別從C、O兩點同時出發(fā)，向右運動，且點Q不超過點A．在運動過程中，E為線段AP的中點，F(xiàn)為線段BQ的中點，若動點P的速度為每秒2個單位長度，動點Q的速度為每秒3個單位長度，則的值是；（3）若動點P、Q分別從A、B兩點同時出發(fā)，都以每秒2個單位長度的速度向左運動，動點M從點C出發(fā)，以每秒6個單位長度的速度沿數(shù)軸向右運動，設(shè)運動時間為t秒，若動點P、Q分別從C、O兩點同時出發(fā)，3＜t時，數(shù)軸上有一點N與點M的距離始終為2個單位長度，且點N在點M的左側(cè)，T為線段MN上的一點（點T不與M、N重合），在運動的過程中，若滿足MQ﹣NT＝3PT（點T不與點P重合），求出此時線段PT的長度．【答案】（1）16，20，﹣8；（2）2；（3）PT＝1或PT【詳解】解：（1）∵是關(guān)于x的二次多項式，二次項的系數(shù)為∴a＝16，＝20，∴AB＝4，∵AC＝6AB，∴AC＝24，∴，∴，故答案為：，，（2）設(shè)點P的出發(fā)時間為t秒，由題意得：①當(dāng)t時，EF＝AE﹣AFAPBQ+AB（24﹣2t）（20﹣3t）+4＝6，∴BP﹣AQ＝（28﹣2t）﹣（16﹣3t）＝12+t，∴2；②當(dāng)時，此時點與點重合，即AQ＝0，點F對應(yīng)的數(shù)值為（16+20）＝18；此時點P在點O的右側(cè)，即OP＝2t﹣8，而PB＝|2t﹣8﹣20|＝|28﹣2t|，則點E對應(yīng)的值為（2t﹣8+16）＝t+4，則EF＝|18﹣（t+4）|＝|14﹣t|，而BP﹣AQ＝PB＝|28﹣2t|，故2；故答案為：（3）設(shè)點P的出發(fā)時間為t秒，P點表示的數(shù)為16﹣2t，Q點表示的數(shù)為20﹣2t，M點表示的數(shù)為6t﹣8，N點表示的數(shù)為6t﹣10，T點表示的數(shù)為x，∴MQ＝28﹣8t，NT＝x﹣6t+10，PT＝|16﹣2t﹣x|，∵M(jìn)Q﹣