壓軸題21以函數(shù)新定義為背景閱讀材料壓軸題-2023年中考數(shù)學(xué)壓軸題專項(xiàng)訓(xùn)練（原卷版）

2023年中考數(shù)學(xué)壓軸題專項(xiàng)訓(xùn)練壓軸題21以函數(shù)新定義為背景閱讀材料壓軸題例1．（2023?義烏市校級模擬）定義：函數(shù)圖象上到兩坐標(biāo)軸的距離都不大于n（n≥0）的點(diǎn)叫做這個函數(shù)圖象的“n階方點(diǎn)”．例如，點(diǎn)（13，13）是函數(shù)y＝x圖象的“12階方點(diǎn)”；點(diǎn)（2，1）是函數(shù)y=（1）在①（﹣2，-12）；②（﹣1，﹣1）；③（1，1）三點(diǎn)中，是反比例函數(shù)y=1x圖象的“1階方點(diǎn)”的有（2）若y關(guān)于x的一次函數(shù)y＝ax﹣3a+1圖象的“2階方點(diǎn)”有且只有一個，求a的值；（3）若y關(guān)于x的二次函數(shù)y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1圖象的“n階方點(diǎn)”一定存在，請直接寫出n的取值范圍．例2．（2023?西城區(qū)校級模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，我們給出如下定義：將圖形M繞直線x＝3上某一點(diǎn)P順時針旋轉(zhuǎn)90°，再關(guān)于直線x＝3對稱，得到圖形N，我們稱圖形N為圖形M關(guān)于點(diǎn)P的二次關(guān)聯(lián)圖形．已知點(diǎn)A（0，1）．（1）若點(diǎn)P的坐標(biāo)是（3，0），直接寫出點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P的二次關(guān)聯(lián)圖形的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P的二次關(guān)聯(lián)圖形與點(diǎn)A重合，求點(diǎn)P的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果即可）；（3）已知⊙O的半徑為1，點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P的二次關(guān)聯(lián)圖形在⊙O上且不與點(diǎn)A重合．若線段AB＝1，其關(guān)于點(diǎn)P的二次關(guān)聯(lián)圖形上的任意一點(diǎn)都在⊙O及其內(nèi)部，求此時P點(diǎn)坐標(biāo)及點(diǎn)B的縱坐標(biāo)yB的取值范圍．例3．（2022?婺城區(qū)模擬）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對于任意一個函數(shù)，作該函數(shù)y軸右側(cè)部分關(guān)于y軸的軸對稱圖形，與原函數(shù)y軸的交點(diǎn)及y軸右側(cè)部分共同構(gòu)成一個新函數(shù)的圖象，則這個新函數(shù)叫做原函數(shù)的“新生函數(shù)“例如：圖①是函數(shù)y＝x+1的圖象，則它的“新生函數(shù)“的圖象如圖②所示，且它的“新生函數(shù)“的解析式為y=x+1(x≥0)-x+1(x＜0)，也可以寫成y＝（1）在圖③中畫出函數(shù)y＝﹣2x+l的“新生函數(shù)“的圖象．（2）函數(shù)y＝x2﹣2x+2的“新生函數(shù)“與直線y＝﹣x+m有三個公共點(diǎn)，求m的值．（3）已知A（﹣1，0），B（3，0），C（3，﹣2），D（﹣1，﹣2），函數(shù)y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的“新生函數(shù)“圖象與矩形ABCD的邊恰好有4個交點(diǎn)，求n的取值范圍．

1．（2023?信陽模擬）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，有一條直線x＝m，對于任意一個函數(shù)，作該函數(shù)自變量大于m的部分關(guān)于直線x＝m的軸對稱圖形，與原函數(shù)中自變量大于或等于m的部分共同構(gòu)成一個新的函數(shù)圖象，則這個新函數(shù)叫做原函數(shù)關(guān)于直線x＝m的“鏡面函數(shù)”．例如：圖①是函數(shù)y＝x+1的圖象，則它關(guān)于直線x＝0的“鏡面函數(shù)”的圖象如圖②所示，且它的“鏡面函數(shù)”的解析式為y=x+1(x≥0)-x+1(x＜0)，也可以寫成y＝（1）在圖③中畫出函數(shù)y＝﹣2x+1關(guān)于直線x＝1的“鏡面函數(shù)”的圖象．（2）函數(shù)y＝x2﹣2x+2關(guān)于直線x＝﹣1的“鏡面函數(shù)”與直線y＝﹣x+m有三個公共點(diǎn)，求m的值．（3）已知拋物線y＝ax2﹣4ax+2（a＜0），關(guān)于直線x＝0的“鏡面函數(shù)”圖象上的兩點(diǎn)P（x1，y1），Q（x2，y2），當(dāng)t﹣1≤x1≤t+1，x2≥4時，均滿足y1≥y2，直接寫出t的取值范圍．2．（2022?零陵區(qū)模擬）九年級數(shù)學(xué)興趣小組在課外學(xué)習(xí)時遇到這樣一個問題：定義：如果二次函數(shù)y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常數(shù)）與y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常數(shù)）滿足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，則這兩個函數(shù)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．求函數(shù)y＝2x2﹣3x+1的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．小組同學(xué)是這樣思考的，由函數(shù)y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根據(jù)a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能確定這個函數(shù)的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．請參照小組同學(xué)的方法解決下面問題：（1）函數(shù)y＝x2﹣4x+3的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”是；（2）若函數(shù)y＝5x2+（m﹣1）x+n與y＝﹣5x2﹣nx﹣3互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，求（m+n）2022的值；（3）已知函數(shù)y＝2（x﹣1）（x+3）的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A，B，C關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)分別是A1，B1，C1，試求證：經(jīng)過點(diǎn)A1，B1，C1的二次函數(shù)與y＝2（x﹣1）（x+3）互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．3．（2022?長沙縣校級三模）規(guī)定：如果兩個函數(shù)圖象上至少存在一組點(diǎn)是關(guān)于原點(diǎn)對稱的，我們則稱這兩個函數(shù)互為“O—函數(shù)”．這組點(diǎn)稱為“XC點(diǎn)”．例如：點(diǎn)P（1，1）在函數(shù)y＝x2上，點(diǎn)Q（﹣1，﹣1）在函數(shù)y＝﹣x﹣2上，點(diǎn)P與點(diǎn)Q關(guān)于原點(diǎn)對稱，此時函數(shù)y＝x2和y＝﹣x﹣2互為“O—函數(shù)”，點(diǎn)P與點(diǎn)Q則為一組“XC點(diǎn)”．（1）已知函數(shù)y＝﹣2x﹣1和y=-6x互為“O—函數(shù)”，請求出它們的“（2）已知函數(shù)y＝x2+2x+4和y＝4x+n﹣2022互為“O—函數(shù)”，求n的最大值并寫出“XC點(diǎn)”；（3）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＞0）與y＝2bx+1互為“O—函數(shù)”有且僅存在一組“XC點(diǎn)”，如圖，若二次函數(shù)的頂點(diǎn)為M，與x軸交于A（x1，0），B（x2，0）其中0＜x1＜x2，AB=c2-2c+6c，過頂點(diǎn)M作x軸的平行線l，點(diǎn)P在直線l上，記P的橫坐標(biāo)為-t，連接OP，AP，BP．若∠OPA4．（2022?順德區(qū)校級三模）我們把一個函數(shù)圖象上橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)稱為這個函數(shù)的不動點(diǎn)．（1）請直接寫出函數(shù)y＝2﹣x的不動點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2）若函數(shù)y=3x+8x+a有兩個關(guān)于原點(diǎn)對稱的不動點(diǎn)A，B，求（3）已知函數(shù)y＝ax2+（b+1）x+（b﹣1），若對任意實(shí)數(shù)b，函數(shù)恒有兩個相異的不動點(diǎn)，請直接寫出a的取值范圍．5．（2022?長沙二模）如果三角形的兩個內(nèi)角α與β滿足2α+β＝90°，那么我們稱這樣的三角形為“CJ三角形”．（1）判斷下列三角形是否為“CJ三角形”？如果是，請?jiān)趯?yīng)橫線上畫“√”，如果不是，請?jiān)趯?yīng)橫線上畫“×”；①其中有兩內(nèi)角分別為30°，60°的三角形；②其中有兩內(nèi)角分別為50°，60°的三角形；③其中有兩內(nèi)角分別為70°，100°的三角形；（2）如圖1，點(diǎn)A在雙曲線y=kx（k＞0）上且橫坐標(biāo)為1，點(diǎn)B（4，0），C為OB中點(diǎn)，D為y軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，若∠OAB＝①求k的值，并求證：△ABC為“CJ三角形”；②若△OAB與△OBD相似，直接寫出D的坐標(biāo)；（3）如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，E為BC邊上一點(diǎn)，BE＞CE且△ABE是“CJ三角形”，已知A（﹣6，0），記BE＝t，過A，E作拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0），B在A右側(cè)，且在x軸上，點(diǎn)Q在拋物線上，使得tan∠ABQ=1t-3，若符合條件的Q點(diǎn)個數(shù)為3個，求拋物線y＝ax2+bx+6．（2022?濱?？h模擬）如圖1，直線l：y＝kx+b（k＜0，b＞0）與x、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，將△AOB繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△COD，過點(diǎn)A、B、D的拋物線W叫做直線l的關(guān)聯(lián)拋物線，而直線l叫做拋物線W的關(guān)聯(lián)直線．（1）已知直線l1：y＝﹣3x+3，求直線l1的關(guān)聯(lián)拋物線W1的表達(dá)式；（2）若拋物線W2：y=-x（3）如圖2，若直線l3：y＝kx+4（k＜0），G為AB中點(diǎn)，H為CD中點(diǎn)，連接GH，M為GH中點(diǎn)，連接OM．若OM=102，求直線l3的關(guān)聯(lián)拋物線W（4）在（3）的條件下，將直線CD繞著C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到新的直線l4：y＝mx+n，若點(diǎn)P（x1，y1）與點(diǎn)Q（x2，y2）分別是拋物線W3與直線l4上的點(diǎn)，當(dāng)0≤x≤2時，|y1﹣y2|≤4，請直接寫出m的取值范圍．7．（2022?淮安二模）我們把函數(shù)圖象上橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)互為相反數(shù)的點(diǎn)定義為這個函數(shù)圖象上的“互反點(diǎn)”．例如在二次函數(shù)y＝x2的圖象上，存在一點(diǎn)P（﹣1，1），則P為二次函數(shù)y＝x2圖象上的“互反點(diǎn)”．（1）分別判斷y＝﹣x+3、y＝x2+x的圖象上是否存在“互反點(diǎn)”？如果存在，求出“互反點(diǎn)”的坐標(biāo)；如果不存在，說明理由．（2）如圖①，設(shè)函數(shù)y=-5x（x＜0），y＝x+b的圖象上的“互反點(diǎn)”分別為點(diǎn)A，B，過點(diǎn)B作BC⊥x軸，垂足為C．當(dāng)△ABC的面積為5時，求（3）如圖②，Q（m，0）為x軸上的動點(diǎn)，過Q作直線l⊥x軸，若函數(shù)y＝﹣x2+2（x≥m）的圖象記為W1，將W1沿直線l翻折后的圖象記為W2，當(dāng)W1，W2兩部分組成的圖象上恰有2個“互反點(diǎn)”時，直接寫出m的取值范圍．8．（2022?石家莊三模）拋物線L：y＝x2﹣2bx+c與直線a：y＝kx+2交于A、B兩點(diǎn)，且A（2，0）．（1）求k和c的值（用含b的代數(shù)式表示c）；（2）當(dāng)b＝0時，拋物線L與x軸的另一個交點(diǎn)為C．①求△ABC的面積；②當(dāng)1≤x≤5時，則y的取值范圍是．（3）拋物線L：y＝x2﹣2bx+c的頂點(diǎn)M（b，n），求出n與b的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)b為何值時，點(diǎn)M達(dá)到最高．（4）在拋物線L和直線a所圍成的封閉圖形的邊界上把橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為“美點(diǎn)”，當(dāng)b＝﹣20時，直接寫出“美點(diǎn)”的個數(shù)；若這些美點(diǎn)平均分布在直線y＝kx的兩側(cè)，k的取值范圍：．9．（2023春?雨花區(qū)期中）約定：如果函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（m，n），我們就把此函數(shù)稱作“（m，n）族函數(shù)”．比如：正比例函數(shù)y＝2x的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，2），所以正比例函數(shù)y＝2x就是“（1，2）族函數(shù)”．（1）①以下數(shù)量關(guān)系中，y不是x的函數(shù)的是（填選項(xiàng)）②以下是“（﹣1，1）族函數(shù)”的是（填選項(xiàng)）A.y=-B．|y|＝xC．y＝x2+2x﹣4D．y＝|x|+1E．y2＝﹣xF．y＝2x+3（2）已知一次函數(shù)y＝kx﹣k+1（k為常數(shù)，k≠0）．①若該函數(shù)是“（-12，4）族函數(shù)”，求②無論k取何值，該函數(shù)必經(jīng)過一定點(diǎn)，請寫出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．（3）已知一次函數(shù)y＝2x+4和y＝﹣x+1都是“（m，n）族函數(shù)”．當(dāng)m≤x≤1時，一次函數(shù)y＝kx+b的函數(shù)值y恰好有12n10．（2022秋?海門市期末）定義：平面直角坐標(biāo)系xOy中，若點(diǎn)M繞原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)90°，恰好落在函數(shù)圖象W上，則稱點(diǎn)M為函數(shù)圖象W的“直旋點(diǎn)”．例如，點(diǎn)(-13，13（1）在①（3，0），②（﹣1，0），③（0，3）三點(diǎn)中，是一次函數(shù)y=-13x+1圖象的“直旋點(diǎn)”的有（2）若點(diǎn)N（3，1）為反比例函數(shù)y=kx圖象的“直旋點(diǎn)”，求（3）二次函數(shù)y＝﹣x2+2x+3與x軸交于A，B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是二次函數(shù)y＝﹣x2+2x+3圖象的“直旋點(diǎn)”且在直線AC上，求D點(diǎn)坐標(biāo)．11．（2022秋?大興區(qū)校級期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于線段AB和點(diǎn)C，若△ABC是以AB為一條直角邊，且滿足AC＞AB的直角三角形，則稱點(diǎn)C為線段AB的“從屬點(diǎn)”．已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，1）．（1）如圖1，若點(diǎn)B為（2，1），在點(diǎn)C1（0，﹣2），C2（2，2）．C3（1，0），C4（0，3）中，線段AB的“從屬點(diǎn)”是；（2）如圖2，若點(diǎn)B為（1，0），點(diǎn)P在直線y＝﹣2x﹣3上，且點(diǎn)P為線段AB的“從屬點(diǎn)”，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)B為x軸上的動點(diǎn)，直線y＝4x+b（b≠0）與x軸，y軸分別交于M，N兩點(diǎn)，若存在某個點(diǎn)B，使得線段MN上恰有2個線段AB的“從屬點(diǎn)”，直接寫出b的取值范圍．12．（2023春?鄱陽縣期中）對于平面直角坐標(biāo)系xOy中的任意一點(diǎn)P（x，y），給出如下定義：記a＝﹣x，b＝x﹣y，那么我們把點(diǎn)M（a，b）與點(diǎn)N（b，a）稱為點(diǎn)P的一對“和美點(diǎn)”．例如：點(diǎn)P（﹣1，2）的一對“和美點(diǎn)”是點(diǎn)（1，﹣3）與點(diǎn)（﹣3，1）．（1）點(diǎn)A（4，1）的一對“和美點(diǎn)”坐標(biāo)是與；（2）若點(diǎn)B（2，y）的一對“和美點(diǎn)”重合，則y的值為；（3）若點(diǎn)C的一個“和美點(diǎn)”坐標(biāo)為（﹣2，7），求點(diǎn)C的坐標(biāo)．13．（2022秋?石景山區(qū)校級期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知矩形OABC，其中點(diǎn)A（5，0），B（5，4），C（0，4）．給出如下定義：若點(diǎn)P關(guān)于直線l：x＝t的對稱點(diǎn)P'在矩形OABC的內(nèi)部或邊上，則稱點(diǎn)P為矩形OABC關(guān)于直線l的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”．例如，圖1中的點(diǎn)D，點(diǎn)E都是矩形OABC關(guān)于直線l：x＝3的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”．（1）如圖2，在點(diǎn)P1（4，1），P2（﹣3，3），P3（﹣2，0），P4（﹣6，﹣2）中，是矩形OABC關(guān)于直線l：x＝﹣1的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”的為；（2）如圖3，點(diǎn)P（﹣2，3）是矩形OABC關(guān)于直線l：x＝t的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，且△OAP'是等腰三角形，求t的值；（3）若在直線y=12x+b上存在點(diǎn)Q，使得點(diǎn)Q是矩形OABC關(guān)于直線l：x＝﹣1的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，請直接寫出14．（2023春?崇川區(qū)校級月考）我們定義：若點(diǎn)P在一次函數(shù)y＝ax+b（a≠0）圖象上，點(diǎn)Q在反比例函數(shù)y=cx（c≠0）圖象上，且滿足點(diǎn)P與點(diǎn)Q關(guān)于y軸對稱，則稱二次函數(shù)y＝ax2+bx+c為一次函數(shù)y＝ax+b與反比例函數(shù)y=cx的“衍生函數(shù)”，點(diǎn)（1）若二次函數(shù)y＝x2+2x+1是一次函數(shù)y＝ax+b與反比例函數(shù)y=cx的“衍生函數(shù)”，則a＝，b＝，c＝（2）若一次函數(shù)y＝x+b和反比例函數(shù)y=cx的“衍生函數(shù)”的頂點(diǎn)在x軸上，且“基點(diǎn)”P的橫坐標(biāo)為（3）若一次函數(shù)y＝ax+2b（a＞b＞0）和反比例函數(shù)y=-2x的“衍生函數(shù)”經(jīng)過點(diǎn)（2，6）．①試說明一次函數(shù)y＝ax+2b圖象上存在兩個不同的“基點(diǎn)”；②設(shè)一次函數(shù)y＝ax+2b圖象上兩個不同的“基點(diǎn)”的橫坐標(biāo)為x1、x2，求|x1﹣x215．（2023?定遠(yuǎn)縣校級一模）已知一系列具備負(fù)整數(shù)系數(shù)形式規(guī)律的“負(fù)倍數(shù)二次函數(shù)”：y1=-x2-2x（1）探索發(fā)現(xiàn)，所有“負(fù)倍數(shù)二次函數(shù)”都有同一條對稱軸直線x＝．（2）求二次函數(shù)yn的解析式及其頂點(diǎn)坐標(biāo)．（3）點(diǎn)（﹣1，10）是否是“負(fù)倍數(shù)二次函數(shù)”中某一拋物線的頂點(diǎn)，若是，請求出它所在的拋物線解析式，并求出﹣2≤x≤1對應(yīng)的y的取值范圍；若不是，請說明理由．16．（2023春?蘭溪市月考）閱讀材料：一般地，對于某個函數(shù)，如果自變量x在取值范圍內(nèi)任取x＝a與x＝﹣a時，函數(shù)值相等，那么這個函數(shù)是“對稱函數(shù)”．例如：y＝x2，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)任取x＝a時，y＝a2；當(dāng)x＝﹣a時，y＝（﹣a）2＝a2，所以y＝x2是“對稱函數(shù)”．（1）函數(shù)y＝2|x|+1對稱函數(shù)（填“是”或“不是”）．當(dāng)x≥0時，y＝2|x|+1的圖象如圖1所示，請?jiān)趫D1中畫出x＜0時，y＝2|x|+1的圖象．（2）函數(shù)y＝x2﹣2|x|+1的圖象如圖2所示，當(dāng)它與直線y＝﹣x+n恰有3個交點(diǎn)時，求n的值．（3）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A（﹣3，0），B（2，0），C（2，﹣3），D（﹣3，﹣3），當(dāng)二次函數(shù)y＝x2﹣b|x|+1（b＞0）的圖象與矩形的邊恰有4個交點(diǎn)時，求b的取值范圍．17．（2023春?東臺市校級期中）定義：若兩個函數(shù)的圖象關(guān)于某一點(diǎn)P中心對稱，則稱這兩個函數(shù)關(guān)于點(diǎn)P互為“伴隨函數(shù)”．例如，函數(shù)y＝x2與y